第1部分 第3章 微专题1 反比例函数中的面积模型（word教参）-【中考复习指南】2025年湖北新中考数学

微专题一　反比例函数中的面积模型 模型1　一点一垂线 模型归纳：反比例函数图象上一点与坐标轴的垂线、另一坐标轴上一点(含原点)围成的三角形面积等于|k|. S△AOC＝|k|　　　 S△ABC＝|k| [例1] (2024·天门期末)如图，点P是反比例函数y＝(k≠0)的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，若△POM的面积等于5，则k的值等于(　C　) A．2.5 B．10 C．－10 D．－5 1．如图，A是反比例函数y＝(x＞0)的图象上一点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，若点C是x轴上一点，S△ABC＝1，则k的值为__2__. 2．如图，在x轴上方，平行于x轴的直线与反比例函数y＝和y＝的图象分别交于A，B两点，连接OA，OB，若△AOB的面积为6，则k1－k2＝__－12__. 模型2　一点两垂线 模型归纳：反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线所围成的矩形面积等于|k|. S四边形PMON＝|k| 　　S1＝S2 [例2] (2024·西安模拟)如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在函数y＝－(x<0)和y＝(x>0)的图象上，点B，C在x轴上，则点D的坐标为__(2,3)__. 3．(2024·鄂州月考)如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数y＝(k≠0)的图象上一点，过点A分别作AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于点N，若四边形AMON的面积为2，则k的值是__2__. 4．(2024·咸阳模拟)如图，矩形OBCD，矩形OAPE在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B在x轴正半轴上，E，D在y轴正半轴上，顶点C，P在第一象限，M为BC的中点，反比例函数y＝(x>0，k为常数，k≠0)的图象恰好经过点M，P，若阴影部分的面积为8，则k的值为__8__. 模型3　两点一垂线 模型归纳：反比例函数与正比例函数的两交点及由交点向x轴(或y轴)所作垂线围成的三角形面积为|k|；反比例函数与一次函数的交点及坐标轴上任一点构成的三角形面积，等于坐标轴所分的两个三角形面积之和. S△ABM＝S△AOM＋S△BOM ＝OM·AM＋OM·BC ＝|k|＋|k|＝|k| S△ABM＝S△AOM＋S△BOM ＝OM·AM＋OM·BC ＝|k|＋|k|＝|k| S△ABM＝S△ADM＋S△MDB ＝MD·|yB－yA| S△ABM＝S△BMD＋S△AMD ＝MD·|xB－xA| [例3] (2024·广安)如图，一次函数y＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)的图象与反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象交于A(2,4)，B(n，－2)两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)直线AB与x轴交于点C，点P(m,0)是x轴上的点，若△PAC的面积大于12，请直接写出m的取值范围． 解：(1)∵A(2,4)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，∴k＝2×4＝8， ∴反比例函数的解析式为y＝.把B(n，－2)代入y＝，得n＝－4，∴B(－4，－2)， 把A(2,4)，B(－4，－2)都代入一次函数y＝ax＋b中，得解得 ∴一次函数的解析式为y＝x＋2. (2)令y＝x＋2＝0，解得x＝－2，∴C(－2,0)， ∵P(m,0)，∴CP＝|m＋2|，∵△PAC的面积大于12，∴×4|m＋2|>12，即|m＋2|>6； 当m≥－2时，m＋2>6，解得m>4； 当m<－2时，－m－2>6，解得m<－8； ∴m>4或m<－8. 5．如图，已知反比例函数y＝(k≠0)与正比例函数y＝2x的图象交于A(1，m)，B(－1，－2)两点． (1)求该反比例函数的解析式； (2)已知点C在x轴的正半轴上，且△ABC的面积为3，求点C的坐标． 解：(1)把B(－1，－2)代入y＝(k≠0)得k＝－1×(－2)＝2，∴y＝. (2)解方程组得或 ∴A(1,2)，设点C的坐标为(c,0)，则S△ABC＝S△OAC＋S△OBC＝OC×|yA|＋ OC×|yB|＝c×4＝3，解得c＝，∴点C的坐标为. 6．如图，一次函数y＝x＋b与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点B的坐标为(－3，－2)． (1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)已知点C的坐标为(2,0)，求△ABC的面积． 解：(1)将(－3，－2)分别代入y＝x＋b与y＝中，得－2＝－3＋b，－2＝，解得b＝1，k＝6，∴一次函数和反比例函数的解析式分别为y＝x＋1，y＝. (2)记直线AB与x轴的交点为D.把y＝0代入y＝x＋1，得x＝－1，∴D(－1,0)，则CD＝3， 联立解得或 即A(2,3)，∴S△ABC＝S△ADC＋S△BDC ＝·CD·|yA|＋·CD·|yB| ＝×3×(2＋3)＝. 模型4　两点两垂线 模型归纳：反比例函数与正比例函数的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积． S△ABC＝2|k|　 S△AOC＝S△OFD＝S△AOE＋ S△OEC＝S△OEC＋S梯形ECDF [例4] (2024·咸宁月考)如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝的图象相交于点A(2,3)，B(n,1)． (1)求一次函数及反比例函数的解析式； (2)请直接写出关于x的不等式kx＋b>的解集； (3)点P是x轴负半轴上一动点，连接AP，BP，当△ABP的面积为10时，求点P的坐标． 解：(1)将A(2,3)代入y＝，得3＝，解得m＝6，∴反比例函数的解析式为y＝， 将点B(n,1)代入y＝得1＝，解得n＝6，∴B(6,1)，将A(2,3)，B(6,1)代入y＝kx＋b中，得解得 ∴一次函数的解析式为y＝－x＋4. (2)∵A(2,3)，B(6,1)，反比例函数图象的另一支在第三象限， ∴不等式kx＋b>的解集为2<x<6或x<0. (3)设直线AB交x轴于点H，设点P(x,0)， ∵直线AB的解析式为y＝－x＋4， ∴当y＝0时，0＝－x＋4，解得x＝8， ∴H(8,0)，∴S△ABP＝S△PHA－S△PHB＝×PH×(yA－yB)＝×(8－x)×(3－1)＝10， 解得x＝－2，即点P的坐标为(－2,0)． 7．(2024·枣庄三模)如图，在△ABC中，AB＝AC，AB边经过原点O，BC∥x轴，双曲线y＝(k≠0)经过A，B两点．若S△ABC＝8，则k的值为(　D　) A． B．1 C．4 D．2 8．(2024·荆门月考)如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y＝过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D，若S△BCD＝12，则k＝(　B　) A．－4 B．－4.5 C．－6 D．－7.5 9．(2024·恩施阶段练习)如图，已知A，B是反比例函数y＝(x>0)图象上的两点，AC⊥x轴于点C，OB交AC于点D，若△OCD的面积是△BCD的面积的2倍，则△AOD的面积为__2.5__. 模型5　两点＋原点 模型归纳：1．反比例函数与一次函数的交点和原点所围成的三角形面积，若两交点在同一支上，用减法． 方法一：S△EOF＝S△EOD－S△FOD. 方法二：作EM⊥x轴于点M，交OF于点B，FA⊥x轴于点A，则S△OEB＝S四边形BMAF(划归到模型4)，则S△EOF＝S直角梯形EMAF. 2．反比例函数与一次函数的交点和原点所围成的三角形面积，若两交点分别在两支上，用加法． 方法一：S△AOB＝OD·|xB－xA|＝OC·|yA－yB|. 方法二：S△AOB＝S△AOC＋S△OCD＋S△OBD. 方法三：作AE⊥y轴于点E，BF⊥x轴于点F，AE与BF相交于点N，则S△AOB＝S△ABN－S△AOE－S△OBF－S矩形OENF. [例5] (2024·鄂州模拟)一次函数y1＝－x＋m＋1与双曲线y2＝(x>0)交于点A(1,4)和点B(n,1)，连接OA，OB. (1)直接写出b，m，n的值； (2)求△OAB的面积； (3)直接写出y1<y2时x的取值范围． 解：(1)∵一次函数y1＝－x＋m＋1与双曲线y2＝(x>0)交于点A(1,4)和点B(n，1)， ∴将A(1,4)代入y1＝－x＋m＋1和y2＝(x>0)，得－1＋m＋1＝4，＝4， ∴m＝4，b＝4， ∴一次函数的解析式为y1＝－x＋5，反比例函数的解析式为y2＝(x>0)， 将B(n,1)代入y1＝－x＋5，得－n＋5＝1，∴n＝4. (2)在y1＝－x＋5中，令x＝0，则y＝5，令y＝0，则－x＋5＝0，∴x＝5， 则D(5,0)，C(0,5)，过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥y轴于点F， ∵S△OAB＝S△OCD－S△OCA－S△OBD ＝OC×OD－OC×AF－OD×BE ＝×5×5－×5×1－×5×1＝. (3)∵y1<y2，∴一次函数图象在反比例函数图象下方对应的交点横坐标的取值范围即为该不等式的解集， ∴0<x<1或x>4. 10．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，直线y＝x＋2交y轴于点A，交x轴于点B，与双曲线y＝(k≠0)在第一、三象限分别交于C，D两点，AB＝BC，连接CO，DO. (1)求k的值； (2)求△COD的面积． 解：(1)在y＝x＋2中，令x＝0得y＝2，令y＝0得x＝－2，∴A(0,2)，B(－2,0)． ∵AB＝BC，∴A为BC的中点，∴C(2,4)， 把C(2,4)代入y＝得4＝，解得k＝8， ∴k的值为8. (2)联立解得或 ∴D(－4，－2)，∴S△COD＝S△DOB＋S△COB＝×2×2＋×2×4＝2＋4＝6， ∴△COD的面积是6. 学科网（北京）股份有限公司 $$