第1部分 第3章 第13节 二次函数的实际应用（word教参）-【中考复习指南】2025年湖北新中考数学

第13节　二次函数的实际应用 1．通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义． 2．会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题． 　二次函数的实际应用 1．实物抛物线 求解步骤：(1)建立方便求解析式的__平面直角坐标系__； (2)利用__待定系数法__确定抛物线的解析式； (3)利用__二次函数的性质__解决实际问题． 常用类型：桥梁、隧道、体育运动等． 2．二次函数在销售问题中的应用 求解步骤：(1)读懂题意，借助销售问题中的利润等公式寻找__等量__关系； (2)确定二次函数的解析式； (3)确定二次函数的__最值__或建立方程，解决实际问题． 3．二次函数在面积问题中的应用 求解步骤：(1)根据几何面积知识探求图形的面积关系式； (2)根据__面积__关系式确定函数解析式； (3)利用二次函数的__最值__或建立方程，解决实际问题． 　实物抛物线 [例1] (九上教材P36T4改编)某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心的水平距离也为3 m，那么水管喷水头的设计高度应为　　m. [变式] (10分)某公园修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个可调节角度的喷水头，从喷水头喷出的水柱形状是一条抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线形水柱的竖直高度y(单位：m)与到池中心的水平距离x(单位：m)满足的关系式近似为y＝a(x－h)2＋k(a＜0)． (1)在某次安装调试过程中，测得x与y的部分对应值如下表： 水平距离x/m 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 竖直高度y/m 2.25 2.812 5 3 2.812 5 2.25 1.312 5 0 根据表格中的数据，解答下列问题： ①水管的长度是____________m； ②求出y与x满足的函数解析式y＝a(x－h)2＋k(a<0)； (2)安装工人在上述基础上进行了下面两种调试： ①不改变喷水头的角度，将水管长度增加0.63 m； ②改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足y＝a(x－1.2)2＋3.6. 若要使两种调试的水珠落地点相同(即水柱落地时与池中心的水平距离相等)，求出a的值． 思维导引：(1)①通过观察表格x＝0即可得c的值，即水管的长度．②由表格可知顶点，再找一点，即可求解．(2)调试①相当于二次函数的图象向上平移，即可求解水柱落地点，由调试②：y＝a(x－1.2)2＋3.6过水柱落地点，即可求解a. 解：(1)①2.25； ②分析题意可知h＝1，k＝3. 把(3,0)代入y＝a(x－1)2＋3中， 得a(3－1)2＋3＝0，解得a＝－0.75， ∴y＝－0.75(x－1)2＋3. (2)调试①：y＝－0.75(x－1)2＋3＋0.63＝－0.75(x－1)2＋3.63，由－0.75(x－1)2＋3.63＝0，解得x＝3.2(负值舍去)． 调试②：分析题意可知y＝a(x－1.2)2＋3.6过水柱落地点， ∴把(3.2,0)代入上式， 得0＝a(3.2－1.2)2＋3.6， 解得a＝－0.9. 答：a的值为－0.9. 答题规范：第一问的①是2分，第一问的②是4分，每计算正确一个字母系数得1分，最后写出完整的解析式得1分，共4分；第二问分步给分，第一步先确定调试①的解析式，第二步求出落地点的坐标，第三步分析过落地点，第四步将落地点的坐标代入调试②中的解析式，最后一定要答；每一步1分． 　二次函数在销售问题中的应用 [例2] (九上教材P52T8改编)(6分)某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少时，宾馆利润最大？最大利润是多少？ 解：设每个房间的定价为x元，宾馆所得利润为y元， 由题意得180≤x≤680，且x为整数， 则y＝(x－20)×＝－＋70x－1 360＝－(x－350)2＋10 890. ∵－<0，二次函数开口向下，180≤x≤680，且x为整数， ∴当x＝350时，y最大＝10 890(元)． 答：当定价为350元时，宾馆利润最大，最大利润为10 890元． 答题规范：分步给分，第一步先确定对称轴，第二步写出二次函数的性质(开口方向，自变量取值范围，增减性)，第三步确定最值，最后一定要答． [变式1] (10分)近年来，湖北省某地致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”“高端民宿”为代表的旅游度假区．为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿有20个房间，当每个房间每天的定价为500元时，所有房间全部住满；当每个房间每天的定价每增加50元时，就会有一个房间无人入住，如果有游客居住房间，民宿每天需要对每个房间各支出100元的其他费用．设每个房间每天的定价增加x个50元(0≤x≤20，且x为整数)，该民宿每天游客居住的房间数量为y间，所获利润为W元．为吸引游客，该地物价部门要求民宿尽最大可能让利游客． (1)分别求出y与x，W与x之间的函数关系式； (2)当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到9 600元； (3)求当每个房间的定价为多少元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 思维导引：(1)根据房间变化确定y与x之间的函数关系式，利用销售问题中的利润公式确定W与x之间的函数关系式．(2)根据利润可以达到9 600元得到方程即可求解．(3)利用(1)中函数关系式再求最值． 解：(1)由题意得y＝20－x，W＝(500－100＋50x)(20－x)＝－50x2＋600x＋8 000. (2)由题意得W＝－50x2＋600x＋8 000＝9 600， ∴x2－12x＋32＝0，解得x1＝4，x2＝8， ∵民宿尽最大可能让利游客，∴x＝4， ∴每个房间的定价为500＋4×50＝700(元)． 答：当定价为700元时，民宿每天获得的利润可以达到9 600元． (3)W＝－50x2＋600x＋8 000＝－50(x－6)2＋9 800，∵－50<0，二次函数开口向下，0≤x≤20，且x为整数，∴当x＝6时，W有最大值为9 800元，此时500＋50×6＝800(元)． 答：当每个房间的定价为800元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是9 800元． 答题规范：第一问y与x之间的函数关系式是1分，W与x之间的函数关系式是2分；第二问分步给分，第一步先构造方程，第二步解方程，第三步检验是否符合题意及实际问题，最后一定要答； 第三问分步给分，第一步先确定对称轴，第二步写出二次函数的性质(开口方向，自变量取值范围，增减性)，第三步确定最值，最后一定要答． [变式2] 在变式1的条件不变的情况下： (1)民宿每天获得的利润不得低于8 000元，求民宿每天游客居住的房间数量y的最小值； (2)当地民政部门规定，若该民宿每天每个出租房间的定价不低于500且不超过700元时，该民宿每天每个出租房间国家就补贴a元(a>50)，通过出租房间记录发现，该民宿每天获得的利润随每个房间每天的定价的增大而增大，求a的取值范围． 解：(1)由题意设W＝8 000，即－50x2＋600x＋8 000＝8 000，解得x1＝0，x2＝12， ∵民宿每天获得的利润不得低于8 000元， ∴根据W＝－50x2＋600x＋8 000的图象与性质知0≤x≤12.由(1)得y＝－x＋20，k＝－1<0，此时y随x的增大而减小． 又0≤x≤12，∴当x＝12时，y有最小值8. (2)由题意得y＝20－x， W＝(500－100＋50x＋a)(20－x)＝－50x2＋(600－a)x＋8 000＋20a，∴对称轴为x＝.∵该民宿每天每个出租房间的定价不低于500且不超过700元， ∴600≤500＋50x≤700，即2≤x≤4. 又∵－50<0，二次函数开口向下，民宿每天获得的利润随每个房间每天的定价的增大而增大，对称轴为x＝，∴≥4，即a≤200.又∵a>50，∴50<a≤200. 二次函数在销售问题中的应用，常考查以下四个方面： (1)列函数解析式(包括分段函数)； (2)确定函数最值的两种方法：利用顶点求最值，利用增减性求最值； (3)考查二次函数与方程、不等式的联系； (4)利用对称轴左右增减性的不同求参数值等． 　二次函数在面积问题中的应用 [例3] (九上教材P49探究1)用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？ 解：矩形场地的周长是60 m，一边长为l m，所以另一边长为 m. 由于l＞0，且30－l＞0，所以0＜l＜30. 场地的面积S＝l(30－l)， 即S＝－l2＋30l(0＜l＜30)． 因此，当l＝－＝－＝15时，S有最大值＝＝225. 答：当l是15 m时，场地的面积S最大． [变式] 如图，用总长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园． (1)当墙长32 m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积S最大，最大面积是多少？ (2)当墙长18 m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积S最大，最大面积是多少？ 思维导引：(1)利用面积公式列函数解析式再利用顶点求最值．(2)利用面积公式列函数解析式再利用增减性求最值． 解：(1)设垂直于墙的边长为x m， 则平行于墙的边长为(60－2x)m， ∴矩形菜园的面积 S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x. 由题意得0＜60－2x≤32，即14≤x＜30. ∵S＝－2x2＋60x＝－2(x2－30x) ＝－2(x－15)2＋450， ∵－2＜0，二次函数开口向下，14≤x＜30， ∴当x＝15 m时，S取最大值，此时S＝450 m2. (2)设垂直于墙的边长为x m， 由(1)知S＝－2x2＋60x＝－2(x2－30x)＝－2(x－15)2＋450. 由题意得0＜60－2x≤18，即21≤x＜30. ∵－2＜0，二次函数开口向下， 当21≤x＜30时，在对称轴右侧，此时S随x的增大而减小， ∴当x＝21时，S取得最大值，此时S＝－2×(21－15)2＋450＝378(m2)． 1．如图，一位篮球运动员投篮时，球从A点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度y(m)与篮球距离出手点的水平距离x(m)之间的函数解析式是y＝－2＋. 下列说法正确的是__①②__(填序号)． ①篮球行进过程中距离地面的最大高度为3.5 m； ②篮球出手点距离地面的高度为2.25 m. 2．嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1 m长．嘉嘉在点A(6,1)处将沙包(看成点)抛出，其运动路线为抛物线C1：y＝a(x－3)2＋2的一部分，淇淇恰在点B(0，c)处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线C2：y＝－x2＋x＋c＋1的一部分． (1)写出C1的最高点坐标，并求a，c的值； (2)若嘉嘉在x轴上方1 m的高度上，且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值． 解：(1)∵抛物线C1：y＝a(x－3)2＋2，∴C1的最高点坐标为(3,2)，∵点A(6,1)在抛物线C1：y＝a(x－3)2＋2上，∴1＝a(6－3)2＋2， ∴a＝－，∴抛物线C1：y＝－(x－3)2＋2， 当x＝0时，c＝1. (2)∵嘉嘉在x轴上方1 m的高度上，且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包， ∴点A的坐标范围是(5,1)～(7,1)，当经过(5,1)时，1＝－×25＋×5＋1＋1，解得n＝；当经过(7,1)时，1＝－×49＋×7＋1＋1，解得n＝，∴≤n≤.∵n为整数，∴符合条件的n的整数值为4和5. 3．(2024·湖北)如图，某校劳动实践基地用总长为80 m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42 m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：m2)． (1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)； (2)矩形实验田的面积S能达到750 m2吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 解：(1)由题意，得2x＋y＝80，∴y＝－2x＋80. 由0<－2x＋80≤42，且x>0，∴19≤x<40. 由题意，得S＝x(－2x＋80)＝－2x2＋80x. (2)由题意，令S＝－2x2＋80x＝750， 解得x＝15(舍去)或x＝25. 答：当x＝25时，围成的矩形实验田的面积S能达到750 m2. (3)S＝－2x2＋80x＝－2(x－20)2＋800， 又∵－2<0，且19≤x<40，∴当x＝20时，S取最大值为800. 答：当x＝20时，矩形实验田的面积S最大，最大面积是800 m2. 4．为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天(1≤x≤30且x为整数)的售价p(元/千克)与x的函数解析式p＝销量q(千克)与x的函数解析式为q＝x＋10，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第x天的销售额为W元． (1)m＝____________，n＝____________； (2)求第x天的销售额W元与x之间的函数解析式； (3)在试销售的30天中，销售额超过1 000元的共有多少天？ 解：(1)－2,60. (2)当1≤x<20时，W＝pq＝(－2x＋60)·(x＋10)＝－2x2＋40x＋600；当20≤x≤30时， W＝pq＝30(x＋10)＝30x＋300. ∴W＝ (3)在W＝－2x2＋40x＋600中， 令W＝1 000得－2x2＋40x＋600＝1 000， 整理得x2－20x＋200＝0，方程无实数解； 由30x＋300>1 000，得x>23，∵x为整数， ∴x可取24,25,26,27,28,29,30， ∴销售额超过1 000元的共有7天． 5．某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如表所示. 时间：第x天 (1≤x≤60，x为整数) 1≤x≤30 31≤x≤60 日销售价(元/件) 0.5x＋35 50 日销售量(件) 124－2x 设该商品的日销售利润为w元． (1)直接写出w与x的函数解析式； (2)该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 解：(1)w＝ (2)当1≤x≤30时， w＝－x2＋52x＋620＝－(x－26)2＋1 296. ∵－1＜0，∴当x＝26时，w有最大值，最大值为1 296； 当31≤x≤60时，w＝－40x＋2 480， ∵－40＜0，∴当x＝31时，w有最大值，最大值为－40×31＋2 480＝1 240， ∵1 296＞1 240， ∴该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1 296元． 学科网（北京）股份有限公司 $$