第1部分 第3章 第12节 二次函数的图象和性质（word教参）-【中考复习指南】2025年湖北新中考数学

第12节　二次函数的图象和性质 1．能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系． 2．会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题． 3．知道二次函数和一元二次方程之间的关系(新增)，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解． 　二次函数的定义及解析式 1．二次函数的概念：一般地，形如__y＝ax2＋bx＋c__(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数，其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 2．二次函数的解析式 (1)一般式：__y＝ax2＋bx＋c__(a≠0)；顶点式：__y＝a(x－h)2＋k__(a≠0)，其中抛物线的顶点坐标为(h，k)；交点式：__y＝a(x－x1)(x－x2)__(a≠0)，其中x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标． (2)根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况： ①已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； ②已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式； ③已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式． 　二次函数的图象和性质 1．二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 图象 a的符号 __a>0__ __a<0__ 开口方向 __向上__ __向下__ 对称轴 直线　x＝－　 顶点坐标 　　 增减性 在对称轴的左侧，即当x<－时，y随x的增大而__减小__；在对称轴的右侧，即当x>－时，y随x的增大而__增大__，简记为“左减右增” 在对称轴的左侧，即当x<－时，y随x的增大而__增大__；在对称轴的右侧，即当x>－时，y随x的增大而__减小__，简记为“左增右减” 最值 抛物线有最低点，当x＝－时，y有最__小__值，y最小值＝ 抛物线有最高点，当x＝－时，y有最__大__值，y最大值＝ 二次项 系数a 的特性 |a|的大小决定抛物线的开口大小，|a|越__大__，抛物线的开口越小；|a|越__小__，抛物线的开口越大 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的图象与字母系数的关系 (1)a的符号决定抛物线的开口方向，当a>0时，开口__向上__；当a<0时，开口__向下__. (2)当a，b同号时，对称轴在y轴__左侧__；当a，b异号时，对称轴在y轴__右侧__；当b＝0时，对称轴是__y__轴． (3)c的符号确定抛物线与y轴的交点位置．当c>0时，抛物线与y轴的交点在y轴的__正半轴__；当c<0时，抛物线与y轴的交点在y轴的__负半轴__；当c＝0时，抛物线经过__原点__. 　二次函数图象的平移 二次函数图象的平移规律为“上__加__下__减__，左__加__右__减__”． 　二次函数与方程、不等式的关系 1．二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程的解是其对应的二次函数的图象与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的Δ＝b2－4ac，在二次函数中表示图象与x轴是否有交点． (1)当Δ>0时，图象与x轴有__两个交点__； (2)当Δ＝0时，图象与x轴有__一个交点__； (3)当Δ<0时，图象与x轴__没有交点__. 2．二次函数与一元二次不等式的关系 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)在x轴__上方__的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有取值就是不等式ax2＋bx＋c>0的解集；在x轴__下方__的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有取值就是不等式ax2＋bx＋c<0的解集. 　二次函数的图象和性质 [例1] (2024·十堰模拟)已知抛物线y＝x2－4x＋5，下列结论错误的是(　D　) A．抛物线的开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x＝2 C．抛物线的顶点坐标为(2,1) D．当x≥－2时，y的值随x值的增大而增大 [例2] 已知二次函数y＝x2－4x＋3，则它的最小值为(　A　) A．－1 B．－ C． D．1 [变式] 本例2条件不变 (1)当－1≤x≤0时，二次函数的最小值为__3__，最大值为__8__. (2)当1≤x≤5时，二次函数的最小值为__－1__，最大值为__8__. (3)当a≤x≤a＋1时，二次函数的最小值为0，则a的值为__0或3__. (4)当－1≤x≤1时，二次函数y＝x2－4tx＋3的最小值为－2，则t的值为　－或　. 已知y＝a(x－h)2＋k，a>0，x1≤x≤x2. (1)x2<h或x1>h时，如图①②，最值在x＝x1，x＝x2处取得． (2)x1≤h≤x2时，如图③，最小值在x＝h处取得，最大值在离对称轴最远的端点处取得． 　　 若自变量取值范围含参或解析式含参时，一般要分类讨论对称轴h和自变量取值范围x1≤x≤x2的相对位置关系． 　二次函数的图象与字母系数的关系 [例3] (1)(2024·湖北)抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为(－1，－2)，抛物线与y轴的交点位于x轴上方．以下结论正确的是(　C　) A．a<0 B．c<0 C．a－b＋c＝－2 D．b2－4ac＝0 (2)(2024·十堰模拟)抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为A(2，m)，且经过点B(5,0)，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①ac<0；②a－b＋c>0；③m＋9a＝0；④若此抛物线经过点C(t，n)，则t＋4一定是方程ax2＋bx＋c＝n的一个根．其中所有正确结论的序号是(　B　) A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 　二次函数的图象的平移规律 [例4] 把抛物线y＝－2x2向右平移2个单位长度，则平移后所得抛物线的解析式为__y＝－2(x－2)2__. [变式] (1)把抛物线y＝－2x2向上平移2个单位长度，则平移后所得抛物线的解析式为__y＝－2x2＋2__. (2)把抛物线y＝－2x2先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得抛物线的解析式为__y＝－2(x－2)2＋2__. (3)若抛物线y＝－2x2保持不动，将x轴向上平移1个单位长度(y轴不动)，则在新坐标系下抛物线的解析式是__y＝－2x2－1__. 　求二次函数的解析式 [例5] (1)(九上教材P42T10(4)改编)已知二次函数的图象经过(1,2)，(3,0)，(－2,20)三点，则该函数解析式为(　D　) A．y＝－x2－5x＋6 B．y＝x2＋5x＋6 C．y＝－x2＋5x＋6 D．y＝x2－5x＋6 (2)顶点为M(－2,1)，且图象经过原点的二次函数解析式是(　B　) A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝－(x＋2)2＋1 C．y＝(x＋2)2＋1 D．y＝(x－2)2＋1 (3)二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，则这个二次函数的表达式为(　D　) A．y＝－x2＋2x＋3 B．y＝x2＋2x＋3 C．y＝－x2＋2x－3 D．y＝－x2－2x＋3 1．(2024·广西)将抛物线y＝x2先向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线是(　A　) A．y＝(x－2)2＋5 B．y＝(x＋2)2＋5 C．y＝(x－2)2－5 D．y＝(x＋2)2－5 2．已知抛物线y＝x2－2x－1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为(　D　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 3．(2024·凉山)抛物线y＝(x－1)2＋c经过(－2，y1)，(0，y2)，三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是(　D　) A．y1>y2>y3 B．y2>y3>y1 C．y3>y1>y2 D．y1>y3>y2 4．(2024·云南模拟)下列关于二次函数y＝－(3x－2)2＋5的说法正确的是(　A　) A．顶点坐标为 B．对称轴为直线x＝ C．函数y的最小值为5 D．图象与x轴没有交点 5．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，点B位于(4,0)，(5,0)之间，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，则下列结论正确的是(　D　) A．b＝4a B．4a＋b＋c＜0 C．a－b＋c＞0 D．m(am＋b)≤4a＋2b(其中m为任意实数) 6．(2024·十堰模拟)抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于点A(－1,0)，B(3,0)，交y轴的负半轴于点C，顶点为D.下列结论：①2a＋b＝0；②2c<3b；③当m为任意实数时，a＋b<am2＋bm；④方程cx2＋bx＋a＝0的两个根为x1＝－1，x2＝；⑤抛物线上有两点P(x1，y1)和Q(x2，y2)，若x1<1<x2，且x1＋x2>2，则y1<y2.其中正确的有(　B　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3经过点M(－2,3)． (1)求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； (2)当－3≤x≤0时，直接写出y的取值范围； (3)当y≥3时，请根据图象直接写出x的取值范围． 解：(1)将M(－2,3)代入y＝－x2＋mx＋3，得3＝－(－2)2－2m＋3，解得m＝－2， ∴y＝－x2－2x＋3，∴y＝－(x2＋2x＋1－1)＋3，∴y＝－(x＋1)2＋4， ∴此抛物线的顶点坐标为(－1,4)． (2)由(1)可知抛物线的顶点坐标为(－1,4)，对称轴为直线x＝－1， 当x＝－3时，y＝－(－3＋1)2＋4＝0， ∴当－3≤x≤0时，y的取值范围为0≤y≤4. (3)由抛物线的图象知， ∵点M(－2,3)关于对称轴x＝－1的对称点为N(0,3)， ∴当y≥3时，x的取值范围是－2≤x≤0. 学科网（北京）股份有限公司 $$