第1部分 第3章 第11节 反比例函数（word教参）-【中考复习指南】2025年湖北新中考数学

第11节　反比例函数 1．结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式；能利用反比例函数解决简单实际问题． 2．能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式y＝(k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况． 　反比例函数的概念和表达形式 1．概念：一般地，形如y＝　　(k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数．自变量x的取值范围是__不为0__的一切实数． 2．表达形式：　y＝　或__y＝kx－1__或__xy＝k__(k为常数，k≠0)． 　反比例函数的图象和性质 函数 y＝(k≠0) k的符号 k>0 k<0 图象 象限 分布在__第一、三__象限 分布在__第二、四__象限 范围 x≠0，y≠0 增减性 在每个象限内，y随x的增大而__减小__ 在每个象限内，y随x的增大而__增大__ 渐近 趋势 左、右方向无限接近x轴，上、下方向无限接近y轴，但与坐标轴永不相交 对称性 既是__轴__对称图形，又是__中心__对称图形，两条对称轴为直线y＝__±x__，对称中心是__坐标原点__ 　比例系数k的几何意义 反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象是双曲线，过双曲线上任意一点P(x，y)，作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则S矩形PMON＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|＝2S△PMO＝2S△PNO，是一个定值，与点P在双曲线上的位置无关，同时要注意它的演变图形． 　反比例函数解析式的确定 1．待定系数法求解析式 (1)设反比例函数解析式为　y＝(k≠0)　. (2)找出满足反比例函数解析式的点P(a，b)． (3)将点P(a，b)代入解析式求出k的值． (4)确定反比例函数解析式为y＝　　. 2．利用比例系数k的几何意义求解析式 若题中已知某反比例函数图象上一点到坐标轴的垂线与坐标轴所围成的图形的面积，由面积得|k|，再结合图象所在象限确定k的符号，从而确定k的值，代入解析式即可． 　反比例函数的应用 1．反比例函数应用题的解题步骤 (1)根据实际情况建立反比例函数模型； (2)利用待定系数法或其他公式等确定函数解析式； (3)根据反比例函数的图象和性质解决实际问题． 2．实际问题中常见的反比例函数关系 (1)行程问题：速度＝(路程一定)． (2)工程问题：工作效率＝(工作量一定)． (3)压强问题：压强＝(压力一定)． (4)电学问题：电阻＝(电压一定)． 　反比例函数的图象和性质 [例1] (2024·武汉四调)点A(x1，y1)，B(x2，y2)在反比例函数y＝的图象上，下列推断正确的是(　C　) A．若x1<x2，则y1<y2 B．若x1<x2，则y1>y2 C．若x1＋x2＝0，则y1＋y2＝0 D．存在x1＝x2，使得y1≠y2 [例2] 若点A(－1，a)，B(1，b)，C(2，c)在反比例函数y＝的图象上，则a，b，c的大小关系是(　B　) A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b 　系数k的几何意义及解析式的确定 [例3] (1)如图，在函数y＝(x>0)的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数y＝－(x<0)的图象于点B，连接OA，OB，则△AOB的面积是(　B　) A．3 B．5 C．6 D．10 (2)(2024·合肥三模)如图，把一块直角三角板(∠ABO＝30°)的直角顶点O放在坐标原点处，顶点A在函数y1＝－的图象上，顶点B在函数y2＝的图象上，则k＝__3__. 　反比例函数的实际应用 [例4] (1) 河南是中原粮仓，粮食的水分含量是评价粮食品质的重要指标，粮食水分检测对粮食的收购、运输、储存等都具有十分重要的意义．其中，电阻式粮食水分测量仪的内部电路如图甲所示，将粮食放在湿敏电阻R1上，使R1的阻值发生变化，其阻值随粮食水分含量的变化关系如图乙所示．观察图象，下列说法不正确的是(　D　) A．当没有粮食放置时，R1的阻值为40 Ω B．R1的阻值随着粮食水分含量的增大而减小 C．该装置能检测的粮食水分含量的最大值是12.5% D．湿敏电阻R1与粮食水分含量之间是反比例关系 (2) 如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段(测速区间)上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v(km/h)与行驶时间t(h)是反比例函数关系(如图2)．已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120 km/h，最低车速不得低于60 km/h，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是(　B　) 　 A．0.1 h B．0.35 h C．0.45 h D．0.5 h 　反比例函数与一次函数结合 [例5] (2024·武汉二模)已知直线y＝kx＋2与y轴交于点A，与双曲线y＝相交于B，C两点，若AB＝3AC，则k的值为　1或－　. [例6] (2024·湖北)(8分)如图，一次函数y＝x＋m的图象与x轴交于点A(－3,0)，与反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象在第一象限的部分交于点B(n,4)． (1)求m，n，k； (2)若C是反比例函数y＝在第一象限的图象上的点，且△AOC的面积小于△AOB的面积，直接写出点C的横坐标a的取值范围． 解：(1)∵一次函数y＝x＋m的图象经过点A(－3,0)， ∴－3＋m＝0，∴m＝3. ∵一次函数y＝x＋3的图象经过点B(n,4)，∴n＋3＝4，∴n＝1. ∵反比例函数y＝的图象经过点B(1,4)，∴k＝4. (2)a>1. 答题规范：本题第一问是分步骤给分，第一步是将点A的坐标代入一次函数解析式中，求出m的值，第二步是将点B的坐标代入求得的一次函数解析式中，求得n的值，第三步是将求得的点B的坐标代入反比例函数解析式中，求出k的值，每一步都是2分；而第二问则需要观察图象，根据反比例函数的性质得到结果． [例7] 如图，已知一次函数y1＝kx＋b与反比例函数y2＝的图象在第一、三象限分别交于A(6,1)，B(a，－3)两点，连接OA，OB. (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求△AOB的面积； (3)直接写出y1>y2时x的取值范围． 解：(1)把A(6,1)代入反比例函数y2＝得m＝6，∴反比例函数的解析式为y2＝. ∵点B(a，－3)在反比例函数y2＝的图象上， ∴－3a＝6，解得a＝－2，∴B(－2，－3)， ∵一次函数y1＝kx＋b的图象经过点A和B， ∴解得 ∴一次函数的解析式为y1＝x－2. (2)∵A(6,1)，B(－2，－3)，一次函数的解析式为y1＝x－2， 令y＝0，解得x＝4，即一次函数图象与x轴的交点为(4,0)，∴S△AOB＝×4×(1＋3)＝8. (3)x的取值范围是－2＜x＜0或x＞6. 反比例函数与一次函数结合的常见考查类型 (1)求函数解析式，一般根据一个已知交点的坐标求得反比例函数的解析式，再由反比例函数的解析式求得另一个交点的坐标或根据题意求得另一点过一次函数图象的坐标，最后将这两个点的坐标分别代入一次函数的解析式中求解即可． (2)求不等式的解集，实质是已知两函数的大小，判断自变量的取值范围，只需以交点为界限，观察交点左、右两侧的两函数图象上、下的位置关系，从而得出自变量的取值范围． (3)求图形面积，要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长． 1．(2024·重庆B)反比例函数y＝－的图象一定经过的点是(　B　) A．(1,10) B．(－2,5) C．(2,5) D．(2,8) 2．如图，点A是反比例函数y＝(x＞0)图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，已知S△AOB＝2，则k的值为(　C　) A．2 B．－2 C．4 D．－4 3．如图，一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝(k>0)的图象交于点A(1,2)，B(m，－1)，则ax＋b>的解集是(　C　) A．x<－2或0<x<1 B．x<－1或0<x<2 C．－2<x<0或x>1 D．－1<x<0或x>2 4．(2024·宜宾)如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点A，B及AC的中点M，BC∥x轴，AB与y轴交于点N，则的值为(　B　) A． B． C． D． 5．(2024·十堰一模)如图，点A在反比例函数y＝(x>0)的图象上，AB⊥y轴于点B，且OB＝2AB＝4，则这个反比例函数的解析式为　y＝　. 6．(2024·眉山)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝(x>0)的图象交于点A(1,6)，B(n,2)，与x轴，y轴分别交于C，D两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若点P在y轴上，当△PAB的周长最小时，请直接写出点P的坐标； (3)将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，当EF＝AB时，求a的值． 解：(1)∵一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝(x>0)的图象交于点A(1,6)，B(n,2)， ∴＝6，∴m＝6， ∴反比例函数的解析式为y＝， 把B(n,2)代入y＝，得2＝， ∴n＝3，∴B(3,2)， 把A(1,6)，B(3,2)代入y＝kx＋b，得解得 ∴一次函数的解析式为y＝－2x＋8. (2)如图，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于P， 此时△PAB的周长最小， ∵点A(1,6)，∴A′(－1,6)， 设直线BA′的解析式为y＝cx＋d， ∴解得 ∴直线BA′的解析式为y＝－x＋5， 当x＝0时，y＝5， ∴点P的坐标为(0,5)． (3)将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点， ∴直线EF的解析式为y＝－2x＋8－a， ∴E，F(0,8－a)， ∵EF＝AB，∴＝×，解得a＝6或a＝10. 学科网（北京）股份有限公司 $$