第1部分 第3章 第10节 一次函数及其应用（word教参）-【中考复习指南】2025年湖北新中考数学

第10节　一次函数及其应用 1．结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；会运用待定系数法确定一次函数的表达式．能用一次函数解决简单的实际问题． 2．能画一次函数的图象，根据图象和表达式y＝kx＋b(k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况；理解正比例函数(新增)． 3．体会一次函数和二元一次方程的关系． 　一次函数的概念、图象和性质 1．概念：一般地，把形如y＝__kx＋b__(k，b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b＝__0__时，函数y＝__kx__(k为常数，k≠0)叫做正比例函数． 2．图象和性质 (1)正比例函数 y＝kx(k≠0)的图象是经过__原点__的一条直线；一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象是经过(　－　,0)，(0，__b__)两点的一条直线． (2)一次函数的图象所在的象限由k，b的符号决定． (3)性质：当k>0时，从左到右看图象呈上升趋势，y随x的增大而__增大__；当k<0时，从左到右看图象呈下降趋势，y随x的增大而__减小__. 　一次函数图象的平移 1．平移规律为“左__加__右__减__，上__加__下__减__”． 2．当两直线的解析式中的k值相等且b不相等时，其位置关系是__平行__，其中一条直线可以看作由另一条直线__平移__得到． 　用待定系数法求一次函数的解析式 1．待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得到函数解析式的方法． 2．待定系数法的一般步骤 (1)设一次函数解析式的一般形式为__y＝kx＋b(k≠0)__； (2)找出满足一次函数解析式的两点，将这两点的坐标代入所设的解析式中，得到关于__k__和__b__的方程(组)； (3)解方程(组)，求出待定系数__k__和__b__的值． (4)将求得的待定系数的值代入所设的解析式． 3．常见类型 (1)已知两点坐标确定解析式； (2)已知两对函数对应值确定解析式； (3)通过平移规律确定解析式． 　一次函数与方程、不等式的关系 1．如图1，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交点A(x1，0)的__横__坐标的值⇔方程kx＋b＝0的解，即x＝__x1__. 图1　 图2 2．如图2，一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2的图象交点B(x2，y2)的横、纵坐标的值⇔方程组的解，即 3．从“数”上看 (1)一次函数y＝kx＋b中，y__>__0时x的取值范围⇔一元一次不等式kx＋b>0的解集； (2)一次函数y＝kx＋b中，y__<__0时x的取值范围⇔一元一次不等式kx＋b<0的解集． 4．从“形”上看 (1)一次函数y＝kx＋b的图象位于x轴__上方__部分对应的点的横坐标的取值范围⇔一元一次不等式kx＋b>0的解集； (2)一次函数y＝kx＋b的图象位于x轴__下方__部分对应的点的横坐标的取值范围⇔一元一次不等式kx＋b<0的解集． 5．(1)不等式k1x＋b1>k2x＋b2的解集⇔y＝k1x＋b1的图象在y＝k2x＋b2的图象上方时，对应的x的取值范围； (2)不等式k1x＋b1<k2x＋b2的解集⇔y＝k1x＋b1的图象在y＝k2x＋b2的图象下方时，对应的x的取值范围． 　一次函数的实际应用 一次函数在现实生活中有着广泛的应用，在解答一次函数的应用题时： (1)应从给定的信息中抽象出一次函数关系，厘清哪个是自变量，哪个是自变量的函数； (2)再利用一次函数的图象与性质求解，同时要注意自变量的取值范围； (3)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的自变量x的范围是全体实数，图象是直线，因此没有最大值与最小值．但由实际问题得到的一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限制，其图象可能是线段或射线，结合函数图象的性质，就存在最大值或最小值. 　一次函数的图象和性质 [例1] (1)一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)满足kb<0，则它的图象可以是(　D　) A B C D (2)(2024·武汉二模)如果一个正比例函数y＝kx的图象经过不同象限的两点(－2，m)，(n,2)，那么一定有(　D　) A．m>0，n>0 B．m<0，n<0 C．m>0，n<0 D．m<0，n>0 [例2] (1)(2024·襄阳一模)在一次函数y＝(m＋2)x－4中，y随x的增大而增大，则m的取值范围是__m＞－2__. (2)一次函数y＝kx－1的函数值y随x的增大而减小，当x＝2时，写出一个符合条件的y的值为__－3(答案不唯一)__. 　一次函数的解析式 [例3] (1)(2024·武汉模拟)如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．根据最近人体构造学的研究成果表明，一般情况下人的身高h是指距d的一次函数．下表是测得的指距与身高的一组数据： 指距d(cm) 20 21 22 23 身高h(cm) 160 169 178 187 根据上表解决下面这个实际问题：姚明的身高是226厘米，他的指距约为(　D　) A．26.8厘米 B．26.9厘米 C．27.5厘米 D．27.3厘米 (2)已知一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象经过点(2,5)，且y随x的增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式：__y＝x＋3(答案不唯一)__. 　一次函数与方程(组)、不等式(组)的关系 [例4] (1)(2024·天津模拟)如图，直线y1＝kx＋6与直线y2＝mx－2交于点P(－2,3)，则关于x的不等式kx＋6>mx－2的解集是(　A　) A．x>－2 B．x>3 C．x<3 D．x<－2 (2)(2024·湖北模拟)一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与x轴交于点(2 024,0)，与y轴交于点(0，－2 025)，则关于x的方程ax＋b＝0的解为x＝__2_024__. 　一次函数的实际应用 [例5] (2024·天津)已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家0.6 km，文化广场离家1.5 km.张华从家出发，先匀速骑行了4 min到画社，在画社停留了15 min，之后匀速骑行了6 min到文化广场，在文化广场停留6 min后，再匀速步行了20 min返回家．图象中x表示时间，y表示离家的距离，图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张华离开家的时间/min 1 4 13 30 张华离家的距离/km 0.6 ②填空：张华从文化广场返回家的速度为________km/min； ③当0≤x≤25时，请直接写出张华离家的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当张华离开家8 min时，他的爸爸也从家出发匀速步行了20 min直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中(0.6<y<1.5)两人相遇时离家的距离是多少？(直接写出结果即可) 解：(1)①0.15,0.6,1.5. ②0.075. ③当0≤x≤4时，y＝0.15x； 当4<x≤19时，y＝0.6； 当19<x≤25时，y＝0.15x－2.25. (2)张华爸爸的速度为 1.5÷20＝0.075(km/min)， 设张华爸爸距家y′ km， 则y′＝0.075(x－8)＝0.075x－0.6， 当两人从画社到文化广场的途中(0.6<y<1.5)两人相遇时， 有0.15x－2.25＝0.075x－0.6，解得x＝22， ∴y′＝0.075x－0.6＝0.075×22－0.6＝1.05 km， 故从画社到文化广场的途中(0.6<y<1.5)两人相遇时离家的距离是1.05 km. [例6] (2024·云南)A，B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．某超市销售A，B两种型号的吉祥物，有关信息见下表： 成本(单位：元/个) 销售价格(单位：元/个) A种型号 35 a B种型号 42 b 若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，则一共需要410元． (1)求a，b的值； (2)若某公司计划从该超市购买A，B两种型号的吉祥物共90个，且购买A种型号吉祥物的数量x(单位：个)不少于B种型号吉祥物数量的，又不超过B种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为y元，求y的最大值． 注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差． 解：(1)由题意知解得 (2)∵购买A种型号吉祥物的数量为x个， 则购买B种型号吉祥物的数量为(90－x)个， ∵A种型号吉祥物的数量不少于B种型号吉祥物数量的， ∴x≥(90－x)，解得x≥， ∵A种型号吉祥物的数量又不超过B种型号吉祥物数量的2倍， ∴x≤2(90－x)，解得x≤60，即≤x≤60， 由题知y＝(40－35)x＋(50－42)(90－x)，整理得y＝－3x＋720， ∵y随x的增大而减小，x为正整数， ∴当x＝52时，y的最大值为y＝－3×52＋720＝564. 1．(2024·合肥三模)已知点(－3，y1)，(1，y2)，(－2，y3)都在直线y＝2x－1上，则y1，y2，y3的大小关系是(　C　) A．y2<y3<y1 B．y2<y1<y3 C．y1<y3<y2 D．y3<y2<y1 2．已知一次函数y＝kx－k(k≠0)的图象经过点(－1,4)，则该一次函数的图象不经过(　C　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3． 物理课上，王老师让同学们做这样的实验：在放水的盆中放入质地均匀的木块B，再在其上方放置不同质量的铁块A．已知木块B全程保持漂浮状态，通过测量木块B漏出水面的高度h(mm)与铁块A的质量x(g)，可得它们之间满足一次函数关系，记录数据如下，据此可知当铁块A的质量为60 g时，木块B漏出水面的高度h为(　B　) 　 实验次数 一 二 三 铁块A的质量x/g 25 50 75 高度h/mm 45 40 35 A．39 mm B．38 mm C．37 mm D．36 mm 4．(2024·达州)为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A，B两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种柑橘礼盒比B品种柑橘礼盒的售价少20元，且出售25件A品种柑橘礼盒和15件B品种柑橘礼盒的总价共3 500元． (1)求A，B两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ (2)已知加工A，B两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元，该乡镇计划在某农产品展销活动中售出A，B两种柑橘礼盒共1 000盒，且A品种柑橘礼盒售出的数量不超过B品种柑橘礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54 050元．要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A，B两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 解：(1)设A，B两种柑橘礼盒每件的售价分别为a元，b元， 根据题意得解得 答：A，B两种柑橘礼盒每件的售价分别为80元，100元． (2)设售出A种柑橘礼盒x盒，则售出B种柑橘礼盒(1 000－x)盒， 根据题意得 解得595≤x≤600. 设收益为y元，根据题意得，y＝(80－50)x＋(100－60)(1 000－x)＝－10x＋40 000， ∵－10<0，∴y随x的增大而减小， ∴当x＝595时，y取得最大值，最大值为－10×595＋40 000＝34 050(元)， ∴售出B种柑橘礼盒1 000－595＝405(盒)． 答：要使农户收益最大，销售方案为售出A种柑橘礼盒595盒，售出B种柑橘礼盒405盒，最大收益为34 050元． 学科网（北京）股份有限公司 $$