第1部分 第2章 第7节 分式方程及其应用（word教参）-【中考复习指南】2025年湖北新中考数学

第7节　分式方程及其应用 1．能解可化为一元一次方程的分式方程． 2．能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性． 　分式方程的概念及其解法 1．概念：分母里含有__未知数__的方程叫做分式方程． 2．解法 (1)去分母：方程的两边都乘__最简公分母__，化成整式方程． (2)解方程：解这个整式方程，得__整式方程__的解． (3)检验：把整式方程的解代入__最简公分母__，看其值是否为0. (4)结论：如果最简公分母__不等于__0，那么整式方程的解是原__分式方程__的解；否则，这个解不是原分式方程的解． 3．增根与无解：分式方程无解有两种情况：一是去分母后整式方程__无解__，所以该分式方程无解；二是去分母后整式方程有解，但是这个解使最简公分母为__零__，分式无意义，所以该分式方程无解，这个整式方程的解叫做分式方程的增根． 　分式方程的应用 1．列分式方程解应用题的一般步骤 注意：分式方程验证时要双检验：(1)检验是否是分式方程的__解__；(2)检验是否符合__题意或生活实际__. 2．常见类型 (1)工程问题 (2)销售问题：折扣数＝×10； (3)行程问题：时间＝. 　分式方程的解法 [例1] (1)将关于x的分式方程＝去分母可得(　A　) A．3x－3＝2x B．3x－1＝2x C．3x－1＝x D．3x－3＝x (2)(2024·德阳)分式方程＝的解是(　D　) A．3 B．2 C． D． [例2] (2024·福建)(4分)解方程：＋1＝. 解：方程两边都乘(x＋2)(x－2)， 得3(x－2)＋(x＋2)(x－2)＝x(x＋2)， 去括号得3x－6＋x2－4＝x2＋2x， 解得x＝10. 经检验，x＝10是原方程的根． 答题规范：解分式方程时，先去分母，将分式方程化为整式方程，解这个整式方程，检验解是否为增根，最后下结论． 　分式方程解的应用 [例3] (2024·遂宁)分式方程＝1－的解为正数，则m的取值范围为(　B　) A．m>－3 B．m>－3且m≠－2 C．m<3 D．m<3且m≠－2 思维导引：先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键． 　分式方程的应用 [例4] (2024·达州)甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x个零件，可列方程为(　D　) A．－＝30 B．－＝30 C．－＝ D．－＝ [例5] (2024·扬州)为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A，B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？ 解：设B型机器每天处理x吨垃圾， 则A型机器每天处理(x＋40)吨垃圾， 根据题意，得＝， 解得x＝60. 经检验，x＝60是所列方程的解． 答：B型机器每天处理60吨垃圾． 1．(2024·齐齐哈尔)如果关于x的分式方程－＝0的解是负数，那么实数m的取值范围是(　A　) A．m＜1且m≠0 B．m＜1 C．m＞1 D．m＜1且m≠－1 2．(2024·广元)我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A，B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6 750元购买的A种绿植比用3 000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是(　C　) A．－50＝ B．－50＝ C．＋50＝ D．＋50＝ 3．(2024·无锡模拟)若关于x的分式方程－＝0有增根，则m的值是__3__. 4．(2024·北京)方程＋＝0的解为__x＝－1__. 5．(2024·威海)某公司为节能环保，安装了一批A型节能灯，一年用电16 000千瓦·时．后购进一批相同数量的B型节能灯，一年用电9 600千瓦·时．一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦·时．求一盏A型节能灯每年的用电量． 解：设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦·时，则一盏A型节能灯每年的用电量为(2x－32)千瓦·时，根据题意，得＝， 整理得5x＝3(2x－32)，解得x＝96， 经检验，x＝96是原分式方程的解． 则2x－32＝160(千瓦·时)． 答：一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦·时． 6．(2024·重庆A)为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代． (1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ (2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 解：(1)设该企业甲类生产线有x条， 则乙类生产线有(30－x)条， 则3x＋2(30－x)＝70，解得x＝10， 则30－x＝20. 答：该企业甲类生产线有10条，乙类生产线有20条． (2)设购买更新1条甲类生产线的设备为m万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为(m－5)万元，则＝，解得m＝50， 经检验，m＝50是原方程的根，且符合题意，则m－5＝45， 则还需要更新设备费用为10×50＋20×45－70＝1 330(万元)． 答：还需投入1 330万元更新生产线的设备． 学科网（北京）股份有限公司 $$