第1部分 第2章 第6节 一元二次方程及其应用（word教参）-【中考复习指南】2025年湖北新中考数学

第6节　一元二次方程及其应用 1．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程． 2．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等． 3．了解一元二次方程的根与系数的关系(由选学内容调整为必学内容)． 4．能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性(调整)． 　一元二次方程的有关概念 1．定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程． 2．一般形式：__ax2＋bx＋c__＝0(a，b，c是常数，a≠0)，其中ax2是二次项，a为二次项系数；bx是一次项，b为一次项系数；c为常数项． 3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边__相等__的未知数的值． 　一元二次方程的解法 解法 形式 方程的根 直接开平方法 ax2＋c＝0(a≠0，ac<0) 　x＝±　 (mx＋n)2＝p(m≠0，p≥0) 　x＝　 配方法 可化为(x－m)2＝n(n≥0) 　x＝m±　 公式法 ax2＋bx＋c＝0(a≠0且Δ＝b2－4ac≥0) 　x＝　 因式分解法 x(ax＋b)＝0(a≠0) 　x1＝0，x2＝－　 (ax＋b)(cx＋d)＝0(ac≠0) 　x1＝－，x2＝－　 　一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1．一元二次方程根的判别式 (1)定义：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用“Δ”表示． (2)与根的关系 ①Δ>0⇔方程有两个__不相等__的实数根． ②Δ＝0⇔方程有两个__相等__的实数根． ③Δ<0⇔方程__没有__实数根． 2．一元二次方程根与系数的关系：如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝　－　，x1x2＝　　. 3．根与系数的关系求值时的前提和有关变形 前提是Δ＝b2－4ac≥0； 相关变形：(1)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2. (2)＋＝. (3)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2. (4)(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1. (5)＋＝＝. (6)|x1－x2|＝. 　一元二次方程的应用 1．解决实际问题的步骤 2．常见类型 (1)平均增长率(下降率)问题：增长率＝增长量÷基础量×100%. 设a为初始量，当m为平均增长率，2为增长次数，b为增长后的量时，__a(1＋m)2__＝b；当m为下降率，2为下降次数，b为下降后的量时，__a(1－m)2__＝b. (2)传播问题(与增长率类似)：若开始数量为a，每轮感染的数量为x，经2轮感染后的总数量为b，则有__a(1＋x)2__＝b. (3)赛制问题(握手问题)：单循环赛，n支球队总比赛次数为　　；双循环赛，n支球队总比赛次数为__n(n－1)__. (4)面积问题：如图1，设空白部分宽为x，则有S阴影＝__(a－2x)(b－2x)__；如图2,3,4，设空白部分宽为x，则有S阴影＝__(a－x)(b－x)__. 　　　　　　　　　 图1　　　　　　　　　　　　　　图2 　　　　　　　　　 图3　　　　　　　　　　　　　　图4 　一元二次方程的解法 [例1] (1)用配方法解方程x2－6x＋1＝0时，将方程化为(x－3)2＝a的形式，则a的值是__8__. [变式] 用配方法解方程x2－2x－1＝0时，配方后所得的方程是(　D　) A．(x＋1)2＝0 B．(x－1)2＝0 C．(x＋1)2＝2 D．(x－1)2＝2 (2)定义新运算：a⊗b＝例如：－2⊗4＝(－2)2－4＝0，2⊗3＝－2＋3＝1，若x⊗1＝－，则x的值为　－或　. 思维导引：根据新定义的运算，分x≤0和x>0两种情况讨论，列出对应方程求解即可． 　一元二次方程根的判别式 [例2] (1)(2024·上海)以下一元二次方程有两个相等实数根的是(　D　) A．x2－6x＝0 B．x2－9＝0 C．x2－6x＋6＝0 D．x2－6x＋9＝0 [变式] 若关于x的一元二次方程x2－6x＋c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为__9__. (2)(2024·广安)若关于x的一元二次方程(m＋1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是(　A　) A．m<0且m≠－1 B．m≥0 C．m≤0且m≠－1 D．m<0 　一元二次方程的解的意义、根与系数的关系 [例3] (1)(2024·凉山)若关于x的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根是x＝0，则a的值为(　A　) A．2 B．－2 C．2或－2 D． 思维导引：由一元二次方程的定义，可知a＋2≠0；一根是0，代入(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0可得a2－4＝0，即可求出答案． (2)已知m是方程x2＋4x－1＝0的一个根，则(m＋5)(m－1)的值为__－4__. 思维导引：根据m是方程x2＋4x－1＝0的一个根，可得出m2＋4m＝1，再化简代数式，整体代入即可求解． [例4] 若一元二次方程2x2－4x－1＝0的两根为m，n，则3m2－4m＋n2的值为__6__. 思维导引：根据根与系数的关系得m＋n＝2，mn＝－，2m2－4m＝1，再把3m2－4m＋n2变形为2m2－4m＋m2＋n2，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 　一元二次方程的应用 [例5] 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是(　C　) A．x·＝864 B．x(60＋x)＝864 C．x(60－x)＝864 D．x(30－x)＝864 [例6] (2024·大连三模)某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同． (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次． 解：(1)设进馆人次的月平均增长率为x， 由题意得128＋128(1＋x)＋128(1＋x)2＝608，化简得4x2＋12x－7＝0， 解得x＝0.5＝50%，x＝－3.5(舍去)． 答：进馆人次的月平均增长率为50%. (2)由于进馆人次的月平均增长率为50%， 则第四个月的进馆人次为128×(1＋50%)3＝432<500. 答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 1．有一个人患了流行性感冒，经过两轮传播后，共有196人患流行性感冒，则每轮传染中平均一人感染的人数是(　B　) A．14 B．13 C．12 D．11 2．(2024·扬州三模)为增强学生身体素质，提高学生篮球运动竞技水平，我市开展“市长杯”篮球比赛，赛制为单循环形式(每两队之间赛一场)，现计划赛程3天，每天安排5场比赛，则应邀请__6__个球队参赛． 3．(2024·重庆模拟)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2 100元，每件衬衫应降价多少元？设每件衬衫应降价x元，根据题意，所列方程为__(45－x)(20＋4x)＝2_100__. 4．(2024·成都)若m，n是一元二次方程x2－5x＋2＝0的两个实数根，则m＋(n－2)2的值为__7__. 5．(2024·凉山)已知y2－x＝0，x2－3y2＋x－3＝0，则x的值为__3__. 6．(2024·南充)已知x1，x2是关于x的方程x2－2kx＋k2－k＋1＝0的两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若k<5，且k，x1，x2都是整数，求k的值． 解：(1)∵x1，x2是关于x的方程x2－2kx＋k2－k＋1＝0的两个不相等的实数根，∴Δ>0， 即Δ＝(－2k)2－4×1×(k2－k＋1)＝4k2－4k2＋4k－4＝4k－4>0，解得k>1. (2)∵k<5，由(1)得k>1，∴1<k<5， ∴整数k的值有2,3,4， 当k＝2时，方程为x2－4x＋3＝0， 解得x1＝1，x2＝3(都是整数，此情况符合题意)； 当k＝3时，方程为x2－6x＋7＝0， 解得x＝3±(不是整数，此情况不符合题意)； 当k＝4时，方程为x2－8x＋13＝0， 解得x＝4±(不是整数，此情况不符合题意)． 综上所述，k的值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $$