第1部分 第2章 第5节 一次方程(组)及其应用（word教参）-【中考复习指南】2025年湖北新中考数学

第二章　方程(组)与不等式(组) 2024年湖北中考数学注重对方程(组)与不等式(组)的基本考查，揭示数学中最基本的数量关系(相等关系和不等关系)，侧重于培养学生的抽象能力、模型观念和运算能力等核心素养．考情分析如下： 题型 题号 分值 占比 难易程度 考点 核心素养 选择 5 3 2.5% 易 一元一次不等式的解法及表示 运算能力 选择 7 3 2.5% 中 二元一次方程组的应用 抽象能力、模型观念 解答 24(2) 4 3.3% 中 一元二次方程的应用 模型观念、运算能力 合计 10 8.3% 第5节　一次方程(组)及其应用 1．能根据现实情境理解方程的意义(新增)，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程(调整)． 2．掌握等式的基本性质；能解一元一次方程．掌握消元法(调整)，能解二元一次方程组． 3．能解简单的三元一次方程组(选学)．能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性(调整)． 　等式的概念和性质 1．等式的概念：用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式． 2．等式的基本性质 性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍__相等__，即如果a＝b，那么__a±c＝b±c__.__移项__是它在解方程中的应用． 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍__相等__，即如果a＝b，那么__ac＝bc__；如果a＝b(c≠0)，那么　＝　.__去分母、系数化为1__是它在解方程中的应用． 　方程的有关概念 1．__含有未知数的等式__叫做方程． 2．__使方程左、右两边的值相等的未知数的值__叫做方程的解． 3．__求方程解的过程__叫做解方程． 　一元一次方程及其解法 1．一元一次方程 (1)定义：只含有__一__个未知数(元)，未知数的次数是__1__(系数不为0)的整式方程． (2)一般形式：__ax＋b＝0(a≠0)__. (3)方程一般形式的解：　x＝－　. 2．一元一次方程的解法步骤与注意事项 步骤 注意事项 去分母 不要__漏乘__不含分母的项 去括号 若括号前有负号，去括号后括号内的每一项都要__改变__符号 移项 移项要__变号__ 合并同类项 系数相加，字母及其指数均__不变__ 系数化为1 不要漏掉__符号__；不要颠倒分子、__分母__的位置 　二元一次方程(组) 1．二元一次方程(组)的相关概念 (1)二元一次方程：含有__两__个未知数，并且含有未知数的项的次数都是__1__的整式方程叫做二元一次方程． (2)二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值． (3)二元一次方程组：有__两__个未知数，含有未知数的项的次数都是__1__，并且一共有__两__个方程，这样的方程组叫做二元一次方程组． (4)二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的__公共解__. 2．解二元一次方程组的方法步骤 二元一次方程组__一元一次__方程．消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有__代入__消元法和__加减__消元法． 　一次方程(组)的实际应用 1．一次方程(组)实际应用的一般步骤 (1)审：弄清题意，分清题中的已知量、__未知量__； (2)设：设关键__未知数__，可以设直接未知数，也可以设间接未知数，并注意单位，对含有两个未知量的问题，需设两个未知数； (3)列：找出适当__等量关系__，列方程(组)； (4)解：解这个方程(组)，求出__未知数__的值； (5)验：检验方程(组)的解是否正确且是否符合__题意或生活实际__； (6)答：写出答案(包括__单位__名称)． 2．常见类型 常见类型 关系式 购买问题 总价＝单价×数量；甲单价×甲数量＋乙单价×乙数量＝总价；甲数量＋乙数量＝总数量 销售利润 问题 售价＝标价×折扣，销售额＝售价×销量，利润＝售价－进价＝进价×利润率，利润率＝，售价＝进价＋进价×利润率＝进价×(1＋利润率) 增长率 问题 增长前的量×(1＋增长率)＝增长后的量，减少前的量×(1－减少率)＝减少后的量 工程问题 工作总量(常设为“1”)＝工作效率×工作时间＝人均效率×人数×工作时间，甲、乙合作的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率 行程问题 基本量间的关系：路程＝速度×时间； 相遇问题(相向而行)：全路程＝速度和×相遇所用时间； 追及问题：(1)同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；(2)同时不同地出发：前者走的路程＋两者间的距离＝追者走的路程； 环形问题：(1)环形追及：快者路程－慢者路程＝环形周长；(2)环形相遇：甲路程＋乙路程＝环形周长； 航行问题：顺水速度＝静水速度＋水流速度，逆水速度＝静水速度－水流速度 　等式的性质 [例1] (1)(2024·襄阳期末)下列根据等式的性质变形不正确的是(　D　) A．由a＝b得a－2＝b－2 B．由a＝b得－2a＝－2b C．由a＝b得ac＝bc D．由ac＝bc得a＝b (2)若x＝2y(y≠0)，则＝__2__. 　一元一次方程及解法 [例2] 已知(a－1)x|a|＋2 024＝0是关于x的一元一次方程，则a＝__－1__. 思维导引：一元一次方程中未知数的次数为1，同时含未知数的项的系数不能为0. [例3] 关于x的一元一次方程2x＋a＝4的解为x＝1，则a的值是(　C　) A．－8 B．0 C．2 D．8 思维导引：把x＝1代入一元一次方程再进行求解即可． [例4] (2024·台州二模)以下是亮亮解方程－1＝x的解答过程． 解：去分母，得3x－1－1＝2x， 移项，得3x－2x＝1＋1， 合并同类项，得x＝2. 亮亮的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 解：亮亮的解答过程有错误，正确的解答过程为： 去分母，得3x－1－2＝2x， 移项，得3x－2x＝1＋2， 合并同类项，得x＝3. 　二元一次方程(组)及解法 [例5] (2024·河源一模)已知是二元一次方程组的解，则a－6b的值为__7__. 思维导引：将代入方程组，求出a和b的值，再代入所求代数式即可；也可以采用整体思想求解，用下面的方程减上面的方程即可得出答案． 　一次方程(组)的实际应用 [例6] (1) 《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程为(　A　) A． B． C． D． (2)(2024·宜宾)某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为(　C　) A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱 [例7] (2024·北京)(7分)为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段(以下简称“标准”)．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过35 mg/km，A，B两类物质排放量之和不超过50 mg/km.已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为92 mg/km.经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50%，B类物质排放量降低了75%，A，B两类物质排放量之和为40 mg/km，判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由． 解：设技术改进后该汽车的A类物质排放量为x mg/km， 则B类物质排放量为(40－x)mg/km， 由题意得＋＝92， 解得x＝34， ∵34<35， ∴这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”． 答题规范：一次方程(组)的实际应用，选设合适的未知数，根据题中的相等关系列方程，解方程，最后根据解的实际意义进行作答． 1．关于x，y的方程组的解满足x＋y＝－4，则4m÷2n的值是(　B　) A．8 B． C．6 D．－6 2．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是(　D　) A．5天 B．10天 C．15天 D．20天 3．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为x，琎价为y，则可列方程组为(　B　) A． B． C． D． 4．(2024·苏州改编)方程组的解为　　. 5．(2024·连云港)我市将5月21日设立为连云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”．活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念品．折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如下表所示： 邮购数量 1～99 100以上(含100) 邮寄费用 总价的10% 免费邮寄 折扇价格 不优惠 打九折 若两次邮购折扇共花费1 504元，求两次邮购的折扇各多少把？ 解：若每次购买都是100把， 则200×8×0.9＝1 440≠1 504. ∴一次购买少于100把，另一次购买多于100把． ∴设一次邮购折扇x(x<100)把，则另一次邮购折扇(200－x)把． 由题意得8x(1＋10%)＋0.9×8(200－x)＝1 504，解得x＝40. ∴200－x＝200－40＝160. 答：两次邮购的折扇分别是40把和160把． 学科网（北京）股份有限公司 $$