第1部分 第1章 第2节 整式与因式分解（word教参）-【中考复习指南】2025年湖北新中考数学

第2节　整式与因式分解 1．能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；会把具体数代入代数式进行计算(调整)． 2．理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运算(多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法)． 3．理解(调整)完全平方公式、平方差公式，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理(新增)． 4．能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数为正整数)．了解代数推理(新增)． 　代数式及求代数式的值 1．代数式：用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的__字母__连接起来的式子，叫做代数式．把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． 2．求代数式的值：用__数__代替字母，并按照运算关系求出结果． 　整式的相关概念 1．单项式 (1)定义：数或字母的__积__；单独的一个数或字母也是单项式． (2)系数：单项式中的__数字因数__. (3)次数：单项式中所有__字母的指数__的和． 2．多项式 (1)定义：几个单项式的__和__. (2)项：多项式里，每个单项式叫做多项式的__项__.不含字母的项叫做常数项． [提醒] 指出多项式中的每一项时都要带中间的运算符号． (3)次数：多项式里，次数__最高项__的次数． 3．整式：__单项式__与__多项式__统称整式． 4．同类项：所含__字母__相同，并且　相同字母的指数　也相同的项．所有的常数项都是同类项． 　整式的运算 1．整式的加减 (1)合并同类项：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的__和__，且__字母连同它的指数__不变． (2)去括号法则：a＋(b＋c)a＋b＋c，a－(b＋c)__a－b－c__. (3)整式的加减运算的实质是__合并同类项__.一般地，几个整式相加减，如果有括号就先　去括号　，然后再__合并同类项__. 2．幂的运算 名称 运算法则 公式表示(m，n，p 都是整数) 同底数幂的乘法 底数不变，指数__相加__ am·an＝__am＋n__(a≠0) 同底数幂的除法 底数不变，指数__相减__ am÷an＝__am－n__(a≠0) 幂的乘方 底数不变，指数__相乘__ n＝__amn__(a≠0) 积的乘方 各因式乘方的__积__ (ambn)p＝__ampbnp__(ab≠0) 3．整式的乘法 (1)单项式乘单项式：把系数、同底数幂分别相乘作为积的一个__因式__，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的__指数__作为积的一个因式． (2)单项式乘多项式：用单项式分别去乘多项式的每一项，再把所得的积__相加__. (3)多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积__相加__. (4)乘法公式：平方差公式：(a＋b)(a－b)＝　a2－b2　；完全平方公式：(a±b)2＝__a2±2ab＋b2__. 4．整式的除法 (1)单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除作为商的__因式__，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的__指数__作为商的一个因式． (2)多项式除以单项式：先用多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商__相加__. 5．整式混合运算的顺序 先算__乘方__，再算__乘除__，最后算__加减__，同级运算按照从左到右的顺序计算． 　因式分解 1．定义：把一个多项式化成几个__整式__的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式因式分解． 2．基本方法 (1)提公因式法：ma＋mb＋mc＝__m(a＋b＋c)__. (2)公式法：a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__，a2±2ab＋b2＝__(a±b)2__. 3．一般步骤 [注意]因式分解必须分解到每一个多项式不能再分解为止. 　列代数式及其求值 [例1] (1)代数式－7x的意义可以是(　C　) A．－7与x的和 B．－7与x的差　 C．－7与x的积　 D．－7与x的商 (2)(2024·新疆)若每个篮球30元，则购买n个篮球需__30n__元． (3)(2024·广州)若a2－2a－5＝0，则2a2－4a＋1＝__11__. (4)若|3－a|＋＝0，则3a＋2b＝__13__. 思维导引：根据绝对值和算术平方根的非负性得出x和y的值，再代入所求代数式即可． 代数式求值的两种方法 (1)直接代入法：把已知字母的值代入代数式，并按原来的顺序计算求值． (2)整体代入法：观察已知条件和所求代数式的关系，将所求代数式变形后与已知代数式成倍分关系，把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中求值． 　整式的概念 [例2] (2024·随州期末改编)下列说法正确的是(　A　) A．2x2－3xy－1是二次三项式 B．－x＋1是单项式 C．－xy2的次数是2，系数为0 D．－2ab2是二次单项式 　整式的运算 [例3] (1)(2024·湖北)计算2x·3x2的结果是(　D　) A．5x2 B．6x2 C．5x3 D．6x3 (2)(2024·成都模拟)下列运算正确的是(　C　) A．(－2a)2＝－4a2 B．3m＋2m＝5m2 C．(2－a)2＝a2＋4－4a D．(2m－n)(2m＋n)＝4m2＋n2 [例4] (2024·益阳三模)先化简，再求值：2(3x2y－xy2)－3(－xy2＋2x2y)，其中x＝3，y＝－2. 思维导引：去括号时，括号前面是减号，注意改变括号里每一项的符号． 解：原式＝6x2y－2xy2＋3xy2－6x2y＝xy2； 当x＝3，y＝－2时，原式＝3×(－2)2＝12. 　因式分解 [例5] (1)(2024·济宁二模)下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是(　D　) A．(a＋1)(a－1)＝a2－1 B．a2－2a＋3＝a(a－2)＋3 C．x2·5x＝5x3 D．4x2－4x＋1＝(2x－1)2 (2)(2024·兰州)因式分解：a2－2a＋1＝__(a－1)2__. (3)(2024·恩施一模)因式分解：11x2－11＝__11(x＋1)(x－1)__. (4)(2024·汕头二模改编)已知x－2y＋3＝8，则整式2x2－8xy＋8y2的值为__50__. 1．若单项式－3x2y的系数是m，次数是n，则mn的值为(　D　) A．9 B．3 C．－3 D．－9 2．下面是按一定规律排列的式子：a2，3a4，5a6，7a8，…，则第9个单项式是(　D　) A．15a18 B．17a16 C．15a10 D．17a18 3．下列叙述，错误的是(　D　) A．单项式2x2y3的系数为2 B．是三次单项式 C．x2－x2y2＋1是四次三项式 D．有理数与数轴上的点一一对应 4．(2024·龙华)多项式a2＋1与下列单项式的和不可以因式分解的是(　D　) A．－2a B．2a C．－2 D．3 5．(2024·长沙期末改编)下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是(　B　) A．(x＋3)(x＋2)－2x B．x2＋5x C．3(x＋2)＋x2 D．x(x＋3)＋6 6．(2024·荆州月考)分解因式：3ax2－12axy＋12ay2＝__3a(x－2y)2__. 7. (2024·石家庄期中)已知一个长方形的长为a，宽为b，它的面积为6，周长为12，则a2＋b2的值为__24__. 8. (2024·佛山月考)先化简，再求值：[(2y－x)·(x＋2y)＋(x－2y)2]÷4y，其中x＝2，y＝1 013. 解：[(2y－x)(x＋2y)＋(x－2y)2]÷4y ＝[4y2－x2＋(x2－4xy＋4y2)]÷4y ＝(4y2－x2＋x2－4xy＋4y2)÷4y ＝(8y2－4xy)÷4y ＝2y－x， 当x＝2，y＝1 013时， 原式＝2×1 013－2＝2 024. 学科网（北京）股份有限公司 $$