第1部分 第1章 第1节 实数及其运算（word教参）-【中考复习指南】2025年湖北新中考数学

第一章　数与式 2024年湖北中考数学注重对数与式基础知识、基本技能、算法算理等的全面考查，侧重于培养学生的抽象能力(包括数感、量感、符号意识)、运算能力等核心素养．考情分析如下： 题型 题号 分值 占比 难易程度 考点 核心素养 选择 1 3 2.5% 易 正负数的意义 抽象能力 选择 3 3 2.5% 易 整式乘法 运算能力 填空 11 3 2.5% 易 有理数的大小比较 运算能力 填空 14 3 2.5% 易 分式的加减法 运算能力 解答 16 6 5% 易 实数的混合运算 运算能力 合计 18 15% 第1节　实数及其运算 ※新增和调整指2022版课标相对于2011版课标的变化 1．理解负数的意义(新增)；了解有理数、无理数和实数的概念，知道实数由有理数和无理数组成，能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小(新增)，了解实数与数轴上的点一一对应．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数、绝对值、倒数．了解平方根、算术平方根、立方根的概念．会用科学记数法表示数；了解近似数，会按问题的要求进行简单的近似计算(调整)． 2．理解乘方的意义，了解乘方与开方互为逆运算，会求百以内完全平方数的平方根、千以内完全立方数(及对应的负整数)的立方根．掌握实数的加、减、乘、除、乘方、开方及简单的混合运算(以三步以内为主)；能运用运算律简化运算；能运用实数的运算解决简单问题． 　实数的相关概念及分类 1．正数和负数 (1)正数、负数相关的意义 大于0的数叫做__正数__；在正数前面加上符号“－”(负)的数，叫做__负数__；__0__既不是正数，也不是负数． (2)正、负数表示相反意义的量 一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并在表示这个量的前面放上“＋”；把与它意义相反的量规定为负的，并在表示这个量的前面放上“－”． 2．整数和__分数__统称为有理数；　无限不循环小数　叫做无理数；有理数和无理数统称为__实数__. 3．实数的分类 (1)按定义分 (2)按符号分 4．数轴、相反数、绝对值、倒数 (1)数轴的三要素：__原点__、__正方向__、__单位长度__；数轴上的点与实数__一一对应__；示意图如图所示． (2)相反数：只有__符号不同__的两个数互为相反数，即实数a的相反数是__－a__,0的相反数是__0__，相反数等于本身的数是__0__； 性质：①若a，b互为相反数，则__a＋b＝0__； ②在数轴上，表示互为相反数(不为0)的两个数的点位于原点__两侧__，且到原点的距离__相等__. (3)绝对值：在数轴上表示数a的点与原点的__距离__叫做a的绝对值，记作__|a|__.绝对值等于本身的数是__非负数__. 代数意义：|a|＝ ＝__1__(a>0)； ＝__－1__(b<0)． (4)倒数：__乘积为1__的两个数互为倒数，非零实数a的倒数为　　； 性质：①__ab＝1__⇔a，b互为倒数； ②__0__没有倒数； ③倒数等于本身的数为__±1__. 5．算术平方根、平方根、立方根的定义与性质 (1)算术平方根：如果一个正数x的__平方__等于a(a≥0)，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记作　　.算术平方根等于本身的数是__0,1__；平方根等于本身的数是__0__. (2)平方根：如果一个数的__平方__等于a(a≥0)，那么这个数叫做a的平方根或__二次方根__；即如果x2＝a，那么x叫做a的平方根，记作　±　.正数的平方根有__2__个，它们互为　相反数　；负数__没有__平方根；0的平方根是__0__. (3)立方根：如果一个数的__立方__等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根；即如果x3＝a，那么x叫做a的立方根，记作　　.正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是__0__；立方根等于本身的数是__0，±1__. 6．科学记数法和近似数 (1)科学记数法：把一个数表示成__a×10n__的形式，其中1≤|a|<10，n是整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值≥10时，n是正整数；当0<原数的绝对值＜1时，n是负整数． (2)近似数：是指根据精确度取值，原则是__四舍五入__.　 　实数的大小比较 1．数轴比较法：数轴上的两个数，__右__边的数总比__左__边的数大． 2．法则比较法：__正数__>0>负数；两个负数，绝对值大的反而__小__. 　实数的运算 实数的运算 加法 ①同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加；②异号两数相加：绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值__减去__较小的绝对值；③一个数同__0__相加，仍得这个数 减法 减去一个数等于加这个数的相反数，即a－b＝a＋(－b) 乘法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；0与任何数相乘都得0，即a·b＝ab，a·(－b)＝－ab，(－a)·(－b)＝ab，0·a＝0 除法 ①除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数，即a÷b＝a·；②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0 乘方 (其中a是底数，n是指数)；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0 开方 常见的开方有＝2，＝　2　，＝　2　，＝　2　，＝　3　，＝2，＝3，＝4 零次幂 a0＝__1__(a≠0) 负整数 指数幂 a－p＝　　(a≠0，p为正整数) 实数的 运算顺序 ①先算__乘方__、__开方__，再算乘除，最后算加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行 实数 运算律 加法交换律：a＋b＝__b＋a__； 加法结合律：(a＋b)＋c＝__a＋(b＋c)__； 乘法交换律：ab＝__ba__； 乘法结合律：(ab)c＝__a(bc)__； 乘法分配律：a(b＋c)＝__ab＋ac__ 　实数的相关概念及分类 [例1] (1)(2024·湖北)在实际生产生活中，经常用正数、负数表示具有相反意义的量，如果把收入20元记作＋20元，那么支出10元记作(　B　) A．＋10元 B．－10元 C．＋20元 D．－20元 (2)(2024·福建)下列实数中，无理数是(　D　) A．－3 B．0 C． D． 无理数常见的四种类型 (1)根号型：如，等开平方开不尽的数． (2)带π型：如圆周率π，或化简后含有π的数，如π＋3，等． (3)三角函数型：如sin 60°，tan 30°等． (4)构造型：如0.101 001 000 1…(每相邻两个1之间多一个0)等． [例2] (1)(2024·扬州)实数2的倒数是(　D　) A．－2 B．2 C．－ D． (2)(2024·北京改编)如图，实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是(　C　) A．b＞－1 B．|b|＞2 C．－a＜0 D．a＜－b [例3] (2024·连云港)2024年5月，全国最大的海上光伏项目获批落地连云港，批准用海面积约28 000亩，总投资约90亿元．其中数据“28 000”用科学记数法可以表示为(　B　) A．28×103 B．2.8×104 C．2.8×103 D．0.28×105 含有计数单位的数的表示方法 (1)若表示前后的单位一致，则不需要转化，直接用科学记数法表示． (2)若表示前后的单位不一致，则需转化，可先把计数单位转化为数字，然后用科学记数法表示．说明：常考的计数单位有“1万”可表示为“104”，“1亿”可表示为“108”． [例4] (2024·包头)计算所得结果是(　C　) A．3 B． C．3 D．±3 　实数的大小比较 [例5] (1)(2024·成都一模改编)实数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置如图所示，这四个数中最小的数是(　A　) A．a B．b C．c D．d (2)(2024·威海改编)下列各数中，最大的数是(　B　) A．－2 B．－(－2) C．－ D．－ 　实数的运算 [例6](1)(2024·银川一模)若|a－1|＋(b－3)2＝0，则的平方根是(　C　) A．2 B．±2 C．± D． 思维导引：根据绝对值及偶次幂的非负性求得a，b的值，然后代入计算，特别注意正数的平方根有两个． (2)(2024·湖北)(6分)计算：(－1)×3＋＋22－2 0240. 解：原式＝－3＋3＋4－1＝3. 答题规范：分步计算：第一步先计算乘法、开方、乘方和零次幂四个运算，四个运算每计算正确一个得1分；第二步进行加减运算，注意同级运算按照从左到右的顺序进行． (3)(2024·长沙)计算：－1＋|－|－2cos 30°－(π－6.8)0. 解：原式＝4＋－2×－1＝4＋－－1＝3. (4)(2024·眉山)计算：(－π)0＋－2＋2sin 45°－|1－|. 解：原式＝1＋4＋2×－＋1＝6. 1．(2024·江西)－5的相反数是(　B　) A．－5 B．5 C． D．－ 2．(2024·广西)下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是(　A　) A． B． C． D． 3．(2024·郑州四模)《三体》一书中，三体人计划通过智子的多维展开来限制地球人的科学技术发展，已知智子的直径是0.000 000 000 000 16厘米，用科学记数法表示这个数为(　D　) A．1.6×10－12米 B．1.6×10－13米 C．1.6×10－12厘米 D．1.6×10－13厘米 4. 我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为.比较大小：__＞__(填“>”或“<”)． 5．(2024·合肥模拟)计算：(2 024－π)0＋－2－2tan 45°. 解：原式＝1＋4－2＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $$