精品解析：云南省昆明市云南民大附中2024-2025学年九年级下学期4月期中联考数学试题

2024—2025学年春季学期期中诊断测试 初三年级数学试卷 （考试时间120分钟，满分100分） 命题人：陈立逆 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场/座位号在答题卡上填写清楚．并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1. 中国空间站位于距离地面约的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上，其背阳面温度可低于零下．若零上记作，则零下记作（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：“正”和“负”相对，所以，若零上记作，则零下记作． 故选：． 2. 宋朝·杨万里有诗曰：“只道花无十日红，此花无日不春风．一尖已剥胭脂笔，四破犹包翡翠茸”．月季被誉为“花中皇后”，月季也是南阳市的市花，具有非常高的观赏价值． 某品种的月季花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方及合并同类项，熟练掌握幂运算法则及合并同类项得法则是解题的关键．根据幂运算法则及合并同类项法则，即可判断答案． 【详解】A、，所以A选项错误，不符合题意； B、，所以B选项正确，符合题意； C、，所以C选项错误，不符合题意； D、，所以D选项错误，不符合题意； 故选：B． 4. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选A． 5. 一个由相同小正方体堆积而成的几何体如图所示,从正面看,该几何体的形状图是(　　). A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图的基本知识，明确主视图，左视图，俯视图是分布从物体的正面，左面和上面看所得到的图形；本题可以看出直观图的各部分的个数，可得出主视图共有三列，左边一列有2个，中间有2个，右边有1个，由此即可得出主视图的形状. 【详解】解：主视图共有三列，左边一列有2个，中间有2个，右边有1个，该几何体的主视图为： 故选D. 【点睛】本题是立体图形的三视图的考查，解决本题的关键是了解几何体三视图； 6. 如图①，吉林省博物馆珍藏着一件“辽契丹文八角铜镜”，其最优价值之处在于镜背铸造的契丹字铭文，作为一面镌刻契丹文字的八角形铜镜，堪称国宝．如图②，该八角形铜镜可以抽象成正八边形，则该正八边形的每个内角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角，利用多边形的内角和公式求出正八边形的内角和，进而根据每个内角相等即可求解，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴正八边形的每个内角的大小是， 故选：． 7. 已知甲、乙两人10次标枪的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差的描述正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了方差与数据集中性的关系．方差越小，数据越集中，据此可得答案． 【详解】解：由图可知，乙的成绩比甲的成绩更加的集中， ∵甲和乙的平均成绩相同， ∴， 故选：C． 8. 下列奥运会项目图标中，轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，理解图形两部分折叠后可重合是解题的关键．根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 9. 把多项式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，准确计算．先提公因式，然后再用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 10. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，正确理解正弦定义是解题的关键．直接利用正弦的定义求解． 【详解】解：， ， 故选：B． 11. 如图，为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且．①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交于D，E；②分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P；③作射线，与交于点F，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，三角形的外角定理和直角三角形的性质，以及角平分线定义．根据直径所对的圆周角是直角可求出，根据作图可得是的角平分线，从而得到，再由三角形的外角性质可得答案． 【详解】解：∵为半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， 由作图知，是的角平分线， ∴， ∴． 故选：D 12. 如图，在等腰中，，点是边上的中点，，交于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质等知识，先根据等边对等角求出，然后根据三角形内角和定理求出，再根据三线合一的性质求出，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，点是边上的中点， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 13. 为了迎接十一“黄金周”，某月季大观园准备分三个阶段扩大月季新品种种植面积，第一阶段已实现新品种的种植目标，第三阶段需实现的种植目标，设第二、第三阶段月季新品种种植面积的平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】第二阶段需实现的种植目标为，第三阶段需实现的种植目标为，由此可解． 【详解】解：由题意得：， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是理解平均增长率的意义． 14. 一个圆锥的底面直径是8，母线长是7，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键． 首先求得圆锥的底面周长，即侧面的弧长，然后根据扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：底面周长是， 则侧面积是：． 故选：B． 15. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中黑球代表碳原子，蓝球代表氢原子．第种如图①有个氢原子，第种如图②有个氢原子，第种如图③有个氢原子，，按照这一规律，第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律变化问题，由已知图形可得图有个氢原子，进而即可求解，找到图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解:图①有个氢原子， 图②有个氢原子， 图③有个氢原子， 图④有个氢原子， ， ∴图有个氢原子， 当时，， ∴第种化合物的分子结构模型中氢原子有个， 故选：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是________． 【答案】k＞1. 【解析】 【详解】试题分析：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，∴△=（-2）2-4×1×k=4-4k＜0，解得k＞1. 考点：一元二次方程根的判别式. 17. 如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，连接．若的面积为3，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义．根据反比例函数系数k的几何意义即可解答． 【详解】解：∵轴，的面积为3， ∴， 由题意， ∴． 故答案为：． 18. 如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底都是圆球形．球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、垂径定理，掌握勾股定理、垂径定理是正确解答的关键．根据勾股定理、垂径定理进行计算即可． 【详解】解：在中，，则， 由勾股定理得， ， 故答案为：． 19. 小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，随机调查了该小区100户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这100户家庭各类生活垃圾的投放总量为250千克，各类生活垃圾投放量分布情况如图所示．根据以上信息，估计该小区500户居民这一天投放的有害垃圾约为______千克． 【答案】62.5 【解析】 【分析】求出样本中这100户家庭中投放有害垃圾质量的平均数，再乘以500可得答案． 【详解】解：估计该小区500户居民这一天投放的可回收垃圾共约 （千克）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查扇形统计图，利用样本估计总体，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数． 三、解答题（共8小题，共62分） 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的计算，零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值．原式先根据根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值进行计算，然后进行乘法运算后合并即可． 【详解】解： ． 21. 如图，，，． 求证：． 【答案】 证明：， ，， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由可得，即可证明． 【详解】略 22. 小轮车泥地竞速（）是一项结合速度、技巧与爆发力的自行车竞技项目，年，北京奥运会首次将其列为正式比赛项目，年巴黎奥运会，中国选手顾权权（女）成为首位凭实力直通奥运会的中国车手．在巴黎奥运会小轮车泥地竞速的训练中，运动员小林通过优化自己的过弯技术，将骑行的平均速度提升到原来的倍，已知赛道全场米，调整技术后，她完成一圈的时间比原来减少了秒，问：小林原来的平均骑行速度为多少米每秒？ 【答案】小林原来的速度是米/秒 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设小林原来的平均速度是米/秒，则优化技术后，平均速度为米/秒，根据题意可列分式方程，求解检验即可． 【详解】解：设小林原来的平均速度是米/秒，则优化技术后，平均速度为米/秒， 由题意得： ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 答：小林原来的速度是米/秒． 23. 昆明某文旅局在“中国旅游日”举办“滇韵风华”文化挑战赛，参赛者需从印有四大文化地标的4张卡片中随机抽取两张（先抽取第一张，不放回，再抽取第二张）． 卡片详情如下： 西山龙门 翠湖 石林 滇池 吉兆，明清石窟瑰宝 承载“鱼跃龙门” 见证西南联大文脉 冬季红嘴鸥栖息地 彝族撒尼人圣境 镶嵌着“滇池月夜”传说， 古称“滇南泽”阿诗玛传说起源处， 将“滇池”、“西山龙门”、“翠湖”、“ 石林 ”四张卡片分别记作A、B、C、D．若抽到“滇池+西山龙门”组合（寓意“山水文脉”），可获以下奖励： ①双景区VIP年卡 ② 龙门石窟非遗拓印体验 ③ 聆听徐霞客滇游故事 （1）请用列表或画树状图的方法表示出所有可能的结果； （2）求小民同学参与挑战时的获奖概率． 【答案】（1） 列表如下： A B C D A B C D 由表可知，若从4张卡片中抽取2张，共有12种可能，它们发生的可能性相等． （2） 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率 ．解题关键是通过正确的列表或画树状图方式，不重不漏地列出所有等可能结果，再依据概率公式计算特定事件发生的概率． （1）利用列表法，一一列举出所有不放回抽取两张卡片的组合情况，统计其总数． （2）明确所有等可能结果总数，再找出满足获奖条件的结果数，最后根据概率公式计算获奖概率． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（2）得，共有12种等可能得情况，其中抽到“滇池+西山龙门”共有2种情况， 分别为和，则， 答：小民同学参加挑战获奖的概率是． 24. 如图，在中，，是边的中线，过点D作，连结交于F，交于M，点M恰为中点． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 解：∵， ∴，， ∵点M为中点，∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，是边的中线， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据，点M为中点，证明，得到，根据直角三角形斜边中线的性质得到，即得； （2）根据菱形的对称性和直角三角形斜边中线性质得到，设，根据得到，根据勾股定理得到，根据，得到，得到，根据得到，得到，解得，根据得到，求出的面积，即得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题主要考查了菱形与三角形综合，熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，三角形面积公式，是解题的关键． 25. 今年春节期间全国各影院上映多部影片，《哪吒之魔童闹海》以强劲势头打破国内外多项票房纪录，截至2025年2月24日影片总票房突破136亿，登顶全球动画电影票房榜首，成为中国文化与电影工业实力的重要象征．某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 40 50 售出电影票数量y（张） 164 124 （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）设该影院每天的利润（运营成本利润票房收入运营成本）为w（单位：元），则该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）（，且x是整数） （2）该影院将电影票售价x定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，实际问题与二次函数（销售问题），二次函数的最值等知识点，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式并根据题中的数量关系正确列出二次函数解析式是解题的关键． （1）运用待定系数法直接求出函数关系式； （2）根据“每日利润每张电影票售价每天售出的电影票数量每天的运营成本”得出二次函数解析式，先将其化成顶点式，然后求二次函数的最值即可． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式是， 由表格可得，， 解得， ∴（，且x是整数）； 【小问2详解】 由题意可得， 即； 整理得：， ∵ ∴抛物线开口向下， ∵，且x是整数， ∴当或41时，w取得最大值，此时， 答：该影院将电影票售价x定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点，其对称轴与轴交于点，若抛物线的对称轴为直线． （1）求的值； （2）若点是抛物线上的点，且，求证：点A，，三点共线； （3）点，是抛物线上的两点，记抛物线在，之间的部分为图象（包含，两点），若图象上任意两点纵坐标之差的最大值是3，求的值． 【答案】（1） （2） 证明：由（1）知， ， 抛物线与轴交于点，对称轴与轴交于点， ，， 设经过点，的直线的解析式为， 将其坐标代入，得， 解得， 直线的解析式为， 点在抛物线上， ， 解得或， ， ，即， 将代入直线得，， 点在直线上， 即点，，三点共线； （3）3 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质、平面直角坐标系中三点共线的证法、二次函数的最值等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）直接根据对称轴公式求解即可； （2）先求出直线解析式，然后把点坐标求出，代入直线解析式看是否成立，进而即可证出； （3）由题易得，，分类讨论，看其在对称轴同侧还是异侧，然后根据增减性解决问题即可． 【小问1详解】 解：抛物线为常数）的对称轴为直线， ， 解得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：点，是抛物线上的两点， ，， 抛物线的开口向上，对称轴为， 分以下两种情况： ①当时，则，点，在对称轴两侧， 此时图象上的最低点是抛物线的顶点，其纵坐标为2， ， 点与对称轴的距离小于点与对称轴的距离，此时点的纵坐标最大， ， 解得（不符合题意，舍去）； ②当时，则，，均在对称轴的右侧，随的增大而增大， 此时点的纵坐标最小，点的纵坐标最大， ．， 解得； 综上所述，的值为3． 27. 如图1，为的直径，P是延长线上一点，是的弦，且， E点在上，连接和． （1）求证：是的切线； （2）如图2，连接，求证： （3）如图3，利用第（2）问的结论解决以下问题： 在等腰三角形中，，点D在底边上，且，将三角形沿着所在的直线翻折，使得点C落在点E处，连接，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 为的直径， ，即， ， ， ， ， ， ， ， 为圆的半径， 是的切线； （2） 证明：如图2，作，交于点M， 与是弧所对圆周角， ， ， ， ∴， ， ，即， ， ∴ ∴ ∴； （3）2 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，利用圆周角定理，进行角度转换得到即可； （2）作，交于点M，证明和，即可解答； （3）设交于N点，证明和，通过A、B、E、D四点共圆，利用（2）中证明的原理即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设交于N点， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， 根据折叠可得，， ， ∴， ， ，， ， ∴A、B、E、D四点共圆， 根据（2）可得， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年春季学期期中诊断测试 初三年级数学试卷 （考试时间120分钟，满分100分） 命题人：陈立逆 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场/座位号在答题卡上填写清楚．并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1. 中国空间站位于距离地面约的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上，其背阳面温度可低于零下．若零上记作，则零下记作（　　） A. B. C. D. 2. 宋朝·杨万里有诗曰：“只道花无十日红，此花无日不春风．一尖已剥胭脂笔，四破犹包翡翠茸”．月季被誉为“花中皇后”，月季也是南阳市的市花，具有非常高的观赏价值． 某品种的月季花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 5. 一个由相同小正方体堆积而成的几何体如图所示,从正面看,该几何体的形状图是(　　). A. B. C. D. 6. 如图①，吉林省博物馆珍藏着一件“辽契丹文八角铜镜”，其最优价值之处在于镜背铸造的契丹字铭文，作为一面镌刻契丹文字的八角形铜镜，堪称国宝．如图②，该八角形铜镜可以抽象成正八边形，则该正八边形的每个内角的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 已知甲、乙两人10次标枪的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差的描述正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 下列奥运会项目图标中，轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 9. 把多项式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 11. 如图，为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且．①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交于D，E；②分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P；③作射线，与交于点F，则的度数为（　　） A. B. C. D. 12. 如图，在等腰中，，点是边上的中点，，交于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 13. 为了迎接十一“黄金周”，某月季大观园准备分三个阶段扩大月季新品种种植面积，第一阶段已实现新品种的种植目标，第三阶段需实现的种植目标，设第二、第三阶段月季新品种种植面积的平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 14. 一个圆锥的底面直径是8，母线长是7，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 15. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中黑球代表碳原子，蓝球代表氢原子．第种如图①有个氢原子，第种如图②有个氢原子，第种如图③有个氢原子，，按照这一规律，第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是________． 17. 如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，连接．若的面积为3，则的值为______． 18. 如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底都是圆球形．球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为________． 19. 小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，随机调查了该小区100户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这100户家庭各类生活垃圾的投放总量为250千克，各类生活垃圾投放量分布情况如图所示．根据以上信息，估计该小区500户居民这一天投放的有害垃圾约为______千克． 三、解答题（共8小题，共62分） 20. 计算：． 21. 如图，，，． 求证：． 22. 小轮车泥地竞速（）是一项结合速度、技巧与爆发力的自行车竞技项目，年，北京奥运会首次将其列为正式比赛项目，年巴黎奥运会，中国选手顾权权（女）成为首位凭实力直通奥运会的中国车手．在巴黎奥运会小轮车泥地竞速的训练中，运动员小林通过优化自己的过弯技术，将骑行的平均速度提升到原来的倍，已知赛道全场米，调整技术后，她完成一圈的时间比原来减少了秒，问：小林原来的平均骑行速度为多少米每秒？ 23. 昆明某文旅局在“中国旅游日”举办“滇韵风华”文化挑战赛，参赛者需从印有四大文化地标的4张卡片中随机抽取两张（先抽取第一张，不放回，再抽取第二张）． 卡片详情如下： 西山龙门 翠湖 石林 滇池 吉兆，明清石窟瑰宝 承载“鱼跃龙门” 见证西南联大文脉 冬季红嘴鸥栖息地 彝族撒尼人圣境 镶嵌着“滇池月夜”传说， 古称“滇南泽”阿诗玛传说起源处， 将“滇池”、“西山龙门”、“翠湖”、“ 石林 ”四张卡片分别记作A、B、C、D．若抽到“滇池+西山龙门”组合（寓意“山水文脉”），可获以下奖励： ①双景区VIP年卡 ② 龙门石窟非遗拓印体验 ③ 聆听徐霞客滇游故事 （1）请用列表或画树状图的方法表示出所有可能的结果； （2）求小民同学参与挑战时的获奖概率． 24. 如图，在中，，是边的中线，过点D作，连结交于F，交于M，点M恰为中点． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求菱形的面积． 25. 今年春节期间全国各影院上映多部影片，《哪吒之魔童闹海》以强劲势头打破国内外多项票房纪录，截至2025年2月24日影片总票房突破136亿，登顶全球动画电影票房榜首，成为中国文化与电影工业实力的重要象征．某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 40 50 售出电影票数量y（张） 164 124 （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）设该影院每天的利润（运营成本利润票房收入运营成本）为w（单位：元），则该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 26. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点，其对称轴与轴交于点，若抛物线的对称轴为直线． （1）求的值； （2）若点是抛物线上的点，且，求证：点A，，三点共线； （3）点，是抛物线上的两点，记抛物线在，之间的部分为图象（包含，两点），若图象上任意两点纵坐标之差的最大值是3，求的值． 27. 如图1，为的直径，P是延长线上一点，是的弦，且， E点在上，连接和． （1）求证：是的切线； （2）如图2，连接，求证： （3）如图3，利用第（2）问的结论解决以下问题： 在等腰三角形中，，点D在底边上，且，将三角形沿着所在的直线翻折，使得点C落在点E处，连接，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $