精品解析：云南省曲靖市2024-2025学年下学期教学质量监测 九年级数学试题

曲靖市2024-2025学年春季学期教学质量监测 九年级数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1． 本卷满分100分，考试时间为120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和 答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置． 2． 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域无效． 3． 非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡 上的非答题区域无效． 4． 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一 、选择题：本题共15小题，每小题只有一个正确的选项，每小题2分，共30分． 1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若收入3万元记作万元，那么支出8万元可记作（　） A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正负数表示具有相反意义的量，根据题意，即可得到答案．读懂题意是解决问题的关键． 【详解】解：若收入3万元记作万元，那么支出8万元可记作万元， 故选：D． 2. 年4月，中央红军（红一方面军）执行战略转移任务时，途经云南曲靖地区．这支队 伍以非凡的毅力穿越山川险阻，历时两年完成举世闻名的长征壮举，总里程约为里．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂的除法，单项式乘单项式，乘方的定义，分别根据积的乘方，同底数幂的除法，单项式乘单项式的运算法则及乘方的定义计算即可判断． 【详解】解：A、，故原计算错误，不符合题意； B、，故原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，故原计算错误，不符合题意． 故选：C． 4. 如图，．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，先由相似三角形的对应边的比等于周长比，再根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴（相似三角形的对应边的比等于周长比）， 则， 故选：A． 5. 右图是一个几何体的三视图，则这个几何体是 A. 圆锥 B. 圆柱 C. 长方体 D. 球体 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何的三视图，根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，解答即可． 【详解】解：由于主视图和左视图为三角形可得此几何体为锥体，由俯视图为圆形可得为圆锥． 故选：A． 6. 函数y＝中自变量x的取值范围是（ ） A. x＞2 B. x≥2 C. x≠2 D. x＜2 【答案】C 【解析】 【分析】令分母不等于0求解即可． 【详解】由题意得 x-2≠0， ∴x≠2． 故选C． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数． 7. 已知反比例函数（为常数，且），则下列各点可能在该函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，根据反比例函数图象上点的坐标特点逐一分析即可，掌握反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：、由可得：，不符合题意； 、由可得：，不符合题意； 、由可得：，不符合题意； 、由可得：，符合题意； 故选：． 8. 下列四个图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，根据中心对称图形和轴对称图形的定义一一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意． 故选：D． 9. 在中，，，，则的 值 为 （ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个角的正切值，根据代入数值计算，即可作答． 【详解】解：如图： ∵在中，，，， ∴, 故选：A 10. 已知，如图，四边形内接于，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，先根据圆内接四边形对角互补，得出，再结合，得出，即可作答． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， 故选：C 11. 某校四位学生参加数学竞赛模拟测试，每位同学的5次测试的平均分和方差如表所示： 学生 平均分 方差 甲 95 0.2 乙 93 0.5 丙 92 0.3 丁 90 0.4 根据表格中的数据，选择一名成绩好且发挥稳定的学生参加正式竞赛，应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了方差的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确掌握方差的含义． 方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．所以选出方差最小． 【详解】解：∵甲的数学考试成绩的平均分最高，且方差最小，发挥稳定， ∴选择甲参加正式竞赛． 故选：A． 12. 在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项 式依次为：，，，，……，则第n 个单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了单项式规律探索，根据题干所给单项式得出规律即可，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，，，，…， ∴第n 个单项式是， 故选：A． 13. 我市一科技公司计划在办公楼旁搭建一个矩形无人机起降平台，其中一边利用办公楼墙壁，另三边用安全护栏围成．已知护栏总长为36米，起降平台的面积为162平方米．设与办公楼平行的一边长为x 米，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程应用题，根据题意找到等量关系列出关系式即可． 因为是矩形，所以另一边为 米，再根据矩形面积公式：长×宽＝面积可得． 【详解】解：与办公楼平行的一边长为 米，与相邻的一边长为米． ∴ 故选：D． 14. 估计实数应在（ ） A. 6 到7之间 B. 7到8之间 C. 8到9之间 D. 9到10之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是估算无理数的大小及二次根式的混合运算，先根据题意得出的取值范围是解答此题的关键．先根据二次根式的混合运算法则计算得，估算出的取值范围即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， 实数应在7到8之间， 故选：B． 15. 某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）．已知装饰部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为（ ） A. 平方厘米 B. 平方厘米 C. 平方厘米 D. 平方厘米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，根据圆锥侧面积公式计算即可得解，熟练掌握相关公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：该圆锥形装饰的面积为（平方厘米）， 故选：B． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 分解因式：=_________________________． 【答案】 【解析】 【详解】解：==． 故答案为． 17. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是______． 【答案】六 【解析】 【分析】利用多边形内角和公式（为边数且且为整数 ），将内角和代入公式，通过解方程求出边数．本题主要考查了多边形内角和公式，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键． 【详解】边形的内角和为， ， 解得， 这个多边形的边数是六． 故答案为六． 18. 如图，点是的平分线上一点，过点作交于点．若，则________ 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由平行线的性质得，由角平分线定义即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为： ． 19. 图书馆不仅是借书的地方，更是知识中心、学习空间和文化基地．某图书馆为了优化青少年阅 读区书籍配置，随机调查了数名青少年，并根据他们的爱好绘制了条形统计图和扇形统计图（如图）．若青少年阅读区预计配置总书籍为1200本，则阅读区科幻类书籍应配置约为_____本 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，先计算出抽样调查的总人数，再计算出喜欢科幻类书籍的人数占比，最后用1200乘以喜欢科幻类书籍的人数占比即可得出答案． 【详解】解：本次抽样调查的总人数为（人）， 喜欢科幻类书籍的人数占比为， （本）， 即阅读区科幻类书籍应配置约为本， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数的混合运算、负整数次幂、零次幂、乘方等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 先根据绝对值、负整数次幂、乘方、零次幂、特殊角三角函数值化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 21. 已知：如图，、、、在同一直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定．平行得到，线段的和差关系求出，结合，即可得证． 【详解】证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ． 22. 春节期间，珠江源古镇计划在街道两侧悬挂传统灯笼以增添节日氛围．原计划每天悬挂 固定数量的灯笼，但实际施工时，每天比原计划多悬挂50盏．结果实际悬挂完400盏灯笼所需的时间，恰好与原计划悬挂300盏灯笼的时间相同，则实际每天悬挂灯笼数量为多少盏? 【答案】实际每天悬挂 200 盏灯笼 【解析】 【分析】本题考查出分式方程的应用，设原计划每天悬挂盏灯笼，则实际每天悬挂盏灯笼，根据实际悬挂完400盏灯笼所需的时间，恰好与原计划悬挂300盏灯笼的时间相同，列出分式方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天悬挂盏灯笼，则实际每天悬挂盏灯笼， 根据题意得， 解得：， 经检验是所列方程的解，且符合实际意义， 此时， 答：实际每天悬挂 200 盏灯笼． 23. 电影《哪吒之魔童闹海》之后，天庭为惩戒二人逆天改命之举，借“天命擂台”之名重启宿命对决．要求哪吒和敖丙参加“法宝挑战赛”，规则如下：哪吒：从自己的法宝“混天绫” （a）、“乾坤圈”（b）中随机挑选一件；敖丙：从冰晶法阵的三个区域“寒冰戟”（c）、“霜雪盾”（d）、 “玄冰镜”（e）中随机激活一个．两人选择法宝后，若哪吒的法宝能克制敖丙的法宝（克制关系： a克制c，b克制e），则哪吒获胜；否则敖丙获胜．记哪吒的选择为x，敖丙的选择为y． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，列出所有可能的对决组合，并求结果总数； （2）求哪吒获胜的概率P． 【答案】（1）（x，y）所有可能出现的结果为（a，c），（a,d ），（ a，e），（b，c ），（b，d），（b，e） ，一共有6种 （2）哪吒获胜的概率为 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图求概率． （1）根据题意用列表法或画树状图法求解即可； （2）结合（1）中的列表 （或树状图），利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：方法一，列表如下： c d e a b ∴所有可能出现的结果为：，，，，，，它们出现的可能性相等，一共有6种； 方法二，画树状图如下： ∴所有可能出现的结果为：，，，，，，它们出现的可能性相等，一共有6种； 【小问2详解】 解：由列表 （或树状图）可以看出，所有可能出现的结果共有6种，这些结果出现的可能性相等，其中哪吒获胜的有2种：， ， 即哪吒获胜的概率． 24. 如图，在四边形中 ，，平分，过点A作， 交延长线于点E．四边形对角线交于点O，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识，证明四边形是菱形是解题的关键． （1）证明，得到四边形是平行四边形；由即可证明四边形是菱形； （2）根据菱形的性质和直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形； ∵ ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 ∵四边形是菱形 ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 25. 某智慧社区计划推广垃圾分类，需采购两种智能设备，智能垃圾桶（T 型）：自动分类 可回收物；垃圾分拣机器人（R 型）：精准分拣有害垃圾．若购买4台T 型设备和5台R 型设备， 总费用为3900元；若购买3台T 型设备和2台R 型设备，总费用为2050元． （1）求每台T 型设备和每台R 型设备的单价； （2）若社区需采购两种设备共20台（均需采购），且T型设备数量不超过R型数量的， 为 使总费用最低，应分别采购T 型和R 型设备多少台?最低总费用为多少元? 【答案】（1）每台T 型设备的单价为元，每台R 型设备的单价为元 （2）采购 T 型 设 备 5 台 和 R 型 设 备 15 台 时 ， 总 费 用 最 低 ， 为 9250元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出方程组，不等式组和函数关系式是解题的关键． （1）设每台T 型设备的单价为元，每台R 型设备的单价为元，根据购买4台T 型设备和5台R 型设备， 总费用为3900元；购买3台T 型设备和2台R 型设备，总费用为2050元建立方程组求解即可； （2）设购买R 型设备台，则购买T型设备台，总费用为W元，根据题意列出W关于m的一次函数关系式，再根据T型设备数量不超过R型数量的，列出不等式组求出m的取值范围，最后根据一次函数的现在求解即可． 【小问1详解】 解：设每台T 型设备的单价为元，每台R 型设备的单价为元， 由题意得， 解得， 答：每台T 型设备的单价为元，每台R 型设备的单价为元； 【小问2详解】 解：设购买R 型设备台，则购买T型设备台，总费用为W元， 由题意得， ∵T型设备数量不超过R型数量的，  ∴， ∴，且m为整数， ∵， ∴W随m增大而增大， ∴当时，W有最小值，最小值为，此时， 答：采购 T 型 设 备 5 台 和 R 型 设 备 15 台 时 ， 总 费 用 最 低 ，最低 为 9250元． 26. 在代数中，一元二次方程的一般形式为，设该方程的两个根为，，则根与系数之间存在以下关系式（也称韦达定理）：， 这些关系在解决一元二次方程相关的问题时非常有用． 已知二次函数的图象过点，当时y随x的增大而增大，当时y随x的增大而减小．若实数m，n满足，． （1）求此二次函数的解析式（也称表达式）； （2）若，试判断T是否为定值，若为定值，请求出T的值；若不为定值，请说明理由． 【答案】（1） （2）T为定值2或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解以及代数式定值的判断．解题关键是利用二次函数对称轴性质和已知点坐标确定解析式，借助韦达定理分析根与系数关系并分情况化简代数式． （1）利用二次函数对称轴公式，结合已知对称轴及求出．将点代入含值的二次函数表达式求出，从而确定二次函数解析式． （2）先依据韦达定理明确、作为方程两根的关系，即与的值，以及、的值．分和两种情况，对的表达式化简计算，判断是否为定值并求值． 【小问1详解】 解：∵当时y随x的增大而增大，当时y随x的增大而减小， ∴二次函数的对称轴为， ∵图象过点， ∴， 解得， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：T为定值，理由如下： ∵实数，满足，，由（1）知，，即，是方程的两个根． ∴在方程中，，， ∴，． 同时，由可得；由可得． 当时 ． 当时 ∵；． ∴ ∵， 把，代入： 综上，为定值，的值为或． 27. 如图，在中，直径与弦交于点E，连接，．过点D的直线与的延长线交于点F，且， （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）若，，，点P为直线上一动点，且，当时，设点P到上的点的距离为t，求t的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得，再结合三角形外角性质，得，进行角的等量代换，即可作答． （2）根据得，再证明，进行角的等量代换得，再根据为直径，则，即，即可作答． （3）结合，得，根据，则，在中，，证明，结合，得 故，即P，F两点重合，再列式求出，则，即可得出t的取值范围． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴， 在中，， ∴； 【小问2详解】 解：连接 ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， 即， ∴， 即， ∴， ∵是半径， ∴是的切线， 【小问3详解】 解：如图3：连接，， ∵， ∴， ∴， 则 ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵ ∴， ∴， 在和中 ∴ ∴ 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴P，F两点重合， ∴在中， ∴， ∴. ∴P到上的点的最大距离为. ∴P到上的点的最小距离为. ∴t的取值范围是 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形的相关计算，全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曲靖市2024-2025学年春季学期教学质量监测 九年级数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1． 本卷满分100分，考试时间为120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和 答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置． 2． 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域无效． 3． 非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡 上的非答题区域无效． 4． 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一 、选择题：本题共15小题，每小题只有一个正确的选项，每小题2分，共30分． 1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若收入3万元记作万元，那么支出8万元可记作（　） A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元 2. 年4月，中央红军（红一方面军）执行战略转移任务时，途经云南曲靖地区．这支队 伍以非凡的毅力穿越山川险阻，历时两年完成举世闻名的长征壮举，总里程约为里．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，．若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 右图是一个几何体的三视图，则这个几何体是 A. 圆锥 B. 圆柱 C. 长方体 D. 球体 6. 函数y＝中自变量x的取值范围是（ ） A. x＞2 B. x≥2 C. x≠2 D. x＜2 7. 已知反比例函数（为常数，且），则下列各点可能在该函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 8. 下列四个图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 9. 在中，，，，则的 值 为 （ ） A. B. 2 C. D. 10. 已知，如图，四边形内接于，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 某校四位学生参加数学竞赛模拟测试，每位同学的5次测试的平均分和方差如表所示： 学生 平均分 方差 甲 95 0.2 乙 93 0.5 丙 92 0.3 丁 90 0.4 根据表格中的数据，选择一名成绩好且发挥稳定的学生参加正式竞赛，应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 12. 在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项 式依次为：，，，，……，则第n 个单项式是（ ） A. B. C. D. 13. 我市一科技公司计划在办公楼旁搭建一个矩形无人机起降平台，其中一边利用办公楼墙壁，另三边用安全护栏围成．已知护栏总长为36米，起降平台的面积为162平方米．设与办公楼平行的一边长为x 米，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 估计实数应在（ ） A. 6 到7之间 B. 7到8之间 C. 8到9之间 D. 9到10之间 15. 某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）．已知装饰部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为（ ） A. 平方厘米 B. 平方厘米 C. 平方厘米 D. 平方厘米 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 分解因式：=_________________________． 17. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是______． 18. 如图，点是的平分线上一点，过点作交于点．若，则________ 19. 图书馆不仅是借书的地方，更是知识中心、学习空间和文化基地．某图书馆为了优化青少年阅 读区书籍配置，随机调查了数名青少年，并根据他们的爱好绘制了条形统计图和扇形统计图（如图）．若青少年阅读区预计配置总书籍为1200本，则阅读区科幻类书籍应配置约为_____本 ． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 计算：． 21. 已知：如图，、、、在同一直线上，，，，求证：． 22. 春节期间，珠江源古镇计划在街道两侧悬挂传统灯笼以增添节日氛围．原计划每天悬挂 固定数量的灯笼，但实际施工时，每天比原计划多悬挂50盏．结果实际悬挂完400盏灯笼所需的时间，恰好与原计划悬挂300盏灯笼的时间相同，则实际每天悬挂灯笼数量为多少盏? 23. 电影《哪吒之魔童闹海》之后，天庭为惩戒二人逆天改命之举，借“天命擂台”之名重启宿命对决．要求哪吒和敖丙参加“法宝挑战赛”，规则如下：哪吒：从自己的法宝“混天绫” （a）、“乾坤圈”（b）中随机挑选一件；敖丙：从冰晶法阵的三个区域“寒冰戟”（c）、“霜雪盾”（d）、 “玄冰镜”（e）中随机激活一个．两人选择法宝后，若哪吒的法宝能克制敖丙的法宝（克制关系： a克制c，b克制e），则哪吒获胜；否则敖丙获胜．记哪吒的选择为x，敖丙的选择为y． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，列出所有可能的对决组合，并求结果总数； （2）求哪吒获胜的概率P． 24. 如图，在四边形中 ，，平分，过点A作， 交延长线于点E．四边形对角线交于点O，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的面积． 25. 某智慧社区计划推广垃圾分类，需采购两种智能设备，智能垃圾桶（T 型）：自动分类 可回收物；垃圾分拣机器人（R 型）：精准分拣有害垃圾．若购买4台T 型设备和5台R 型设备， 总费用为3900元；若购买3台T 型设备和2台R 型设备，总费用为2050元． （1）求每台T 型设备和每台R 型设备的单价； （2）若社区需采购两种设备共20台（均需采购），且T型设备数量不超过R型数量的， 为 使总费用最低，应分别采购T 型和R 型设备多少台?最低总费用为多少元? 26. 在代数中，一元二次方程的一般形式为，设该方程的两个根为，，则根与系数之间存在以下关系式（也称韦达定理）：， 这些关系在解决一元二次方程相关的问题时非常有用． 已知二次函数的图象过点，当时y随x的增大而增大，当时y随x的增大而减小．若实数m，n满足，． （1）求此二次函数的解析式（也称表达式）； （2）若，试判断T是否为定值，若为定值，请求出T的值；若不为定值，请说明理由． 27. 如图，在中，直径与弦交于点E，连接，．过点D的直线与的延长线交于点F，且， （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）若，，，点P为直线上一动点，且，当时，设点P到上的点的距离为t，求t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $