精品解析：江西省大余衡立实验学校2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

赣州市大余衡立高级中学2024-2025学年度第二学期期中考 高二数学试题卷 考试范围：选修一/二 、必修二立体几何 考试时间：120分钟； 命题人： 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第1卷（选择题） 一、单选题 1. 向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值. 【详解】因为，所以，由题意可得， 所以，则． 故选：C. 2. 赣南脐橙是江西省赣州市特产，是中国国家地理标志产品.赣南脐橙年产量达百万吨，原产地江西省赣州市已经成为脐橙种植面积世界第一，年产量世界第三的城市.已知某地销售的赣南脐橙来自甲、乙两个果园，甲、乙两个果园提供的赣南脐橙果量（单位：箱）的占比分别为，，且甲、乙两个果园提供的赣南脐橙的优品率分别为，，现从该地销售的赣南脐橙中随机买1箱，则这1箱赣南脐橙为优品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全概率公式即可求解 【详解】设“甲果园提供赣南脐橙”为事件A，“乙果园提供赣南脐橙”为事件B，“赣南脐橙为优品”为事件C， 则由题意得，，，， 由全概率公式得， 故选：B. 3. 若函数在处的切线与直线垂直，则实数的值是（ ） A. B. 2 C. -4 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】求得函数在处的切线的斜率，由此求得的值. 【详解】，依题意有. 故选：D 【点睛】本小题主要考查利用导数求切线的斜率，属于基础题. 4. 在数列中，，，则（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据，，由递推关系求出，进而得到. 【详解】因为，， 所以，， 故选：C. 5. 在的展开式中，含有项的系数为（ ） A. B. 0 C. 5 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合二项展开式的性质，即可求解. 【详解】由题意，在的展开式中， 其中项为， 所以项的系数为. 故选：A. 6. 函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图可知f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，所以可得x＞0和x＞0时，导函数均为负，从而可得答案 【详解】∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数， ∴当x＞0时，f′(x)＜0，当x＜0时，f′(x)＜0. 故选：D 7. 已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球表面积（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正弦定理求底面外接圆半径，再根据三棱锥外接球半径求得外接球半径，进而求外接球表面积. 【详解】在中，，， 所以，所以. 设外接圆半径为，则. 又平面，且，设三棱锥的外接球半径为， 则. 所以三棱锥的外接球表面积为：. 故选：D 8. 定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，构造函数，可得在上单调递增，然后结合其单调性即可求解不等式. 【详解】由可得， 设，， 则， 即函数在上单调递增， 且， 由可得， 即，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 二、多选题 9. 下列函数是奇函数且为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义、基本初等函数的单调性以及导数法逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数是定义域为上的奇函数，且为增函数，A满足条件； 对于B选项，设，该函数的定义域为， ，故函数为偶函数，B不满足条件； 对于C选项，设，该函数的定义域为， ，故函数为奇函数， 对任意的恒成立， 所以，函数在上为增函数，C满足条件； 对于D选项，函数为奇函数，且该函数在定义域上不单调，D不满足条件. 故选：AC. 10. 已知数列满足，，则下列结论正确的有（ ） A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递增数列 D. 的前项和 【答案】ABD 【解析】 【分析】将两边取倒数，即可得到，从而判断A、B；利用作差法判断的单调性，即可判断C；利用分组求和法判断D. 【详解】因为数列满足，， 所以， 所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，整理得，故A、B正确； 又， 即，所以数列为递减数列，故C错误； 因为，所以， 所以数列的前项和为 ，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线交椭圆于两点，则（ ） A. 的周长为8 B. 若直线经过点，则的最小值是1 C. 若线段中点坐标为，则直线的方程为 D. 若点M是椭圆上的任意一点，点N是圆上的任意一点，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用椭圆的定义计算可判断；对于B，利用焦点弦长通径最短可判断；对于C，利用点差法，即可得直线方程；对于D，利用点到圆心的距离最大值，再加上半径即为的最大值. 【详解】 对于A，若直线经过点，如图一，则的周长为， 若直线不经过点，如图二，则的周长为，故A错误； 对于B，过左焦点的椭圆焦点弦中，通径最短，即，故B正确； 对于C，显然直线的斜率存在，设， 易知 ， 若中点为，则， 则直线的方程为,即，故C正确； 对于D，设，圆心，则， 因为，所以当时，取得最大值为， 此时取得最大值为，故D正确． 故选：BCD. 12. 如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段（包括端点）上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的取值范围是 B. 平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是 C. 三棱锥的体积为定值 D. 当P为的中点时，P到的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用异面直线所成角的计算方法，即可进行判断；对于C，利用线面平行的判定定理，得出平面，再根据三棱锥的体积的计算方法，即可进行判断；对于BD，通过建立空间直角坐标系，利用坐标法求出平面与平面所成角的余弦值和点到直线得距离即可进行判断. 【详解】对于A，..，异面直线与所成的角即为与所成的角， 当点位于或点重合时，由于是等边三角形，则与所成的角为， 当点位于的中点时，平面，， ，此时，与所成的角为， 由于是等边三角形，根据等边三角形性质，知道从过程中， 与所成的角先从增大到，再减小到， 异面直线与所成角的取值范围是.，故A错误； 对于C，，平面，平面， 平面，点在线段上运动， 点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 故三棱锥的体积为定值，运用等体积法知道，三棱锥的体积为定值，故C正确； 对于B，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则，，取平面的法向量， 设平面的法向量，设，， 则，则，即， 令，则，则得， 设面与平面所成夹角为， 所以， 因为，，所以，， 所以平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是，故B正确； 对于D，则，，当为的中点时，. 所以，. 设在上的投影向量的模为，. . 根据点到直线距离公式，可得， 即到的距离为，故D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题 13. 直线被圆截得的弦长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先求圆心到直线的距离，结合垂径定理求弦长. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 所以所求弦长为. 故答案为：. 14. 设随机变量的概率分布列为如图，则常数_______. 0 1 P 【答案】 【解析】 【分析】根据概率之和为1即可求解. 【详解】由题意可得， 由可得，故或， 结合，故， 故答案为： 15. 若对任意的实数，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】求出直线所过定点的坐标，分析可知，定点在椭圆上或椭圆内，由此可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】直线方程可化为，则该直线过定点， 因为直线与椭圆恒有公共点，则点在椭圆上或椭圆内， 所以，解得且. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 16. 提供6种不同颜色的颜料给图中A，B，C，D，E，F六个区域涂色，要求相邻区域不能涂相同颜色，则不同的涂色方法共有______种. 【答案】6120 【解析】 【分析】根据和、和同色或者不同色分类，每一种情况中用分步乘法计数原理，最后利用分类加法计数原理得到涂色方法的数量. 【详解】假定涂色顺序为 若、涂相同颜色，则有种涂法； 若、涂不同颜色，、涂相同颜色，则有种涂法； 若、涂不同颜色，、涂不同颜色，则有种涂法； 故由分类加法计数原理得不同的涂色方法共有种. 故答案为：6120. 四、解答题 17. 已知数列满足 （1）求的通项公式； （2）记，数列的前项和为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用通项公式和前项和的关系可求得，又，可得的通项公式； （2）首先分母有理化求得的通项公式，再利用裂项相消法即可其前项和为. 【小问1详解】 由题干条件，当时，， 当时，， 与已知式子相减得，因为，所以， 又也符合上式，故； 【小问2详解】 由已知得， 故. 18. 已知函数． （1）求的图象在处的切线方程； （2）若的图象上存在两点，，使得的图象在点，处的切线都与直线垂直，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导函数，根据导数的几何意义求解切线斜率，再求切点坐标，从而可得的图象在处的切线方程； （2）由直线的斜率为，可得的图象在点处的切线斜率为，求导根据导函数的零点，可得实数的取值范围． 【小问1详解】 因为， 所以，所以， 所以的图象在处的切线方程为， 即． 【小问2详解】 直线的斜率为， 所以的图象在点处的切线斜率为， 所以方程有两个不等的实根， 即有两个不等的实根， 所以， 解得且， 所以实数的取值范围是． 19. 已知为数列的前项和，. （1）求的通项公式； （2）若，求取得最大值时的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据与的关系即可求解； （2）由（1）得，通过作差法比较与的大小，从而得到数列的单调性，即可求解. 【小问1详解】 当时，，解得； 当时，，即. 因为也满足，所以. 【小问2详解】 由（1）得，所以， 所以当时，，即； 当时，，即； 当时，，即， 所以， 故当或时，取得最大值. 20. 已知双曲线的左､右顶点分别是，点在双曲线上，且直线的斜率之积为3. （1）求双曲线的方程； （2）过且斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，证明为定值，并求出该定值. 【答案】（1） （2） 设直线. 联立，整理得 ，则，且所以. 所以为定值，定值为 【解析】 【分析】（1）直线的斜率之积为3，列出等式，再结合点在双曲线上即可求解； （2）设，联立双曲线方程，结合向量数量积的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 由题意可得，则直线的斜率，直线的斜率. 因为直线的斜率之积为3，所以，解得. 因为点在双曲线上，所以，解得. 故双曲线的方程为. 【小问2详解】 略 21. 如图，三棱柱中，平面为正三角形，是边的中点，. （1）求证：平面平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为三棱柱中平面，， 所以平面，又平面，所以平面平面 因为为正三角形，为的中点，所以，平面ABC. 又平面平面，所以平面，又平面 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由题可证明平面平面，然后由面面垂直性质可得 平面，即可完成证明； （2）建立空间直角坐标系，可求出平面和平面的法向量，即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，，， 设平面的法向量， 则，取； 设平面的法向量， 则，取. 设平面和平面夹角的大小为， 所以. 22. 函数，. （1）求函数的单调区间； （2）当时，若不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） 当时，的递增区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为. （2）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，然后分，两种情况，由导函数的正负可求得其单调区； （2）构造函数，，把不等式的恒成立转化为，求得，结合分析函数的单调性并确定最小值为，再利用函数的单调性解不等式即可. 【小问1详解】 由题意得，， 当时，则，在上单增， 的递增区间为； 当时，令，则；令，则. 的递增区间为，递减区间为. 【小问2详解】 当时，令，， 则，， 由题意，得. 因为， 令，则；令，则， 在上递减，在上递增， ， 故 在上递增， 又， ， 实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赣州市大余衡立高级中学2024-2025学年度第二学期期中考 高二数学试题卷 考试范围：选修一/二 、必修二立体几何 考试时间：120分钟； 命题人： 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第1卷（选择题） 一、单选题 1. 向量，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 赣南脐橙是江西省赣州市特产，是中国国家地理标志产品.赣南脐橙年产量达百万吨，原产地江西省赣州市已经成为脐橙种植面积世界第一，年产量世界第三的城市.已知某地销售的赣南脐橙来自甲、乙两个果园，甲、乙两个果园提供的赣南脐橙果量（单位：箱）的占比分别为，，且甲、乙两个果园提供的赣南脐橙的优品率分别为，，现从该地销售的赣南脐橙中随机买1箱，则这1箱赣南脐橙为优品的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 若函数在处的切线与直线垂直，则实数的值是（ ） A. B. 2 C. -4 D. 4 4. 在数列中，，，则（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 5. 在的展开式中，含有项的系数为（ ） A. B. 0 C. 5 D. 10 6. 函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球表面积（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列函数是奇函数且为增函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列满足，，则下列结论正确的有（ ） A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递增数列 D. 的前项和 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线交椭圆于两点，则（ ） A. 的周长为8 B. 若直线经过点，则的最小值是1 C. 若线段中点坐标为，则直线的方程为 D. 若点M是椭圆上的任意一点，点N是圆上的任意一点，则的最大值为 12. 如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段（包括端点）上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的取值范围是 B. 平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是 C. 三棱锥的体积为定值 D. 当P为的中点时，P到的距离为 第II卷（非选择题） 三、填空题 13. 直线被圆截得的弦长为_____． 14. 设随机变量的概率分布列为如图，则常数_______. 0 1 P 15. 若对任意的实数，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为_____. 16. 提供6种不同颜色的颜料给图中A，B，C，D，E，F六个区域涂色，要求相邻区域不能涂相同颜色，则不同的涂色方法共有______种. 四、解答题 17. 已知数列满足 （1）求的通项公式； （2）记，数列的前项和为，求. 18. 已知函数． （1）求的图象在处的切线方程； （2）若的图象上存在两点，，使得的图象在点，处的切线都与直线垂直，求实数的取值范围． 19. 已知为数列的前项和，. （1）求的通项公式； （2）若，求取得最大值时的值. 20. 已知双曲线的左､右顶点分别是，点在双曲线上，且直线的斜率之积为3. （1）求双曲线的方程； （2）过且斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，证明为定值，并求出该定值. 21. 如图，三棱柱中，平面为正三角形，是边的中点，. （1）求证：平面平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值. 22. 函数，. （1）求函数的单调区间； （2）当时，若不等式恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $