8.1&8.2&8.3 因式分解、提公因式法、公式法（七大题型提分练）（题型专练）数学新教材北京版七年级下册

8.1&8.2&8.3 因式分解、提公因式法、公式法 题型一 因式分解的判断 1．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中，从左到右的变形不是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．下列从左到右的变形，是分解因式的个数是（   ） ①；② ③；④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列各式中，从左到右的变形属于因式分解且正确的是（   ） A． B． C． D． 6．关于等式和从左到右的变形，下列说法中（　　） A．①和②都是因式分解 B．①和②都不是因式分解 C．①是因式分解，②不是因式分解 D．①不是因式分解，②是因式分解 7．把一个多项式化成几个整式的 的形式，这种变形叫做因式分解．整式乘法是“积化和差”，整式乘法与因式分解为互逆变形，它们都是整式恒等变形．如：属于 ． 8．下列各式中，是整式乘法的是 ，是因式分解的是 ．（填序号） ①；②； ③；④． 题型二 公因式的认识 1．下列式子是和的公因式的是（   ） A． B． C． D． 2．多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 3．将多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 4．下列多项式中，没有公因式的是（  ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．若，则的值与的公因式为（  ） A．a B． C． D． 6．整式，下列结论：①A，B的公因式为；②A，B的公因式为．判断正确的是（    ） A．①正确，②不正确 B．①不正确，②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 7．多项式的公因式是 ； 题型三 提公因式法分解因式 1．计算的结果为（    ） A．2024 B．20240 C．202400 D．2024000 2．若，则代数式A 为（　　） A．a B． C． D． 3．已知，，则的值是（   ） A．8 B． C．2 D． 4．因式分解： ． 5．已知，，则多项式 ． 6．若，，则 ． 7．若n为正整数，试说明一定能被3整除． 题型四 平方差公式分解因式 1．下列多项式中，能用平方差公式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．因式分解：（   ） A． B． C． D． 3．已知，，则等于（ ） A．13 B．14 C．12 D．7 4．已知，则的值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．将因式分解的结果是 ． 题型五 用完全平方公式分解因式 1．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中，不能用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 3．若能用完全平方公式进行因式分解，则常数的值为（   ） A．4 B． C．4或 D．不能确定 4．因式分解 ． 5．因式分解： ． 6．已知正方形的面积是，则正方形的边长为 ． 题型六 判断能否用公式法分解因式 1．下列多项式能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．下列多项式在实数范围内不能用公式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．下列多项式中①；②；③；④；⑤；⑥．能用公式法分解因式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 5．在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有 个． 题型七 因式分解的应用 1．多项式 可分解为 ，则 的值是（    ） A． B．5 C． D．6 2．琳琳和楠楠在因式分解关于x的多项式时，琳琳获取的其中一个正确的因式为，楠楠获取的另一个正确因式为，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 3．将二元二次方程化为二个一次方程为 ． 4．多项式因式分解得，则 ， . 5．若，，则 ． 6．甲、乙两个同学分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了a，分解结果为，则 ． 7．一个直角三角形斜边长为a，直角边长分别为b，c，若它的面积为6，斜边长为5，则的值为 ． 1．若k为任意整数，则的值总能（   ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 2．已知（为任意有理数），的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 3．如果是的一个因式，则的值为 ． 4．如果，那么关于的方程的解为 ． 5．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．因式分解： 小刚的解题过程如下： 第一步 ……第二步 ……第三步 ①请问小刚同学第一步变形用到的乘法公式是 （写出用字母 a，b表示的乘法公式）； ②小颖说小刚的步骤中有错误，小刚第 步出现了错误； ③请用小刚的思路给出这道题的正确解法． 7．对于多项式，我们把代入此多项式，发现能使多项式的值为，由此可以断定多项式中有因式，于是我们可以把多项式写成：，分别求出后再代入 ，就可以开始把多项式进行因式分解． (1)求式子中m、n的值： (2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式． 8．阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看成一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，还能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为换元法． 例如：因式分解：． 解：将“”看成整体，令， 则原式 将A换元，得原式 请你应用换元法对下列多项式因式分解： (1)； (2)． 9．我们通常用作差法比较代数式的大小．例如：已知，，比较M和N的大小，先求，若，则；若，则；若，则．反之亦成立．本题中因为，所以． (1)图1所示是边长为的正方形边长增加得到的正方形，此正方形的面积为；图2所示是边长为的正方形一边增加，另一边减小，得到的长方形，此长方形的面积为．请用作差法比较与的大小． (2)已知，，请用作差法比较M与N的大小． 10.【阅读材料】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：（1）求的最小值． 解：， ，， 当时，即当时，有最小值，最小值为1． 再如：求的最大值． 原式， ，， 当时，有最大值，最大值为11． 【问题解决】 (1)当______时，代数式有最小值； (2)用“配方法”求代数式的最大值； (3)已知，则______． (4)如图，王叔叔准备利用一面墙（墙足够长），用总长度52米的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，且边上留两个1米宽的小门，设长为x米，当x为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？ 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.1&8.2&8.3 因式分解、提公因式法、公式法 题型一 因式分解的判断 1．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意； B、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意； C、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意； D、从左到右的变形属于因式分解，故选项符合题意； 故选：D． 2．下列各式中，从左到右的变形不是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．属于因式分解，故本选项不符合题意； B．属于因式分解，故本选项不符合题意； C．属于因式分解，故本选项不符合题意； D．等式从左到右的变形是多项式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； 故选：D． 3．下列从左到右的变形，是分解因式的个数是（   ） ①；② ③；④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【详解】解：①不是将多项式分解成几个整式的乘积形式，不是因式分解； ②等式右边不是乘积形式，不是因式分解； ③等式右边不是乘积形式，不是因式分解； ④等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解； 故选：A． 4．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．，故原因式分解不正确，不符合题意； B．，故原因式分解正确，符合题意； C．，故原因式分解不正确，不符合题意； D．不是因式分解，故不正确，不符合题意； 故选：B． 5．下列各式中，从左到右的变形属于因式分解且正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A.不能变形为，故此选项变形不正确，不符合题意； B.，故此选项变形不正确，不符合题意； C.是整式乘法，故此选项变形不正确，不符合题意； D.，故此选项属于因式分解且正确，符合题意； 故选：D． 6．关于等式和从左到右的变形，下列说法中（　　） A．①和②都是因式分解 B．①和②都不是因式分解 C．①是因式分解，②不是因式分解 D．①不是因式分解，②是因式分解 【答案】A 【详解】解：①，属于因式分解； ②，属于因式分解； 所以①和②都是因式分解． 故选：A． 7．把一个多项式化成几个整式的 的形式，这种变形叫做因式分解．整式乘法是“积化和差”，整式乘法与因式分解为互逆变形，它们都是整式恒等变形．如：属于 ． 【答案】 积 整式乘法 【详解】解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解．整式乘法是“积化和差”，整式乘法与因式分解为互逆变形，它们都是整式恒等变形．如：属于整式乘法， 故答案为：积，整式乘法． 8．下列各式中，是整式乘法的是 ，是因式分解的是 ．（填序号） ①；②； ③；④． 【答案】 ①②/②① ③④/④③ 【详解】解：①是整式乘法， ②是整式乘法， ③是因式分解， ④是因式分解． 故答案为：①②；③④． 题型二 公因式的认识 1．下列式子是和的公因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：和的公因式的是， 故选：C． 2．多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 故多项式的公因式是， 故选：D． 3．将多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ∴应提取的公因式是， 故选：D． 4．下列多项式中，没有公因式的是（  ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】解：A、和有公因式，不符合题意； B、和没有公因式，符合题意； C、和有公因式，不符合题意； D、和有公因式，不符合题意； 故选：B． 5．若，则的值与的公因式为（  ） A．a B． C． D． 【答案】D 【详解】 ， ， 的值与的公因式， 故选：D． 6．整式，下列结论：①A，B的公因式为；②A，B的公因式为．判断正确的是（    ） A．①正确，②不正确 B．①不正确，②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 【答案】B 【详解】解：∵， ∴A，B的公因式为， 故选：B． 7．多项式的公因式是 ； 【答案】a 【详解】解：的公因式是a． 故答案为：a． 题型三 提公因式法分解因式 1．计算的结果为（    ） A．2024 B．20240 C．202400 D．2024000 【答案】C 【详解】解：原式 ． 故选：C． 2．若，则代数式A 为（　　） A．a B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：B． 3．已知，，则的值是（   ） A．8 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 4．因式分解： ． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 5．已知，，则多项式 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 6．若，，则 ． 【答案】/ 【详解】解：， 将，代入，得 原式， 故答案为：． 7．若n为正整数，试说明一定能被3整除． 【答案】见解析 【详解】解：原式 ， ∴一定能被3整除． 题型四 平方差公式分解因式 1．下列多项式中，能用平方差公式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，无法分解因式，不符合题意； B、，不能用平方差公式分解因式，不符合题意； C、，能用平方差公式分解因式，符合题意； D、，不能用平方差公式分解因式，不符合题意； 故选：C． 2．因式分解：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 故选：D ． 3．已知，，则等于（ ） A．13 B．14 C．12 D．7 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 4．已知，则的值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：C． 5．将因式分解的结果是 ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 题型五 用完全平方公式分解因式 1．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A，，不符合完全平方公式，故此选项错误； B，，不符合完全平方公式，故此选项错误； C，，符合完全平方公式，故此选项正确； D，，不符合完全平方公式，故此选项错误； 故选：C． 2．下列各式中，不能用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．，故能用完全平方公式分解因式； B．不能用完全平方公式分解因式； C．，故能用完全平方公式分解因式； D．，故能用完全平方公式分解因式； 故选B． 3．若能用完全平方公式进行因式分解，则常数的值为（   ） A．4 B． C．4或 D．不能确定 【答案】C 【详解】解：∵能用完全平方公式进行因式分解， ∴， ∴， ∴， ∴的值为4或， 故选：C． 4．因式分解 ． 【答案】 【详解】解：； 故答案为：． 5．因式分解： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 6．已知正方形的面积是，则正方形的边长为 ． 【答案】 【详解】解：设正方形的边长为 ， 由正方形的面积是可得，， ， ，则正方形的边长， 故答案为：． 题型六 判断能否用公式法分解因式 1．下列多项式能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．，能因式分解，故符合题意； B．，不能因式分解，故不符合题意； C．，不能因式分解，故不符合题意； D．，不能因式分解，故不符合题意； 故选：A． 2．下列多项式在实数范围内不能用公式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、在实数范围内不能用公式法因式分解，符合题意； B、，在实数范围内能用完全平方公式因式分解，不符合题意； C、，在实数范围内能用平方差公式因式分解，不符合题意； D、，在实数范围内能用平方差公式因式分解，不符合题意； 故选：A． 3．下列多项式中①；②；③；④；⑤；⑥．能用公式法分解因式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：①不能用公式法因式分解； ②，可以用完全平方公式分解因式； ③不能用公式法因式分解； ④，能用平方差公式分解因式； ⑤，能用完全平方公式分解因式； ⑥不能用公式法因式分解； 综上分析可知，能用公式法分解因式的有3个． 故选：B． 4．下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 【答案】B 【详解】解：①不能用公式法分解； ②，可以用公式法分解； ③不能用公式法分解； ④，可以用公式法分解； ⑤，可以用公式法分解； 综上所述，能用公式法分解因式的是②④⑤． 故选：B． 5．在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有 个． 【答案】4 【详解】解：，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； 故答案为：4． 题型七 因式分解的应用 1．多项式 可分解为 ，则 的值是（    ） A． B．5 C． D．6 【答案】D 【详解】解：根据题意可得，， ∴， 故选：D ． 2．琳琳和楠楠在因式分解关于x的多项式时，琳琳获取的其中一个正确的因式为，楠楠获取的另一个正确因式为，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【详解】解：根据题意可知，， ∴ ∴ 故选：C 3．将二元二次方程化为二个一次方程为 ． 【答案】和 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴化为的二个一次方程为和， 故答案为：和． 4．多项式因式分解得，则 ， . 【答案】 5 2 【详解】解：， ，， ，． 故答案为：5，2. 5．若，，则 ． 【答案】5 【详解】解：∵，， ∴ ∴， 故答案为：5． 6．甲、乙两个同学分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了a，分解结果为，则 ． 【答案】 【详解】解：∵分解因式时，甲看错了b，分解结果为， ∴， 乙看错了a，分解结果为， ∴， ∴． 故答案为：15． 7．一个直角三角形斜边长为a，直角边长分别为b，c，若它的面积为6，斜边长为5，则的值为 ． 【答案】444 【详解】解：∵直角三角形斜边长为a，直角边长分别为b，c，斜边长为5，面积为6， ∴，， ∴， ∴ ； 故答案为： 1．若k为任意整数，则的值总能（   ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 【答案】D 【详解】解： 由条件可知是整数， ∴的值总能被7整除， 故选：D． 2．已知（为任意有理数），的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【详解】解：， ，即， 故选：C． 3．如果是的一个因式，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵是的一个因式， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如果，那么关于的方程的解为 ． 【答案】/ 【详解】解： ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 5．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解∶ ． 6．因式分解： 小刚的解题过程如下： 第一步 ……第二步 ……第三步 ①请问小刚同学第一步变形用到的乘法公式是 （写出用字母 a，b表示的乘法公式）； ②小颖说小刚的步骤中有错误，小刚第 步出现了错误； ③请用小刚的思路给出这道题的正确解法． 【答案】①；②二；③，过程见解析 【详解】解：①观察可知第一步变形用到的乘法公式是平方差公式，即； ②观察解题过程可知，第二步出现了错误，原因是前面的符号在去括号时没有变号； ③ ． 7．对于多项式，我们把代入此多项式，发现能使多项式的值为，由此可以断定多项式中有因式，于是我们可以把多项式写成：，分别求出后再代入 ，就可以开始把多项式进行因式分解． (1)求式子中m、n的值： (2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ， ， 解得； （2）解：当时，， 是根， ． 8．阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看成一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，还能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为换元法． 例如：因式分解：． 解：将“”看成整体，令， 则原式 将A换元，得原式 请你应用换元法对下列多项式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设， 则， 故． （2）解：设，则原式化为，则， 设，则， 故 ． 9．我们通常用作差法比较代数式的大小．例如：已知，，比较M和N的大小，先求，若，则；若，则；若，则．反之亦成立．本题中因为，所以． (1)图1所示是边长为的正方形边长增加得到的正方形，此正方形的面积为；图2所示是边长为的正方形一边增加，另一边减小，得到的长方形，此长方形的面积为．请用作差法比较与的大小． (2)已知，，请用作差法比较M与N的大小． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：依题意，， ， ∵ ∴； （2），， ∴ ， ∴． 10.【阅读材料】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：（1）求的最小值． 解：， ，， 当时，即当时，有最小值，最小值为1． 再如：求的最大值． 原式， ，， 当时，有最大值，最大值为11． 【问题解决】 (1)当______时，代数式有最小值； (2)用“配方法”求代数式的最大值； (3)已知，则______． (4)如图，王叔叔准备利用一面墙（墙足够长），用总长度52米的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，且边上留两个1米宽的小门，设长为x米，当x为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)5 (3)8 (4)当时，长方形场地的面积有最大值，最大值为243平方米 【详解】（1）解：， ， ， 当时，即当时，代数式有最小值 故答案为：． （2）解： ， ， ， 当时，有最大值，最大值为5． （3）解：， ， ，， ，， 即，， ， 又， ，， 即，， 解得：，， ． 故答案为：8． （4）解：设长为x米， 由题意得，（米）， 长方形场地的面积 ， ， ， 当时，长方形场地的面积有最大值，最大值为243平方米． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 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