8.3《公式法》（第1课时）教学设计　2024—2025学年北京版数学七年级下册

《公式法》（第1课时） 教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 初一 学期 （秋季） 课题 公式法 教科书 书 名：义务教育教科书 出版社：北京出版集团公司北京出版社 出版日期：2024年8月 教学内容及解析 （一）教学内容 1.用平方差公式分解因式的方法； 2.提公因式法和平方差公式法分解因式的综合运用. （二）内容解析 1.内容的本质 分解因式是整式乘法的逆运用，与乘法运算有密切的联系，分解因式的变形不仅体现一种“化归”的思想，也为后面学习分式，利用分解因式解一元二次方程奠定基础。对整个教科书也起到了承上启下的作用。探索分解因式的方法，事实上是对整式的再认识，因此要借助学生已有的整式乘法运算的基础，给学生一个新的、具有启发性的问题情境，鼓励学生通过独立思考与讨论交流发现问题情境中的变形关系，并运用符号进行表示，然后再运用所学的知识去解决相关的问题。在探索分解因式方法的相关活动过程中，渗透类比思想，让学生体会、理解、认识分解因式的意义，感受之间的联系，学生不仅能理解、归纳分解因式变形的特点，同时也可以感受这种互逆变式的过程和数学知识的整体性。 平方差公式分解因式是将具有特定形式的多项式进行因式分解的数学方法，它基于乘法公式的逆运算，反映了数学中的对称美和结构规律，以下是具体说明： 2. 蕴含的数学思想方法 利用整式乘法，通过对比引导学生逆向思维，使学生认识因式分解与整式乘法是互逆的代数式的恒等变形。在学生得到与的恒等认识后，指出在因式分解中，与是的因式。即可以把分解为积的形式，而在整式乘法中，得到是乘法公式。通过这样的互逆表达，体现数学的类比思想。 3. 知识的上下位关系 因式分解是在学生学习了整式的乘法之后学习的，二者是互逆的代数式的恒等变形。学习本节课之前学生已经学习了提公因式法分解因式，通过本节课的学习，不仅使学生理解用平方差公式分解因式的意义，掌握公式的特点，并能熟练的运用平方差公式和提公因式法将多项式进行分解因式。而且又为下节课学习用完全平方公式分解因式做好充分的准备，起着起承上启下的作用。 4. 育人价值 本节课是运用提公因式法后公式法的第一课时—用平方差公式法分解因式。它是整式乘法的平方差公式的逆向应用，它是解高次方程的根底，在教材中具有重要的地位。在教材的处理上以学生的自主探究为主，在原有用平方差公式进行整式乘法计算的知识的根底上充分认识分解因式。明确因式分解是乘法公式的一种恒等变形，让学生学会合情推理，同时也培养了学生爱思考，善交流的好习惯。 5.教学重点 利用平方差公式分解因式． 教学目标及解析 （1） 教学目标 1.掌握平方差公式的特点，会运用平方差公式进行因式分解； 2.理解运用平方差公式分解因式的方法，掌握提公因式法和公式法分解因式的综合运用； 3.经历利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的关联性和完整性． （二）目标解析 1.平方差公式为，其特点是等号左边是两项式，两项都能写成平方的形式，且这两项符号相反；等号右边是这两个数的和与这两个数的差的乘积形式。在运用平方差公式进行因式分解时，要准确识别公式中的和。 2.理解运用平方差公式分解因式的方法，不仅要会直接套用公式，还需明白公式背后的原理，即乘法分配律的逆运用。实际解题中，很多多项式不能直接用平方差公式，需要先提取公因式，再用公式法分解。这要求学生能灵活判断多项式的特征，选择合适的方法进行分解，提升综合解题能力。 3.平方差公式本身是乘法公式的逆用，学生在学习过程中，从熟悉的乘法运算到逆向的因式分解，需要打破常规思维。同时在后续学习如解方程、化简根式等内容中也会用到因式分解，从而体会到数学知识是一个相互关联的整体，感受数学知识的完整性。 学情诊断及分析 （一）学生已有认知基础 学生已经掌握了整式的定义、单项式和多项式的概念，并且熟练进行整式的加、减、乘、除运算；理解同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等运算性质，能够准确进行幂的相关计算；已经学习了平方差公式以及完全平方公式的正向运用，对公式的结构和计算方法有了一定的认识，知道如何根据给定的式子利用乘法公式进行计算。 在之前的数学学习中，学生通过对各种数学式子和图形的观察、分析，已经具备了一定的观察式子特征、分析数据之间关系的能力，能够初步判断一个式子是否具有某种规律或符合某种公式的形式。 在学习数学的过程中，学生已经接触到一些简单的逻辑推理问题，如根据已知条件推出结论等，具备了一定的逻辑思维能力，能够理解从乘法到因式分解的逆向推理过程，明白平方差公式分解因式是乘法公式的逆用。 （2） 达成目标所需要的认知基础 能够清楚多项式乘法的运算过程，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等运算性质，需要能够观察出多项式是否具备平方差公式的形式特征，即是否能写成两项的平方差，同时具备逆向思维的能力和逻辑推理能力。 （3） 学习困难 一方面，学生可能难以准确识别公式中的和，从而无法正确计算；另一方面，学生可能只是机械地记忆平方差公式的形式，而不理解其本质是两个数的平方差可以转化为这两个数的和与差的乘积，这就使得他们在遇到一些需要灵活运用公式的问题时感到困惑。 （四）突破策略 1.通过直观演示和对比辨析的方法强化对公式的理解； 2.通过专项训练和错题分析的方法加强运算技能的训练； 3.通过设计正向和逆向的题目培养学生的逆向思维。 具体教学策略： 通过设计“在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，剩下的部分能否只剪一次，再拼成一个我们熟悉的规则几何图形？”这一直观演示的活动，从几何角度引导学生认识平方差公式；给出一些类似平方差公式形式和不是平方差公式形式的多项式，让学生进行对比判断，强化对公式结构的认识；总结综合运用提公因式法和平方差公式分解因式的一般步骤。如先观察多项式各项是否有公因式，若有则先提取公因式，然后再看提取公因式后的式子是否符合平方差公式的形式，若符合则继续分解，详细展示每一步的方法和依据。 （五）教学难点 基于以上分析，本节课的难点在于 1.用平方差公式推导及高次指数的转化； 2.两种因式分解方法 (提公因式、平方差公式) 的灵活运用。 教学重难点 一、教学重点:运用平方差公式分解因式； 二、教学难点:用平方差公式推导及高次指数的转化、两种因式分解方法 (提公因式、平方差公式) 的灵活运用。 教学过程 一．复习引入 问题：什么叫做因式分解？ （把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫做因式分解，也叫作分解因式.） 问题：已学习过什么因式分解的方法？ （已经学习了提公因式法） 问题：整式乘法中的平方差公式是什么？若将此公式的左右交换位置，可以看做对多项式做什么变形？ （整式乘法的平方差公式，将此公式交换位置后得到,由于因式分解是把一个多项式化为了几个整式乘积的形式，所以可以看做对多项式的因式分解变形.） 【设计意图】体会知识间的联系及整体性，回顾旧知识，引出新知识. 二．探究新知 这样我们就得到了因式分解的方法：， 即：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 前面我们在学习平方差公式时，分析了公式的结构以及推理过程.那么利用平方差公式法因式分解时，多项式需要具备什么特点呢？ （1） 此多项式应是一个两项式； （2） 这两项均为平方的形式； （3） 它们符号相反. 符合平方差公式法因式分解的多项式，分解结果是什么呢？ 分解后得到这两个底数的和，这两个底数的差的乘积.因此在应用此公式时，同样需要我们找到哪项为公式中的，哪项为公式中的. 【设计意图】分析公式结构特征及运用平方差公式分解因式的应用条件，熟练掌握公式. 练习：判断下列各式能否用平方差公式因式分解：√ √ × × × √ 分析：若能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反. (1) 中两项可以写成平方形式，即，并且这两项分别是，符号是相反的，所以可以利用平方差公式进行因式分解； (2) 把(2)变形为，可以写成，并且符号相反，可以利用平方差公式进行因式分解； (3) 中虽然可以写成平方形式，但符号确是相同的，所以不可以； (4) 同理（4）满足上述两个条件，可以利用平方差公式进行因式分解； (5) 的符号相同，均为负的，所以不行； (6) 要先化简一下，化简后为，符号相同，所以不行。 综上，可以用平方差公式进行因式分解有（1），（2），（4） 三．例题讲解 例：分解因式： 分析：在（1）中，由于所以可以写成平方的形式，即：，且这两项符号相反，所以可以用平方差公式分解因式； 在（2）中，把和各看成一个整体，设，，则原式化为. 解： 【设计意图】运用平方差公式解决较简单的因式分解问题. 练习：下列因式分解错误的是（ D ） 分析：A中利用加法交换律将原式进行变形得，再利用平方差公式分解，对比A项，正确. B中为两项，这两项有公因式x，所以提出公因式后即为：x(x2+1)，故B分解正确； C中利用平方差公式分解后得C正确； D项可以写成-16a2+1=1-16a2=12-(4a)2，可以写成两项平方之差形式，对比公式可知，1相当于公式中的a，4a相当于公式中的b，所以可得，D分解因式不正确； 故分解不正确的选D 例：分解因式： 分析：对于（1）可以写成的形式，这样就可以利用平方差公式分解成，然而分解到这一步我们发现还没分解完，可以继续分解，所以原式分解为；（2）中有公因式ab，应先提出公因式，再进一步分解. 解： 小结：在运用平方差公式分解因式时，我们应该注意： 1.若多项式中有公因式，应先提取公因式，再进一步分解因式； 2.因式分解要彻底，直到每个因式不能继续再分解为止. 练习：分解因式 分析：对于（1）可以先交换一下两项的位置，得到，进而写成两项平方差的形式，即根据平方差公式分解即可；或者也可先对原式提取一个负号，得，这样也可直接利用平方差公式因式分解； （2）中5a+2b看成一个整体，原式为平方差的形式，可以利用公式进行分解，分解后得，仍需继续做合并同类项得，我们发现合并后有公因数，提取完公因数得； （3）中公因式为，提取公因式后，仍能继续用平方差公式分解，故原式分解为：； （4）中提取公因式要取较小的字母指数，提公因式，原式为，然而还能继续分解，所以最终分解结果为； 解： 例：利用因式分解计算 分析：(1)中可利用平方差公式分解成，进而再进行化简运算；（2）中可以先提取共同的因数3.14，再利用平方差公式分解计算. 解： 【设计意图】训练学生综合运用的能力，巩固提高形成技能，体会整体思想。 例：如图，在一块长为a的正方形纸片的四角，各减去一个边长为b的正方形，其中a=1.86，b=0.34，求剩余部分面积. 分析：求正方形减去四角后的面积，即用大正方形的面积，减去四个小正方面即可。先可以列出式子为a2-4b2，若直接带入数值，发现运算量较大，所以可以先将a2-4b2因式分解后，再代入数值运算，可大大简化运算过程。 解：S剩 = a2-4b2=(a+2b)(a-2b) 把a=1.86，b=0.34带入 S剩 =(1.86+2×0.34)×(1.86-2×0.34) =2.72×1 =2.72 四．归纳总结 问题：今天我们主要学了哪些知识？ 利用平方差公式分解因式： 问题：怎样判断能否利用平方差公式因式分解？ 利用平方差公式分解需要满足所给多项式能够写成两项平方差的形 式，或者在变形后能够写成两项平方差的形式. 平方差公式中的字母a,b可以表示数、单项式或多项式. 问题：在运用平方差公式分解因式时，我们应该注意哪些问题？ (1)若多项式中有公因式，应先提取公因式，再进一步分解因式； (2)因式分解要彻底，直到不能继续再分解为止. 【设计意图】总结本节课所学主要内容，培养学生形成不断反思总结的意识和能力. 五．拓展提升 如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm，向里依次为99cm，98cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？ 解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差，而正方形的面积是其边长的平方，这样就可以逆用平方差公式计算了．则S阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050(cm2)． 答：所有阴影部分的面积和是5050cm2. 六．课后作业 1.下列所向是能否用平方差公式分解因式？为什么？ 2.分解因式 【设计意图】巩固所学知识. 学科网（北京）股份有限公司 $$