7.8 简单几何图形及其推理（1）余角、补角、平行线（七大题型提分练）（题型专练）数学新教材北京版七年级下册

F7.8 简单几何图形及其推理---（1）余角、 补角、平行线 题型一 求一个角的余角 1．若，则的余角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴的余角， 故选：B． 2．的余角等于 ． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 3．已知与互为余角，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵与互为余角， ∴， ∵， ∴， 故选：． 4．下列图形中和互为余角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，和不是互为余角，故选项不符合题意； B、，和不是互为余角，故选项不符合题意； C、和不是互为余角，故选项不符合题意； D、，和互为余角，故选项符合题意； 故选：D． 5．如图所示，，，那么图中互余的角共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【详解】解：由题意可得：， ∴，，， ∴，， ∴， 综上，图中互余的角共有4对， 故选：C． 6．将一个含角的直角三角尺和直尺如图放置，当时，，，，四个角中与互余的角有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴，，，四个角中与互余的角有和，共个， 故选：． 题型二 求一个角的补角 1．若，则的补角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵， ∴的补角， 故选：C． 2．图中，的补角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据平角的意义知：, ∴的补角是， 故选：B． 3．如图，若其中，则与互补的角有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：∵， ∴与互补的角是, ∵， ∴， ∴与互补的角是， ∴与互补的角有3个， 故选：B． 4．已知的补角度数为，则的度数为 ． 【答案】/40度 【详解】解：∵的补角度数为， ∴的度数为， 故答案为：． 5．若与互补，且，则 ． 【答案】 【详解】解：∵与互补， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．钟表上的时间是5时40分，此时时针与分针所成夹角的补角是 ． 【答案】 【详解】解：∵5时40分时，时针指向5和6之间，分针指向8， 钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，40分正好是， ∴5时40分，则时针与分针的夹角为． 此时时针与分针所成夹角的补角是， 故答案为：． 题型三 与余角、补角有关的计算 1．一个角的度数是，那么它的余角的补角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：一个角的度数是，那么它的余角的补角的度数是： ， 故选：A． 2．如图，直线相交，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据图示可得，，， ∴， ∴， 故选：C． 3．已知一个角的2倍与这个角的余角相等，则这个角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设这个角的度数为x， ， 解得：， ∴这个角是， 故选：C． 4．如图，如果，那么．依据是（   ） A．直角都相等 B．对顶角相等 C．同角的余角相等 D．同角的补角相等 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 依据是同角的余角相等， 故选：C． 5．已知一个角的余角是，则这个角的补角是 ． 【答案】 【详解】解：由题意得 这个角的为：， 这个角的补角是：， 故答案为：． 6．一个角的补角是这个角的5倍，则这个角的度数是 ． 【答案】 【详解】解：设这个角的度数为，则这个角的补角的度数为， 由题意得，， 解得， ∴这个角的度数为， 故答案为；． 7．如图，，直线经过点．若，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵，， ， ∵， ． 题型四 同（等）角的余（补）角相等的应用 1．已知与互补，与互补，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵与互补，与互补， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2．如图，将一副直角三角板的顶点重合后放置，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】解：∵， ∴． 故选D． 3．将一副三角板中的两个直角三角尺的直角顶点按下图方式叠放在一起．可知，理由是 ． 【答案】同角的余角相等 【详解】解：∵， ∴， 即， 故答案为：同角的余角相等． 4．命题“等角的余角相等”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【详解】解：命题“等角的余角相等”是真命题． 故答案为：真． 5．完成推理过程： 已知：OA⊥OC，OE⊥OD，求证∠1＝∠2． 证明： ∵OA⊥OC，OE⊥OD（已知） ∴∠AOC＝______º，∠DOE＝______º（垂直定义） ∴∠1＋∠3＝90º ∠2＋∠3＝90º ∴∠1＝∠2（    ） 【答案】90，90，同角的余角相等 【详解】证明：∵OA⊥OC，OE⊥OD（已知） ∴∠AOC＝90º，∠DOE＝90º（垂直定义） ∴∠1＋∠3＝90º ∠2＋∠3＝90º ∴∠1＝∠2（同角的余角相等）； 故答案为：90，90，同角的余角相等； 题型五 对顶角的定义 1．下列选项中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对顶角的定义：两条直线相交后所得，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，观察选项，只有B选项符合， 故选：B． 2．如果把如图所示的工具的构造看作几条相交的直线，其中有对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据对顶角的定义可知，有对顶角的是B选项， 故选：B． 3．如图，当光线从空气斜射入水中时，传播方向发生了偏折，这就是光的折射现象．其中的对顶角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得，的对顶角是， 故选：A． 4．如图，直线，相交于点O，已知，则等于（    ） A． B． C． D．无法计算 【答案】A 【详解】∵直线，相交于点O，已知， ∴． 故选：A． 5．光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点．测得，，若、、三点在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意得：， ∵，， ∴， 故选：D． 6．如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是 ． 【答案】对顶角相等 【详解】解：利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是对顶角相等， 故答案为：对顶角相等． 题型六 画平行线 1．如图，画平行线的操作中，最直接依据的基本事实是（   ） A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】B 【详解】解：如图， ∵， ∴(位角相等，两直线平行）， 故选：B． 2．如图，平面内有三点，且三点不在同一条直线上，过这三点画两条平行线，这样的平行线能画几种？画图说明． 【答案】能画三种，见解析 【详解】解：能画三种，如图所示： ①作直线，过点做的平行线； ②作直线，过点做的平行线； ③作直线，过点做的平行线． 3．如图，在方格纸上有点、和直线．过点画；过点画． 【答案】见解析 【详解】解：如图所示，即为所求， 4．如图，三角形， (1)用直尺和三角尺画图： ①过点画； ②画，垂足为． (2)___________°，依据是___________． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)50；两直线平行，内错角相等 【详解】（1）解：①如下图所示 ②画图如下 （2）解：∵，， ∴（两直线平行，内错角相等）； 故答案为：50；两直线平行，内错角相等． 5．如图，已知点为直线外一点． (1)完成下列画图：过点画直线，过点作，垂足为，画线段； (2)比较线段与线段的大小，并说明依据． 【答案】(1)见解析 (2)，垂线段最短 【详解】（1）解：根据题意画图如下： （2）解：， 依据是垂线段最短． 6．如图，在中，，点是延长线上一点，过点画直线，过点画射线交于点． (1)按题意画图，将图形补充完整； (2)若比的4倍少，则______． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：如图所示，直线和射线即为所求； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵比的4倍少， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型七 平行线公理 1．已知直线及直线外一点，在经过点的四条直线，，，中，与直线相交的至少有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【详解】解：根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行， 那么根据图可得：至少有三条直线和直线相交； 故选：C 2．如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点在同一直线上，这样判定的依据是（   ）    A．两点确定一条直线 B．同角的补角相等 C．平行于同一直线的两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【详解】解：这样判定的依据是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， 故选：． 3．如果，，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，，， ∴，，， 故选：A． 4．如图，，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是 . 【答案】过直线外点有且只有条直线与这条直线平行 【详解】解：∵，，且、经过点C， ∴过外一点C的直线和都平行于直线， ∵经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行， ∴点M，C，N在一条直线上， 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 5．如图，小明在纸上画了两条平行线，又画了一条直线与相交于，小明觉得直线一定和相交．小明作出这个判断的依据是教材上的一个基本事实．这个基本事实是 ． 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【详解】解：由题意，这个基本事实是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 6．现有一条直线及其外的一点． (1)①用三角板在直线上找一点，使的长度最短； ②理论依据是________； (2)①过点画的平行线； ②这样的平行线可以画________条． 【答案】(1)①图见解析②垂线段最短 (2)①图见解析②1 【详解】（1）解：①如图，点即为所求； ②理论依据为：垂线段最短； 故答案为：垂线段最短； （2）①由题意，作图如下： ②这样的平行线可以画1条， 故答案为：1． 7．如下图，已知．试说明：． 【答案】见解析 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 1．如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如下图： ∵直尺的两边平行， ∴， ∴， 故选：A 2．将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则下列结论正确的是 （填序号）． ①；        ②；③；    ④． 【答案】①②③④ 【详解】解：①根据两直线平行，同位角相等，可得，故①正确； ②根据两直线平行，同旁内角互补，可得，故②正确； ③由三角板的顶角是直角，则，又∵，即，故③正确； ④根据两直线平行，内错角线段可得：，故④正确． 故答案为：①②③④． 3．如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为“垂角”，例如：，，，则和互为“垂角”（本题中所有角都是指大于且小于的角）．如果有一个角的“垂角”等于这个角的补角的，那么这个角的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】设这个角的度数为x，则这个角的补角的度数为，根据题意， ， 或 解得或， 这个角的度数为或． 故选D． 4．已知是的补角．是的补角，若，，则为 ． 【答案】150 【详解】解：∵是的补角，是的补角， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：150． 5．如图，已知直线和相交于点O，，平分． (1)的对顶角是________；的余角是________； (2)若，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）的对顶角是； ∵， ∴， ∴， ∴的余角是． 故答案为：；； （2）由，得． 由对顶角相等得． 由角的和差得． 由平分，得． 由角的和差得． 6．如图，点在直线上，（和在直线上方）． (1)写出的补角和的余角； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)的补角为，的余角为 (2)的度数为 【详解】（1）解：点在直线上，， 的补角为，的余角为； （2）解：平分， ， ， ， ， 答：的度数为． 7．如图，直线，相交于点，平分，平分，，求的度数． 【答案】 【详解】解：设， 平分， ， ， ， 平分， ， 由题意得：， 即， 解得， ， ． 8．如下图，已知三角形，点P在边上． (1)过点P画的平行线交于点T； (2)过点C画； (3)直线_______（填位置关系）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，直线即为所求． （3）解： ，， ， 故答案为：． 9．如图所示，． (1)尺规作图：过点B作直线（要求：不写做法，保留作图痕迹）； (2)若，点是直线上的一点（不与点重合），则______． 【答案】(1)作图见解析部分； (2)或 【详解】（1）如图，直线为所求作． （2）解：如图 ， ， ， ， ∵直线， ， ． 故答案为：或 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.8 简单几何图形及其推理---（1）余角、 补角、平行线 题型一 求一个角的余角 1．若，则的余角等于（   ） A． B． C． D． 2．的余角等于 ． 3．已知与互为余角，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．下列图形中和互为余角的是（   ） A． B． C． D． 5．如图所示，，，那么图中互余的角共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 6．将一个含角的直角三角尺和直尺如图放置，当时，，，，四个角中与互余的角有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型二 求一个角的补角 1．若，则的补角的度数为（    ） A． B． C． D． 2．图中，的补角是（    ） A． B． C． D． 3．如图，若其中，则与互补的角有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．已知的补角度数为，则的度数为 ． 5．若与互补，且，则 ． 6．钟表上的时间是5时40分，此时时针与分针所成夹角的补角是 ． 题型三 与余角、补角有关的计算 1．一个角的度数是，那么它的余角的补角的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线相交，若，则等于（   ） A． B． C． D． 3．已知一个角的2倍与这个角的余角相等，则这个角是（    ） A． B． C． D． 4．如图，如果，那么．依据是（   ） A．直角都相等 B．对顶角相等 C．同角的余角相等 D．同角的补角相等 5．已知一个角的余角是，则这个角的补角是 ． 6．一个角的补角是这个角的5倍，则这个角的度数是 ． 7．如图，，直线经过点．若，求的度数． 题型四 同（等）角的余（补）角相等的应用 1．已知与互补，与互补，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，将一副直角三角板的顶点重合后放置，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 3．将一副三角板中的两个直角三角尺的直角顶点按下图方式叠放在一起．可知，理由是 ． 4．命题“等角的余角相等”是 命题．（填“真”或“假”） 5．完成推理过程： 已知：OA⊥OC，OE⊥OD，求证∠1＝∠2． 证明： ∵OA⊥OC，OE⊥OD（已知） ∴∠AOC＝______º，∠DOE＝______º（垂直定义） ∴∠1＋∠3＝90º ∠2＋∠3＝90º ∴∠1＝∠2（    ） 题型五 对顶角的定义 1．下列选项中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 2．如果把如图所示的工具的构造看作几条相交的直线，其中有对顶角的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，当光线从空气斜射入水中时，传播方向发生了偏折，这就是光的折射现象．其中的对顶角是（    ） A． B． C． D． 4．如图，直线，相交于点O，已知，则等于（    ） A． B． C． D．无法计算 5．光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点．测得，，若、、三点在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是 ． 题型六 画平行线 1．如图，画平行线的操作中，最直接依据的基本事实是（   ） A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同位角相等 2．如图，平面内有三点，且三点不在同一条直线上，过这三点画两条平行线，这样的平行线能画几种？画图说明． 3．如图，在方格纸上有点、和直线．过点画；过点画． 4．如图，三角形， (1)用直尺和三角尺画图： ①过点画； ②画，垂足为． (2)___________°，依据是___________． 5．如图，已知点为直线外一点． (1)完成下列画图：过点画直线，过点作，垂足为，画线段； (2)比较线段与线段的大小，并说明依据． 6．如图，在中，，点是延长线上一点，过点画直线，过点画射线交于点． (1)按题意画图，将图形补充完整； (2)若比的4倍少，则______． 题型七 平行线公理 1．已知直线及直线外一点，在经过点的四条直线，，，中，与直线相交的至少有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 2．如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点在同一直线上，这样判定的依据是（   ）    A．两点确定一条直线 B．同角的补角相等 C．平行于同一直线的两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 3．如果，，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是 . 5．如图，小明在纸上画了两条平行线，又画了一条直线与相交于，小明觉得直线一定和相交．小明作出这个判断的依据是教材上的一个基本事实．这个基本事实是 ． 6．现有一条直线及其外的一点． (1)①用三角板在直线上找一点，使的长度最短； ②理论依据是________； (2)①过点画的平行线； ②这样的平行线可以画________条． 7．如下图，已知．试说明：． 1．如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则下列结论正确的是 （填序号）． ①；        ②；③；    ④． 3．如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为“垂角”，例如：，，，则和互为“垂角”（本题中所有角都是指大于且小于的角）．如果有一个角的“垂角”等于这个角的补角的，那么这个角的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 4．已知是的补角．是的补角，若，，则为 ． 5．如图，已知直线和相交于点O，，平分． (1)的对顶角是________；的余角是________； (2)若，求的度数． 6．如图，点在直线上，（和在直线上方）． (1)写出的补角和的余角； (2)若平分，求的度数． 7．如图，直线，相交于点，平分，平分，，求的度数． 8．如下图，已知三角形，点P在边上． (1)过点P画的平行线交于点T； (2)过点C画； (3)直线_______（填位置关系）． 9．如图所示，． (1)尺规作图：过点B作直线（要求：不写做法，保留作图痕迹）； (2)若，点是直线上的一点（不与点重合），则______． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$