2025年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03

( ) ( ) 2025年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [ ／ ] 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2 ．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题， 不 得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 )数学仿真模拟卷03·答题卡 一、选择题（本题共20小题，每小题3分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ） ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 1 5 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 17 [A] [B] [C] [D] 18 [A] [B] [C] [D] 19 [A] [B] [C] [D] 20 [A] [B] [C] [D] ) ( 二、填空题（本题共 4 个小题，每小题 3 分，共 1 2 分．请将答案填在题中横线上．） ) ( 21 ． _______________________ 2 2 ． _______________________ 2 3 ． _______________________ 2 4 ． _______________________ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、解答题（ 本题共 4 小题，共 28 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 2 5 . （ 7 分） 2 6 ． （ 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 7 ． （ 7 分） 2 8 ． （ 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷03 （考试时间：90分钟；满分：100分） 本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分． 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致． 2．第一部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第二部分用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 第一部分（选择题共60分） 1、 选择题（本题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1．已知集合，，那么（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，若，则的值为（    ） A． B． C． D．10 3．已知，是平面，，是直线，下列命题中不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若复数，则（    ） A． B． C． D． 6．不等式的解集是（    ）. A． B． C．，或 D．，或 7．下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 8．复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．为了得到的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 10．方程的解集为（    ） A． B． C． D． 11．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 12．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 A． B． C． D． 13．如图，在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，设，，那么（   ） A． B． C． D． 14．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，，一辆车从甲地到乙地，恰好没有遇到红灯的概率为（    ） A． B． C． D． 15．已知函数，则（    ） A．当且仅当时，有最小值为 B．当且仅当时，有最小值为 C．当且仅当时，有最大值为 D．当且仅当时，有最大值为 16．（   ） A． B． C． D． 17．如图，在长方体中，，，则（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 18．已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A． B．在上单调递减 C．是偶函数 D．若，则为 19．平面向量，共线的充要条件是（    ） A．，方向相同 B．，两向量中至少有一个为零向量 C．， D．存在不全为零的实数，， 20．某小区的公共交流充电桩每小时的充电量为，收费标准如下表所示： 时间段 00：00—07：00 07：00—10：00 10：00—15：00 15：00—18：00 18：00—21：00 21：00—23：00 23：00—24：00 收费（元/） 1.2 1.4 1.6 1.4 1.6 1.4 1.2 小王的新能源汽车于17：30开始在该小区的公共交流充电桩充电，当天21：00还未充满，21：30来查看，发现已充满，则小王应缴纳的充电费可能为（    ） A．31.5元 B．37.5元 C．45.3元 D．51.1元 第二部分（非选择题共40分） 二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分．请将答案填在题中横线上．） 21．函数的定义域为 . 22．若，则的值为 . 23．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，向量满足，且．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ， ．    24．动力电池组对新能源汽车的性能表现以及安全性影响巨大，是新能源汽车非常核心的部件．如图是刀片电池、三元锂电池和磷酸铁锂电池部分指标的雷达图，则下列正确结论的序号是 ． ①刀片电池的安全性更高，价格优势更突出； ②三元锂电池的缺点是循环寿命较短、价格偏高、安全性偏低； ③对于这7项指标，刀片电池的平均得分低于三元锂电池； ④磷酸铁锂电池能量密度低、低温性能好. 三、解答题（本题共4小题，共28分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 25.（本小题满分7分） 已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求在上的最值. 26.（本小题满分7分） 已知函数 (1)求函数的零点； (2)用定义证明在区间上单调递减. 27.（本小题满分7分） 已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. (3)求三棱锥的体积. 28.（本小题满分7分） 设集合为非空实数集，集合，称集合为集合的积集. (1)当时，写出集合的积集； (2)若是由个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； (3)判断是否存在个正实数构成的集合，使其积集，并说明理由. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷03 参考答案 1、 选择题（本题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 D B A A B B B C C D B B A A A A B B D B 二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分．请将答案填在题中横线上．） 21、 22、/ 23、 0 ，或 24、①② 三、解答题（本题共4小题，共28分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 25.（本小题满分7分） (1) (2)最小值2，最大值 【详解】（1）， 所以的最小正周期. （2）由，得， 故当，即时，取得最小值2； 当，即时，取得最大值. 26.（本小题满分7分） (1)和； (2)证明见解析. 【详解】（1）解：因为， 令，即或， 解得或， 所以的零点为和. （2）证明：设任意的，，且， 则， 因为， 所以，，， 所以， 即， 所以在区间上为减函数． 27.（本小题满分7分） (1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）如图， 连接，， 四边形为矩形，为的中点， 与交于点，且为的中点， 又点为的中点，， 又平面，且平面， 平面. （2）直三棱柱满足，， 又点为的中点，且面，面， 所以，， 又面， 平面. （3）由图可知， ，，， 又三棱柱为直三棱柱，且， . ，，点为的中点， 所以. 由（2）可知平面. 所以点到平面的距离为， 又点为的中点， 所以点到平面的距离为， . 28.（本小题满分7分） (1) (2)7 (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）因为，故集合中所有可能的元素有，即， （2）设，不妨设， 因为，所以中元素个数大于等于7个， 又，，此时中元素个数等于7个， 所以积集B中元素个数的最小值为7. （3）不存在，理由如下： 假设存在4个正实数构成的集合，使其积集， 不妨设，则集合A的生成集 则必有，其4个正实数的乘积； 又，其4个正实数的乘积，矛盾； 所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷03 （考试时间：90分钟；满分：100分） 本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分． 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致． 2．第一部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第二部分用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 第一部分（选择题共60分） 1、 选择题（本题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1．已知集合，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用并集的定义可求得. 【详解】因为集合，，所以. 故选：D. 2．已知向量，，若，则的值为（    ） A． B． C． D．10 【答案】B 【分析】根据垂直向量的坐标表示，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：B. 3．已知，是平面，，是直线，下列命题中不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】A 【分析】根据空间中线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：若，，则或与异面，故A错误； 对于B：两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面， 故若，，则，故B正确； 对于C：垂直于同一条直线的两个平面互相平行， 故若，，则，故C正确； 对于D：根据面面垂直的判断定理可知，若，，则，故D正确； 故选：A 4．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由不等式的性质以及充分不必要条件即可求解. 【详解】因为，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5．若复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数乘法运算化简，然后由复数的模的公式可得. 【详解】因为， 所以. 故选：B 6．不等式的解集是（    ）. A． B． C．，或 D．，或 【答案】B 【分析】先将不等式的右边化为零，然后根据一元二次不等式的解法求得不等式的解集. 【详解】由题意，∴， 即，解得：， ∴该不等式的解集是. 故选：B 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 7．下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由解析式直接判断函数的偶性、增减性即可得解. 【详解】对于ACD，、、是非奇非偶函数，故排除ACD， 对于B，是奇函数且是定义域上的增函数，故B对； 故选：B. 8．复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】化简复数后，利用复数对应象限内点的特征求解即可. 【详解】由题意得，故在复平面内对应的点为， 该点位于第三象限，故C正确. 故选：C 9．为了得到的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】C 【分析】根据三角函数图象变换规律可得答案. 【详解】将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，故A不正确； 将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，故B不正确； 将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，故C正确； 将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，故D不正确； 故选：C 10．方程的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据真数大于零解得或，再将1转化为，即可解得，都使得方程有意义，即可知正确选项. 【详解】由题意，，解得或， 由，得，则，解得，所以方程的解集为. 故选：D. 11．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义可先得，再根据诱导公式计算即可. 【详解】由正弦函数的定义可知， 再利用诱导公式知. 故选：B 12．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解． 【详解】设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，则从这5只中任取3只的所有取法有，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有共6种， 所以恰有2只做过测试的概率为，选B． 【点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错． 13．如图，在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，设，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件结合平面向量基本定理求解即可. 【详解】因为在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，，， 所以 . 故选：A 14．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，，一辆车从甲地到乙地，恰好没有遇到红灯的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合对立事件概率，由独立事件的概率公式计算． 【详解】由题意各路口没有遇到红灯的概率分别为， 所以经过三个路口没有遇到红灯的概率是． 故选：A． 15．已知函数，则（    ） A．当且仅当时，有最小值为 B．当且仅当时，有最小值为 C．当且仅当时，有最大值为 D．当且仅当时，有最大值为 【答案】A 【分析】由基本不等式可得答案. 【详解】因为，所以， 当且仅当即时等号成立. 故选：A. 16．（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用根式的性质、指数和对数的运算性可得出所求代数式的值. 【详解】，故A正确. 故选：A. 17．如图，在长方体中，，，则（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据长方体的性质求解. 【详解】在长方体中，， 故选：B 18．已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A． B．在上单调递减 C．是偶函数 D．若，则为 【答案】B 【分析】根据函数解析式及图象可得答案. 【详解】因为，所以，A不正确； 作出简图，如下， 由其简图可知B正确； 由图象可知函数是奇函数，不是偶函数，C不正确； 当时，可得，当时，可得，此时无解. 所以，D不正确. 故选：B. 19．平面向量，共线的充要条件是（    ） A．，方向相同 B．，两向量中至少有一个为零向量 C．， D．存在不全为零的实数，， 【答案】D 【解析】根据，共线的定义得到向量，共线的充要条件 【详解】由，共线的定义， 若，均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数，使得； 若，则由两向量共线知，存在，使得， 即，符合题意. 故选:D. 【点睛】本题考查了对向量共线定义的理解，特别注意零向量与任意向量共线，属于基础题. 20．某小区的公共交流充电桩每小时的充电量为，收费标准如下表所示： 时间段 00：00—07：00 07：00—10：00 10：00—15：00 15：00—18：00 18：00—21：00 21：00—23：00 23：00—24：00 收费（元/） 1.2 1.4 1.6 1.4 1.6 1.4 1.2 小王的新能源汽车于17：30开始在该小区的公共交流充电桩充电，当天21：00还未充满，21：30来查看，发现已充满，则小王应缴纳的充电费可能为（    ） A．31.5元 B．37.5元 C．45.3元 D．51.1元 【答案】B 【分析】根据题意算出各时间段的充电费用即可判断选项. 【详解】由题知，小王在15：00—18：00时段充电0.5小时，费用为元； 在18：00—21：00时段充电3小时，费用为元； 记在21：00—23：00时段充电时间为x小时，费用为元. 综上，小王应缴纳的充电费， 因为，所以. 故选：B 第二部分（非选择题共40分） 二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分．请将答案填在题中横线上．） 21．函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据函数的解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得且， 因此，函数的定义域为. 故答案为：. 22．若，则的值为 . 【答案】/ 【分析】利用同角的平方关系求出，再利用三角函数的倍角公式即可得解. 【详解】因为，所以， 则. 故答案为：. 23．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，向量满足，且．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ， ．    【答案】 0 ，或 【分析】建立平面直角坐标系得到、的坐标可得；设，根据，且．建立关于的方程组求出可得的坐标，再由的坐标运算可得答案. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则，， 所以； 设，则， 且，所以且， 由，解得，或， 所以，或， 所以，或.    故答案为：①0；②，或. 24．动力电池组对新能源汽车的性能表现以及安全性影响巨大，是新能源汽车非常核心的部件．如图是刀片电池、三元锂电池和磷酸铁锂电池部分指标的雷达图，则下列正确结论的序号是 ． ①刀片电池的安全性更高，价格优势更突出； ②三元锂电池的缺点是循环寿命较短、价格偏高、安全性偏低； ③对于这7项指标，刀片电池的平均得分低于三元锂电池； ④磷酸铁锂电池能量密度低、低温性能好. 【答案】①② 【分析】借助于雷达图分析数据，对①、②、③、④一一验证即可. 【详解】由雷达图易知刀片电池的安全性更高，价格优势更突出，①正确； 三元锂电池的循环寿命较短、价格偏高、安全性偏低，②正确； 对于这7项指标，刀片电池的平均得分为， 三元锂电池的平均得分为，所以③错误； 磷酸铁锂电池能量密度低、低温性能差，④错误． 故答案为：①②. 三、解答题（本题共4小题，共28分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 25.（本小题满分7分） 已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求在上的最值. 【答案】(1) (2)最小值2，最大值 【分析】（1）先利用诱导公式及辅助角公式化简，进而由周期公式计算即可； （2）根据正弦函数的性质求解即可. 【详解】（1）， 所以的最小正周期. （2）由，得， 故当，即时，取得最小值2； 当，即时，取得最大值. 26.（本小题满分7分） 已知函数 (1)求函数的零点； (2)用定义证明在区间上单调递减. 【答案】(1)和； (2)证明见解析. 【分析】（1）令，结合分段函数解析式分别计算可得； （2）利用定义法证明，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可. 【详解】（1）解：因为， 令，即或， 解得或， 所以的零点为和. （2）证明：设任意的，，且， 则， 因为， 所以，，， 所以， 即， 所以在区间上为减函数． 27.（本小题满分7分） 已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，，只需证明即可，由中位线定理结合线面平行的判定定理即可得证. （2）只需证明，即可，由等腰直角三角形性质，线面垂直的性质以及判定定理即可得证. （3）利用转换法，只需求点到平面的距离和三角形的面积，由（2）的结论、点为的中点以及解直角三角形知识即可求解. 【详解】（1）如图， 连接，， 四边形为矩形，为的中点， 与交于点，且为的中点， 又点为的中点，， 又平面，且平面， 平面. （2）直三棱柱满足，， 又点为的中点，且面，面， 所以，， 又面， 平面. （3）由图可知， ，，， 又三棱柱为直三棱柱，且， . ，，点为的中点， 所以. 由（2）可知平面. 所以点到平面的距离为， 又点为的中点， 所以点到平面的距离为， . 28.（本小题满分7分） 设集合为非空实数集，集合，称集合为集合的积集. (1)当时，写出集合的积集； (2)若是由个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； (3)判断是否存在个正实数构成的集合，使其积集，并说明理由. 【答案】(1) (2)7 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）利用积集的定义直接求解即可. （2）设，且，利用积集的定义分析中元素大小关系，再举例即可求解； （3）不存在，利用反证法分析集合中四个元素的乘积推出矛盾即可. 【详解】（1）因为，故集合中所有可能的元素有，即， （2）设，不妨设， 因为，所以中元素个数大于等于7个， 又，，此时中元素个数等于7个， 所以积集B中元素个数的最小值为7. （3）不存在，理由如下： 假设存在4个正实数构成的集合，使其积集， 不妨设，则集合A的生成集 则必有，其4个正实数的乘积； 又，其4个正实数的乘积，矛盾； 所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$