2025年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷02

( ) ( ) 2025年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [ ／ ] 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2 ．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题， 不 得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 )数学仿真模拟卷02·答题卡 一、选择题（本题共20小题，每小题3分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ） ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 1 5 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 17 [A] [B] [C] [D] 18 [A] [B] [C] [D] 19 [A] [B] [C] [D] 20 [A] [B] [C] [D] ) ( 二、填空题（本题共 4 个小题，每小题 3 分，共 1 2 分．请将答案填在题中横线上．） ) ( 21 ． _______________________ 2 2 ． _______________________ 2 3 ． _______________________ 2 4 ． _______________________ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、解答题（ 本题共 4 小题，共 28 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 2 5 . （ 7 分） 2 6 ． （ 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 7 ． （ 7 分） 2 8 ． （ 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷02 （考试时间：90分钟；满分：100分） 本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分． 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致． 2．第一部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第二部分用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 第一部分（选择题共60分） 1、 选择题（本题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 5．已知复数，则（   ） A． B． C． D． 6．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 7．函数的图象不可能是（    ） A．  B．  C．  D．   8．在中，内角，，的对边分别为，，．若，，则一定是（   ） A．三边不全相等的锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 9．年巴黎奥运会中国代表队获得金牌榜第一，奖牌榜第二的优异成绩.首金是中国组合黄雨婷和盛李豪在米气步枪混合团体赛中获得，两人在决赛中次射击环数如图，则（    ）    A．盛李豪的平均射击环数超过 B．黄雨婷射击环数的第百分位数为 C．盛李豪射击环数的标准差小于黄雨婷射击环数的标准差 D．黄雨婷射击环数的极差小于盛李豪射击环数的极差 10．若，则（    ） A． B． C． D． 11．已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．已知，则（    ） A． B． C． D．2 13．已知函数为上的偶函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 14．在中，，则（   ） A． B． C． D． 15．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 16．已知奇函数在区间上单调递增且有最大值，则在区间上（    ） A．单调递增，且最大值为 B．单调递增，且最大值为 C．单调递减，且最大值为 D．单调递减，且最大值为 17．如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（   ） A．B．C．D． 18．千里烟尘书香近，异乡耕耘报国情．离家辛勤育人梦，天下繁花桃李红．越来越多的大学生选择毕业后支教边远山区，这项活动不仅是对孩子们未来的投资，也是这些年轻志愿者自身成长与蜕变的旅程．现有5名大学生，每人从甘肃、贵州、云南地区选择一个地区支教，则至少有2人都选择贵州地区支教的概率为（    ） A． B． C． D． 19．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．在上的值域为 20．在各棱长均为2的正三棱柱中，上下底面的中心分别为，，三个侧面的中心分别为，，，若在该三棱柱中挖去两个三棱锥和，则剩余部分的体积为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题共40分） 二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分．请将答案填在题中横线上．） 21．若，则用含x的代数式表示为 . 22．已知，，，点，点，若，，则向量的模为 . 23．已知则 ；若，则的取值范围是 . 24．张明与张华两人做游戏，下列游戏中不公平的是 . ①抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则张华获胜； ②同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则张华获胜； ③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则张华获胜； ④张明、张华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同张明获胜，否则张华获胜. 三、解答题（本题共4小题，共28分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 25.（本小题满分7分） 已知（为常数），且. (1)求的解析式 (2)判断的奇偶性并写出单调区间 (3)关于x的方程有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围 26.（本小题满分7分） 已知． (1)求解关于的方程； (2)求函数，的值域； (3)已知常数，设，若函数在区间上的最小值是，求的值． 27.（本小题满分7分） 如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 28.（本小题满分7分） 设函数的定义域为，一般地，对于，，若，则称为“凹函数”；若，则称为“凸函数”.对于函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. (1)已知函数，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； (2)证明：在上是凹函数； (3)已知函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷02 （考试时间：90分钟；满分：100分） 本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分． 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致． 2．第一部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第二部分用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 第一部分（选择题共60分） 1、 选择题（本题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的交集运算即可. 【详解】已知集合，， 则． 故选：C． 2．命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断即可. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：A. 3．已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用赋值法可判断ABD；利用不等式性质可判断C. 【详解】，但，故A错误； ，但，故B错误； 因为，所以，所以，又，所以， 所以，故C正确； ，但，故D错误. 故选：C. 4．已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断出的真子集，得到答案. 【详解】因为是的真子集，故是p的一个充分不必要条件，C正确； ABD选项均不是的真子集，均不合要求. 故选：C 5．已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数代数形式的乘法计算可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B 6．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】AC项角度与弧度混用，排除AC；D项终边在第三象限，排除D. 【详解】因为，终边落在第四象限，且与角终边相同， 故与的终边相同的角的集合 即选项B正确； 选项AC书写不规范，选项D表示角终边在第三象限. 故选：B. 7．函数的图象不可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】对进行分类讨论，由此确定正确答案. 【详解】当时，，对应图象是B选项. 当时，对应图象是D选项. 当时，在上单调递减， 对应图象是C选项. 所以不可能的是A选项. 故选：A 8．在中，内角，，的对边分别为，，．若，，则一定是（   ） A．三边不全相等的锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】由已知易求得，利用余弦定理，结合，可得，可得结论. 【详解】在中，，又，故． 由余弦定理得，结合，得， 解得，所以一定是等边三角形． 故选：D． 9．年巴黎奥运会中国代表队获得金牌榜第一，奖牌榜第二的优异成绩.首金是中国组合黄雨婷和盛李豪在米气步枪混合团体赛中获得，两人在决赛中次射击环数如图，则（    ）    A．盛李豪的平均射击环数超过 B．黄雨婷射击环数的第百分位数为 C．盛李豪射击环数的标准差小于黄雨婷射击环数的标准差 D．黄雨婷射击环数的极差小于盛李豪射击环数的极差 【答案】C 【分析】根据图表数据可直接判断选项A，利用第百分位数的解法直接判断选项B，根据图表的分散程度即可判断选项C，根据极差的求法直接判断选项D. 【详解】由题知，盛李豪的射击环数只有两次是环，次环， 其余都是环以下，所以盛李豪平均射击环数低于，故A错误； 由于，故第百分位数是从小到大排列的第个数，故B错误； 由于黄雨婷的射击环数更分散，故标准差更大，故C正确； 黄雨婷射击环数的极差为， 盛李豪的射击环数极差为，故D错误. 故选：C 10．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二倍角余弦公式求解. 【详解】. 故选：A. 11．已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合的并集运算，即可判断参数取值范围. 【详解】由已知解得：， 因为 所以． 故选：D． 12．已知，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由二倍角公式以及切弦互换即可求解. 【详解】. 故选：A. 13．已知函数为上的偶函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的定义可得，结合函数解析式和对数的运算性质即可求解. 【详解】因为为偶函数，所以， 则. 故选：A 14．在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算，可得答案. 【详解】 ，，. 故选：C. 15．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】满足二次根式下大于等于零和分母有意义列不等式组求解即可. 【详解】因为，所以，解得， 所以的定义域为. 故选：D 16．已知奇函数在区间上单调递增且有最大值，则在区间上（    ） A．单调递增，且最大值为 B．单调递增，且最大值为 C．单调递减，且最大值为 D．单调递减，且最大值为 【答案】A 【分析】由函数的奇偶性与单调性判断即可. 【详解】任取且，即， ∴， 又函数在区间上单调递增， ∴． ∵函数为奇函数， ∴，∴， 因此，函数在区间上单调递增，最大值为，最小值为． 故选：A 17．如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知，结合正方体的结构特征及平行公理推、情感教练的判定定理逐项分析判断. 【详解】对于A，如图，，四点共面，A不是； 对于B，如图，，四点共面，B不是； 对于C，如图，，四点共面，C不是； 对于D，如图，平面，平面，平面，直线， 则与是异面直线，D是. 故选：D 18．千里烟尘书香近，异乡耕耘报国情．离家辛勤育人梦，天下繁花桃李红．越来越多的大学生选择毕业后支教边远山区，这项活动不仅是对孩子们未来的投资，也是这些年轻志愿者自身成长与蜕变的旅程．现有5名大学生，每人从甘肃、贵州、云南地区选择一个地区支教，则至少有2人都选择贵州地区支教的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对立事件的概率关系求解. 【详解】由题，“至少有2人都选择贵州地区支教”的对立事件为只有1人选择贵州地区支教和没有人选择贵州地区支教， 只有1人选择贵州地区支教的情况有种，没有人选择贵州地区支教的情况有种， 所以至少有2人都选择贵州地区支教的概率. 故选：B. 19．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．在上的值域为 【答案】D 【分析】根据三角函数的变换规则得到解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得到， 显然不是奇函数，故A错误． 因为，所以的图象不关于直线对称，故B错误． 当时，，因为在上不单调， 所以在上不单调，故C错误． 由，得，则， 即在上的值域为，故D正确． 故选：D 20．在各棱长均为2的正三棱柱中，上下底面的中心分别为，，三个侧面的中心分别为，，，若在该三棱柱中挖去两个三棱锥和，则剩余部分的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得正三棱柱的体积与挖去的两个三棱锥的体积，可求剩余几何体的体积. 【详解】如图所示： 因为三个侧面的中心分别为， 所以三棱锥和三棱锥的底面面积为， 高为正三棱柱的高的一半， 故挖去的几何体的体积为， 三棱柱的体积为， 故剩余几何体的体积为. 故选：A. 第二部分（非选择题共40分） 二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分．请将答案填在题中横线上．） 21．若，则用含x的代数式表示为 . 【答案】/ 【分析】将指数式化为对数式，再根据对数的运算性质可求出结果. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 22．已知，，，点，点，若，，则向量的模为 . 【答案】 【分析】根据得，根据得，即可确定的坐标，进而计算的模即可. 【详解】解：∵，，且， ∴，得，， ∴，. ∵，，∴， 则点，，∴， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，数量积的坐标表示，平行向量的坐标表示，向量的模，考查计算能力，属于基础题. 23．已知则 ；若，则的取值范围是 . 【答案】 3 【分析】先求，再求，即得， 分和两种情况代的解析式，解不等式即可． 【详解】因为， ， 当时，，得， 当时，，得， 故的取值范围是 故答案为：3；. 24．张明与张华两人做游戏，下列游戏中不公平的是 . ①抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则张华获胜； ②同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则张华获胜； ③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则张华获胜； ④张明、张华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同张明获胜，否则张华获胜. 【答案】② 【分析】利用古典概型，分别计算两人获胜的概率，再进行判断. 【详解】对于①，抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数的概率为，向上的点数为偶数的概率为， 故张明、张华获胜的概率都为，故公平； 对于②，同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上的概率是，故张明获胜的概率是， 两枚都正面向上的概率是，故张华获胜的概率是，故不公平； 对于③，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的概率为，扑克牌是黑色的概率为， 故张明、张华获胜的概率都为，公平； 对于④，张明、张华两人各写一个数字6或8，两人写的数字相同的概率为， 则两人写的数字不相同的概率也为，故张明、张华获胜的概率都为，公平. 故答案为：②. 三、解答题（本题共4小题，共28分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 25.（本小题满分7分） 已知（为常数），且. (1)求的解析式 (2)判断的奇偶性并写出单调区间 (3)关于x的方程有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围 【答案】(1) (2)偶函数，单调递减区间为，单调递增区间为 (3) 【分析】（1）根据函数值即可确定函数的解析式；（2）根据函数奇偶性的定义，以及二次函数单调性即可得出结果；（3）根据二次函数的判别式，即可求得实数k的取值范围. 【详解】（1）由得 ∴， 所以 即的解析式为. （2）易知，函数的定义域为R， 且满足， 所以，函数为偶函数； 易知的对称轴为，且开口向上， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （3）∵方程有两个不相等的实数根， ∴有两个不相等的实数根， 即 所以或 即实数k的取值范围为 26.（本小题满分7分） 已知． (1)求解关于的方程； (2)求函数，的值域； (3)已知常数，设，若函数在区间上的最小值是，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）令，求出； （2），故； （3）化简得到，换元得到，，根据对称轴，分，和三种情况，结合函数单调性得到最小值，从而得到方程，求出答案. 【详解】（1），故， 解得 （2）时，， 故； （3） ， 令，由（2）知，， 则，对称轴为， 当时，在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为，不满足条件； 当时，在取得最小值， 最小值为，令，解得（舍负）； 当时，在上单调递减， 故当时，取得最小值，最小值为， 令，解得，但与矛盾，舍去； 综上， 27.（本小题满分7分） 如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）要证平面，根据线面平行的判定定理在平面内找到一条直线与之平行即可； （2）将线线垂直转化为与所在的某个平面垂直即可. 【详解】（1）连接交于点，连接， 则直三棱柱中，四边形为平行四边形， 则为的中点，又为的中点，故， 平面，平面，故平面. （2）取中点为，连接，，为的中点， 故，而底面， 故底面，底面，故； 又为的中点，则，而，即， 故， 而，平面，平面， 故平面， 又平面，故，即. 28.（本小题满分7分） 设函数的定义域为，一般地，对于，，若，则称为“凹函数”；若，则称为“凸函数”.对于函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. (1)已知函数，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； (2)证明：在上是凹函数； (3)已知函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值. 【答案】(1)的单调递减区间是，单调递增区间是，值域为； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据题设描述的性质写出单调区间，再由单调性求最值，即可得值域； （2）根据凹函数的定义，应用作差法比较大小证明结论； （3）根据题设求出的值域，将问题化为的值域为的值域的子集，求参数值. 【详解】（1）由已知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以，又，， 所以，所以， 所以在上的值域为. （2）设，，， 则 ， ∴， ∴当时，是凹函数. （3）， 设，，，则，， 由已知性质得，当，即时，单调递减，所以递减区间为， 当，即时，单调递增，所以递增区间为， 由，，，得的值域为， 因为为减函数，所以，， 根据题意，的值域为的值域的子集， 从而有，所以. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷02 参考答案 1、 选择题（本题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 C A C C B B A D C A D A A C D A D B D A 二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分．请将答案填在题中横线上．） 21、/ 22、 23、 3 24、② 三、解答题（本题共4小题，共28分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 25.（本小题满分7分） (1) (2)偶函数，单调递减区间为，单调递增区间为 (3) 【详解】（1）由得 ∴， 所以 即的解析式为. （2）易知，函数的定义域为R， 且满足， 所以，函数为偶函数； 易知的对称轴为，且开口向上， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （3）∵方程有两个不相等的实数根， ∴有两个不相等的实数根， 即 所以或 即实数k的取值范围为 26.（本小题满分7分） (1)； (2)； (3) 【详解】（1），故， 解得 （2）时，， 故； （3） ， 令，由（2）知，， 则，对称轴为， 当时，在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为，不满足条件； 当时，在取得最小值， 最小值为，令，解得（舍负）； 当时，在上单调递减， 故当时，取得最小值，最小值为， 令，解得，但与矛盾，舍去； 综上， 27.（本小题满分7分） (1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）连接交于点，连接， 则直三棱柱中，四边形为平行四边形， 则为的中点，又为的中点，故， 平面，平面，故平面. （2）取中点为，连接，，为的中点， 故，而底面， 故底面，底面，故； 又为的中点，则，而，即， 故， 而，平面，平面， 故平面， 又平面，故，即. 28.（本小题满分7分） (1)的单调递减区间是，单调递增区间是，值域为； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）由已知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以，又，， 所以，所以， 所以在上的值域为. （2）设，，， 则 ， ∴， ∴当时，是凹函数. （3）， 设，，，则，， 由已知性质得，当，即时，单调递减，所以递减区间为， 当，即时，单调递增，所以递增区间为， 由，，，得的值域为， 因为为减函数，所以，， 根据题意，的值域为的值域的子集， 从而有，所以. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$