2025年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷01

2025年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷01 参考答案 1、 选择题（本题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 B D B D C B B D D D C A A B C D C C C B 二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分．请将答案填在题中横线上．） 21、5 22、 1 23、 0 24、①；②/. 三、解答题（本题共4小题，共28分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 25.（本小题满分7分） （1）；（2）最大值为，最小值为. 【详解】解：（1）由，得b＝4，所以，，函数的零点为.由，求得不等式的解集为. （2）由于函数的对称轴为，开口向上，所以的最小值为，的最大值为. 26. （本小题满分7分） (1) (2)，或，，， 【详解】（1）解：； （2）， 因为， 所以当时，， 此时或 当时，， 此时，. 27.（本小题满分7分） （1）证明见解析；（2） 【详解】证明：（1）连接，，在正四棱柱中，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面， 且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面， 又，面，所以平面平面，又平面， 所以平面 （2）因为在正四棱柱，，面，面，所以， ，面，所以面，因为平面，所以平面平面，因为面面， 要使平面平面，则平面与面重合，即在的中点时满足题意，所以 28.（本小题满分7分） (1)①③为“函数”，②不为“函数” (2) (3)， 【详解】（1）对于①：令，即，可得不成立， 即恒成立，所以为“函数”； 对于②：令，即， 整理可得，解得， 即不恒成立，所以不为“函数”； 对于③：令，即，可得不成立， 即恒成立，所以为“函数”； 综上所述：①③为“函数”，②不为“函数”. （2）令， 则，整理可得， 原题意等价于无解， 若，则，即无解，符合题意； 若，解得，不合题意； 综上所述：实数的取值范围为. （3）因为的单调递增区间为，由题意可知：， 若且，则， 即，不合题意，可知， 且的定义域为，则，. 此时，其图像如图所示， 可知在上单调递增， 当时，则，不满足，符合题意； 当时，则，若， 则，即， 所以不成立，符合题意； 当时，则，若， 则，即， 所以不成立，符合题意； 综上所述：恒成立，函数为“函数”， 所以，. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2025年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [ ／ ] 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2 ．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题， 不 得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 )数学仿真模拟卷01·答题卡 一、选择题（本题共20小题，每小题3分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ） ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 1 5 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 17 [A] [B] [C] [D] 18 [A] [B] [C] [D] 19 [A] [B] [C] [D] 20 [A] [B] [C] [D] ) ( 二、填空题（本题共 4 个小题，每小题 3 分，共 1 2 分．请将答案填在题中横线上．） ) ( 21 ． _______________________ 2 2 ． _______________________ 2 3 ． _______________________ 2 4 ． _______________________ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、解答题（ 本题共 4 小题，共 28 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 2 5 . （ 7 分） 2 6 ． （ 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 7 ． （ 7 分） 2 8 ． （ 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷01 （考试时间：90分钟；满分：100分） 本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分． 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致． 2．第一部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第二部分用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 第一部分（选择题共60分） 1、 选择题（本题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由并集的运算，即可得到结果. 【详解】因为，则. 故选：B 2．函数的定义域是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 【详解】解：函数， 则，解得且． 故选:D． 3．设，若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数乘法运算可得该复数在复平面内对应的点为，由复数的几何意义可解得. 【详解】根据题意可得， 所以在复平面内对应的点为，即在虚轴上， 因此可得，即； 故选：B 4．如图，在正方体中，与直线互为异面直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由异面直线的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于选项A，，故A不正确； 对于选项B，，故B不正确； 对于选项C，直线与直线相交，故C不正确； 对于选项D，因为直线与直线不同在任意一个平面，所以直线与直线是异面直线，故D正确. 故选：D. 5．如图，四边形是菱形，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对A和B由图即可判断；对C根据菱形性质即可判断；对D，根据向量加法和图形即可判断. 【详解】对A，因为四边形是菱形，则，故A错误； 对B，由图知，故B错误； 对C，因为四边形是菱形，则，则，故C正确； 对D， ，故D错误； 故选：C. 6．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】由函数为奇函数，有，代入函数解析式求值即可． 【详解】是定义在上的奇函数，当时，， 则． 故选：B． 7．一元二次不等式的解集是（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】先分解因式，再求得不等式的解集. 【详解】由可得， 故得. 故选：B. 8．已知命题“”，那么是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“”， 可得其否定为：. 故选：D. 9．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据二倍角的余弦公式运算即可. 【详解】因为，， 故选：D. 10．，下列各式中与相等的是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由诱导公式，可得答案． 【详解】因为，所以与相等的是． 【点睛】诱导公式的口诀是“奇变偶不变，符号看象限”． 11．下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用幂函数、二次函数单调性判断AB；利用指数、对数函数单调性判断CD. 【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是； 对于B，函数在上单调递减，B不是； 对于C，函数在上单调递增，C是； 对于D，函数在上单调递减，D不是. 故选：C 12．设，则“”是“函数在上是减函数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据函数的单调性、充分和必要条件等知识来确定正确答案. 【详解】函数在上是减函数，则. 所以“”是“函数在上是减函数”的充分而不必要条件. 故选：A 13．终边在x轴上的角的集合是       A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别写出终边在轴正半轴和负半轴上的角的集合，再将两个集合取并集得出结果． 【详解】终边在轴正半轴上的角的集合为， 终边在轴负半轴上的角的集合为， 所以，终边在轴上的角的集合为                             ，故选A． 【点睛】本题考查根据角的终边写出角的集合，要注意角的终边是一条射线，若角的终边在一条直线上，一般要分两种情况讨论，考查分类讨论数学思想，属于基础题． 14．在中，若，，，则c的值为（    ） A．1 B．4 C．1或4 D．无解 【答案】B 【分析】根据题意和余弦定理计算即可得出结果. 【详解】由题意知，， 由余弦定理，得， 即，整理，得， 由，解得. 故选：B. 15．甲､乙两名同学6次考试的成绩统计如图所示，甲､乙两组数据的平均数分别为，标准差分别为σ甲，σ乙，则（    ） A．，σ甲<σ乙 B．，σ甲>σ乙 C．，σ甲<σ乙 D．σ甲>σ乙 【答案】C 【分析】根据平均数和标准差的意义，由成绩统计图判断. 【详解】由甲､乙两名同学6次考试的成绩统计图可知：甲的成绩大多在90120分之间， 而乙的成绩大多在50100分之间， 所以，σ甲<σ乙， 故选：C 16．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出变换后的函数解析式，再探讨在两个指定区间上的单调性作答. 【详解】函数，即，将其图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是， 当时，，因为余弦函数在上不单调， 因此函数在上不单调，AB错误； 当时，，因为余弦函数在上单调递减， 因此函数在上单调递减，C错误，D正确. 故选：D 17．已知，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据特值法可排除，，，根据在上单调递增，可判断项. 【详解】当时，，故错误； 当，时，，故错误； 因为在上单调递增，且，所以，故正确； 当，时，，故错误. 综上，正确的为. 故选：. 18．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：从中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为，故选C. 考点：古典概型 19． （，且）在上的最大值与最小值之和为，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】分别讨论和时在单调性，即可得到最大值与最小值之和为，解方程即可求出的值. 【详解】当时，在单调递减， 所以，， 此时，解得：或，不符合题意； 当时，在单调递增， 所以，， 此时，解得：或（舍）， 所以， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是讨论和时在单调性，利用单调性即可求最值，列方程即可. 20．定义：通过小时内降水在平地上的积水厚度（）来判断降雨程度；其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（）；小明用一个圆锥形容器（如图）接了小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级（   ）    A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 【答案】B 【分析】计算圆锥的体积，进而可得降雨高度，即可判断. 【详解】    做出容器的轴截面，如图所示， 则，，， 则为中点， 则，， 由已知在直径为的圆柱内的降雨总体积， 则降雨高度为， 所以降雨级别为中雨， 故选：B. 第二部分（非选择题共40分） 二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分．请将答案填在题中横线上．） 21． . 【答案】5 【分析】直接利用指数和对数的运算性质求解即可 【详解】 ， 故答案为：5 22．设函数，则 ，不等式的解集是 . 【答案】 1 【分析】根据题中分段函数解析式直接代入即可求；分、和三种情况，结合题中函数解析式分析求解. 【详解】由题意可知：； 因为， 当，即时，则，可得，不合题意； 当，即时，可得， 解得或，所以； 当，即或时，则，可得，符合题意； 综上所述：不等式的解集是. 故答案为：1；. 23．已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ； ． 【答案】 0 【分析】建立平面直角坐标系，求出的坐标，再利用向量运算的坐标表示求解. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系， 则， ， 所以. 故答案为：；0 24．为研究拇指指纹规律，人大附中生物社团随机抽样调查了500名北京市民的左右手拇指指纹，各种纹形出现次数的统计结果如表所示．①从左右手拇指纹形同为“”或同为“”的样本中，随机抽2人，这2人纹形不同的概率是_______；②随机调查3名北京市民，其中1人左右手拇指指纹都是“，”，另外2人左手拇指指纹都是“”，右手拇指指纹都不是“”的概率是 纹形 拇指 左手 右手 左右手纹形相同 20 2 2 ， 279 304 250 3 6 2 32 27 10 30 28 9 59 79 34 65 37 18 12 17 8 总人数 500 500 333 【答案】①；②/. 【分析】①写出抽取的2人的所有可能情况，即可求出这2人纹形不同的概率；②分别求出1人左右手拇指指纹都是“，”的概率和1人左手拇指指纹都是“”，右手拇指指纹都不是“”的概率，即可得出结论. 【详解】由题意及表知，随机抽样调查了500名北京市民， ①从左右手拇指纹形同为“”或同为“”的各有2人， 设左右手拇指纹形同为“”的人为，左右手拇指纹形同为“”的人为 随机抽2人，共有下列6种情况，其中2人纹形不同的有4种： ∴随机抽2人，这2人纹形不同的概率是：, ②由表格知，1人左右手拇指指纹都是“，”的概率为， 1人左手拇指指纹都是“”，右手拇指指纹都不是“”的概率是， ∴随机调查3名北京市民，其中1人左右手拇指指纹都是“，”，另外2人左手拇指指纹都是“”，右手拇指指纹都不是“”的概率是， 故答案为：；##. 三、解答题（本题共4小题，共28分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 25.（本小题满分7分） 已知：函数，且. （1）求函数的零点，写出满足条件的的集合； （2）求函数在区间上的最大值和最小值 【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为. 【分析】（1）根据求得，由此求得函数的解析式，进而求得函数的零点以及求解出一元二次不等式的解集.（2）利用二次函数的对称轴，求得函数的最大值和最小值. 【详解】解：（1）由，得b＝4，所以，，函数的零点为.由，求得不等式的解集为. （2）由于函数的对称轴为，开口向上，所以的最小值为，的最大值为. 【点睛】本小题主要考查二次函数解析式的求法，考查一元二次不等式的解法，考查二次函数的最值，属于基础题. 26.（本小题满分7分） 已知函数 (1)求的值； (2)求的最大值和最小值，并写出取最值时x的值． 【答案】(1) (2)，或，，， 【分析】（1）将代入函数解析式求解； （2）由，利用二次函数的性质求解. 【详解】（1）解：； （2）， 因为， 所以当时，， 此时或 当时，， 此时，. 27.（本小题满分7分） 如图所示，在正四棱柱中，是线段上的动点. （1）证明：平面； （2）在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）连接，，根据正四棱柱的性质可得平面，平面，即可得到平面平面，即可得证； （2）首先证明面，即可得到平面平面，依题意平面与面重合时满足平面平面，即可确定的位置，从而得解； 【详解】证明：（1）连接，，在正四棱柱中，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面， 且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面， 又，面，所以平面平面，又平面， 所以平面 （2）因为在正四棱柱，，面，面，所以， ，面，所以面，因为平面，所以平面平面，因为面面， 要使平面平面，则平面与面重合，即在的中点时满足题意，所以 28.（本小题满分7分） 如果是定义在上的函数，且对任意的，都有，则称该函数是“函数”． (1)分别判断下列函数： ①；②；③是否为“函数”？ （直接写出结论） (2)若函数是“函数”，求实数的取值范围； (3)设“函数”在上单调递增，求所有可能的集合A与． 【答案】(1)①③为“函数”，②不为“函数” (2) (3)， 【分析】（1）根据“函数”的定义结合方程思想逐项分析求解即可； （2）分析可知原题意等价于无解，即可得结果； （3）根据单调性以及“函数”的定义可知，，并代入检验. 【详解】（1）对于①：令，即，可得不成立， 即恒成立，所以为“函数”； 对于②：令，即， 整理可得，解得， 即不恒成立，所以不为“函数”； 对于③：令，即，可得不成立， 即恒成立，所以为“函数”； 综上所述：①③为“函数”，②不为“函数”. （2）令， 则，整理可得， 原题意等价于无解， 若，则，即无解，符合题意； 若，解得，不合题意； 综上所述：实数的取值范围为. （3）因为的单调递增区间为，由题意可知：， 若且，则， 即，不合题意，可知， 且的定义域为，则，. 此时，其图像如图所示， 可知在上单调递增， 当时，则，不满足，符合题意； 当时，则，若， 则，即， 所以不成立，符合题意； 当时，则，若， 则，即， 所以不成立，符合题意； 综上所述：恒成立，函数为“函数”， 所以，. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷01 （考试时间：90分钟；满分：100分） 本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分． 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致． 2．第一部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第二部分用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 第一部分（选择题共60分） 1、 选择题（本题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域是（   ） A． B． C．且 D．且 3．设，若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在正方体中，与直线互为异面直线的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，四边形是菱形，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．2 C．3 D． 7．一元二次不等式的解集是（   ） A．或 B． C．或 D． 8．已知命题“”，那么是（    ） A． B． C． D． 9．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．，下列各式中与相等的是 A． B． C． D． 11．下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 12．设，则“”是“函数在上是减函数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 13．终边在x轴上的角的集合是       A． B． C． D． 14．在中，若，，，则c的值为（    ） A．1 B．4 C．1或4 D．无解 15．甲､乙两名同学6次考试的成绩统计如图所示，甲､乙两组数据的平均数分别为，标准差分别为σ甲，σ乙，则（    ） A．，σ甲<σ乙 B．，σ甲>σ乙 C．，σ甲<σ乙 D．，σ甲>σ乙 16．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 17．已知，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 18．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为 A． B． C． D． 19． （，且）在上的最大值与最小值之和为，则（    ） A．3 B． C．2 D． 20．定义：通过小时内降水在平地上的积水厚度（）来判断降雨程度；其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（）；小明用一个圆锥形容器（如图）接了小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级（   ）    A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 第二部分（非选择题共40分） 二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分．请将答案填在题中横线上．） 21． . 22．设函数，则 ，不等式的解集是 . 23．已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ； ． 24．为研究拇指指纹规律，人大附中生物社团随机抽样调查了500名北京市民的左右手拇指指纹，各种纹形出现次数的统计结果如表所示．①从左右手拇指纹形同为“”或同为“”的样本中，随机抽2人，这2人纹形不同的概率是_______；②随机调查3名北京市民，其中1人左右手拇指指纹都是“，”，另外2人左手拇指指纹都是“”，右手拇指指纹都不是“”的概率是 纹形 拇指 左手 右手 左右手纹形相同 20 2 2 ， 279 304 250 3 6 2 32 27 10 30 28 9 59 79 34 65 37 18 12 17 8 总人数 500 500 333 三、解答题（本题共4小题，共28分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 25.（本小题满分7分） 已知：函数，且. （1）求函数的零点，写出满足条件的的集合； （2）求函数在区间上的最大值和最小值 26.（本小题满分7分） 已知函数 (1)求的值； (2)求的最大值和最小值，并写出取最值时x的值． 27.（本小题满分7分） 如图所示，在正四棱柱中，是线段上的动点. （1）证明：平面； （2）在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 28.（本小题满分7分） 如果是定义在上的函数，且对任意的，都有，则称该函数是“函数”． (1)分别判断下列函数： ①；②；③是否为“函数”？ （直接写出结论） (2)若函数是“函数”，求实数的取值范围； (3)设“函数”在上单调递增，求所有可能的集合A与. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$