八年级（下）期末数学试卷（培优卷）-2024-2025学年八年级数学下册举一反三系列（华东师大版）

2024-2025学年八年级（下）期末数学试卷（培优卷） 【华东师大版】 考试时间：120分钟；满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级·江苏南京·期中）下列等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 2．（3分）（24-25八年级·福建福州·期中）若点在第三象限，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（3分）（24-25八年级·河南安阳·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，，，，则的长为（    ） A． B．6 C．7 D． 4．（3分）（24-25八年级·安徽安庆·期中）为了建设“书香校园”，某校开展捐书活动．某班名学生捐书情况统计如表：则该班学生所捐书本的中位数和众数分别是（　　） 捐书本数 捐书人数 A．， B．， C．， D．， 5．（3分）（24-25八年级·广东揭阳·期末）一次函数与正比例函数（k，b为常数，）在同一直角坐标系内的大致图象不可能的是（    ） A． B． C． D． 6．（3分）（24-25八年级·湖北荆州·期末）关于的方程的解为正数．则的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 7．（3分）（24-25八年级·重庆·阶段练习）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．（3分）（24-25八年级·湖北武汉·期中）如图，菱形的对角线相交于点O，过点O作于F，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．（3分）（24-25八年级·四川达州·期中）正方形，，，，按如图所示的方式放置．点，，，和点，，，分别在直线()和轴上，已知点，，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 10．（3分）（24-25八年级·广东·期中）如图，在矩形中，点为边的中点，点为边上一点，且平分．若，，则的长为（   ） A．5 B． C．6 D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级·山东东营·期中）已知：一组数据，，，的方差是；那么另一组数据，，，的方差是 ． 12．（3分）（24-25八年级·湖南怀化·期中）如果，则 ， ． 13．（3分）（24-25八年级·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，平移线段，使点A，B均落在坐标轴上，则点A平移后的对应点的坐标是 ． 14．（3分）（24-25八年级·安徽池州·期中）如图，在正方形中，为对角线，的交点，，分别为边，上一点，且，连接． (1)若，则的长为 ． (2)若，则的最小值为 ． 15．（3分）（24-25八年级·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的顶点在轴上，垂直于轴、点分别在函数和的图象上．若的面积为5，且，则的值为 ． 16．（3分）（24-25八年级·广东深圳·期末）如图，在平行四边形中，，，，点E为的中点，将平行四边形沿折痕翻折，使点D落在点E处，则线段的长为 ．    第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级·重庆万州·阶段练习）化简或解方程： (1)； (2)． 18．（6分）（2025·河北保定·二模）张老师为了了解她所教1班、2班本学期课外名著阅读情况，分别从两班随机抽取20名同学进行调查，并把调查结果制成如图所示不完整的扇形统计图和条形统计图． (1)1班课外名著阅读情况扇形统计图中“7本”所在扇形的圆心角是___________；请补充2班课外名著阅读情况中“9本”的条形统计图； (2)已知2班阅读数量的平均数为6本，方差为7.6，请你计算1班的平均数和方差，并判断哪个班阅读情况比较稳定； (3)从2班所选样本中选取名同学的阅读数量．并与1班样本组成一组新数据，发现新数据的中位数小于原1班样本的中位数．若取最小值时，求这名同学的阅读量和的最大值． 19．（8分）（24-25八年级·安徽合肥·期末）已知一次函数． (1)为何值时，函数图象经过点？ (2)若一次函数 的函数值随的增大而减小，求的取值范围． 20．（8分）（24-25八年级·北京·专题练习）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，且，连结，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 21．（10分）（24-25八年级·河北石家庄·期中）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积． 22．（10分）（24-25八年级·重庆巫溪·期末）人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用．2024我校为迎接30周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行30米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，“领航号”比“致远号”每秒多行米． (1)求“致远号”的行驶速度； (2)如果将“领航号”的赛道长增加，“致远号”的赛道长不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达各自终点吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达各自终点，并写出调整方案． 23．（12分）（24-25八年级·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，直线与直线，x轴分别交于点，． (1)求直线的表达式． (2)若D，E分别是直线和y轴上的动点，是否存在点D，E，使得以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（12分）（24-25八年级·山西吕梁·期末）综合与探究 问题情境： 在正方形中，是边延长线上一点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，． 特例感知： （1）如图，当点落在边上，则与之间的数量关系是_____． 深入探究： （2）如图，当点落在正方形内部时，（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 类比迁移： （3）若，连接，过点作直线于点．在旋转的过程中，当时，请直接写出的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级（下）期末数学试卷（培优卷） 【华东师大版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级·江苏南京·期中）下列等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 利用分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：当时，，则A不符合题意， 无法约分，则B不符合题意， 当时，，则C不符合题意， ，则D符合题意， 故选：D 2．（3分）（24-25八年级·福建福州·期中）若点在第三象限，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键； 根据象限内的点确定和的正负，从而确定点在的象限； 【详解】解：点在第三象限， 则，， 则， 则，， 则点在第四象限； 故选：D 3．（3分）（24-25八年级·河南安阳·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，，，，则的长为（    ） A． B．6 C．7 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质推出，，根据勾股定理求出，根据平行线的性质推出，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：A． 4．（3分）（24-25八年级·安徽安庆·期中）为了建设“书香校园”，某校开展捐书活动．某班名学生捐书情况统计如表：则该班学生所捐书本的中位数和众数分别是（　　） 捐书本数 捐书人数 A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了中位数和众数的定义，熟练掌握中位数和众数的定义是解答本题的关键． 根据中位数和众数的定义解答即可． 【详解】解：中位数为第、个数据的平均数，而这个数均为， 所以这组数据的中位数为， 由表可知，出现次数最多，所以众数为， 故选：A． 5．（3分）（24-25八年级·广东揭阳·期末）一次函数与正比例函数（k，b为常数，）在同一直角坐标系内的大致图象不可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象，根据一次函数与图象的位置关系确定、，再去对照正比例函数的图象与的关系，逐项判断即可． 【详解】解：A、由一次函数图象位置确定，，，故，正比例函数图象满足这一关系，故选项A不符合题意； B、由一次函数图象位置确定，，，故，正比例函数图象满足这一关系，故选项B不符合题意； C、由一次函数图象位置确定，，，故，正比例函数图象满足这一关系，故选项C不符合题意； D、由一次函数图象位置确定，，，故，正比例函数图象不满足这一关系，故选项D符合题意； 故选：D． 6．（3分）（24-25八年级·湖北荆州·期末）关于的方程的解为正数．则的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查了解分式方程、根据分式方程解的情况求参数等知识点，解分式方程的验证环节是解题的关键． 先解分式分式方程，然后根据分式方程的解为正数，列出关于a的不等式求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 检验，当，即方程无意义，故， ∵关于的方程的解为正数， ∴，即． 综上，的取值范围为且． 故选B． 7．（3分）（24-25八年级·重庆·阶段练习）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．根据反比例的函数图像进行求解即可． 【详解】解：，图像在二、四象限， 故随的增大而增大， ， 故选B． 8．（3分）（24-25八年级·湖北武汉·期中）如图，菱形的对角线相交于点O，过点O作于F，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，解题关键是根据菱形和三角形内角和的性质得出角之间的关系．根据菱形的性质求出，求出，根据，计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9．（3分）（24-25八年级·四川达州·期中）正方形，，，，按如图所示的方式放置．点，，，和点，，，分别在直线()和轴上，已知点，，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形与坐标及待定系数法求一次函数解析式，先把，代入求得直线的解析式，由图易知图中所有的三角形的等腰直角三角形，即可得到点的坐标的规律，从而求得结果，解题的关键是仔细分析所给图形的特征得到规律． 【详解】解：把，代入， 可得，可知的纵坐标总比横坐标多， 由图易知图中所有的三角形都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴纵坐标为， 观察图可知的横坐标为的横坐标，纵坐标为的纵坐标， ∴纵坐标为，则的纵坐标为，的横坐标为，则的横坐标为， ∴则点， ∴， 故选：A． 10．（3分）（24-25八年级·广东·期中）如图，在矩形中，点为边的中点，点为边上一点，且平分．若，，则的长为（   ） A．5 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线定义，延长交于G，由矩形的性质推出，，得到，由判定，得到，求出，得到，求出，而，得到，可得． 【详解】解：延长交于G， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级·山东东营·期中）已知：一组数据，，，的方差是；那么另一组数据，，，的方差是 ． 【答案】 【分析】本题考查了方差的定义．首先设原数据的平均数为，则新数据的平均数为，然后利用方差的公式计算即可得到答案，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍． 【详解】解：由题意知，设原数据的平均数为，新数据的每一个数都乘以了3，减去了2，则平均数变为， ， ， 故答案为：． 12．（3分）（24-25八年级·湖南怀化·期中）如果，则 ， ． 【答案】 4 【分析】本题考查了分式的加减运算、二元一次方程组的知识；熟练掌握分式加减运算、整式加减运算、二元一次方程组的性质是解答本题的关键．根据分式加减运算可得，再建立二元一次方程组，求得A与B的值，即可得到答案． 【详解】解：， ∴， ∴， 即． ∴， 解得： ∴的值为4，的值为． 故答案为4，． 13．（3分）（24-25八年级·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，平移线段，使点A，B均落在坐标轴上，则点A平移后的对应点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查平面直角坐标系内图形的平移，掌握平移的性质是解题的关键．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．设平移后点A、B的对应点分别是、．分两种情况进行讨论：①在y轴上，在x轴上；②在x轴上，在y轴上． 【详解】解：设平移后点A、B的对应点分别是、． 分两种情况：①在y轴上，在x轴上， 则横坐标为0，纵坐标为0， ∴线段向右平移个单位，向下平移n个单位， ∴，即 ∴点B平移后的对应点的坐标是；； ②在x轴上，在y轴上．，则纵坐标为0，横坐标为0， ∴线段向右平移个单位，向下平移个单位， ∴，即 故答案为：或． 14．（3分）（24-25八年级·安徽池州·期中）如图，在正方形中，为对角线，的交点，，分别为边，上一点，且，连接． (1)若，则的长为 ． (2)若，则的最小值为 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由正方形性质可得，，，又，则可得，然后证明，从而可得是等腰直角三角形，最后由勾股定理即可求解； （）由（）得是等腰直角三角形，若要最小，则最小即可，则当时，最小，最后由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 根据勾股定理，， 故答案为：； （2）解：由（）得是等腰直角三角形，若要最小，则最小即可， ∴当时，最小， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（3分）（24-25八年级·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的顶点在轴上，垂直于轴、点分别在函数和的图象上．若的面积为5，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，连接，利用平行线间的距离相等，即可求得，利用反比例函数系数的几何意义得出，，即可得出即 ，与构成方程组，解方程组即可求解，明确是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵的顶点在轴上，垂直于轴， ∴轴， ∴， ∵点分别在函数和的图象上， ∴，， ∴， ∴， ∵， 得，即 ， 故答案为：． 16．（3分）（24-25八年级·广东深圳·期末）如图，在平行四边形中，，，，点E为的中点，将平行四边形沿折痕翻折，使点D落在点E处，则线段的长为 ．    【答案】 【分析】先过点作于点G，利用平行四边形的性质得到，进而利用勾股定理求出，，然后再利用勾股定理得到，即可得到，然后延长交的延长线于点H，过点A作于点P，过点N作于点，则，得到，，再根据等角对等边得到，进而计算，继而得到，然后根据勾股定求折痕的长度即可． 【详解】解：过点作于点G， ∵是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 又∵点E为的中点， ∴， ∴，， 设，则， ∵，即， 解得，即， ∴， 延长交的延长线于点H，过点A作于点P，过点N作于点， ∵， ，，， 又∵， ∴， ∴，， 由折叠可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边对等角，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级·重庆万州·阶段练习）化简或解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算、解分式方程，熟练掌握分式的运算法则和分式方程的解法是解题关键． （1）先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可得； （2）方程两边同乘以化成一元一次方程，解方程可得的值，然后进行检验即可得． 【详解】（1）解： ． （2）解：， 方程两边同乘以去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验，当时，， 所以是方程的解． 18．（6分）（2025·河北保定·二模）张老师为了了解她所教1班、2班本学期课外名著阅读情况，分别从两班随机抽取20名同学进行调查，并把调查结果制成如图所示不完整的扇形统计图和条形统计图． (1)1班课外名著阅读情况扇形统计图中“7本”所在扇形的圆心角是___________；请补充2班课外名著阅读情况中“9本”的条形统计图； (2)已知2班阅读数量的平均数为6本，方差为7.6，请你计算1班的平均数和方差，并判断哪个班阅读情况比较稳定； (3)从2班所选样本中选取名同学的阅读数量．并与1班样本组成一组新数据，发现新数据的中位数小于原1班样本的中位数．若取最小值时，求这名同学的阅读量和的最大值． 【答案】(1)，9本所对应的数字为4，图见详解 (2)1班阅读情况更稳定 (3)36本 【分析】（1）由乘以所占百分比可得，再由总人数减去其他即可得出“9本”的数即可 （2）求出平均数，和方差即可； （3）根据中位数的定义即可得出结论． 【详解】（1）解：扇形图中“7本”类对应的圆心角度数为， 故答案为：； 2班课外名著阅读情况中“9本”为 条形图如下： （2）解：1班平均数为（本） 方差为（） ∵， ∴1班阅读情况更稳定． （3）解：把1班数据按从小到大顺序排列4、4、5、5、5、5、6、6、6、6、6、6、6、6、7、7、7、7、8、8，发现中位数为6本，加入2班名同学后中位数变小，要使这名同学的阅读量的和最大，且最小，则应加入4个5和4个4，此时新数据中位数为本．所以为8，这名同学阅读量的和为本． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及方差中位数等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 19．（8分）（24-25八年级·安徽合肥·期末）已知一次函数． (1)为何值时，函数图象经过点？ (2)若一次函数 的函数值随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）将点代入一次函数，可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案； （2）根据该函数的增减性，可得，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：将点代入一次函数， 可得， 解得， ∴当时，函数图象经过点； （2）若一次函数 的函数值随的增大而减小， 则有， 解得， ∴的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式、根据一次函数的增减性求参数、解一元一次方程和解一元一次不等式等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 20．（8分）（24-25八年级·北京·专题练习）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，且，连结，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质可得，，结合已知条件，即可证明四边形是菱形； （2）根据题意可得是等边三角形，勾股定理求得的长，进而求得的长，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． （2）解：四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， 在中，，， ， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， 答：的长为． 21．（10分）（24-25八年级·河北石家庄·期中）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式，一次函数的平移等，是解题的关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点坐标，根据平行线间的距离可得，代入数据计算即可． 【详解】（1）解：正比例函数与反比例函数的图象交于点， ∴，，解得，， ∴反比例函数解析式为． （2）解：把直线向上平移3个单位得到解析式为， 令，则， ∴记直线与轴交点坐标为，连接， 联立方程组， 解得，（舍去）， ∴， 由题意得：， ∴，同底等高， ∵， ∴． 22．（10分）（24-25八年级·重庆巫溪·期末）人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用．2024我校为迎接30周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行30米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，“领航号”比“致远号”每秒多行米． (1)求“致远号”的行驶速度； (2)如果将“领航号”的赛道长增加，“致远号”的赛道长不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达各自终点吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达各自终点，并写出调整方案． 【答案】(1)3．2米/秒 (2)不能，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查列分式方程解应用题，解题的关键是根据题意确定等量关系列方程． （1）根据“致远号”行全程的与 “领航号”行全程所用时间相等作为等量关系列方程； （2）分别利用时间=路程÷速度求出二者时间，比较时间可以得出结果； （3）根据“致远号”行30米与 “领航号”行36米所用时间相等作为等量关系列方程求解． 【详解】（1）解：设“致远号”的平均速度为x米/秒，则“领航号”的平均速度为米/秒， 由题意得， 解得：， 经检验是原方程的解． 答：“致远号”的行驶速度是3.2米/秒； （2）解：不能同时到达． 设调整后“领航号”的行驶路程为（米）， “领航号”到达终点所用的时间为（秒）， “致远号”到达终点所用的时间为（秒）， 两车不能同时到达； （3）解：设调整后“领航号”的平均速度为y米/秒，， 解得：， 经检验是原方程的解； 设调整后“致远号”的平均速度为z米/秒，， 解得： 经检验是原方程的解． 答：调整后“领航号”的平均速度为或调整后“致远号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点． 23．（12分）（24-25八年级·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，直线与直线，x轴分别交于点，． (1)求直线的表达式． (2)若D，E分别是直线和y轴上的动点，是否存在点D，E，使得以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】本题是一次函数综合题，考查待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）由待定系数法求直线的解析式即可； （2）设，，再分两种情况讨论：当为平行四边形对角线时；当为平行四边形的对角线时；利用平行四边形对角线互相平分的性质求解即可． 【详解】（1）设直线的表达式为， ∵直线与直线，x轴分别交于点，， ∴解得 ∴直线的表达式为； （2）解：存在. ∵与x轴交于点B， ∴. 设，， ①当为平行四边形的对角线时， ∵，， ∴解得 ∴； ②当为平行四边形的对角线时， ∵，， ∴ 解得 ∴. 综上所述，点D的坐标为或． 24．（12分）（24-25八年级·山西吕梁·期末）综合与探究 问题情境： 在正方形中，是边延长线上一点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，． 特例感知： （1）如图，当点落在边上，则与之间的数量关系是_____． 深入探究： （2）如图，当点落在正方形内部时，（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 类比迁移： （3）若，连接，过点作直线于点．在旋转的过程中，当时，请直接写出的长． 【答案】（）；（）仍然成立，理由见解析；（）的长为或． 【分析】（）由旋转性质可知，则，然后由正方形的性质得，，，故有，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得，则有，从而求解； （）由旋转性质可知，则，然后由正方形的性质得，，，故有，设，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得，，从而求解； （）分当在上方时，当在下方时，两种情况分析即可． 【详解】解：（）由旋转性质可知：， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）仍然成立，理由： 由旋转性质可知：， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴，即， ∴； （）如图，当在上方时，连接交于O， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴点在垂直平分线上，即点在上， 由旋转性质可知：， 设，由（）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴； 如图，当在下上方时， 同上理得：，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴； 综上可知：的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$