八年级（下）期末数学试卷（培优卷）-2024-2025学年八年级数学下册举一反三系列（沪科版）

2024-2025学年八年级（下）期末数学试卷（培优卷） 【沪科版】 考试时间：120分钟；满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级·湖北随州·期中）下列计算结果为的是（ ） A． B． C． D． 2．（3分）（24-25八年级·陕西渭南·期中）已知是一元二次方程的一个实数根，则的值为（   ） A．0 B．0或2 C．2 D．0或 3．（3分）（24-25八年级·浙江宁波·期末）如图，在中，，，分别以，为边向外作正和正，连结，在的边变化过程中，当取最长时，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（3分）（24-25八年级·安徽安庆·专题练习）如图，矩形的对角线和相交于点，平分交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（3分）（24-25八年级·山西太原·期末）山西地处黄河中游，是中国面食文化的发祥地，被称为“世界面食之根”．为弘扬山西面食文化，学校开展“面食制作大比拼”活动．下面是甲、乙、丙、丁四个小组面食作品的评分表（单位：分），若将色、形、味三项得分按的比例确定各组的最终得分，则获得最高分的是（） 小组项目 甲 乙 丙 丁 色 7 7 9 8 形 8 8 8 8 味 8 9 7 7 A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 6．（3分）（24-25八年级·浙江台州·期末）如图所示为“赵爽弦图”，其中、、、是四个全等的直角三角形，且两条直角边之比为1∶2，连接、，分别交、于点、，则四边形和四边形的面积比为（    ） A．5∶2 B．2∶1 C． D． 7．（3分）（24-25八年级·安徽安庆·专题练习）已知m是关于x的一元二次方程的一个实数根，且满足，则a的值为（　　） A． B．1 C．或 D．或1 8．（3分）（24-25八年级·重庆北碚·期末）如图，在中，，，对角线交于点，为直角三角形，是斜边的中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（3分）（24-25八年级·河南开封·期末）如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 10．（3分）（24-25八年级·河南平顶山·期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，，分别是，，的中点，交于点，则①；②；③．上述结论中正确的有（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级·甘肃兰州·期末）为了解某校八年级学生参加消防知识竞赛的成绩（均为整数），从中抽取了的学生的竞赛成绩，整理后绘制了如图所示的频数直方图（各组只含最小值，不含最大值）．若竞赛成绩在90分及以上的学生可以获得奖励，则估计该校获得奖励的八年级学生有 人． 12．（3分）（24-25八年级·福建厦门·期末）图是鼓浪屿八卦楼的航拍图，八卦楼的名称源于其屋顶逐层凸起的八边形造型和八棱红色穹顶，则八边形的内角和为 ． 13．（3分）（24-25八年级·四川凉山·期末）已知，则的值为 ． 14．（3分）（24-25八年级·湖南永州·期末）已知是方程的两个根，则 ． 15．（3分）（24-25八年级·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OA 在x轴上，OC在y轴上，OA=1，OC=2，对角线 AC的垂直平分线交AB 于点E，交AC于点D．若y轴上有一点P（不与点C重合），能使△AEP是以为 AE 为腰的等腰三角形，则点 P的坐标为 ． 16．（3分）（24-25八年级·河南新乡·期中）图，在矩形中，，，为的三等分点（），是从出发，以每秒1个单位的速度沿方向运动的动点，点运动秒后沿所在直线，将矩形纸片进行翻折，若点恰好落在边上，则的值为 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级·福建泉州·期末）计算：． 18．（6分）（24-25八年级·江苏无锡·期末）解方程： (1)； (2)． 19．（8分）（24-25八年级·四川达州·期末）如图，在海平面上有，，三个标记点，其中在的北偏西方向上，与的距漓是40海里，在的南偏西方向上，与的距离是30海里． (1)求点与点之间的距离； (2)若在点处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为25海里，此时在点处有一艘轮船准备沿直线向点处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向处的过程中，有多少小时可以接收到信号？ 20．（8分）（24-25八年级·湖南岳阳·开学考试）某中学举行了2024年奥运会相关知识的竞赛，赛后随机抽查部分参赛同学成绩，并制作成图表如下． 分数段 频数 频率 60 0.15 m 0.45 120 n 40 0.1 请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)表中的数n＝ ； (2)请在图中补全频数分布直方图； (3)若绘制扇形统计图，分数段所对应扇形的圆心角的度数是 ； (4)全校共有2000名学生参加比赛，估计该校成绩不低于80分的学生有多少人？ 21．（10分）（24-25八年级·湖南长沙·阶段练习）如图，的对角线相交于点O，平分，过点D作，过点C作，交于点P，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 22．（10分）（24-25八年级·河南郑州·期末）为了解决初中生画图慢和画图不准的问题，老杨设计了初中专用套尺，申请了国家专利并投入生产使用．前年成本为10万元，今年成本达到了14万4千元． (1)如果平均每年成本的增长率相同，求这个增长率． (2)将生产出的初中专用套尺按18元/套的价格售卖时，一年可卖出7800套．市场调研发现，该套尺每涨价1元，销售量就会减少300套．今年售价定为多少元才能使销售额刚好为14万4千元． 23．（12分）（24-25八年级·湖北·期末）【提出问题】 如图1，在中，于点E，于点F．求证：； 【问题探究】 如图2，在四边形中， ，G是的中点，P是上的一点，连接，．若，．求证：； 【拓展延伸】 如图3，在四边形中， ，P是边上的一点，连接，．若，，，，，直接写出PD的长为 ． 24．（12分）（2025·吉林长春·一模）（1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F．求证：四边形是菱形； （2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边，于点E，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求四边形的周长； （3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边，于点E，F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级（下）期末数学试卷（培优卷） 【沪科版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级·湖北随州·期中）下列计算结果为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C不符合题意； ，故选项D符合题意； 故选D． 2．（3分）（24-25八年级·陕西渭南·期中）已知是一元二次方程的一个实数根，则的值为（   ） A．0 B．0或2 C．2 D．0或 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、解一元二次方程等知识点，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键． 把代入一元二次方程关于a的方程求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个实数根， ∴，解得：或2． 故选：B． 3．（3分）（24-25八年级·浙江宁波·期末）如图，在中，，，分别以，为边向外作正和正，连结，在的边变化过程中，当取最长时，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理， 根据等边三角形的性质证明，可得，再根据当点A，B，D共线时，最大，即最大，然后作出图形，并作，根据勾股定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． ∵， ∴当点A，B，D共线时，最大，即最大． 过点C作，交于点F， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 则． 根据勾股定理，得． 在中，． 故选：A． 4．（3分）（24-25八年级·安徽安庆·专题练习）如图，矩形的对角线和相交于点，平分交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 根据矩形性质得出，，，，根据等腰三角形的判定得出，证明为等边三角形，得出，根据等腰三角形的性质得出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5．（3分）（24-25八年级·山西太原·期末）山西地处黄河中游，是中国面食文化的发祥地，被称为“世界面食之根”．为弘扬山西面食文化，学校开展“面食制作大比拼”活动．下面是甲、乙、丙、丁四个小组面食作品的评分表（单位：分），若将色、形、味三项得分按的比例确定各组的最终得分，则获得最高分的是（） 小组项目 甲 乙 丙 丁 色 7 7 9 8 形 8 8 8 8 味 8 9 7 7 A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 【答案】B 【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．根据加权平均数的概念分别计算出四人的平均得分，从而得出答案． 【详解】解：甲组的平均得分为（分， 乙组的平均得分为（分， 丙组的平均得分为（分， 丁组的平均得分为（分， 获得最高分的是乙组． 故选：B． 6．（3分）（24-25八年级·浙江台州·期末）如图所示为“赵爽弦图”，其中、、、是四个全等的直角三角形，且两条直角边之比为1∶2，连接、，分别交、于点、，则四边形和四边形的面积比为（    ） A．5∶2 B．2∶1 C． D． 【答案】B 【分析】先求出，证明△HGM≌△EBM，得到BM=GB，再根据两个平行四边形的底与高的关系即可求解． 【详解】∵、、、是四个全等的直角三角形， ∴AB=BC=CD=AD,∠ABE+∠FBC=∠ABE+∠BAE=90° ∴四边形ABCD是正方形 ∵BE：AE=1:2 ∴BE=HE=DG ∵∠GHM=∠BME=90°，∠HMG=∠EMB ∴△HGM≌△EBM ∴BM=GB，故BG：MG=2:1 又BFDH，BE=DG ∴四边形    是平行四边形 ∴BGDE ∵AECG ∴四边形    是平行四边形 ∵平行四边形与平行四边形的高相等 ∴四边形和四边形的面积比为BG：MG=2:1 故选B． 【点睛】此题主要考查正方形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质． 7．（3分）（24-25八年级·安徽安庆·专题练习）已知m是关于x的一元二次方程的一个实数根，且满足，则a的值为（　　） A． B．1 C．或 D．或1 【答案】A 【分析】该题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程等知识点，根据方程解的定义判断出，构建关于a的方程求解即可． 【详解】解：∵m是关于x的一元二次方程的一个实数根， ， ， ， ， ∴或， 当时，一元二次方程为，此时方程无解，舍去． ． 故选：A． 8．（3分）（24-25八年级·重庆北碚·期末）如图，在中，，，对角线交于点，为直角三角形，是斜边的中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．先得出是菱形，从而得到，由得出，再证明，从而得到，，又由推导，从而求出，，最后利用即可得到结论． 【详解】解：在中，， ∴是菱形， ， ， ， ， ， ，是斜边的中点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 9．（3分）（24-25八年级·河南开封·期末）如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理，牢记勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 先由勾股定理求出，则，再通过勾股定理逆定理得，最后由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， 故选：． 10．（3分）（24-25八年级·河南平顶山·期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，，分别是，，的中点，交于点，则①；②；③．上述结论中正确的有（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质和，可以确定等腰三角形，再应用等腰三角形三线合一的性质可判断①正确；根据三角形的中位线和平行四边形的性质可以确定，且，进而得到平行四边形，再应用其对角线互相平分的性质确定②正确；根据三角形底和高之间的关系和平行四边形的性质确定和，进而得到，可判断③不正确． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵为中点， ∴．故①正确． ②如下图所示，连接，， ∵是中点， ∴． ∵、分别是、中点， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． ∴四边形是平行四边形， ∴故②正确． ③如上图所示：∵是中点， ∴． ∵是中点， ∴． ∵平行四边形的对角线、交于点， ∴是中点，． ∴． ∵是中点，是中点， ∴． ∴．故③不正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，三角形中位线，平行四边形的性质与判定定理以及三角形面积与底和高之间的关系，综合应用这些知识点是解题关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级·甘肃兰州·期末）为了解某校八年级学生参加消防知识竞赛的成绩（均为整数），从中抽取了的学生的竞赛成绩，整理后绘制了如图所示的频数直方图（各组只含最小值，不含最大值）．若竞赛成绩在90分及以上的学生可以获得奖励，则估计该校获得奖励的八年级学生有 人． 【答案】2000 【分析】本题考查频数分布直方图，样本估计总体，根据频数分布直方图求出调查人数，进而求出八年级学生总人数，最后再求出成绩在90分以上的学生人数即可． 【详解】解：参加竞赛的总人数为：（人） 则八年级学生总人数为：， ∴该校获得奖励的八年级学生有：（人） 故答案为：2000 12．（3分）（24-25八年级·福建厦门·期末）图是鼓浪屿八卦楼的航拍图，八卦楼的名称源于其屋顶逐层凸起的八边形造型和八棱红色穹顶，则八边形的内角和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，解答本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式． 根据多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：八边形的内角和为：， 故选：． 13．（3分）（24-25八年级·四川凉山·期末）已知，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式的求值，根据二次根式有意义的条件，得到，进而求出分式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 14．（3分）（24-25八年级·湖南永州·期末）已知是方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，分式的加法，熟练掌握知识点是解题的关键．由题意得，，再对通分化简，代入即可． 【详解】解：，是方程的两个根， ，， ． 故答案为：． 15．（3分）（24-25八年级·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OA 在x轴上，OC在y轴上，OA=1，OC=2，对角线 AC的垂直平分线交AB 于点E，交AC于点D．若y轴上有一点P（不与点C重合），能使△AEP是以为 AE 为腰的等腰三角形，则点 P的坐标为 ． 【答案】，或 【分析】设AE=m，根据勾股定理求出m的值，得到点E（1，），设点P坐标为（0，y），根据勾股定理列出方程，即可得到答案． 【详解】∵对角线 AC的垂直平分线交AB 于点E， ∴AE=CE， ∵OA=1，OC=2， ∴AB=OC=2，BC=OA=1， ∴设AE=m，则BE=2-m，CE=m， ∴在Rt∆BCE中，BE2+ BC2=CE2，即：（2-m）2+12=m2， 解得：m=， ∴E（1，）， 设点P坐标为（0，y）， ∵△AEP是以为 AE 为腰的等腰三角形， 当AP=AE，则(1-0)2+(0-y)2= (1-1)2+(0-)2，解得：y=， 当EP=AE，则(1-0)2+(-y)2= (1-1)2+(0-)2，解得：y=， ∴点 P的坐标为，，， 故答案是：，，． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，勾股定理，矩形的性质，垂直平分线的性质，掌握勾股定理，列出方程，是解题的关键． 16．（3分）（24-25八年级·河南新乡·期中）图，在矩形中，，，为的三等分点（），是从出发，以每秒1个单位的速度沿方向运动的动点，点运动秒后沿所在直线，将矩形纸片进行翻折，若点恰好落在边上，则的值为 ． 【答案】或7 【分析】由是从出发，以每秒1个单位的速度沿方向运动的动点，可知，需要分类讨论，结合折叠的性质，可得直角三角形，再利用勾股定理，即可求解． 【详解】设点沿过点的直线翻折后落在上的对应点为点， ①如图1，过点作交于点，在上， 可得四边形为矩形， ∴，， ∵为的三等分点，， ∴由折叠可得． 在中，由勾股定理，得 ， ∴． 设，则， 在中，由勾股定理，得 ， 解得， ∴． 故． ②如图2，过点作交于点，在上． 可得四边形为矩形， ∴，． 在中，由勾股定理，得 ， ， 设，则， 则． 在中，由勾股定理，得 ， ，即， 则， 综上所述，或7． 故答案为：或7． 【点睛】本题主要考查了动点问题、折叠问题、勾股定理、矩形的性质． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级·福建泉州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先利用平方差公式、二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简二次根式后进行有理数的加减运算．熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． 【详解】解：原式 ． 18．（6分）（24-25八年级·江苏无锡·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）把常数移到右边，再利用配方法解答即可； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 19．（8分）（24-25八年级·四川达州·期末）如图，在海平面上有，，三个标记点，其中在的北偏西方向上，与的距漓是40海里，在的南偏西方向上，与的距离是30海里． (1)求点与点之间的距离； (2)若在点处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为25海里，此时在点处有一艘轮船准备沿直线向点处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向处的过程中，有多少小时可以接收到信号？ 【答案】(1)点与点之间的距离为50海里 (2)有0.7小时可以接收到信号 【分析】本题考查了勾股定理的应用航海问题，方向角的应用，路程、速度、时间的关系，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）由题意易得是直角，由勾股定理即可求得点与点之间的距离； （2）过点作交于点，在上取点，，使得海里，分别求得、的长，可求得此时轮船过时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数． 【详解】（1）解：由题意，得：，； ； 海里，海里； （海里）， 即：点与点之间的距离为50海里； （2）解：过点作交于点，在上取点，，使得海里． ； ； ； 海里； 海里； 海里； 行驶时间为（小时）． 答：有0.7小时可以接收到信号． 20．（8分）（24-25八年级·湖南岳阳·开学考试）某中学举行了2024年奥运会相关知识的竞赛，赛后随机抽查部分参赛同学成绩，并制作成图表如下． 分数段 频数 频率 60 0.15 m 0.45 120 n 40 0.1 请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)表中的数n＝ ； (2)请在图中补全频数分布直方图； (3)若绘制扇形统计图，分数段所对应扇形的圆心角的度数是 ； (4)全校共有2000名学生参加比赛，估计该校成绩不低于80分的学生有多少人？ 【答案】(1) (2)图见解析 (3) (4)估计该校成绩不低于80分的学生有800人 【分析】本题考查频数（率）分布直方图，用样本估计总体，频数（率）分布表，扇形统计图，解答本题的关键要结合生活实际，绘制频数分布直方图或从统计图中获取有用的信息， （1）根据的频数及其频率求得总人数，进而计算可得n的值； （2）求出m.的值，可以补全直方图； （3）用乘以样本中分数段的频率即可得； （4）总人数乘以样本中成绩范围内的学生人数所占比例. 【详解】（1）解：本次调查的总人数为人， ， 故答案为：0.3； （2）解：， 补全频数分布直方图如下： （3）解：若绘制扇形统计图，分数段所对应扇形的圆心角的度数是， 故答案为：； （4）解：（人）， 答：估计该校成绩不低于80分的学生有800人． 21．（10分）（24-25八年级·湖南长沙·阶段练习）如图，的对角线相交于点O，平分，过点D作，过点C作，交于点P，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义证得，进而利用等角对等边得到，然后根据菱形的判定定理可得结论； （2）先根据菱形的性质和勾股定理求得，，再证明四边形是矩形，利用矩形的对角线相等得到． 【详解】（1）证明∵四边形是平行四边形， ∴． ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴四边形是矩形， ∴． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握菱形和矩形的判定与性质是解答的关键． 22．（10分）（24-25八年级·河南郑州·期末）为了解决初中生画图慢和画图不准的问题，老杨设计了初中专用套尺，申请了国家专利并投入生产使用．前年成本为10万元，今年成本达到了14万4千元． (1)如果平均每年成本的增长率相同，求这个增长率． (2)将生产出的初中专用套尺按18元/套的价格售卖时，一年可卖出7800套．市场调研发现，该套尺每涨价1元，销售量就会减少300套．今年售价定为多少元才能使销售额刚好为14万4千元． 【答案】(1) (2)元或元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，设平均每年成本的增长率为，根据前年成本为10万元，今年成本达到了14万4千元，列式，再解出的值，即可作答． （2）根据将生产出的初中专用套尺按18元/套的价格售卖时，一年可卖出7800套．市场调研发现，该套尺每涨价1元，销售量就会减少300套，列式，再解出的值，即可作答． 【详解】（1）解：设平均每年成本的增长率为， 依题意，得， 解得（负值已舍去）， ∴平均每年成本的增长率为， （2）解：设该套尺每涨价元， 依题意，得， 解得或； ∴（元）或（元）， ∴今年售价定为元或元才能使销售额刚好为14万4千元． 23．（12分）（24-25八年级·湖北·期末）【提出问题】 如图1，在中，于点E，于点F．求证：； 【问题探究】 如图2，在四边形中， ，G是的中点，P是上的一点，连接，．若，．求证：； 【拓展延伸】 如图3，在四边形中， ，P是边上的一点，连接，．若，，，，，直接写出PD的长为 ． 【答案】提出问题：证明见解析；问题探究：证明见解析；拓展延伸： 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理； 提出问题：由垂直可得，由，可得，，得到，即可证明； 问题探究：过作于，过作于，过作交延长线于，先证明，得，，再证明，得到，推出，即可证明，得到，； 拓展延伸：过作于，过作交延长线于，证明，得到，再由勾股定理得到，最后根据计算即可． 【详解】解：提出问题：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； 问题探究：过作于，过作于，过作交延长线于，则， ∵G是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵ ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 拓展延伸：过作于，过作交延长线于，则， ∵ ， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 24．（12分）（2025·吉林长春·一模）（1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F．求证：四边形是菱形； （2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边，于点E，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求四边形的周长； （3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边，于点E，F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长． 【答案】（1）见详解； （2）； （3）． 【分析】（1）通过证明，得到，可证四边形为平行四边形，再由，可证平行四边形为菱形； （2）过点作于，先判断四边形是矩形，再求矩形的边长，进而求出周长； （3）过点作，交的延长线于，过点作于，先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形，在中，求出， 中，求出即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 垂直平分， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为菱形； （2）解：过点作于， 由折叠可知：，， 在中，，即， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 四边形的周长； （3）解：过点作，交的延长线于，过点作于， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， 由折叠的性质可知：，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 在 中，． 【点睛】本题是四边形的综合题，熟练掌握菱形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，图形折叠的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$