第02讲 分解因式（4个知识点3大题型）-2025 年新高一数学暑假自学能力进阶讲义与演练（人教A版2019）

第02讲 分解因式 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点1、十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在 ，则. 知识点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若， 则、同号(若，则、异号)，然后依据一次项系数的正负再确定、的符号； （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 知识点2、首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即 ，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 知识点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号 里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 知识点3：提取公因式法与分组分解法 1、提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。 2、符号语言： 3、提公因式的步骤： （1）确定公因式 （2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式） 4、注意事项：因式分解一定要彻底 知识点4：关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解 若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为. 题型一：十字相乘法 【例1】（2025·山东淄博·一模）分解因式： ． 【变式1-1】（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）分解因式： ． 【变式1-2】（24-25九年级下·浙江宁波·自主招生）因式分 ． 【变式1-3】将多项式进行因式分解得到，则的值为 ． 题型二：提取公因式法与分组分解法 【例2】（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）已知，求的值． 【变式2-1】（24-25九年级上·山东威海·期末）因式分(1) (2) (3) 【变式2-2】（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）观察下列等式，解答下列问题： ①；②；③；④… (1)第⑤个等式为_____； (2)猜想第个等式为_____（用含的式子表示），并证明． 【变式2-3】（2025·广东珠海·二模）阅读理分组分解法是分解因式的重要方法之一．请仔细阅读以下式子的分解因式： 根据以上三种分组方法进行因式分解的启发，完成以下题目： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 题型三：关于x的二次三项式的因式分解 【例3】（24-25八年级上·全国·期末）（1）若，则的值是　　； （2）分解因式： ①； ②； （3）若多项式能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积，求a的值． 【变式3-1】（23-24八年级上·福建福州·期末）材料：把多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：． (1)分解因式： (2)若a，都是正整数且满足，求的值； (3)若a，b为实数且满足 ， ，求S的最小值． 【变式3-2】（2025·青海西宁·中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】 (1)请用分组分解法将因式分解； 【挑战】 (2)请用分组分解法将因式分解； 【应用】 (3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 【变式3-3】（2025·广东深圳·二模）（1）解方程：； （2）已知两不相等的实数满足，求的值． 一、单选题 1．（2025·河北唐山·二模）因式分解“”得，则“”是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河南南阳·三模）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·云南文山·二模）分解因式：（    ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽合肥·二模）已知，，则代数式的值为（   ） A．9 B． C． D．2 5．（2025·安徽安庆·一模）已知三个实数a，b，c满足，，下列结论正确的是（    ） A．， B．， C． D． 6．（2025·云南玉溪·二模）分解因式：（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）一次函数的图象经过点、；则（    ） A．0 B．20 C．25 D． 8．（2025·贵州毕节·三模）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2025·黑龙江绥化·二模）因式分 ． 10．（2025·广东梅州·一模）因式分 ． 11．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）因式分解 ． 12．（2025·山东济南·二模）因式分 13．（2025·山西吕梁·二模）将多项式因式分解可得 ． 14．（2025·海南省直辖县级单位·二模）因式分 ． 15．（2025·陕西宝鸡·二模）分解因式： ． 三、解答题 16．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知可因式分解成，其中a，b，c均为整数，求的值． 18．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）因式分(1) (2) 19．（2025·广东广州·一模）已知，，有三个代数式：，，． (1)因式分解； (2)在，，中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式并化简． 20．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）【观察思考】 将大小形状完全相同的“”和“”按如图所示的规律依次摆放，归纳图形中的规律，解决下列问题． 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）第1个图案中，“”的数量有：； 第2个图案中，“”的数量有：； 第3个图案中，“”的数量有：， …， 第个图案中，“”的数量有：______； （2）第1个图案中，“”的数量有：； 第2个图案中，“”的数量有：； 第3个图案中，“”的数量有：， …， 第个图案中，“”的数量有：______； 【规律应用】 （3）第个图案中，“”和“”的数量之和为225，求的值． 21．（2025·安徽阜阳·一模）【观察思考】 毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列形数．如图1，当小石子的数是1，3，6，…时，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是1，4，9，…时，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数． 【规律发现】 （1）图1中，第个三角形数是 ；图2中，第个正方形数是 （请用含的式子表示）． 【猜想验证】 （2）毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形数之间的内在联系：，即第个与第个三角形数之和等于第个的正方形数．请将上述联系用含有的等式表示出来，并证明． 22．（2025·宁夏银川·一模）因式分 小刚的解题过程如下： 第一步 ……第二步 ……第三步 ①请问小刚同学第一步变形用到的乘法公式是 （写出用字母 a，b表示的乘法公式）； ②小颖说小刚的步骤中有错误，小刚第 步出现了错误； ③请用小刚的思路给出这道题的正确解法． 23．（2025·江苏扬州·一模）某数学兴趣小组研究如下等式：，，，．观察发现以上等式均是“两位数乘以两位数，十位数字相同，个位数字之和是10，且积有一定的规律”． (1)根据上述的运算规律，直接写出结果： ； ； (2)设其中一个数的十位数字为a，个位数字为． ①请用含a，b的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明； ②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位数字调换位置，得到新的两个两位数相乘（如：调换为）．若记新的两个两位数的乘积为m，①中的运算结果为n，若一定能被一个两位数整除，试求这个两位数的最大值． 24．（2025·河北秦皇岛·一模）整式A、B、C、D如表所示． 整式              整式 (1)将整式进行因式分解； (2)化简整式，当时，计算a和b的值． 25．（2025·北京·一模）已知，求代数式的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 分解因式 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点1、十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在 ，则. 知识点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若， 则、同号(若，则、异号)，然后依据一次项系数的正负再确定、的符号； （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 知识点2、首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即 ，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 知识点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号 里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 知识点3：提取公因式法与分组分解法 1、提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。 2、符号语言： 3、提公因式的步骤： （1）确定公因式 （2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式） 4、注意事项：因式分解一定要彻底 知识点4：关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解 若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为. 题型一：十字相乘法 【例1】（2025·山东淄博·一模）分解因式： ． 【答案】 【解析】， 故答案为：． 【变式1-1】（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）分解因式： ． 【答案】 【解析】． 故答案为：． 【变式1-2】（24-25九年级下·浙江宁波·自主招生）因式分 ． 【答案】 【解析】 故答案为：． 【变式1-3】将多项式进行因式分解得到，则的值为 ． 【答案】5 【解析】依题意，， ∵多项式进行因式分解得到， ∴， ∴， 故答案为：5． 题型二：提取公因式法与分组分解法 【例2】（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）已知，求的值． 【解析】∵分式要有意义， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【变式2-1】（24-25九年级上·山东威海·期末）因式分(1) (2) (3) 【解析】（1）原式 ； （2）                                 ； （3）原式． 【变式2-2】（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）观察下列等式，解答下列问题： ①；②；③；④… (1)第⑤个等式为_____； (2)猜想第个等式为_____（用含的式子表示），并证明． 【解析】（1）由题意得，第⑤个等式为． 故答案为：． （2）猜想第个等式为，证明如下： ． 故答案为：． 【变式2-3】（2025·广东珠海·二模）阅读理分组分解法是分解因式的重要方法之一．请仔细阅读以下式子的分解因式： 根据以上三种分组方法进行因式分解的启发，完成以下题目： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【解析】（1） ； （2） ． 题型三：关于x的二次三项式的因式分解 【例3】（24-25八年级上·全国·期末）（1）若，则的值是　　； （2）分解因式： ①； ②； （3）若多项式能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积，求a的值． 【解析】（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）① ； ② ； （3）∵能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积， ∴可设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵m、n都是整数， ∴都是整数， ∵， ∴或或或， ∴或或或， ∴或， 解得或． 【变式3-1】（23-24八年级上·福建福州·期末）材料：把多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：． (1)分解因式： (2)若a，都是正整数且满足，求的值； (3)若a，b为实数且满足 ， ，求S的最小值． 【解析】（1） ； （2）由得， ， ， ， ， ， ， ，， 解得，， ； （3）由得， ， ， ，， ， 当，时， ， ∴S的最小值为6． 【变式3-2】（2025·青海西宁·中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】 (1)请用分组分解法将因式分解； 【挑战】 (2)请用分组分解法将因式分解； 【应用】 (3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 【解析】（1） ； （2） ； （3） ， ∴根据题意得，， ∴原式． 【变式3-3】（2025·广东深圳·二模）（1）解方程：； （2）已知两不相等的实数满足，求的值． 【解析】（1）∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是不相等的两个实数， ∴， ∴． 一、单选题 1．（2025·河北唐山·二模）因式分解“”得，则“”是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵， ∴“”是， 故选：． 2．（2025·河南南阳·三模）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A、，选项A错误，不符合题意； B、，选项B正确，符合题意； C、，选项C错误，不符合题意； D、，选项D错误，不符合题意； 故选：B． 3．（2025·云南文山·二模）分解因式：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， 故答案为：C． 4．（2025·安徽合肥·二模）已知，，则代数式的值为（   ） A．9 B． C． D．2 【答案】C 【解析】∵，， ∴ ∴， 故选：C． 5．（2025·安徽安庆·一模）已知三个实数a，b，c满足，，下列结论正确的是（    ） A．， B．， C． D． 【答案】A 【解析】， ， ， ，即， ， ， 将代入得， ， ，， 故选：A． 6．（2025·云南玉溪·二模）分解因式：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， 故选：C． 7．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）一次函数的图象经过点、；则（    ） A．0 B．20 C．25 D． 【答案】C 【解析】将、分别代入解析式得，，， 整理得，，， ∴ ． 故选：C． 8．（2025·贵州毕节·三模）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A、是多项式乘法运算，故此选项不符合题意； B、，不是因式分解，故此选项不符合题意； C、，不是因式分解，故此选项不符合题意； D、，是因式分解，故此选项符合题意． 故选：D． 二、填空题 9．（2025·黑龙江绥化·二模）因式分 ． 【答案】 【解析】原式； 故答案为： 10．（2025·广东梅州·一模）因式分 ． 【答案】 【解析】 ， 故答案为：． 11．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）因式分解 ． 【答案】 【解析】， 故答案为：． 12．（2025·山东济南·二模）因式分 【答案】 【解析】， 故答案为：． 13．（2025·山西吕梁·二模）将多项式因式分解可得 ． 【答案】 【解析】 ； 故答案为： 14．（2025·海南省直辖县级单位·二模）因式分 ． 【答案】 【解析】 ， 故答案为：． 15．（2025·陕西宝鸡·二模）分解因式： ． 【答案】 【解析】． 故答案为：． 三、解答题 16．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 17．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知可因式分解成，其中a，b，c均为整数，求的值． 【解析】∵， 又可因式分解成， ∴， ∴． 18．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）因式分(1) (2) 【解析】（1）原式 ； （2）原式 ． 19．（2025·广东广州·一模）已知，，有三个代数式：，，． (1)因式分解； (2)在，，中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式并化简． 【解析】（1）； （2）选择A、B，则所得分式为或； 选择A、C，则所得分式为或； 选择B、C，则所得分式为或． 20．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）【观察思考】 将大小形状完全相同的“”和“”按如图所示的规律依次摆放，归纳图形中的规律，解决下列问题． 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）第1个图案中，“”的数量有：； 第2个图案中，“”的数量有：； 第3个图案中，“”的数量有：， …， 第个图案中，“”的数量有：______； （2）第1个图案中，“”的数量有：； 第2个图案中，“”的数量有：； 第3个图案中，“”的数量有：， …， 第个图案中，“”的数量有：______； 【规律应用】 （3）第个图案中，“”和“”的数量之和为225，求的值． 【解析】（1）第个图案中，“”的数量有：， 故答案为：； （2）第个图案中，“”的数量有：， 故答案为：； （3）由题意得，，即， 解得（负数已舍去）， 即的值为14． 21．（2025·安徽阜阳·一模）【观察思考】 毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列形数．如图1，当小石子的数是1，3，6，…时，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是1，4，9，…时，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数． 【规律发现】 （1）图1中，第个三角形数是 ；图2中，第个正方形数是 （请用含的式子表示）． 【猜想验证】 （2）毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形数之间的内在联系：，即第个与第个三角形数之和等于第个的正方形数．请将上述联系用含有的等式表示出来，并证明． 【解析】（1）由题意知在图1中，第个三角形数为， 第个三角形数为， 图2中，第个正方形数为 故答案为：，； （2） 证明：左边 右边， ∴等式成立． 22．（2025·宁夏银川·一模）因式分 小刚的解题过程如下： 第一步 ……第二步 ……第三步 ①请问小刚同学第一步变形用到的乘法公式是 （写出用字母 a，b表示的乘法公式）； ②小颖说小刚的步骤中有错误，小刚第 步出现了错误； ③请用小刚的思路给出这道题的正确解法． 【解析】①观察可知第一步变形用到的乘法公式是平方差公式，即； ②观察解题过程可知，第二步出现了错误，原因是前面的符号在去括号时没有变号； ③ ． 23．（2025·江苏扬州·一模）某数学兴趣小组研究如下等式：，，，．观察发现以上等式均是“两位数乘以两位数，十位数字相同，个位数字之和是10，且积有一定的规律”． (1)根据上述的运算规律，直接写出结果： ； ； (2)设其中一个数的十位数字为a，个位数字为． ①请用含a，b的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明； ②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位数字调换位置，得到新的两个两位数相乘（如：调换为）．若记新的两个两位数的乘积为m，①中的运算结果为n，若一定能被一个两位数整除，试求这个两位数的最大值． 【解析】（1）根据题意得：， ； （2）①∵其中一个数的十位数字为a，个位数字为， ∴另一个数的十位数字为a，个位数字为， ∴这两个两位数分别为，， 根据题意得：这个运算规律为， 证明：左边 右边， ∴左边右边； ②由①得：， ∵分别将左边两个乘数的十位和个位调换位置，得到新的两个两位数相乘， ∴新的两个两位数分别为，， ∴ ， ∴ ， ， ∵a，b为正整数， ∴为整数， ∴能被99整除， ∴这个两位数的最大值为． 24．（2025·河北秦皇岛·一模）整式A、B、C、D如表所示． 整式              整式 (1)将整式进行因式分解； (2)化简整式，当时，计算a和b的值． 【解析】（1）由表可知， ． （2）由表可知，，，，， ∴ ， ， ∵， ∴，， ∴，即， 联立， 解得． 25．（2025·北京·一模）已知，求代数式的值． 【解析】， ， ∴ ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$