第01讲 数与式的运算（4个知识点4大题型）-2025 年新高一数学暑假自学能力进阶讲义与演练（人教A版2019）

专题01 数与式的运算 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点1：绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即： 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离． 知识点2：乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式； （2）完全平方公式． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式； （2）立方差公式； （3）三数和平方公式； （4）两数和立方公式； （5）两数差立方公式． 知识点3：二次根式 一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如，等是无理式，而，，等是有理式． （1）分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入 有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等．一般地，与，与，与互为有理化因式． 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式． （2）二次根式的意义 知识点4：分式 （1）分式的意义 形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质： ； ． 上述性质被称为分式的基本性质． （2）繁分式 像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式． 题型一：绝对值 【例1】（2025·河南平顶山·三模）下列数轴上各点表示的数中绝对值最大的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1-1】（2025·河北邯郸·一模）如图，在数轴上被笑脸覆盖的数可能是（   ）    A． B． C． D．1.7 【变式1-2】（2025·北京朝阳·一模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·广东梅州·一模）已知，则（　　） A．2025 B．1 C． D． 题型二：乘法公式 【例2】（2025·湖南常德·二模）若，则 ． 【变式2-1】（2025·江苏·一模）已知代数式的值为3，则代数式的值为 ． 【变式2-2】（2025·陕西西安·三模）先化简，再求值：，其中． 【变式2-3】（2025·广东佛山·二模）先化简，再求值：，其中． 题型三：二次根式 【例3】（2025·湖南永州·二模）计算： ． 【变式3-1】（2025·安徽安庆·二模）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 【变式3-2】（2025·湖北·二模）计算：． 【变式3-3】（2025·山东济宁·三模）（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中 题型四：分式 【例4】（2025·山东济宁·二模）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【变式4-1】（2025·辽宁抚顺·三模）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【变式4-2】（2025·江苏淮安·二模）先化简，再求值：，其中 【变式4-3】（2025·山东济宁·二模）对于正数，规定，例如，则的值是 ． 一、单选题 1．（2025·海南·一模）如图，数轴上点到原点的距离是（   ） A．3 B．－2 C．2 D．1 2．（2025·四川南充·模拟预测）如图，数轴上的，，三点所表示的数分别为，，，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·重庆·模拟预测）将多项式中的项（）的符号改为“-”后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式的“绝对操作”．例如：当时，对多项式进行“绝对操作”后得到代数式：，去掉绝对值则得到“绝对操作”的最终结果．下列关于对多项式的“绝对操作”的最终结果说法： ①所有最终结果的乘积非负； ②当时，若，则“绝对操作”的所有最终结果的和为0； ③若，则共有8种不同的最终结果． 正确的有几项（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2025·山西吕梁·二模）化简的结果为（　　） A． B． C． D． 5．（2025·四川绵阳·三模）如图，将1，三个数按图中方式排列；若规定表示第a排第b列的数，则与表示的两个数的积是（    ）                                   1       第1排                                      第2排                            1        第3排              1             1        第4排    ……   第4列 第3列 第2列  第1列 …… A． B． C． D．1 6．（2025·江苏扬州·三模）如图，数轴上，两点分别对应实数，，下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2025九年级下·西藏·专题练习）若，则的值为 ． 8．（2025九年级下·西藏·专题练习）若，则 ． 9．（2025·山东济宁·二模）已知，且，则的值为 ． 10．（2025·湖北随州·二模）已知一元二次方程的两根为，，式子的值是 ． 11．（2025·湖北恩施·一模）化简的结果是 ． 三、解答题 12．（2025·海南省直辖县级单位·二模）计算： (1)计算：； (2)化简：． 13．（2025·河南南阳·三模）（1）计算：． （2）化简：． 14．（2025·上海普陀·三模）（1）计算： （2）化简： 15．（2025·辽宁抚顺·三模）（1）解不等式组： （2）先化简、再求值：，其中，． 16．（2025·陕西渭南·二模）先化简，再求值：，其中，． 17．（2025·辽宁抚顺·三模）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 18．（2025·广东汕头·三模）先化简，再求值：，其中 19．（2025·云南文山·二模）计算：． 20．（2025·山西朔州·三模）计算或化简： (1)； (2)． 21．（2025·河南商丘·二模）（1）计算：； （2）化简：． 22．（2025·辽宁抚顺·三模）（1）计算：； （2）先化简：，再从，，，中选取一个适合的数代入求值． 23．（2025·辽宁盘锦·一模）计算 (1) (2) 24．（2025·山西吕梁·二模）（1）计算：； （2）解方程组： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数与式的运算 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点1：绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即： 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离． 知识点2：乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式； （2）完全平方公式． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式； （2）立方差公式； （3）三数和平方公式； （4）两数和立方公式； （5）两数差立方公式． 知识点3：二次根式 一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如，等是无理式，而，，等是有理式． （1）分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入 有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等．一般地，与，与，与互为有理化因式． 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式． （2）二次根式的意义 知识点4：分式 （1）分式的意义 形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质： ； ． 上述性质被称为分式的基本性质． （2）繁分式 像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式． 题型一：绝对值 【例1】（2025·河南平顶山·三模）下列数轴上各点表示的数中绝对值最大的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【解析】由图可知A到原点的距离最大， ∴数轴上各点表示的数中绝对值最大的是点A， 故选：A． 【变式1-1】（2025·河北邯郸·一模）如图，在数轴上被笑脸覆盖的数可能是（   ）    A． B． C． D．1.7 【答案】B 【解析】设被笑脸覆盖的数为x，根据题意，得，且更接近， 则A，D不符合题意，又，，且， 故更接近， 故C不符合题意， 故选：B． 【变式1-2】（2025·北京朝阳·一模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由数轴可知，， A、从数轴上看，在左侧，所以，而不是，原说法错误，故该选项符合题意； B、因为，所以，故原说法正确，该选项不符合题意； C、因为，，那么 ，，，所以故原说法正确，该选项不符合题意； D、因为，，所以，故，原说法正确，该选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-3】（2025·广东梅州·一模）已知，则（　　） A．2025 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】∵，， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 题型二：乘法公式 【例2】（2025·湖南常德·二模）若，则 ． 【答案】5 【解析】， ，即， ． 故答案为：． 【变式2-1】（2025·江苏·一模）已知代数式的值为3，则代数式的值为 ． 【答案】9 【解析】∵代数式的值为3， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】（2025·陕西西安·三模）先化简，再求值：，其中． 【解析】原式， ， ， 当时， 原式． 【变式2-3】（2025·广东佛山·二模）先化简，再求值：，其中． 【解析】原式 . ；. 当时 ． 题型三：二次根式 【例3】（2025·湖南永州·二模）计算： ． 【答案】 【解析】原式 ， 故答案为：． 【变式3-1】（2025·安徽安庆·二模）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】/ 【解析】根据题意得， 解得， 故答案为：． 【变式3-2】（2025·湖北·二模）计算：． 【解析】计算： 原式 【变式3-3】（2025·山东济宁·三模）（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中 【解析】（1） ； （2） ， 当时，原式． 题型四：分式 【例4】（2025·山东济宁·二模）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【解析】（1） ； （2） ， 代入，原式． 【变式4-1】（2025·辽宁抚顺·三模）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【解析】（1）原式 ； （2） ， 当时，． 【变式4-2】（2025·江苏淮安·二模）先化简，再求值：，其中 【解析】原式 ， 当时，原式 【变式4-3】（2025·山东济宁·二模）对于正数，规定，例如，则的值是 ． 【答案】/ 【解析】∵， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 一、单选题 1．（2025·海南·一模）如图，数轴上点到原点的距离是（   ） A．3 B．－2 C．2 D．1 【答案】C 【解析】由数轴可知，点表示的数是， ∴点到原点的距离为：， 故选：C． 2．（2025·四川南充·模拟预测）如图，数轴上的，，三点所表示的数分别为，，，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】数轴上点分别表示数，，， ，， ， ，，故选项B、C错误； ， ， ，故选项A错误； ，故选项D正确； 故选：D． 3．（2025·重庆·模拟预测）将多项式中的项（）的符号改为“-”后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式的“绝对操作”．例如：当时，对多项式进行“绝对操作”后得到代数式：，去掉绝对值则得到“绝对操作”的最终结果．下列关于对多项式的“绝对操作”的最终结果说法： ①所有最终结果的乘积非负； ②当时，若，则“绝对操作”的所有最终结果的和为0； ③若，则共有8种不同的最终结果． 正确的有几项（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】①根据绝对值的非负性可得，所有最终结果的乘积非负，说法正确； ②当时，若，绝对操作”的所有最终结果：， ∴“绝对操作”的所有最终结果的和为8，不为0； 故②错误； ③若，则共有10种不同的最终结果， 分别为：，， ，， ， ， ． 故③错误． 故选：B． 4．（2025·山西吕梁·二模）化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ； 故选：C 5．（2025·四川绵阳·三模）如图，将1，三个数按图中方式排列；若规定表示第a排第b列的数，则与表示的两个数的积是（    ）                                   1       第1排                                      第2排                            1        第3排              1             1        第4排    ……   第4列 第3列 第2列  第1列 …… A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】由题意可得，每三个数一循环，分别为1，．第一排有1个数，第二排有2个数，第三排有3个数，……，第n排有n个数，且每—排的数是从右往左排列的． ∴表示第5排第4列的数，表示第5l排第30列的数， ∵前4排共有个数， ∴第5排第4列的数是第个， ∵， ∴表示的数是； 前50排共有个数， ∴第5l排第30列的数是第个数， ∵， ∴表示的数是， ∴与表示的两个数的积是； 故选：A. 6．（2025·江苏扬州·三模）如图，数轴上，两点分别对应实数，，下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图可知：，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，，故A、B项错误， ∵， ∴，即，故C项正确， ∵， 又∵，，， ∴， ∴， ∴，故D项错误， 故选： C． 二、填空题 7．（2025九年级下·西藏·专题练习）若，则的值为 ． 【答案】1 【解析】∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：1． 8．（2025九年级下·西藏·专题练习）若，则 ． 【答案】 【解析】∵， ∴，， ∴，y， ∴． 故答案为：． 9．（2025·山东济宁·二模）已知，且，则的值为 ． 【答案】 【解析】∵， ∴， 将代入， 得：， 故答案为：． 10．（2025·湖北随州·二模）已知一元二次方程的两根为，，式子的值是 ． 【答案】 【解析】一元二次方程的两根为，， ，， ． 故答案为：． 11．（2025·湖北恩施·一模）化简的结果是 ． 【答案】 【解析】 故答案为： ． 三、解答题 12．（2025·海南省直辖县级单位·二模）计算： (1)计算：； (2)化简：． 【解析】（1） ； （2） ． 13．（2025·河南南阳·三模）（1）计算：． （2）化简：． 【解析】（1） ； （2） ． 14．（2025·上海普陀·三模）（1）计算： （2）化简： 【解析】（1）原式 （2）原式 15．（2025·辽宁抚顺·三模）（1）解不等式组： （2）先化简、再求值：，其中，． 【解析】（1）解第一个不等式可得， 解第二个不等式可得， 故原不等式组的解集为：． （2）原式， 当，时， 原式． 16．（2025·陕西渭南·二模）先化简，再求值：，其中，． 【解析】原式 ； 当，时，原式． 17．（2025·辽宁抚顺·三模）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【解析】（1）原式； （2）原式， 当时，原式． 18．（2025·广东汕头·三模）先化简，再求值：，其中 【解析】原式． 当时，原式． 19．（2025·云南文山·二模）计算：． 【解析】原式 ． 20．（2025·山西朔州·三模）计算或化简： (1)； (2)． 【解析】（1） ； （2） ． 21．（2025·河南商丘·二模）（1）计算：； （2）化简：． 【解析】（1） （2） 22．（2025·辽宁抚顺·三模）（1）计算：； （2）先化简：，再从，，，中选取一个适合的数代入求值． 【解析】（1） ； （2） ， 分式的分母不能为、除数不能为， ，， 且， 可选或， 当时， 原式， 当时， 原式． 23．（2025·辽宁盘锦·一模）计算 (1) (2) 【解析】（1） ； （2） ． 24．（2025·山西吕梁·二模）（1）计算：； （2）解方程组： 【解析】（1）原式 ； （2）将方程组整理，得， ①②，得， 解得． 把代入②，得， 解得． 所以原方程组的解为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$