第06讲 集合的概念（2个知识点+7大题型）（讲义+精练）-2025 年新高一数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（人教A版2019）

第06讲 集合的概念 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：集合的有关概念 1、一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合． 知识点诠释： （1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一个整体，也就是一个班集体． （2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合的元素． 2、关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立． （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素． （3）无序性：集合中的元素的次序无先后之分．如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合． 知识点诠释： 集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据． 解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它的“三性”． 3、元素与集合的关系： （1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 4、常用数集及其表示 非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N*或N+ 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 知识点二：集合的表示方法 1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内．如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…． 2、描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 知识点诠释： （1）用描述表示集合时应注意：①弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数，还是有序实数对（点）还是其他形式？②元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑． （2）用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用逻辑联结词“且”与“或”等连接；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围． 题型一：集合的含义 【例1】下列给出的对象中能构成集合的是（   ） A．著名物理家 B．很大的数 C．聪明的人 D．小于3的实数 【变式1-1】（2025·高一·重庆渝北·期中）下列选项中元素的全体可以组成集合的是（   ） A．学校篮球水平较高的学生 B．校园中长的高大的树木 C．2007年所有的欧盟国家 D．中国经济较发达的地区 【变式1-2】以下四组对象，能构成集合的是（    ）. A．最大的正实数 B．最小的整数 C．平方等于1的实数 D．最接近1的实数 【变式1-3】（2025·高一·四川南充·期中）下列选项中，能够构成集合的是（    ） A．南充高中高2024级个子较高的学生 B．高中数学人教A版必修第一册中的难题 C．关于的方程的所有实根 D．无限接近于的所有实数 题型二：元素与集合的关系 【例2】已知，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【变式2-1】（2025·辽宁·二模）设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·高二·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式2-3】设集合，若，则（   ） A． B． C． D． 题型三：集合中元素的特性及应用 【例3】已知集合，，若，则a等于（   ） A．或3 B．0或 C．3 D． 【变式3-1】已知，，若集合，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式3-2】若，，，为集合中的4个元素，则以，，，为边长构成的四边形可能是（    ） A．菱形 B．平行四边形 C．梯形 D．正方形 【变式3-3】（2025·高一·北京·期中）关于方程的解集T说法正确的是（    ）． A．T一定为单元素集 B．T一定为空集 C．T为空集当且仅当 D．T可能有无穷多个元素 题型四：用列举法表示集合 【例4】（2025·高一·上海·开学考试）用列举法表示集合 . 【变式4-1】（2025·高一·上海长宁·期末）关于与的二元一次方程组的解集为 ． 【变式4-2】用列举法表示下列给定的集合： (1)方程的实数根组成的集合C； (2)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 【变式4-3】用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)“Welcome”中的所有字母构成的集合； (3)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合． 题型五：用描述法表示集合 【例5】用描述法表示下列集合： (1)偶数组成的集合； (2)正奇数组成的集合； (3)不等式－x2≥0的解集； (4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合； (5)集合. 【变式5-1】用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)被除余的正整数的集合； (3)； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【变式5-2】用描述法表示下列集合． (1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使有意义的实数x组成的集合． (4)方程的解集． 【变式5-3】用描述法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数组成的集合； (2)不等式的解集； (3)方程的所有实数解组成的集合； (4)抛物线上所有点组成的集合； (5)集合. 题型六：集合表示法的综合应用 【例6】已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 【变式6-1】已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 【变式6-2】（1）已知，求实数的值； （2）已知，求实数，的值. 【变式6-3】设数集A由实数构成，且满足：若且，则. (1)若，试证明A中还有另外两个元素； (2)集合A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由； (3)若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A. （提示：） 题型七：集合含义的拓展 【例7】（2025·高一·北京·期中）设集合中的三个元素分别为，集合中的三个元素分别为.已知，求的值. 【变式7-1】（2025·高一·陕西宝鸡·期中）对于数集，定义，若集合，求集合中所有元素之和． 【变式7-2】设P，Q为两个非空实数集合，定义．若，，则中元素的个数为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式7-3】（2025·高一·海南省直辖县级单位·期中）定义：已知集合满足，，都有，则称集合对于这种*运算是封闭的．下列论述错误的是（   ） A．若，则对于加法“＋”封闭 B．若，则对于减法“－”封闭 C．若，则对于乘法“×”封闭 D．若，则对于除法“÷”封闭 1．（2025·高一·广西南宁·期中）下列对象能组成集合的是（    ） A．非常接近0的数 B．身高很高的人 C．绝对值为5的数 D．著名的数学家 2．（2025·高一·湖北·期中）下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．中国古代四大发明 B．所有无理数 C．2024年高考数学难题 D．小于的正整数 3．已知，则实数a的值是（    ） A．3 B．1 C．3或1 D．0 4．已知集合，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 5．（多选题）下列说法错误的是（   ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为{为所有实数}或 C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 D．集合与是同一个集合 6．（多选题）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 7．（多选题）下列关于集合的描述，正确的是（   ） A．偶数集用描述法可以表示为 B．方程组的解集可表示为 C．方程的解构成的集合，用列举法可表示为 D．集合与集合交集为空集 8．用列举法表示集合为 ． 9．（2025·高一·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 10．（2025·高一·福建三明·期中）对于，规定：，已知集合，则中元素的个数为 个. 11．定义运算，若集合，则 . 12．已知集合，，定义集合，则中元素的个数为 . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 集合的概念 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：集合的有关概念 1、一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合． 知识点诠释： （1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一个整体，也就是一个班集体． （2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合的元素． 2、关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立． （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素． （3）无序性：集合中的元素的次序无先后之分．如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合． 知识点诠释： 集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据． 解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它的“三性”． 3、元素与集合的关系： （1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 4、常用数集及其表示 非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N*或N+ 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 知识点二：集合的表示方法 1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内．如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…． 2、描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 知识点诠释： （1）用描述表示集合时应注意：①弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数，还是有序实数对（点）还是其他形式？②元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑． （2）用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用逻辑联结词“且”与“或”等连接；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围． 题型一：集合的含义 【例1】下列给出的对象中能构成集合的是（   ） A．著名物理家 B．很大的数 C．聪明的人 D．小于3的实数 【答案】D 【解析】只有选项有明确的标准，能构成一个集合． 故选：. 【变式1-1】（2025·高一·重庆渝北·期中）下列选项中元素的全体可以组成集合的是（   ） A．学校篮球水平较高的学生 B．校园中长的高大的树木 C．2007年所有的欧盟国家 D．中国经济较发达的地区 【答案】C 【解析】A选项，“水平较高”不明确，不满足确定性，A选项不能组成集合； B选项：“长得高”不明确，不满足确定性，B选项不能组成集合； C选项：2007年所有的欧盟国家满足“确定性，互异性，无序性”能构成集合； D选项：“较发达”不明确，不满足确定性，D选项不能组成集合. 故选：C. 【变式1-2】以下四组对象，能构成集合的是（    ）. A．最大的正实数 B．最小的整数 C．平方等于1的实数 D．最接近1的实数 【答案】C 【解析】对于A，无法确定最大的正实数是哪一个数，故A错误； 对于B，无法确定最小的整数是哪一个数，故B错误； 对于C，平方等于1的实数为，可以构成集合，故C正确； 对于D，无法确定最接近1的实数是哪一个数，故D错误； 故选：C. 【变式1-3】（2025·高一·四川南充·期中）下列选项中，能够构成集合的是（    ） A．南充高中高2024级个子较高的学生 B．高中数学人教A版必修第一册中的难题 C．关于的方程的所有实根 D．无限接近于的所有实数 【答案】C 【解析】对于A，个子较高，概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故A错误， 对于B，难题，概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故B错误， 对于C，的根为，故集合为，C正确， 对于D, 无限接近于,概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故D错误， 故选：C 题型二：元素与集合的关系 【例2】已知，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】若，显然时不符合集合元素的互异性； 若，不符合集合元素的互异性； 若或，不符合集合元素的互异性； 综上，. 故选：C 【变式2-1】（2025·辽宁·二模）设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，所以. 故选：C 【变式2-2】（2025·高二·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据的意义,, 故选：C. 【变式2-3】设集合，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，所以，时，， 解得或，即． 故选：D． 题型三：集合中元素的特性及应用 【例3】已知集合，，若，则a等于（   ） A．或3 B．0或 C．3 D． 【答案】C 【解析】因为，，若，则，解得：，又因为集合元素的互异性，即 故选：C 【变式3-1】已知，，若集合，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】，，，，即， ，当时，或， 当时，即得集合，不符合元素的互异性，故舍去， 当时，，即得集合，不符合元素的互异性，故舍去， 综上，， ， ， 故选：B. 【变式3-2】若，，，为集合中的4个元素，则以，，，为边长构成的四边形可能是（    ） A．菱形 B．平行四边形 C．梯形 D．正方形 【答案】C 【解析】由，，，为集合中的4个元素，得，，，两两不相等， 而菱形、正方形的四边相等，平行四边形两组对边分别相等， 则以，，，为边长构成的四边形不可能为菱形、平行四边形、正方形，ABD不是； 又梯形两底不等，两腰可以不等，因此以，，，为边长构成的四边形可能是梯形，C是. 故选：C 【变式3-3】（2025·高一·北京·期中）关于方程的解集T说法正确的是（    ）． A．T一定为单元素集 B．T一定为空集 C．T为空集当且仅当 D．T可能有无穷多个元素 【答案】C 【解析】由题意可知，即， 当时，不成立，方程组无解， 当时，，方程组有唯一解. 故选：. 题型四：用列举法表示集合 【例4】（2025·高一·上海·开学考试）用列举法表示集合 . 【答案】 【解析】. 故答案为： 【变式4-1】（2025·高一·上海长宁·期末）关于与的二元一次方程组的解集为 ． 【答案】； 【解析】由消去可得：， 可得：，， 所以解集为， 故答案为： 【变式4-2】用列举法表示下列给定的集合： (1)方程的实数根组成的集合C； (2)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 【解析】（1）解方程得：或，所以集合； （2）解方程组得：，所以集合. 【变式4-3】用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)“Welcome”中的所有字母构成的集合； (3)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合． 【解析】（1）方程的解为1或2，因此可以用列举法表示为. （2）由于“Welcome”中包含的字母有W，e，l，c，o，m共6个元素， 因此可以用列举法表示为． （3）函数y的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为，因 此可以用列举法表示为． 题型五：用描述法表示集合 【例5】用描述法表示下列集合： (1)偶数组成的集合； (2)正奇数组成的集合； (3)不等式－x2≥0的解集； (4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合； (5)集合. 【解析】（1）由偶数可以表示成整数的两倍， 故偶数组成的集合可表示为{x|x＝2n, n∈Z}或{x|x为偶数} （2）由奇数可以表示成整数的两倍加1， 故正奇数组成的集合可表示为{x|x＝2n＋1, n∈N}或{x|x为正奇数} （3）不等式－x2≥0的解集可表示为{x|－x2≥0} （4）由第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负 故平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合可表示为：{(x, y)|x>0,y<0} （5）集合可用描述法表示为且 【变式5-1】用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)被除余的正整数的集合； (3)； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【解析】（1）因为不等式的解组成的集合为， 则集合中的元素是数. 设代表元素为x， 则x满足， 所以，即． （2）设被3除余2的数为x， 则． 又因为元素为正整数， 故． 所以被3除余2的正整数的集合 （3）设偶数为x， 则． 但元素是2，4，6，8，10， 所以． 所以． （4）因为平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即， 故第二象限内的点的集合为． 【变式5-2】用描述法表示下列集合． (1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使有意义的实数x组成的集合． (4)方程的解集． 【解析】（1）∵不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上， ∴所有不在第一、三象限的点组成的集合为． （2）∵被3除余1的整数可表示为，∴所有被3除余1的整数组成的集合为 ． （3）要使有意义．则．解得且． ∴使有意义的实数x组成的集合为且． （4）由，解得．∴方程的解集为． 【变式5-3】用描述法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数组成的集合； (2)不等式的解集； (3)方程的所有实数解组成的集合； (4)抛物线上所有点组成的集合； (5)集合. 【解析】（1）所有被3整除的整数组成的集合，用描述法可表示为： （2）不等式的解集，用描述法可表示为：. （3）方程的所有实数解组成的集合， 用描述法可表示为：. （4）抛物线上所有点组成的集合， 用描述法可表示为：. （5）集合，用描述法可表示为：且. 题型六：集合表示法的综合应用 【例6】已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 【解析】（1）当时，， 解得或或，故． （2）因为， 解该方程可得或或． 根据集合中元素的互异性知当方程有重根时， 重根只能算作集合的一个元素， 当时，可得，不符合题意； 当，即时，可得，符合题意； 当且时，，则， 解得，此时，符合题意． 综上，实数的值为或； 当时，；当时，． 【变式6-1】已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， 故当，即时，原方程的解为，符合题意． 综上，当或时，集合中只有一个元素． （2）集合中至多有一个元素，即集合中只有一个元素或没有元素． 当集合中只有一个元素时，由（1）可知，或． 当中没有元素时，，且，即． 综上，当集合中至多有一个元素时，实数的取值范围是或． （3）由题意得，且， 所以且， 故实数的取值范围是且． 【变式6-2】（1）已知，求实数的值； （2）已知，求实数，的值. 【解析】（1）若时，解得，此时，，不满足集合的互异性，所以， 若时，解得或，当时，，，所以满足题意， 当时，，，不满足集合的互异性，所以， 若，解得（舍）或（舍）， 综上，实数的值为. （2）因为，则或， 由，解得，由，解得， 经检验，和均符合题意， 综上，或. 【变式6-3】设数集A由实数构成，且满足：若且，则. (1)若，试证明A中还有另外两个元素； (2)集合A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由； (3)若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A. （提示：） 【解析】（1）证明：根据题意若，则， 若，则， 若，则， 因此可得集合， 即可知集合中除了含有3之外，还含有两个元素. （2）由且，可得， 由可得， 由可得，且，易知方程均无解； 所以； 即可得集合中至少含有3个元素， 所以集合A不可能为只含有两个元素的集合. （3）由（2）可知，若，则， 易知集合中的元素个数需为3的倍数， 若A中元素个数不超过8个，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积， 由可知集合A中不可能只有3个元素，则集合A中的元素个数必为6个； 因此6个元素的积必为1，不妨取，解得或(舍)； 可知， 又所有元素的和为，不妨设， 根据提供解析式可解得或或, 所以. 题型七：集合含义的拓展 【例7】（2025·高一·北京·期中）设集合中的三个元素分别为，集合中的三个元素分别为.已知，求的值. 【解析】因为，所以， 解得，所以的值分别为. 【变式7-1】（2025·高一·陕西宝鸡·期中）对于数集，定义，若集合，求集合中所有元素之和． 【解析】集合，则由定义可得，所以， 则可知所有元素的和为. 【变式7-2】设P，Q为两个非空实数集合，定义．若，，则中元素的个数为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【解析】当时，；当时，； 当时，，， 所以，共有8个元素. 故选：B 【变式7-3】（2025·高一·海南省直辖县级单位·期中）定义：已知集合满足，，都有，则称集合对于这种*运算是封闭的．下列论述错误的是（   ） A．若，则对于加法“＋”封闭 B．若，则对于减法“－”封闭 C．若，则对于乘法“×”封闭 D．若，则对于除法“÷”封闭 【答案】D 【解析】A：任意两个自然数相加必是自然数，所以对于加法“＋”封闭，对； B：任意两个实数相减必是实数，所以对于减法“－”封闭，对； C：任意两个有理数相乘必是有理数，所以对于乘法“×”封闭，对； D：对于除数是0的情况，任何数除以0没有意义，故对于除法“÷”不封闭，错. 故选：D 1．（2025·高一·广西南宁·期中）下列对象能组成集合的是（    ） A．非常接近0的数 B．身高很高的人 C．绝对值为5的数 D．著名的数学家 【答案】C 【解析】A、B、D选项都违背了集合中元素的确定性，故A、B、D错误； 对C：绝对值为5的数有5或，符合集合的概念，故C正确. 故选：C. 2．（2025·高一·湖北·期中）下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．中国古代四大发明 B．所有无理数 C．2024年高考数学难题 D．小于的正整数 【答案】C 【解析】对于A，中国古代四大发明是指造纸术、指南针、火药、印刷术，满足集合定义，即A能构成集合； 对于B，所有无理数定义明确，即B能构成集合; 对于C，2024年高考数学难题定义不明确不具有确定性，不符合集合的定义，即C构不成集合； 对于D，小于的正整数只有1，2，3，具有确定性，满足集合定义，即D能构成集合. 故选：C 3．已知，则实数a的值是（    ） A．3 B．1 C．3或1 D．0 【答案】A 【解析】由题意得或，当时，集合为，符合题意； 当时，集合为，不符合题意，所以. 故选：A 4．已知集合，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】A 【解析】因为集合， 若，则或， 解得或， 当时，，与集合元素的互异性矛盾，舍去， 故，，符合题意，此时. 故选：A. 5．（多选题）下列说法错误的是（   ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为{为所有实数}或 C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 D．集合与是同一个集合 【答案】BD 【解析】对于A，集合中只含有两个元素0和1， 所以用列举法表示为，故A正确； 对于B，因为花括号本身就具有所有的意义， 所以在描述内容中不能再出现“所有”这样的字眼， 另外表示实数集，实数集为错误表示，故B错误； 对于C，根据描述法表示集合可得集合为，故C正确； 对于D，集合为的取值集合，为数集， 集合表示抛物线上点的集合，为点集， 所以两个集合不是同一个集合，故D错误． 故选：BD 6．（多选题）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 【答案】ACD 【解析】对A，奇数集可以表示为，故A正确； 对B，“小于10的整数”构成的集合可以表示为，故B错误； 对C，表示大于2的全体实数，故C正确； 对D，不等式的解集表示为，故D正确. 故选：ACD. 7．（多选题）下列关于集合的描述，正确的是（   ） A．偶数集用描述法可以表示为 B．方程组的解集可表示为 C．方程的解构成的集合，用列举法可表示为 D．集合与集合交集为空集 【答案】AC 【解析】对A，根据偶数的特点和描述法的特征知偶数用描述法可以表示为，故A正确； 对B，若，则不适合第二个方程， 若，则不适合第一个方程，故B错误； 对C，，解得或，则用列举法可表示为，故C正确； 对D，，，则其交集为，则D错误. 故选：AC. 8．用列举法表示集合为 ． 【答案】 【解析】由，则，即， 又，所以， 则. 故答案为：. 9．（2025·高一·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 【答案】 【解析】因为，，且， 若，解得或， 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，，解得或， 前面已经分析不满足要求， 当时，此时， 此时集合，，满足集合元素的性质， 综上，，所以的取值集合为. 故答案为：. 10．（2025·高一·福建三明·期中）对于，规定：，已知集合，则中元素的个数为 个. 【答案】 【解析】因为， 若和一奇一偶，则，满足此条件的有，故点有个； 若和同奇偶，则， 满足此条件的有共组，故点有个， 所以满足条件的个数为个. 故答案为：. 11．定义运算，若集合，则 . 【答案】 【解析】依题意，由， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 所以. 故答案为： 12．已知集合，，定义集合，则中元素的个数为 . 【答案】 【解析】因为， ， 又， 所以 ，， 所以中元素的共个. 故答案为： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$