高二数学下学期期末考试押题预测卷【测试范围：人教A版2019选必二+选必三全部内容】-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第三册）

2024-2025学年高二数学下学期期末考试押题预测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选必二+选必三全部内容。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本初等函数的导数关系可判断AB选项；利用导数的运算法则可判断C选项；利用复合函数的求导法则结合导数的运算法则可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D错. 故选：B. 2．现有甲部门的员工9人，乙部门的员工8人，丙部门的员工5人，从这三个部门的员工中任选1人参加接待客户的活动，不同的选法种数为（    ） A．36 B．22 C．360 D．224 A．36 B．360 C．22 D．224 【答案】B 【分析】根据分类加法计数原理可得答案. 【详解】根据分类加法计数原理可知，不同的选法种数为. 故选：B. 3．某市20000名学生参加一次数学测试（满分150分），学生的测试成绩X近似服从正态分布，则测试成绩在内的学生人数约为（    ） 附：（若，则，） A．2717 B．2718 C．6827 D．9545 【答案】C 【分析】先根据正态分布的对称性，求，再估计测试成绩在内的学生人数. 【详解】因为. 所以测试成绩在内的学生人数约为：. 故选：C 4．若，则（   ） A． B．10 C． D．45 【答案】D 【分析】利用的二项展开式，求. 【详解】因为 展开式的第三项为：. 所以. 故选：D 5．函数图象上一点到直线的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用数形结合，得出与直线平行且与曲线相切的直线与曲线的切点处即为到直线的距离最小的点，所以结合导数表示出过点的切线方程，在结合斜率相等求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】设与直线平行且与曲线相切的直线的切点坐标为． 因为，所以，解得，则切点坐标为． 最短距离为点到直线的距离，即． 故选：C 6．设等差数列的前项和为，若，则 （    ） A．18 B．36 C．54 D．72 【答案】D 【分析】根据等差数列中成等差数列求解. 【详解】因为差数列中，成等差数列， 令，即成等差数列， 则， 即，解得， 故选：D． 7．甲､乙､丙､丁四名农业专家被派驻到A，B，C三个村进行农业技术指导，若要求每个村至少派驻一名专家，且每名专家只能被派驻到一个村，则在甲被派驻到A村的条件下，甲､乙被派驻到同一个村的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件概率公式求解即可. 【详解】法一：记事件表示甲被派驻到村，事件表示甲，乙被派驻到同一个村， 则，由题意可知将甲，乙，丙，丁四人分为3组， 再将这3组分配给三个村，则基本事件的总数为， 若事件同时发生，则甲，乙均被派驻到村，派驻方法有种， 所以，所以. 法二.：记事件表示甲被派驻到村，事件表示甲，乙被派驻到同一个村， 由题意可知甲被派驻到村有两种情况， ①被派驻到村的只有甲一人，派驻方法有种，此时甲，乙不在同一个村； ②被派驻到村的有两人，其中一人是甲，派驻方法有种， 其中甲，乙在同一个村的派驻方法有种， 所以. 故选：A. 8．已知是定义在上的函数的导函数，且满足，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造并利用导数研究其单调性比较函数值大小，进而判断各项的正误. 【详解】令，则，即在R上单调递减， 所以，则，，，， 由，则， 所以，，，. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论不正确的是（    ） A．两个变量的线性相关系数决定两变量相关程度的强弱，且相关系数越小，相关性越强 B．若两个变量的线性相关系数，则与 之间不具有线性相关性 C．在一组样本数据中，先剔除部分异常数据，再根据最小二乘法求得线性回归方程为，这样相关系数变大 D．在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线 上，则这组样本数据的样本相关系数为 【答案】ACD 【分析】根据相关系数的概念和性质逐项分析判断. 【详解】对于选项A：越大，与之间的线性相关性越强，所以A错误； 对于选项B：若，则样本数据不具有线性相关性，所以B正确； 对于选项C：去掉异常数据，则相关性变强，变大，所以C错误； 对于选项D：若所有样本点都在直线上， 则这组样本数据完全相关，且正相关， 所以这组样本数据的样本相关系数为1，所以D错误. 故选：ACD. 10．已知随机变量的分布列如下，则正确的是（    ） X 1 2 P m n A． B． C．若，，则 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，由概率和为1分析判断，对于B，根据分布列利用对立事件的概率公式分析判断，对于C，求出，再由求解判断，对于D，求出的分布列，从而可求出，进而利用方差公式求出判断. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，所以， 所以， 所以，故C错误； 对于D，， 则的分布列如下： X 1 4 P 所以，则，故D正确. 故选：ABD 11．已知函数，下列命题正确的有（    ） A．可能有2个零点 B．一定有极小值，且0是极小值点 C．时， D．若存在极大值点，且，其中，则 【答案】BD 【分析】首先讨论的情形，再分的正负讨论函数的单调性和极值，由此可判断ABC的正误，；对于D，容易得到极大值点的值，再代入，得到关于的一元三次方程，此方程已经有一解，故可以因式分解求出，由此可判断D选项. 【详解】函数的定义域为，当时，为二次函数， 由抛物线性质可知存在极小值点，极小值为，此时无零点； 当时，可求得导函数，令，得或， 当时，可求得当时，；当时，， 所以在上单调递增，在和上单调递减， 故此时存在极小值点，极小值为， 存在极大值点，极大值为； 当时，可求得当时，；当时，， 所以在和上单调递增，，在上单调递减， 故此时存在极小值点，极小值为， 存在极大值点，极大值为； 对于A，当时，无零点； 当时，因为在上单调递增，在和上单调递减， 而极小值为，所以只有1个零点； 当时，因为在和上单调递增，在上单调递减， 而极大值为，极小值为，所以只有1个零点，故A错误； 对于B，由以上分析，不论取何值，一定有极小值，且0是极小值点，故B正确； 对于C，当时，即时，此时在上单调递减， 又，所以，故C错误； 对于D，由上述分析可知，则， 由题意知，即， 此方程已有一根，故可因式分解为， 解得与相异的根，则，故D正确； 故选：BD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中，只有第4项的系数最大，则等于 ． 【答案】 【分析】根据二项式系数的性质即可确定的值. 【详解】解：因为的展开式的通项为， 所以第4项的系数即是第4项的二项式系数， 因为只有第4项的二项式系数最大，所以. 故答案为：6 13．某班组织了国庆文艺晚会，从甲、乙、丙、丁等7个节目中选出5个节目进行演出，选出的5个节目要求相邻依次演出，且要求甲、乙、丙必选，且甲、乙相邻，但甲、乙均不与丙相邻，若丁被选中，丁必须排在前两位，则不同的演出顺序种数为 .（用数字作答） 【答案】96 【分析】由分类加法原理，利用捆绑法与插空法，可得答案. 【详解】当丁没有被选中时，不同的演出顺序种数为； 当丁被选中且排在第一位时，不同的演出顺序种数为； 当丁被选中且排在第二位时，不同的演出顺序种数为. 综上，不同的演出顺序种数为. 故答案为：. 14．在一堂数学选修课上，老师和学生玩一个数学游戏，老师将一根彩色粉笔放入四个盒子中的某一个，让学生猜测粉笔在哪个盒子中，在学生作出选择之后，数学老师会随机在其他三个盒子中先揭示一个没有粉笔的盒子，询问学生是否改变选择，在学生最终敲定选择后，老师揭示答案，若该同学选择了盒为答案，则在数学老师揭示粉笔不在盒的条件下，粉笔最终在盒的概率为 ． 【答案】/0.375 【分析】分析概率题要善于用字母表示事件，可用分别表示粉笔在四个盒子， 用分别表示老师打开四个盒子，则， 因为学生选择了盒为答案，可得，，，， 再由全概率公式可算得，由此可算得即得答案. 【详解】用分别表示粉笔在四个盒子，用分别表示老师打开四个盒子， 则，，，，， 由全概率公式可得， 而，故． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 在等比数列中，， (1)求的通项公式; (2)若为递增数列，，求数列的前n项和 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用等比数列的通项公式先得基本量，从而得解； （2）先由（1）得到，再利用裂项相消法即可得解. 【详解】（1）设等比数列的公比为q， 由，得，有，解得， 当时，故数列的通项公式为 当时，故数列的通项公式为 （2）因为为递增数列，所以， 由， 有， 可得 16．（15分） 某新能源汽车公司对其销售的、两款汽车的售后服务向消费者进行满意度调查，从购买这两款汽车的消费者中各随机抽取了名，调查结果统计如下表： 满意程度 汽车款式 合计 款 款 满意 不满意 合计 (1)补全列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为消费者对A、B两款汽车的售后服务的满意度有差异？ (2)用频率估计概率，现从购买、款汽车的消费者中随机抽取人，表示这名消费者中对款汽车的售后服务持满意态度的人数，求的分布列和数学期望． 附：，. 【答案】(1)列联表见解析，无差异 (2)证明见解析， 【分析】（1）完善列联表，提出零假设消费者对、款汽车售后服务的满意度无差异，      计算出的观测值，结合临界值表可得出结论； （2）分析可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值. 【详解】（1）列联表为： 满意程度 汽车款式 合计 款 款 满意 不满意 合计 零假设消费者对、款汽车售后服务的满意度无差异，         根据列联表中的数据，计算得，，        根据小概率值的独立性检验，没有充分理由推断不成立， 故消费者对、款汽车的售后服务的满意度无差异． （2）从名消费者中随机抽人，对款车的售后服务持满意态度的频率为， 所以从购买、款汽车的消费者中随机抽取人， 则该人对款汽车的售后服务持满意态度的概率为，          X的可能取值为、、、、，且， ，， ，， ，               所以的分布列为： （或）． 17．（15分） 某乡村企业希望通过技术革新增加产品收益，根据市场调研，技术革新投入经费（单位：万元）和增加收益（单位：万元）的数据如下表： 4 6 8 10 12 27 42 55 56 60 为了进一步了解技术革新投入经费对增加收益的影响，通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①，②． (1)根据以上数据，计算模型①中与的相关系数（结果精确到0.01）； (2)若，则选择模型①；否则选择模型②．根据（1）的结果，试建立增加收益关于技术革新投入经费的回归模型，并预测时的值（结果精确到0.01）． 附：i）回归直线的斜率、截距的最小二乘估计以及相关系数分别为：，， ii）参考数据：设，，，，，． 【答案】(1) (2)，约为万元 【分析】（1）根据所给数据求出，，，，，即可求出相关系数； （2）根据（1）的结论，可判断选择模型②，令，求出关于的线性回归方程，即可求出关于的经验方程，再代入计算可得. 【详解】（1）因为， ， 所以， ， ， 模型①中，相关系数， （2）因为，所以选择模型②， 令，先建立关于的线性回归方程， 由于， ， 所以关于的线性回归方程为， 即， 当时，（万元）， 所以若投入经费万元，收益约为万元. 18．（17分） 已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，证明：； (3)函数有两个零点、，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系可得出函数的增区间和减区间； （2）当时，即证不等式，令，即证不等式，构造函数，利用导数求函数的最小值，即可证得结论成立； （3）设，由已知等式推导出，将所证不等式等价变形为，令，即证，令，其中，令导数分析函数的单调性，即可证得结论成立. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 当时，对任意的，， 由可得，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为； 当时，由可得，由可得或， 此时函数的减区间为，增区间为、； 当时，对任意的，， 此时函数的增区间为； 当时，由可得，由可得或， 此时，函数的减区间为，增区间为、. 综上所述，当时，函数的减区间为，增区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为、； 当时，的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为、. （2）当时，， 即证， 令，即证，即证， 因为，则函数在上单调递增， 当时，；当时，， 所以函数的值域为， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数的减区间为，增区间为，则， 故，即，故原不等式得证. （3）， 因为函数有两个零点、，不妨设， 则，所以，， 整理可得，即， 要证，即证， 即证， 令，即证， 令，其中，则， 所以函数在上为增函数，则， 即，即，故原不等式得证. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 19．（17分） 某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为． (1)求该运动员第二次投篮命中的概率； (2)记该运动员前两次投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望； (3)设第次投篮命中的概率为，求证：． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 (3)证明见解析 【分析】（1）设事件“第次投篮命中”，再根据全概率公式求解即可； （2）由题意的所有取值为0,1,2，再求分布列与数学期望即可； （3）由题意得，；再根据题意得出递推公式，进而构造数列求解即可. 【详解】（1）设事件“第次投篮命中”，则“第次投篮未命中”，， 易知与是互斥事件， 所以由全概率公式得 该运动员第二次投篮命中的概率为． （2）由题意得，， 的所有取值为0,1,2， , 所以的分布列为 0 1 2 …… 所以． （3）由题意得，； 当时， 即， 变形为，所以数列是以为公比的等比数列， 又，于是， 即，所以． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末考试押题预测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选必二+选必三全部内容。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．现有甲部门的员工9人，乙部门的员工8人，丙部门的员工5人，从这三个部门的员工中任选1人参加接待客户的活动，不同的选法种数为（    ） A．36 B．22 C．360 D．224 3．某市20000名学生参加一次数学测试（满分150分），学生的测试成绩X近似服从正态分布，则测试成绩在内的学生人数约为（    ） 附：（若，则，） A．2717 B．2718 C．6827 D．9545 4．若，则（   ） A． B．10 C． D．45 5．函数图象上一点到直线的最短距离为（    ） A． B． C． D． 6．设等差数列的前项和为，若，则 （    ） A．18 B．36 C．54 D．72 7．甲､乙､丙､丁四名农业专家被派驻到A，B，C三个村进行农业技术指导，若要求每个村至少派驻一名专家，且每名专家只能被派驻到一个村，则在甲被派驻到A村的条件下，甲､乙被派驻到同一个村的概率为（    ） A． B． C． D． 8．已知是定义在上的函数的导函数，且满足，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论不正确的是（    ） A．两个变量的线性相关系数决定两变量相关程度的强弱，且相关系数越小，相关性越强 B．若两个变量的线性相关系数，则与 之间不具有线性相关性 C．在一组样本数据中，先剔除部分异常数据，再根据最小二乘法求得线性回归方程为，这样相关系数变大 D．在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线 上，则这组样本数据的样本相关系数为 10．已知随机变量的分布列如下，则正确的是（    ） X 1 2 P m n A． B． C．若，，则 D． 11．已知函数，下列命题正确的有（    ） A．可能有2个零点 B．一定有极小值，且0是极小值点 C．时， D．若存在极大值点，且，其中，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中，只有第4项的系数最大，则等于 ． 13．某班组织了国庆文艺晚会，从甲、乙、丙、丁等7个节目中选出5个节目进行演出，选出的5个节目要求相邻依次演出，且要求甲、乙、丙必选，且甲、乙相邻，但甲、乙均不与丙相邻，若丁被选中，丁必须排在前两位，则不同的演出顺序种数为 .（用数字作答） 14．在一堂数学选修课上，老师和学生玩一个数学游戏，老师将一根彩色粉笔放入四个盒子中的某一个，让学生猜测粉笔在哪个盒子中，在学生作出选择之后，数学老师会随机在其他三个盒子中先揭示一个没有粉笔的盒子，询问学生是否改变选择，在学生最终敲定选择后，老师揭示答案，若该同学选择了盒为答案，则在数学老师揭示粉笔不在盒的条件下，粉笔最终在盒的概率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 在等比数列中，， (1)求的通项公式; (2)若为递增数列，，求数列的前n项和 16．（15分） 某新能源汽车公司对其销售的、两款汽车的售后服务向消费者进行满意度调查，从购买这两款汽车的消费者中各随机抽取了名，调查结果统计如下表： 满意程度 汽车款式 合计 款 款 满意 不满意 合计 (1)补全列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为消费者对A、B两款汽车的售后服务的满意度有差异？ (2)用频率估计概率，现从购买、款汽车的消费者中随机抽取人，表示这名消费者中对款汽车的售后服务持满意态度的人数，求的分布列和数学期望． 附：，. 17．（15分） 某乡村企业希望通过技术革新增加产品收益，根据市场调研，技术革新投入经费（单位：万元）和增加收益（单位：万元）的数据如下表： 4 6 8 10 12 27 42 55 56 60 为了进一步了解技术革新投入经费对增加收益的影响，通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①，②． (1)根据以上数据，计算模型①中与的相关系数（结果精确到0.01）； (2)若，则选择模型①；否则选择模型②．根据（1）的结果，试建立增加收益关于技术革新投入经费的回归模型，并预测时的值（结果精确到0.01）． 附：i）回归直线的斜率、截距的最小二乘估计以及相关系数分别为：，， ii）参考数据：设，，，，，． 18．（17分） 已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，证明：； (3)函数有两个零点、，求证：． 19．（17分） 某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为． (1)求该运动员第二次投篮命中的概率； (2)记该运动员前两次投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望； (3)设第次投篮命中的概率为，求证：． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末考试押题预测卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B B C D C D A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ABD BD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．96 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【详解】（1）设等比数列的公比为q， 由，得，有，解得， 当时，故数列的通项公式为 当时，故数列的通项公式为 （2）因为为递增数列，所以， 由， 有， 可得 16．（15分） 【详解】（1）列联表为： 满意程度 汽车款式 合计 款 款 满意 不满意 合计 零假设消费者对、款汽车售后服务的满意度无差异，         根据列联表中的数据，计算得，，        根据小概率值的独立性检验，没有充分理由推断不成立， 故消费者对、款汽车的售后服务的满意度无差异． （2）从名消费者中随机抽人，对款车的售后服务持满意态度的频率为， 所以从购买、款汽车的消费者中随机抽取人， 则该人对款汽车的售后服务持满意态度的概率为，          X的可能取值为、、、、，且， ，， ，， ，               所以的分布列为： （或）． 17．（15分） 【详解】（1）因为， ， 所以， ， ， 模型①中，相关系数， （2）因为，所以选择模型②， 令，先建立关于的线性回归方程， 由于， ， 所以关于的线性回归方程为， 即， 当时，（万元）， 所以若投入经费万元，收益约为万元. 18．（17分） 【详解】（1）函数的定义域为， ， 当时，对任意的，， 由可得，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为； 当时，由可得，由可得或， 此时函数的减区间为，增区间为、； 当时，对任意的，， 此时函数的增区间为； 当时，由可得，由可得或， 此时，函数的减区间为，增区间为、. 综上所述，当时，函数的减区间为，增区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为、； 当时，的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为、. （2）当时，， 即证， 令，即证，即证， 因为，则函数在上单调递增， 当时，；当时，， 所以函数的值域为， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数的减区间为，增区间为，则， 故，即，故原不等式得证. （3）， 因为函数有两个零点、，不妨设， 则，所以，， 整理可得，即， 要证，即证， 即证， 令，即证， 令，其中，则， 所以函数在上为增函数，则， 即，即，故原不等式得证. 19．（17分） 【详解】（1）设事件“第次投篮命中”，则“第次投篮未命中”，， 易知与是互斥事件， 所以由全概率公式得 该运动员第二次投篮命中的概率为． （2）由题意得，， 的所有取值为0,1,2， , 所以的分布列为 0 1 2 …… 所以． （3）由题意得，； 当时， 即， 变形为，所以数列是以为公比的等比数列， 又，于是， 即，所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$