第十六章 二次根式 章末检测1（考点解码舱 题型透视镜 双阶训练场）2024-2025学年八年级下学期数学人教版期末复习登顶手册：三维突破指南

八年级下册期末登顶手册：三维突破指南 第十六章 二次根式 章末检测 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C C B C B B B D B D B 二．填空题（共4小题） 13．． 14．． 15．米 16．． 三．解答题（共10小题） 17．解：（1）原式 ． …………………………………………………………………………3分 （2）原式 ． …………………………………………………………………………6分 18．解：由题意可得，和在实数范围内都有意义， 且， 由得到， ， 解得， …………………………………………………………………………3分 ， ． ……………………………………………………………6分 19．解：由题意，正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为， 正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为． …………………………………………………………………………4分 又木板中剩余部分（阴影部分）的面积木板的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 木板中剩余部分（阴影部分）的面积 ． …………………………………………………………………………8分 答：木板中剩余部分（阴影部分）的面积为． 20．解：（1）把，，代入得： ， 该楼层落地时的速度为； ………………………………………………………………5分 （2）不正确，理由如下： 小明住的高度是小亮家的2倍， ， …………………………………………………………………………6分 将的值代入公式中得： ， ， …………………………………………………………………………9分 即小明家坠落的物品落地时的速度是小亮家坠落的物品速度的倍，而不是2倍， 因此，小明的说法不正确． …………………………………………………………………………10分 21．解：，， ，， ．………………………………………………5分 （2）由，故， ①． 又， ， 两边同时除以，得：②， 将②代入①中，得：， 故． …………………………………………………………………………10分 22．解：（1）由题意得：， 则点所表示的数为为：； ………………………………4分 （2）原式 ． …………………………………………………………………………10分 23．解：（1），， ，，，………………………………………………………………………2分 ； …………………………………………………………………………6分 （2）， ， ， ， ， ． …………………………………………………………………………10分 24．解：（1），；…………………………………………………………4分 （2）：；…………………………………………………………………………6分 （3）， ． ………………………………………………………………………10分 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下册期末登顶手册：三维突破指南 第十六章 二次根式 章末检测 一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1．下列各式是二次根式的是　　 A．2 B． C． D． 【分析】根据二次根式的定义：形如，叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】解：由二次根式的定义可知：四个选项只有是二次根式，2是整数，不符合题意； 的被开方数是负数，不符合题意； 是3次根式，不符合题意； 故选：． 2．下列各式中，最简二次根式的个数为　　 ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧ A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：①；③；④；⑤；⑧，所以①③④⑤⑧都不是最简二次根式，②⑥⑦是最简二次根式． 故选：． 3．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D．且 【分析】根据二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能为0即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， 故选：． 4．下列选项中，计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据算术平方根的定义判断，根据二次根式的性质判断，根据二次根式的除法法则判断，． 【详解】解：选项，，故该选项计算错误； 选项，，故该选项计算正确； 选项，，故该选项计算错误； 选项，，故该选项计算错误； 故选：． 5．是一个正整数，则的最小正整数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据算术平方根是正整数，可得被开方数是能开方的正整数． 【详解】解：由是一个正整数，得 ， ， 故选：． 6．在下列各式中，化简正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用二次根式的性质，逐个计算得结论． 【详解】解：， ， ， 故选项、、化简错误； ， 故选项正确． 故选：． 7．若要在的“□”中填上一个运算符号，使其计算结果最小，则这个运算符号是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的加法法则和乘方法则分别计算，比较即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 应该填：． 故选：． 8．下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据算术平方根和二次根式的运算法则去判断即可． 【详解】解：．，故此选项不符合题意； ．，故此选项符合题意； ．，故此选项不符合题意； ．，故此选项不符合题意； 故选：． 9．用※定义一种新运算：对于任意实数和，规定※，如：1※．则※的值为　　 A． B． C． D． 【分析】根据※，用与的积减去与的积，求出※的值即可． 【详解】解：※， ※ ． 故选：． 10．计算的结果应在　　 A．到0之间 B．0到1之间 C．1到2之间 D．2到3之间 【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，进行计算后判断． 【详解】解：原式， 由于． 故选：． 11．化简，结果是　　 A． B． C． D．4 【分析】由二次根式的非负性及被开方数的非负性可得的范围，从而可将根号化简掉，从而问题可解． 【详解】解：由二次根式的非负性及被开方数的非负性可得： 故选：． 12．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为　　 A．11 B．10 C．9 D．8 【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积． 【详解】解：观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等， 重叠部分也为正方形， 空白部分的面积为， 一个空白长方形面积， 大正方形面积为12，重叠部分面积为3， 大正方形边长，重叠部分边长， 空白部分的长， 设空白部分宽为，可得：， 解得：， 小正方形的边长空白部分的宽阴影部分边长， 小正方形面积， 故选：． 二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13．计算：　　 ． 【分析】先将二次根式进行化简，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 14．计算：　　． 【分析】根据同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算法则把所求式子变形，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 15．如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米．这个舞台的宽为 （结果化简为最简二次根式） 【分析】利用二次根式的除法解题即可； 【详解】解：利用二次根式的除法解得： （米． 故答案为：米． 16．观察：，，，，，则　　（用含的代数式表示）． 【分析】先计算得到，，，，由此可得． 【详解】解：， ， ， ， 而， 所以， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，共72分。17-18题6分，19题8分，20-23题10分，24题12分） 17．计算： （1）； （2）． 【分析】（1）利用负整数指数幂公式，绝对值的化简，二次根式的乘法解答即可． （2）利用二次根式的混合运算解答即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 18．先阅读下面提供的材料，再解答相应的问题， 若和在实数范围内都有意义，求的值． 解：和在实数范围内都有意义， 且． 由得： ， ． 问题，若实数，满足，求的值． 【分析】根据二次根式有意义得到，解得，再求出，再代入进行解答即可． 【详解】解：由题意可得，和在实数范围内都有意义， 且， 由得到， ， 解得， ， ． 19．现有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在长方形木板上截出三个面积分别为，和的正方形木板，，．求木板中剩余部分（阴影部分）的面积． 【分析】依据题意，利用木板中剩余部分（阴影部分）的面积木板的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积，即可计算得解． 【详解】解：由题意，正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为， 正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为． 又木板中剩余部分（阴影部分）的面积木板的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 木板中剩余部分（阴影部分）的面积 ． 答：木板中剩余部分（阴影部分）的面积为． 20．行文明之举，向高空抛物说“不”．为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度（单位：和高度（单位：近似满足公式（不考虑风速的影响，，已知小亮家所住楼层的高度是． （1）假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度（结果保留根号）； （2）小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度将是从小亮家坠落的物品速度的2倍，请问小明的说法正确吗？判断并说明理由． 【分析】（1）根据小亮家楼层高度代入高空抛物下落速度公式，通过二次根式运算得出结果； （2）先根据小明家高度是小亮家2倍，算出小明家高度，再代入速度公式，然后与小亮家物品落地速度相比，即可得出结论． 【详解】解：（1）把，，代入得： ， 该楼层落地时的速度为； （2）不正确，理由如下： 小明住的高度是小亮家的2倍， ， 将的值代入公式中得： ， ， 即小明家坠落的物品落地时的速度是小亮家坠落的物品速度的倍，而不是2倍， 因此，小明的说法不正确． 3．（1）已知是的小数部分，是的整数部分，求的值； （2）已知，求的值． 【分析】（1）因为，，可得，的值，得，运用二次根式的混合运算、分母有理化的知识即可得结果； （2）由，故，则，再对已知方程变形得，进而，代入中，即可得的值． 【详解】解：，， ，， ． （2）由，故， ①． 又， ， 两边同时除以，得：②， 将②代入①中，得：， 故． 22．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行3个单位长度到达点，若点表示的数为，设点所表示的数为． （1）求的值； （2）求的值． 【分析】（1）根据题意求出，根据数轴的概念求出； （2）根据绝对值的性质、二次根式的乘除法法则计算即可． 【详解】解：（1）由题意得：， 则点所表示的数为为：； （2）原式 ． 4．（1）已知，，求的值． （2）已知，求代数式的值． 【分析】（1）根据，，可以得到、和的值，然后将所求式子变形，再将、和的值代入计算即可； （2）根据，可以得到的值，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：（1），， ，，， ； （2）， ， ， ， ， ． 24．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中、、、均为整数），则有：，，，这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、得：　　，　　； （2）利用所探索的结论，用完全平方式表示出：　　． （3）请化简： 【分析】（1）利用完全平方公式展开得到，从而可用、表示、； （2）直接利用完全平方公式，变形得出答案； （3）直接利用完全平方公式，变形化简即可． 【详解】解：（1）， ，． 故答案为，； （2）； 故答案为：； （3）， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下册期末登顶手册：三维突破指南 第十六章 二次根式 章末检测 一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1．下列各式是二次根式的是　　 A．2 B． C． D． 2．下列各式中，最简二次根式的个数为　　 ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧ A．1 B．2 C．3 D．4 3．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D．且 4．下列选项中，计算正确的是　　 A． B． C． D． 5．是一个正整数，则的最小正整数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 6．在下列各式中，化简正确的是　　 A． B． C． D． 7．若要在的“□”中填上一个运算符号，使其计算结果最小，则这个运算符号是　　 A． B． C． D． 8．下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 9．用※定义一种新运算：对于任意实数和，规定※，如：1※．则※的值为　　 A． B． C． D． 10．计算的结果应在　　 A．到0之间 B．0到1之间 C．1到2之间 D．2到3之间 11．化简，结果是　　 A． B． C． D．4 12．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为　　 A．11 B．10 C．9 D．8 二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13．计算：　　 ． 14．计算：　　． 15．如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米．这个舞台的宽为 （结果化简为最简二次根式） 16．观察：，，，，，则　　（用含的代数式表示）． 三．解答题（共8小题，共72分。17-18题6分，19题8分，20-23题10分，24题12分） 17．计算： （1）； （2）． 18．先阅读下面提供的材料，再解答相应的问题， 若和在实数范围内都有意义，求的值． 解：和在实数范围内都有意义， 且． 由得： ， ． 问题，若实数，满足，求的值． 19．现有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在长方形木板上截出三个面积分别为，和的正方形木板，，．求木板中剩余部分（阴影部分）的面积． 20．行文明之举，向高空抛物说“不”．为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度（单位：和高度（单位：近似满足公式（不考虑风速的影响，，已知小亮家所住楼层的高度是． （1）假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度（结果保留根号）； （2）小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度将是从小亮家坠落的物品速度的2倍，请问小明的说法正确吗？判断并说明理由． 21．（1）已知是的小数部分，是的整数部分，求的值； （2）已知，求的值． 22．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行3个单位长度到达点，若点表示的数为，设点所表示的数为． （1）求的值； （2）求的值． 23．（1）已知，，求的值． （2）已知，求代数式的值． 24．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中、、、均为整数），则有：，，，这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、得：　　，　　； （2）利用所探索的结论，用完全平方式表示出：　　． （3）请化简： 学科网（北京）股份有限公司 $$