精品解析：云南省昆明市民大附中2024-2025学年八年级下学期4月期中联考数学试卷

2024—2025学年春季学期期中诊断测试 初二年级数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场/座位号在答题卡上填写清楚．并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共15题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分． 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点在第四象限，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 3. 若三角形的三边长分别为，，，且满足，则此三角形中最大的角是（ ） A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 无法确定 4. 下列运算正确的是（    ） A. B. C. D. 5. 一个木匠要制作矩形的踏板，他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形的踏板．这样做最直接的道理是（ ） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 两组对边分别相等的四边形是矩形 6. 如图，在中，于点E，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象与y轴交于点 B. y随x的增大而减小 C. 当时， D. 它的图象经过第一、二、三象限 8. 估计的值应在（　　） A. 8和9之间 B. 9和10之间 C. 10和11之间 D. 11和12之间 9. 如图，将长方形纸片折叠，使点D落在上的点处，折痕为．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6 10. 折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物①、②之间，从①开始，沿直线跑至②处，用手碰到②后立即转身沿直线跑至①处，用手碰到①后继续转身跑至②处，循环进行，全程无需绕过标志物．小华练习了一次的折返跑，用时在整个过程中，他的速度大小v（）随时间t（）变化的图像可能是（ ） A. B. C. D. 11. 顺次连接一个菱形的各边中点所得四边形的形状是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 12. 如图是人字梯及其侧面示意图，，为支撑架，为拉杆，D，E分别是，的中点，若，则B，C两点的距离为（ ） A. B. C. D. 13. 点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14. 我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里， 大斜一十五里． 里法三百步， 欲知为田几何? ”问题大意：如图， 在中，里，里，里，则的面积是（ ） A. 80 平方里 B. 82平方里 C. 84平方里 D. 86平方里 15. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点；若，，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共4题，每小题2分，共8分． 16. 若有意义，则x的取值范围是__________ ． 17. 如图，在四边形中，，点O是对角线的中点，若，则的长为__________ ． 18. 将函数y＝2x+1的图象向左平移2个单位所得图象的函数解析式为_____． 19. 如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，则__________． 三、解答题：本题共8小题，共62分． 20. 计算：． 21. 已知y与成正比例，当时，．试求： （1）y与x之间的函数关系式； （2）若点在这个函数的图象上，求的值． （3）直接写出时，的取值范围． 22. 已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF， 求证：四边形BECF是平行四边形． 23. 如图，直线与轴交于点A，与轴于点． （1）求A，两点的坐标； （2）过点作直线与轴交于点，且，求的面积． 24. 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用4个全等的直角三角形拼成如图1所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形． 达·芬奇用如图2所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由2个正方形和2个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由2个全等的直角三角形和1个正方形组成，面积记为． 任务： （1）下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为 ． ， ， ， ，即． （2）请你参照小颖的验证过程，利用图2及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． 25. 如图，已知等边，，E为中点．以D为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点G．过点E作交射线于点F，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，求的面积． 26. 某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元． （1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ （3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案． 27. 正方形 ，点 E、F 在、延长线上，且 ，与延长线交于点 G． （1）如图 1，求证 ； （2）如图 2，点 M 是延长线上一点，，的平分线交于点 N，连接．试探究、、三条线段的数量关系，并证明； （3）如图 3，E 为上一点，，F 是的中点，G 为上一动点，以为边在正方形内作等边，若，则的最小值是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年春季学期期中诊断测试 初二年级数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场/座位号在答题卡上填写清楚．并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共15题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分． 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式、二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A：被开方数为，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； B：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； C：，与是同类二次根式，故此选项符合题意； D：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意．   故选：C ． 2. 已知点在第四象限，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交． 根据已知条件“点为第四象限内的点”推知、的符号，由它们的符号可以得到一次函数的图象所经过的象限． 【详解】解：点为第四象限内的点， ，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，观察选项，B选项符合题意，A、C、D选项不符合题意； 故选：B． 3. 若三角形的三边长分别为，，，且满足，则此三角形中最大的角是（ ） A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】因为a、b、c为一个三角形的三边长，化简，可得a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理即可得出该三角形为直角三角形． 【详解】∵， ∴a2+b2=c2， ∴该三角形为直角三角形. 故选B. 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理. 4. 下列运算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的二次根式的运算，掌握“二次根式运算法则”是解本题的关键． 根据同类二次根式的定义及合并同类二次根式的法则可判断A，根据算术平方根判断B，由二次根式的除法运算可判断C，由二次根式的乘法运算可判断D，从而可得答案． 【详解】解：A．，不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意； B．，故B不符合题意； C．，故C不符合题意； D．，计算正确，故D符合题意； 故选：D． 5. 一个木匠要制作矩形的踏板，他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形的踏板．这样做最直接的道理是（ ） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 两组对边分别相等的四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形和矩形判定，掌握平行四边形和矩形的判定是解题的关键． 根据平行四边形和矩形判定即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴这样做最直接的道理是有一个角是直角的平行四边形是矩形， 故选：． 6. 如图，在中，于点E，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，由余角的性质可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ． 7. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象与y轴交于点 B. y随x的增大而减小 C. 当时， D. 它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确； B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误； C.当时，，原说法错误； D.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误； 故选A． 8. 估计的值应在（　　） A. 8和9之间 B. 9和10之间 C. 10和11之间 D. 11和12之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，无理数的估算，先计算二次根式的乘法运算，再估算即可． 【详解】解：∵， 而， ∴， 故答案为：C 9. 如图，将长方形纸片折叠，使点D落在上的点处，折痕为．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．由矩形可得，，，，由折叠得到，设，则，，在中，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴，，， ∴，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故选：B． 10. 折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物①、②之间，从①开始，沿直线跑至②处，用手碰到②后立即转身沿直线跑至①处，用手碰到①后继续转身跑至②处，循环进行，全程无需绕过标志物．小华练习了一次的折返跑，用时在整个过程中，他的速度大小v（）随时间t（）变化的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据速度与时间的关系即可得出答案． 【详解】解：刚开始速度随时间的增大而增大，匀速跑一段时间后减速到②，然后再加速再匀速到①， 由于体力原因，应该第一个50米速度快，用的时间少，第二个50米速度慢，用的时间多， 故他的速度大小v（）随时间t（）变化的图像可能是D． 故选：D． 【点睛】本题主要考查函数的图象，要根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得出正确的结论． 11. 顺次连接一个菱形的各边中点所得四边形的形状是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，菱形中，点分别是的中点，先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【详解】如图，设菱形中，点分别是的中点，连接， ∵分别是的中点， ∴，， 同理可得，，，， ∴ 且 ， ∴四边形是平行四边形， 又∵菱形的对角线互相垂直，即， ∵，， ∴，即， ∴平行四边形是矩形． 12. 如图是人字梯及其侧面示意图，，为支撑架，为拉杆，D，E分别是，的中点，若，则B，C两点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的实际应用，等式的性质等知识点，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 利用三角形的中位线定理即可直接得出答案． 【详解】解：∵D，分别是，的中点， ， ， 故选：． 13. 点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 ，求出点P的坐标即可判断． 【详解】解∶ 联立方程组， 解得， ∴P的坐标为， ∴点P在第四象限， 故选∶D． 14. 我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里， 大斜一十五里． 里法三百步， 欲知为田几何? ”问题大意：如图， 在中，里，里，里，则的面积是（ ） A. 80 平方里 B. 82平方里 C. 84平方里 D. 86平方里 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形面积，勾股定理，解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边找到突破点．主要利用了勾股定理进行解答．过点作，利用勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】解：如图，过点作于， 设里，则里， 在中，， 在中，， ， ， 解得， 在中，（里， 的面积（平方里）， 故选：C 15. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点；若，，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等知识，根据平行四边形的性质得，再根据平行线的性质和角平分线定义得，则，进而得，同理可得，则，然后根据即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题：本题共4题，每小题2分，共8分． 16. 若有意义，则x的取值范围是__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键． 根据被开方数是非负数，可得的取值范围． 【详解】由题意，得， 解得， 故答案为：． 17. 如图，在四边形中，，点O是对角线的中点，若，则的长为__________ ． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 在和，由斜边上中线等于斜边的一半得到，即可求解． 【详解】解：∵，点O是对角线的中点， ∴， 故答案为：3． 18. 将函数y＝2x+1的图象向左平移2个单位所得图象的函数解析式为_____． 【答案】y＝2x+5 【解析】 【分析】根据“左加右减”的原则求解. 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将一次函数y＝2x+1的图象向左平移2个单位，所得图象的解析式为y＝2（x+2）+1，即y＝2x+5． 故答案是：y＝2x+5． 【点睛】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系． 19. 如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，则__________． 【答案】90 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，设正方形的边长为，先求出，则，再利用勾股定理得到，，，则，据此利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，即可得出答案． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵E为的中点，是上一点，且， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 同理可得，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 三、解答题：本题共8小题，共62分． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值、负整数指数幂、零指数幂，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值．先算负整数指数幂、零指数幂、去绝对值，再算加减即可． 【详解】解： 21. 已知y与成正比例，当时，．试求： （1）y与x之间的函数关系式； （2）若点在这个函数的图象上，求的值． （3）直接写出时，的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次不等式，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据题意设，然后将时，代入求解即可； （2）将代入求解即可； （3）首先得到y随x的增大而增大，进而求解即可． 【小问1详解】 解：已知y与成正比例， ∴设， 当时，， ， ， ； 【小问2详解】 解：点在这个函数的图象上， ， ； 【小问3详解】 解：由（2）得，点在这个函数的图象上， ∵中， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，． 22. 已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF， 求证：四边形BECF是平行四边形． 【答案】 证明：如图，连接BC，设对角线交于点O． ∵四边形ABDC是平行四边形， ∴OA=OD，OB=OC． ∵AE=DF， ∴OA﹣AE=OD﹣DF， ∴OE=OF． ∴四边形BECF是平行四边形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得证明结论． 【详解】略 23. 如图，直线与轴交于点A，与轴于点． （1）求A，两点的坐标； （2）过点作直线与轴交于点，且，求的面积． 【答案】（1）； （2）的面积为或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数与x轴，y轴的交点，直线围成是三角形面积，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． （1）分别令x，y为0即可得出点A，两点的坐标； （2）分点在轴的正半轴上时和点在轴的负半轴上时两种情况分别画图求解即可． 【小问1详解】 解：对于，当时，， 解得， 则点A的坐标为， 当时，，则点的坐标为． 【小问2详解】 解：当点在轴的正半轴上时，如图①， ∵， ∴， ∴的面积； 当点在轴的负半轴上时，如图②， ∵， ∴， ∴的面积， 综上所述，的面积为或． 24. 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用4个全等的直角三角形拼成如图1所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形． 达·芬奇用如图2所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由2个正方形和2个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由2个全等的直角三角形和1个正方形组成，面积记为． 任务： （1）下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为 ． ， ， ， ，即． （2）请你参照小颖的验证过程，利用图2及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． 【答案】（1），， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形和正方形的面积公式，根据题目读懂题意，列出等量关系，验证勾股定理是解答本题的关键． （1）依题分析，直角三角形两个直角边长分别，，正方形的边长为，根据直角三角形和正方形的面积公式，得到三角形面积为，正方形的面积为； （2）剪开前，直角三角形的两直角边长分别为，，两个正方形边长分别为，；剪开后正方形的边长为，直角三角形的两直角边长分别为，，根据直角三角形和正方形的面积公式，列出剪开前后的面积公式，两个面积相等，得到验证． 【小问1详解】 解：由图知， 直角三角形的两个边长为，， 正方形的边长为， ，， 故答案为，， 【小问2详解】 根据题意，得， ， ， ，即 25. 如图，已知等边，，E为中点．以D为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点G．过点E作交射线于点F，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明是等边三角形，得到，再根据角平分线的定义得到，证明是等腰三角形，即可证明，即可解答本题； （2）根据等边三角形的性质求出，，再根据菱形的性质，求得，即可求出 的面积． 【小问1详解】 证明：等边， 是中点，， 是中点， ， 是等边三角形 ， 由尺规作图可知平分， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：等边，， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，菱形的判定及性质，含有角的直角三角形的边长关系，作图-角平分线，熟知上述概念是解题的关键． 26. 某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元． （1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ （3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案． 【答案】（1）每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元 （2）商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大 （3）商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用等知识，掌握相关知识 是解题的关键． （1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元，根据题意列了方程组求解即可； （2）根据购买数量及价格之间的关系，即可得到函数解析式；根据题意，得到，解得的值，根据函数的增减性，即可求解； （3）根据题意，可得到与的解析式，再根据的取值范围，分别求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元， 根据题意得，， 解得：， 答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元； 【小问2详解】 解：据题意得，，即， ， 解得：， ∵，， ∴y随x的增大而减小， ∵x为正整数， ∴当时，y取最大值， ∴， 即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大； 【小问3详解】 解：据题意得，， ∴，， ①当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y取最大值，最大利润， 即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大； ②时，，， 即商店购进A型电脑数量满足的整数时，均获得最大利润； ③当时，，y随x的增大而增大， ∴当时，y取得最大值，最大利润， 即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大 综上所述，商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大． 27. 正方形 ，点 E、F 在、延长线上，且 ，与延长线交于点 G． （1）如图 1，求证 ； （2）如图 2，点 M 是延长线上一点，，的平分线交于点 N，连接．试探究、、三条线段的数量关系，并证明； （3）如图 3，E 为上一点，，F 是的中点，G 为上一动点，以为边在正方形内作等边，若，则的最小值是 ． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由四边形是正方形得，，则，而，即可证明，得，所以，则，所以； （2）连接，作交于点，令与交于点，先证明，，再证明，则，即可证明，则，所以，于是证明，得，而，所以； （3）过点作于，连接，，证明为等边三角形，再证，可知点的轨迹在过点垂直于的直线是上，再结合含的直角三角形的性质，由垂线段最短可知，当时，取得最小值，即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：， 证明：如图，连接，作交于点，令与交于点， ，， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 在正方形中，， ∵，， ∴，则， 过点作于，连接，， 则，，， ∵点为的中点， ∴，则， ∴为等边三角形，则，，， 又∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点的轨迹在过点垂直于的直线是上， ∴， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时，，则，， 即：的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含直角三角形的性质、同角或等角的余角相等、勾股定理、等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $