精品解析：山东省聊城市2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

2024-2025学年第二学期期中学业水平检测 八年级数学试题 （时间120分钟 满分120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 的算术平方根是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 2. 下列四个数中，有理数是（　　） A. B. C. D. 3. 已知一个直角三角形的两边长分别为和，第三边长是（    ） A. B. C. D. 或 4. 如图，在中，的平分线交边于点，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形ABCD中，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．添加一个条件，使四边形AEBD是菱形，这个条件是（ ） A. B. C. D. DE平分 6. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 某学校组织开展了环保知识竞赛初赛，共有20道题，答对一题加6分，答错或不答每题倒扣3分，小辉在初赛得分超过80分顺利进入决赛，设他答对x道题，根据题意，可列出关于x的不等式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点，，分别是的边，，的中点，分别连接，，，，与相交于点．有下列四个结论：①；②③当时，点到四边形四条边的距离相等；④当时，点到四边形四个顶点的距离相等．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①④ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，在数轴上点A表示的实数是______． 12. 若关于的不等式组的解集为，则________． 13. 如图，在中，，，对角线，交于点，点是的中点，，则的周长为_____． 14. 将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是_________． 15. 如图，矩形的对角线交于点O，以，为邻边作平行四边形，对角线交于点，以，为邻边作平行四边形，……，依此类推，如果矩形的面积为，则平行四边形的面积为__________． 三、解答题：本题共8小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）； 17. 解不等式（组）： （1）； （2）解不等式组，并将解集表示在数轴上． 18. 如图，四边形为平行四边形，为上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．为的中点，连接．求证：四边形为平行四边形． 19. 通过学习，同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．例如：在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），如图1，构造，比较与的大小，其理由如下：因为，点A、B、C都为小正方形的顶点（构造图形），所以（三角形任意两边之和大于第三边）．因为，（勾股定理），，所以． （1）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是___________（填写正确选项的字母代号）． A．类比思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想 （2）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由． 20. “低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有两种规格的自行车，A型车的售价为a元/辆，B型车的售价为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下： A型车销售量（辆） B型车销售量（辆） 总销售额（元） 第一周 10 12 20000 第二周 20 15 31000 （1）求的值； （2）若计划第三周售出两种规格自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第三周总销售额最大，最大总销售额是多少元？ 21. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，平分，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 22. 如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为1米，小迪同学将绳子拉直，测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米． （1）求旗杆的高度． （2）小迪在C处，用手拉住绳子的末端，伸直手臂（拉绳处E与脚底F的连线与地面垂直），后退至将绳子刚好拉直为止，测得小迪手臂伸直后离地的高度为2米，问小迪需要后退几米？ 23. 【实践探究】 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“运用规律求一个正数的算术平方根和立方根”的实践活动，同学们列出了表1中的算术平方根和表2中的立方根如下： 表1： x … 0.0064 0.64 64 6400 640000 … … 0.08 0.8 8 800 80 … 表2： x … 0.000064 0.064 64 64000 64000000 … … 0.04 0.4 4 40 400 … 【探索发现】 （1）根据上述探究，可以得到被开方数和它的算术平方根和立方根之间小数点的变化规律是：若被开方数的小数点向右或向左移动 位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动 位；若被开方数的小数点向右或向左移动 位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动 位． 【规律应用】 （2）请运用上述规律，解答下列问题： ①已知，则 ， ； ②若，求a， b的值． （参考数据：） （3）运用上述规律，你能根据的值求出的值吗？ 请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期期中学业水平检测 八年级数学试题 （时间120分钟 满分120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 的算术平方根是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b，若满足，且a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，且，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2， 故选：B． 2. 下列四个数中，有理数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数的分类、算术平方根、立方根，熟练掌握有理数和无理数的定义是解题的关键．根据无有理数和无理数的定义，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、是无理数，故此选项不符合题意； B、是无理数，故此选项不符合题意； C、是无理数，故此选项不符合题意； D、是有理数，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 已知一个直角三角形的两边长分别为和，第三边长是（    ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，掌握定理内容并分类讨论是关键；根据4为直角边与斜边两种情况，利用勾股定理即可完成． 【详解】解：当3和4是直角边时， 在直角三角形中，第三边长为； 当3是直角边，4是斜边时， 在直角三角形中，第三边长为； 故选：D． 4. 如图，在中，的平分线交边于点，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，主要运用了平行四边形的两个性质：①边：平行四边形的对边平行．②角：平行四边形的对角相等．由平行四边形的性质得，，则，再由角平分线定义得，即可得出结论． 【详解】解：在中，， ． 平分交于点， ． 又四边形是平行四边形， ． 故选：C． 5. 如图，在平行四边形ABCD中，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．添加一个条件，使四边形AEBD是菱形，这个条件是（ ） A. B. C. D. DE平分 【答案】D 【解析】 【分析】先证明△ADF≌△BEF，得到AD=BE，推出四边形AEBD是平行四边形，再逐项依次分析即可． 【详解】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DAB=∠EBA， ∵点F是AB的中点， ∴AF=BF， ∵∠AFD=∠BFE， ∴△ADF≌△BEF， ∴AD=BE， ∵AD∥BE， ∴四边形AEBD是平行四边形， A、当时，得到AB=BD，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意； B、AB=BE时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意； C、DF=EF时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意； D、当DE平分时，四边形AEBD是菱形，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 6. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，真假命题的判断，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的性质逐一判断即可解答； 【详解】解：A、两边同时加上2得，，不等号的方向不变，说法正确，故选项不符合题意； B、两边同时乘以得，，不等号的方向改变，说法正确，故选项不符合题意； C、若，当时，，原说法不正确，假命题，故选项符合题意； D、，两边同时除以2，则，不等号的方向不变，说法正确，故选项不符合题意． 故选：C． 7. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的步骤及数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 先求出不等式的解集，再对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：， ， ， 显然只有B选项符合题意． 故选：B． 8. 关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的整数解，能根据已知不等式组的整数解确定参数a的取值范围是解答的关键． 先解出不等式组的解集，再根据不等式组有3个整数解确定a的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵不等式组有3个整数解， ∴． 故选C． 9. 某学校组织开展了环保知识竞赛初赛，共有20道题，答对一题加6分，答错或不答每题倒扣3分，小辉在初赛得分超过80分顺利进入决赛，设他答对x道题，根据题意，可列出关于x的不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式．利用小辉的得分答对题目数答错或不答题目数，结合小辉的得分超过80分，可列出关于x的一元一次不等式，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C． 10. 如图，点，，分别是的边，，的中点，分别连接，，，，与相交于点．有下列四个结论：①；②③当时，点到四边形四条边的距离相等；④当时，点到四边形四个顶点的距离相等．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形中位线定理．①根据三角形中位线定理即可解决问题；②根据三角形中位线定理和平行四边形的判定和性质定理，进而可以解决问题；③证明四边形是菱形，再根据菱形的性质即可解决问题；④证明四边形是平行四边形，进而可以解决问题． 【详解】解：①点，，分别是的边，，的中点， ，，，， 四边形是平行四边形， ， 是的中位线， ，故①错误； ②点，，分别是的边，，的中点， ，，，，， 四边形和四边形和四边形是平行四边形， ， ，故②正确； ③， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ，是菱形两组对角的平分线， 点到四边形四条边的距离相等，故③正确； ④，四边形是平行四边形， 点到四边形四个顶点的距离不相等，故④错误． 综上所述：正确的是②③， 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，在数轴上点A表示的实数是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由勾股定理得，斜边长， 则点A对应的数为． 12. 若关于的不等式组的解集为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组，不等式组的解集，代数式求值，根据不等式组的解集求出的值是解题的关键． 首先求出含有和的不等式组解集，再根据不等式组的解集为，求出和的值，即可得解． 【详解】解：解关于的不等式组得， 关于的不等式组的解集为， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，对角线，交于点，点是的中点，，则的周长为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，证明四边形是菱形得，，根据直角三角形斜边中线的性质得，进而可求出的周长． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：8． 14. 将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是_________． 【答案】42 【解析】 【分析】设小朋友为x人，根据每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，表示出苹果的个数，再由每位小朋友分8个苹果，根据人数为x人，用总苹果数减去前x-1人、每人8个所分的苹果数，即为最后一名小朋友分到的苹果数，再利用最后一位小朋友分到了苹果，但不足5个列出关于x的不等式，求出不等式的解集，在解集中找出正整数解得到x的值，即为小朋友的人数，即可得到一箱苹果的个数． 【详解】解：设有x位小朋友，则苹果为（5x+12）个， 依题意得：0≤5x+12-8（x-1）＜5， 可化为：， 解得：5＜x≤， ∵x是正整数， ∴x=6， 当x=6时，5x+12=42； ∴这一箱苹果有42个， 故答案为：42． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用，其中根据题意表示出最后一名小朋友分到的苹果数是解本题的关键． 15. 如图，矩形的对角线交于点O，以，为邻边作平行四边形，对角线交于点，以，为邻边作平行四边形，……，依此类推，如果矩形的面积为，则平行四边形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质，三角形的面积，矩形的性质等知识点，此题的关键是能根据求出的结果得出规律，注意：等底等高的三角形的面积相等． 由矩形的性质得出，由平行四边形的性质得出，从而可得，同理平行四边形的面积是，平行四边形的面积是，根据规律即可得解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴同理平行四边形的面积是，平行四边形的面积是， 平行四边形的面积是， ∴平行四边形的面积是， ∴平行四边形的面积是， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解不等式（组）： （1）； （2）解不等式组，并将解集表示在数轴上． 【答案】（1） （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）先去分母，再解不等式即可； （2）解出每个不等式，再求公共解集即可，然后在数轴上表示出来． 【小问1详解】 解： ， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 的系数化为1得，； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 18. 如图，四边形为平行四边形，为上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．为的中点，连接．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见详解 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得出，，再证明为的中位线，得出，，再由为的中点，证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴为的中位线， ∴，， 又∵为的中点， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． 19. 通过学习，同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．例如：在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），如图1，构造，比较与的大小，其理由如下：因为，点A、B、C都为小正方形的顶点（构造图形），所以（三角形任意两边之和大于第三边）．因为，（勾股定理），，所以． （1）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是___________（填写正确选项的字母代号）． A．类比思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想 （2）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）D （2）；理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题； （2）根据题干中的方法解决问题即可． 【小问1详解】 解：在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合，故D正确． 故选：D． 【小问2详解】 解：；理由如下： 根据题意构造，如图所示： ∵三角形任意两边之差小于第三边， ∴， ∵，，， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和网格问题，解题的关键是数形结合，构造合适的三角形． 20. “低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有两种规格的自行车，A型车的售价为a元/辆，B型车的售价为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下： A型车销售量（辆） B型车销售量（辆） 总销售额（元） 第一周 10 12 20000 第二周 20 15 31000 （1）求的值； （2）若计划第三周售出两种规格自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第三周总销售额最大，最大总销售额是多少元？ 【答案】（1）， （2）该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为最大，为元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，一次函数的应用等知识，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）根据前两周两种自行车的销售数量及总销售额，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出的值； （2）设第三周售出A种规格自行车x辆，则售出B种规格自行车辆，根据“B型车的销售量大于A型车的售量，且不超过A型车销售量的2倍”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合x为整数，利用一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，解得：， 【小问2详解】 设该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为元，由题意得：， 由 解得; 取整数， ∵W随着x的增大而减小， ∴当时，W取得最大值，此时（元），（辆）. 答：该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为最大，为元． 21. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，平分，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记菱形的判定与性质是解本题的关键； （1）证明，结合平行四边形的性质证明，可得，从而可得结论； （2）证明，四边形是矩形，从而可得答案． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵平行四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 22. 如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为1米，小迪同学将绳子拉直，测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米． （1）求旗杆的高度． （2）小迪在C处，用手拉住绳子的末端，伸直手臂（拉绳处E与脚底F的连线与地面垂直），后退至将绳子刚好拉直为止，测得小迪手臂伸直后离地的高度为2米，问小迪需要后退几米？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设旗杆的高度为，则绳子长度为，利用勾股定理得到，解方程即可得到答案； （2）如图所示，过点E作于G，则四边形为矩形，则，，，利用勾股定理求出的长进而求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：设旗杆的高度为，则绳子长度为， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴旗杆的高度为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点E作于G，则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴需要后退． 【点睛】本题主要考查了勾股定理得实际应用，矩形的性质与判定，熟知勾股定理是解题的关键． 23. 【实践探究】 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“运用规律求一个正数的算术平方根和立方根”的实践活动，同学们列出了表1中的算术平方根和表2中的立方根如下： 表1： x … 0.0064 0.64 64 6400 640000 … … 0.08 0.8 8 800 80 … 表2： x … 0.000064 0.064 64 64000 64000000 … … 0.04 0.4 4 40 400 … 【探索发现】 （1）根据上述探究，可以得到被开方数和它的算术平方根和立方根之间小数点的变化规律是：若被开方数的小数点向右或向左移动 位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动 位；若被开方数的小数点向右或向左移动 位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动 位． 【规律应用】 （2）请运用上述规律，解答下列问题： ①已知，则 ， ； ②若，求a， b的值． （参考数据：） （3）运用上述规律，你能根据的值求出的值吗？ 请说明理由． 【答案】（1）2，1；3，1；（2）①17.32，0.1442，②，；（3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据变化总结算术平方根和立方根的规律即可； （2）①根据（1）中的算术平方根和立方根的规律求解即可； ②根据（1）中的算术平方根和立方根的规律可得，，即可求解； （3）根据根据（1）中的算术平方根和立方根的规律求解即可． 【详解】解：（1）由表格可得，若被开方数的小数点向右或向左移动2位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位；若被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位， 故答案为：2，1；3，1； （2）①∵， ∴，， 故答案为：17.32，0.1442； ②∵，， ∴，， ∴，， 故答案为：200，0.8879； （3）∵， ∴，， ∴不能求出的值． 【点睛】本题考查数字规律型、算术平方根的定义、立方根的定义，根据题意总结一个数的算术平方根、立方根的小数点与被开方数的小数点的移动变化规律是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $