精品解析：四川省资阳市2025年中考数学二模试题

四川省资阳市2025年中考数学二模试题 全卷分为第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页．全卷满分150分，考试时间共120分钟． 注意事项： 1． 答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、报名号(考号)写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡上对应的虚线框内．同时在答题卡背面第3页顶端用2B 铅笔涂好自己的座位号． 2． 第I卷每小题选出的答案不能答在试卷上，必须用2B 铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．第Ⅱ卷必须用0.5mm黑色墨水签字笔书写在答题卡上的指定位置．不在指定区域作答的将无效． 3． 考试结束，监考人员只将答题卡收回． 第I卷(选择题 共40分) 一、 选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目的要求的．) 1. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列代数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，某正方体的展开图的每个面上都有一个汉字，则在原正方体中，与“点”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 青 B. 春 C. 激 D. 情 4. 因举办第九届亚冬会，2025年春节期间哈尔滨市累计接待游客约1200万人．将数“1200万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线，将一块含角的直角三角板按图方式放置，其中、两点分别落在直线、上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为：==13，==15：s甲2=s丁2=3.6，s乙2=s丙2=6.3．则麦苗又高又整齐的是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 如果关于x的一元二次方程（m－1）x2＋2x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（ ） A. m＞2 B. m＜2 C. m＞2且m≠1 D. m＜2且m≠1 8. 如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点M运动的路程为，的面积为，下列图像中能反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 9. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(，称为黄金比例)，如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此，此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是，若某人的身材满足上述两个黄金比例，且头顶至咽喉的长度为，则其身高可能是( ) A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为4，点E，F分别在边上，且，平分，连接，分别交于点G，M，P是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷 (非选择题 共 110分) 二、填空题．(本大题6个小题，每小题4分，共24分) 11. 已知，则 ____________． 12. “”是杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司推出的助手，2025年1月令全球瞩目．某同学随机从中选取一个字母，取得“”的概率是_______． 13. 定义一种新运算：对于两个非零实数，．若，则的值是___________． 14. 如图，在扇形AOB中，半径OA=2，∠AOB=120°，C为弧AB的中点，连接AC、BC，则图中阴影部分的面积是_______________________（结果保留π）． 15. 如图，正方形中，，点为正方形外一点，且，将绕点逆时针方向旋转得到，的延长线交于点．若，则的长为 _______ ． 16. 如图，矩形中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P作射线，过点C作的垂线分别交，于点M，N，则的长为______． 三、解答题(共8个小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 某学校为丰富教师的业余生活，组织全体教师开展以下体育活动：A．篮球，B．气排球，C．乒乓球，D．羽毛球．为了了解教师最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分教师进行调查(每位教师必选且只能选择一项)，并将调查结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图． 请回答下列问题： （1）这次被调查的教师共有 人，在扇形统计图中， “D”对应的扇形圆心角的度数为 ； （2）请你将条形统计图补充完整；若该校有教师200人，请估计该校喜欢气排球的教师有多少人？ （3）在平时的羽毛球项目练习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名教师中任选2人参加羽毛球比赛，请用树状图或列表的方法求恰好选中甲、丙两位教师的概率． 19. 某中学在2025年“校园文化艺术节”到来之际，开展了“魅力艺术，和谐校园”主题活动．为此该校在某商场购买了A、B两种奖品，已知购买2个A种奖品和3个B种奖品共花费65元，购买3个A种奖品和6个B种奖品共花费120元． （1）求购买1个A种奖品和1个B种奖品各需多少元？ （2）该校决定购买A、B两种奖品共50件，其中A种奖品的数量不多于B种奖品数量的 求购买这50件奖品至少花费多少元？ 20. 如图，在中，是的平分线，以点D为圆心的与相切于点A，分别与相交于点E，F． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的长． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）当时，的取值范围为________； （3）如图，轴正半轴上有一点，连接，求四边形的面积． 22. 无人机在实际生活中应用广泛．如图，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处测得大楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为，楼的高度为，从楼的A处测得楼的D处的仰角为．（点A、B、C、D、P在同一平面内） （1）求楼的高度； （2）求此时无人机距离地面的高度．（精确到1米，） 23. 如图，在中，， ，点为边上的动点（点不与点，重合）.以点为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于，连接. （1）求证：； （2）当时（如图），求的长； （3）点在边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由. 24. 如图1， 我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”， 已知， ， ， 分别为“果圆”与坐标轴的交点， 与“果圆”中的抛物线 交于 ， 两点． （1）求“果圆”中的抛物线的解析式． （2）“果圆”上是否存在点 使？如果存在请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． （3）如图2， 为直线下方“果圆”上一点， 连接， ， ， 设与 交于点 ， 的面积记为 ， 的面积记为 ， 求 的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省资阳市2025年中考数学二模试题 全卷分为第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页．全卷满分150分，考试时间共120分钟． 注意事项： 1． 答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、报名号(考号)写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡上对应的虚线框内．同时在答题卡背面第3页顶端用2B 铅笔涂好自己的座位号． 2． 第I卷每小题选出的答案不能答在试卷上，必须用2B 铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．第Ⅱ卷必须用0.5mm黑色墨水签字笔书写在答题卡上的指定位置．不在指定区域作答的将无效． 3． 考试结束，监考人员只将答题卡收回． 第I卷(选择题 共40分) 一、 选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目的要求的．) 1. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0． 【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3， 故选D． 【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键． 2. 下列代数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底幂的乘法，幂的乘方和积运算的乘方法则以及完全平方公式逐一计算作出判断． 【详解】A．，选项错误，不符合题意； B．，选项错误，不符合题意； C． ，选项正确，符合题意； D．，选项错误，不符合题意． 故选C． 3. 如图，某正方体的展开图的每个面上都有一个汉字，则在原正方体中，与“点”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 青 B. 春 C. 激 D. 情 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的展开，熟练掌握立方体展开的方式和常见展开图，会判断相对面是解题的关键． 根据正方体的表面展开图的特征进行求解即可 【详解】解：根据正方体的表面展开图的“相间、Z端是对面”可知， “点”与“春”是对面， “燃”与“情”是对面， “青”与“激”是对面， 故选：B． 4. 因举办第九届亚冬会，2025年春节期间哈尔滨市累计接待游客约1200万人．将数“1200万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：1200万． 故选D． 5. 已知直线，将一块含角的直角三角板按图方式放置，其中、两点分别落在直线、上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点C作，进而可得，根据两直线平行，内错角相等可得，进而根据角的和差求解即可． 【详解】过点C作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，能够作出适当的辅助线是解题的关键． 6. 为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为：==13，==15：s甲2=s丁2=3.6，s乙2=s丙2=6.3．则麦苗又高又整齐的是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定，据此判断出小麦长势比较整齐的是哪种小麦即可． 【详解】∵=＞=， ∴乙、丁的麦苗比甲、丙要高， ∵s甲2=s丁2＜s乙2=s丙2， ∴甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐， 综上，麦苗又高又整齐的是丁， 故选D． 【点睛】本题主要考查了方差的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定． 7. 如果关于x的一元二次方程（m－1）x2＋2x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（ ） A. m＞2 B. m＜2 C. m＞2且m≠1 D. m＜2且m≠1 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义求解． 【详解】解：根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且△=22﹣4（m﹣1）＞0， 解得m＜2且m≠1． 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义和判别式，解题的关键是掌握根的判别式进行求解． 8. 如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点M运动的路程为，的面积为，下列图像中能反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据，求出与之间函数关系式，再判断即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ， 故与之间函数关系为二次函数，图像开口向上，时，函数有最小值6， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的图像与性质，本题的关键是求出与之间函数关系式，再判断与之间函数类型． 9. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(，称为黄金比例)，如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此，此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是，若某人的身材满足上述两个黄金比例，且头顶至咽喉的长度为，则其身高可能是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】充分运用黄金分割比例，结合图形，计算可估计身高． 【详解】解：头顶至咽喉的长度为26cm， 由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是， 可得咽喉至肚脐的长度为， 由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是， 可得肚脐至足底的长度为cm， 即有该人的身高为110+68=178cm， 故选B． 【点睛】本题考查简单的推理和估算，考查运算能力和推理能力，属于中档题． 10. 如图，正方形的边长为4，点E，F分别在边上，且，平分，连接，分别交于点G，M，P是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质和三角形全等即可证明，通过等量转化即可求证，利用角平分线的性质和公共边即可证明，从而推出①的结论；利用①中的部分结果可证明推出，通过等量代换可推出③的结论；利用①中的部分结果和勾股定理推出和长度，最后通过面积法即可求证④的结论错误；结合①中的结论和③的结论可求出的最小值，从而证明②不对． 【详解】解：∵为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴垂直平分， 故①正确． 由①可知，， ∴， ∴， ∴， 由①可知， ∴． 故③正确． ∵为正方形，且边长为4， ∴， ∴在中，． 由①可知，， ∴， ∴． 由图可知，和等高，设高为h， ∴， ∴， ∴， ∴． 故④错误． 由①可知，， ∴， ∴M关于线段的对称点为D，过点D作，交于，交于， ∴最小即为，如图所示， 由④可知的高即为图中的， ∴． 故②不正确． 综上所述，正确的是①③共两个． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的综合题，涉及到三角形相似，最短路径，三角形全等，三角形面积法，解题的关键在于是否能正确找出最短路径以及运用相关知识点． 第Ⅱ卷 (非选择题 共 110分) 二、填空题．(本大题6个小题，每小题4分，共24分) 11. 已知，则 ____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴-2+3=1， 故答案为1． 【点睛】本题考查非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 12. “”是杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司推出的助手，2025年1月令全球瞩目．某同学随机从中选取一个字母，取得“”的概率是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求概率，用字母e的个数除以字母的总个数即可得到答案． 【详解】解： “”中，共有8个字母，其中字母“e”出现4次， ∴字母“e”出现的频率是， 故答案为：． 13. 定义一种新运算：对于两个非零实数，．若，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据可得一个关于的等式，再根据新运算的定义代入计算即可得． 【详解】解：， ，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算、代数式求值，理解新运算的定义是解题关键． 14. 如图，在扇形AOB中，半径OA=2，∠AOB=120°，C为弧AB的中点，连接AC、BC，则图中阴影部分的面积是_______________________（结果保留π）． 【答案】． 【解析】 【详解】连接OC，过点A作AD⊥CD于点D， ∵∠AOB=120°，C为弧AB的中点， ∴AC=BC，∠AOC=∠BOC=60°， ∴△ACO与△BOC为边长相等的两个等边三角形． ∵AO=2， ∴AD=OA•sin60°=2×． ∴S阴影=S扇形AOB-2S△AOC==． 15. 如图，正方形中，，点为正方形外一点，且，将绕点逆时针方向旋转得到，的延长线交于点．若，则的长为 _______ ． 【答案】17 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出有关相等的角、相等的边，从而证明四边形为正方形，再根据勾股定理求出的长，就可得到． 【详解】解：∵将绕点逆时针方向旋转得到，， ∴, ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴． 设， ∵， ∴， 在正方形中，， 在中， 根据勾股定理，得， 解得， ∴． 16. 如图，矩形中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P作射线，过点C作的垂线分别交，于点M，N，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由作图可知平分，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，根据角平分线的性质可知，进而证明，推出，设，则，解求出．利用三角形面积法求出，再证，根据相似三角形对应边成比例即可求出． 【详解】解：如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q， 矩形中，， ， ． 由作图过程可知，平分， 四边形是矩形， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ． ． ， ． ，， ， ，即， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出平分，通过勾股定理解直角三角形求出． 三、解答题(共8个小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据平方差公式，完全平方公式和分式的运算法则对原式进行化简，然后将代入化简结果求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握平方差公式，完全平方公式和分式的运算法则是解题关键． 18. 某学校为丰富教师的业余生活，组织全体教师开展以下体育活动：A．篮球，B．气排球，C．乒乓球，D．羽毛球．为了了解教师最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分教师进行调查(每位教师必选且只能选择一项)，并将调查结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图． 请回答下列问题： （1）这次被调查的教师共有 人，在扇形统计图中， “D”对应的扇形圆心角的度数为 ； （2）请你将条形统计图补充完整；若该校有教师200人，请估计该校喜欢气排球的教师有多少人？ （3）在平时的羽毛球项目练习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名教师中任选2人参加羽毛球比赛，请用树状图或列表的方法求恰好选中甲、丙两位教师的概率． 【答案】（1）40； （2）补全统计图如下： 80人 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图和熟知概率计算公式是解题的关键． （1）用A的人数除以其人数占比（圆心角度数与周角的度数之比）即可求出参与调查的人数，再用360度乘以D的人数占比即可得到答案； （2）根据（1）所求求出C的人数，进而补全统计图，再用200乘以样本中B的人数占比即可得到答案； （3）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中甲、丙两位教师的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：人， ∴这次被调查的教师共有40人， ∴在扇形统计图中， “D”对应的扇形圆心角的度数为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，C的人数为人， 补全统计图略； 人， ∴若该校有教师200人，请估计该校喜欢气排球的教师有80人； 【小问3详解】 解：设分别用A、B、C、D表示甲、乙、丙、丁四名教师，列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中恰好选中甲、丙两位教师的结果数有2种， ∴恰好选中甲、丙两位教师的概率为． 19. 某中学在2025年“校园文化艺术节”到来之际，开展了“魅力艺术，和谐校园”主题活动．为此该校在某商场购买了A、B两种奖品，已知购买2个A种奖品和3个B种奖品共花费65元，购买3个A种奖品和6个B种奖品共花费120元． （1）求购买1个A种奖品和1个B种奖品各需多少元？ （2）该校决定购买A、B两种奖品共50件，其中A种奖品的数量不多于B种奖品数量的 求购买这50件奖品至少花费多少元？ 【答案】（1）种奖品的单价为10元，种奖品的单价为元； （2）购买这 50 件奖品至少花费 690 元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，读懂题意找出数量关系是解题关键． （1）设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，根据题意列二元一次方程求解即可； （2）设购买种奖品m个，则购买种奖品个，根据题意列不等式，得到m的取值范围，令购买费用为，得到关于m的一次函数，再利用一次函数的增减性求解即可． 【小问1详解】 解：设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元， 由题意得：， 解得：， 答：种奖品的单价为10元，种奖品的单价为元； 【小问2详解】 解：设购买种奖品m个，则购买种奖品个， 由题意得：， 解得：， 令购买费用为， 则， ， 随m的增大而减小， 当时，有最小值，最小值为， 即购买这 50 件奖品至少花费 690 元． 20. 如图，在中，是的平分线，以点D为圆心的与相切于点A，分别与相交于点E，F． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，过点D作于点H． 为的切线， ． 又平分， ． 是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）过点D作于点H，根据切线的性质得到，再根据角平分线的性质，得到，即可证明结论； （2）先由三角形外角的性质求出，然后根据弧长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：平分，， ， ， 的长为． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，角平分线的性质，三角形外角的性质，弧长公式等知识，熟练掌握切线的判定和性质是解题关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）当时，的取值范围为________； （3）如图，轴正半轴上有一点，连接，求四边形的面积． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键， （1）把，两点坐标分别代入反比例函数，求出的值，再根据待定系数法即可求出直线的解析式； （2）根据，可知反比例函数的图像在一次函数的上方，根据图像即可解答； （3）由题意知点坐标为，即可知，，根据四边形的面积，即可求解． 【小问1详解】 解：把，两点坐标分别代入反比例函数，可得，， ∴， ． 把代入一次函数， 可得，解得， 直线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴，即反比例函数的图像在一次函数的上方， 又∵， ∴由图像可知或． 【小问3详解】 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵直线的解析式为， ∴点坐标为， ， ， ， 四边形的面积 ． 22. 无人机在实际生活中应用广泛．如图，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处测得大楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为，楼的高度为，从楼的A处测得楼的D处的仰角为．（点A、B、C、D、P在同一平面内） （1）求楼的高度； （2）求此时无人机距离地面的高度．（精确到1米，） 【答案】（1）楼的高度为60米 （2）无人机距离地面的高度约为97米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． （1）由题意可得，，在中，，结合可得出答案； （2）作交于点，交于点G，求出，可得，再根据可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点得矩形， 则，． 在中，，， ∴ ∴ ∴ ∴ 答：楼高度为60米； 【小问2详解】 解：如图，作交于点，交于点G， 则，， 依题意，知，， ， ∴， ∴， 在中，，． ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴． ∴无人机距离地面的高度约为97米． 23. 如图，在中，， ，点为边上的动点（点不与点，重合）.以点为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于，连接. （1）求证：； （2）当时（如图），求的长； （3）点在边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1）证明：， ， ， . . （2）； （3）点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得，此时. 【解析】 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明； （2）解直角三角形得到BC，由，推出得到，由，得到，即可求出AE； （3）点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得，过点作于点，过点作于点，于点， 则，由得到，推出，得到 ，再利用等腰三角形的性质求出CD的长即可求解. 【详解】（1）略 （2）过点作于点. 在中，设，则， 由勾股定理，得. ， ， ， . , . 又， . ， . . . ， . . （3）点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得. 过点作于点，过点作于点，于点， 则 四边形为矩形， ，. ， . 在中，由勾股定理，得. ，， ． , . . . . 当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形， 又， ， ， 所以，点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得，此时. 【点睛】此题主要考查四边形动点问题，解题的关键是熟知三角函数的应用、相似三角形的判定与性质. 24. 如图1， 我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”， 已知， ， ， 分别为“果圆”与坐标轴的交点， 与“果圆”中的抛物线 交于 ， 两点． （1）求“果圆”中的抛物线的解析式． （2）“果圆”上是否存在点 使？如果存在请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． （3）如图2， 为直线下方“果圆”上一点， 连接， ， ， 设与 交于点 ， 的面积记为 ， 的面积记为 ， 求 的最小值． 【答案】（1） （2）使,点坐标为或 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出点，坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式； （2）求出线段，进而得出，判断出满足条件的一个点和点重合，再利用抛物线的对称性求出另一个点． （3）先判断出要的最小值，只要最大即可，再求出直线解析式和抛物线解析式联立成的方程只有一个交点，求出直线解析式，即可求出，即可求解． 【小问1详解】 解：对于直线，交坐标轴 两点， ，， ∵抛物线过，两点， ∴， 解得：， 即， 【小问2详解】 解：如图2， 是半圆的直径， 半圆上除点，外任意一点，都有， 点只能在抛物线部分上， ，， ， ， ， ， 当时，点和点重合，即：， 由抛物线的对称性知，另一个点的坐标为， 即：使，点坐标为或． 【小问3详解】 如图3， ，， ， 过点作交轴于， 的边上的高和的边的高相等，设高为， ，， ， 的最小值，即最小， ， ， 当最大时，即最小，的最小值， 和果圆的抛物线部分只有一个交点时，最大， 直线的解析式为， 设直线的解析式为①， 抛物线的解析式为即②， 联立①②化简得，， ，抛物线和直线只有一个交点． 解得：， 直线的解析式为， 直线与轴交点坐标 ， ； 的最小值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，圆的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，抛物线的对称性，等腰三角形的判定和性质，判断出最大时，两三角形面积之比最小是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $