精品解析：贵州省贵阳市南明区2025年九年级数学一模义务教育质量提升检测试卷

南明区2025年义务教育质量提升检测试卷 九年级 数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25题，满分150分，考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效。 3．不能使用计算器． 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分． 1. 下列实数中，最小的是（ ） A 2025 B. 2024 C. D. 2. 2024年，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”非遗项目，列入联合国教科文组织的人类非物质文化遗产代表作名录．春节民间钧有剪窗花的习俗，人们用剪窗花来表达自己庆贺新春的欢乐心情．下面是某同学为首个非遗蛇年春节设计的四种窗花，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 南南在画板上画出两条不平行的直线，（如图①），他发现，如果利用平移变换就可以知道这两条直线所成的角的度数：将直线向左平移与直线交于一点（如图②），则直线，所成的锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若一元二次方程的一个根是，则另一个根是（ ） A. 4 B. 1 C. 0 D. 6. 多项式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．某校2025年迎新活动中，九年级（1）班5名同学参加投壶游戏体验传统民俗，每人有10支箭进行投壶，投进去的箭数分别为：6，8，5，9，7（单位：支），某同学求得这组数据的平均数为7支，则这组数据的方差是（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．如图是小孔成像原理的示意图，长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是，蜡烛到小孔的距离为，则像到小孔的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 在学习“用频率估计概率”这节课时，教材“读一读”环节介绍了“估计6个人中有2个人生肖相同的概率”的模拟试验，课后某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人生肖相同的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 200 500 1000 2000 3000 “有2个人生肖相同”的次数 24 53 126 259 522 780 “有2个人生肖相同”的频率 0．24 0．265 0．252 0．259 0．261 0．26 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人生肖相同”的概率（精确到0．01）大约是（ ） A. B. C. D. 10. 开窗通风是日常生活中保持室内空气流通的一种方法，图是平开窗的打开实物图，图是平开窗打开的效果图，此时，窗户打开了，窗户底边长是，则这扇窗户底边端点扫过区域的轨迹长（弧长）是（ ） A. B. C. D. 11. 小妍同学在翻阅《九章算术》时，看到这样一个问题：“今有二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”题目大意为：甲、乙两人各有钱若干，若乙将他所有钱给甲，则甲有钱50；若甲将他所有钱的给乙，则乙也有钱50，问甲、乙原本各有多少钱？ 为解决这个问题，小妍设甲原有钱，乙原有钱，可以得到方程组（ ） A. B. C. D. 12. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 化简的结果是________． 14. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点作的垂线交于点，连接．已知的周长是，则平行四边形的周长是________． 15. 如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为________． 16. 如图，在矩形中，点为边的中点，点在边上，连接，，两线段交于点，过点作交于点，若，，，则的长为________． 三、解答题：本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）请从以下个式子中，任选个式子进行减法运算： ，， ，， ， （2）解分式方程：． 18. 如果用眼不科学，坐姿不正确，就容易导致视力下降．经调查发现，近视眼镜的度数（度）与镜片的焦距（米）是反比例函数关系，图象如图所示： （1）写出这一函数表达式； （2）小妮原来佩戴200度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0．25米，求小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了多少度？ 19. 某市中考改革后，将地理、生物两个科目纳入等级考试，等级分为，，，四个等级．规定：这两科考试成绩均达到等级及以上可以报考省级示范性高中：两科考试成绩均达到等级及以上可以报考一般普通高中．某校为了解本届八年级学生地理、生物的成绩情况，组织了这两科目的模拟考试，并从八年级学生中随机抽取了名学生的两科考试成绩制作了如下的统计图．根据这些信息，解答下列问题： （1）被抽取的名学生中，某学生的生物模拟考试成绩为分，则该生的地理模拟考试成绩为________分； （2）根据历届成绩分析，地理成绩达分及以上能评定为等级及以上，生物成绩达分及以上能评定为等级及以上．该校本届八年级共有学生人，请估计该校能报考省级示范性高中的学生人数； （3）小沐同学在本次模拟考试中两科成绩均高于分，爸爸想奖励带她去看两场电影，但是目前只有四部电影上映（依次记为，，，），于是爸爸将四张完全相同卡片分别写上，，，，背面朝上洗匀放好，要求小沐从中随机抽取两张卡片．请用列表或画树状图的方法，求小沐抽到的两张卡片恰好是和的概率． 20. 如图，在四边形中，，点，点分别在边，上，连接，，若，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的面积． 21. 每年的4月23日是“世界读书日”，某校为了让学生学会读书，爱上读书，准备购进一批心理学书籍和科技类书籍放在学校和班级的图书馆及图书角里，其中购买3本心理学书籍和4本科技类书籍共需240元，购买6本心理学书籍和5本科技类书籍共需390元． （1）求心理学书籍和科技类书籍的单价各是多少元？ （2）若该校想要购进心理学书籍和科技类书籍共80本，要求心理学书籍不低于50本，设购买心理学书籍本，付款金额为元，请求出与的表达式，并求当为多少本时，有最小值，最小值是多少元？ 22. 某学习小组成员对无人机烟花（如图①）的绽放高度非常感兴趣，开展了“测量无人机烟花绽放高度”的实践活动．如图②，已知一无人机烟花在A点绽放，测角仪在处测得无人机烟花绽放点A的仰角为，在处测得无人机烟花绽放点A的仰角为．点，在同一水平地面上，线段，钓与地面垂直，，． （参考数据：，，．） （1）过点A作于点，连接交于点，若，则________（用含的代数式表示）． （2）在（1）的条件下，求无人机烟花绽放点离地面的高度． 23. 等分圆是指将一个圆周均匀分割成多个相同长度的弧段，每个弧段对应的圆心角相等．小南学习了等分圆后，尝试着编了一道题：如图，已知的半径长为2，点，，，，，将六等分，连接，，，，发现恰好过圆心，过点作的垂线，交的延长线于点，连接． （1）________°； （2）在（1）的结论下，求的长； （3）求图中阴影部分的面积． 24. 如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，若点的坐标为，点是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限． （1）求二次函数的表达式； （2）连接，过点作轴于点，交线段于点，当点运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点的坐标和的最大值； （3）连接，，若关于轴的对称图形是，是否存在点，使得四边形为菱形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 25. （1）【试题改编】小聪同学将教材习题进行了如下改编：如图①，四边形是正方形，是一个等边三角形，连接，则________； （2）【深入探索】小悦同学接着小聪同学所编的题目继续进行改编：如图②，点在正方形内部，且是一个等边三角形，此时发现点恰好在上，提出问题：你能证明吗？ （3）【能力升华】老师看到小聪和小悦编的题后，非常高兴，稍作思考，也提出一个问题：在正方形中，点在正方形内部，且是一个等边三角形，以为边作等边三角形，连接，，，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南明区2025年义务教育质量提升检测试卷 九年级 数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25题，满分150分，考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效。 3．不能使用计算器． 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分． 1. 下列实数中，最小的是（ ） A 2025 B. 2024 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，掌握实数的大小比较方法成为解题的关键． 根据实数大小比较方法解答即可． 【详解】解：通过题意可知：． 该组数据中最小的实数为． 故选：C． 2. 2024年，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”非遗项目，列入联合国教科文组织的人类非物质文化遗产代表作名录．春节民间钧有剪窗花的习俗，人们用剪窗花来表达自己庆贺新春的欢乐心情．下面是某同学为首个非遗蛇年春节设计的四种窗花，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形的概念是解答本题的关键． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：选项A、C、D的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项B的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了去括号，去括号时，先把括号前面的系数的绝对值与括号内的每一项都相乘，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 南南在画板上画出两条不平行的直线，（如图①），他发现，如果利用平移变换就可以知道这两条直线所成的角的度数：将直线向左平移与直线交于一点（如图②），则直线，所成的锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是理解平移的概念．由平行线的性质得到，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，设直线，交于点， 根据题意，直线向左平移与直线交于一点， ， ， 直线，所成的锐角的度数为， 故选：B． 5. 若一元二次方程的一个根是，则另一个根是（ ） A. 4 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系可得，即可求解． 【详解】解：设另一个根是m， ∵一元二次方程的一个根是， ∴， ∴． 故选：D 6. 多项式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： 故选：D． 7. 投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．某校2025年迎新活动中，九年级（1）班5名同学参加投壶游戏体验传统民俗，每人有10支箭进行投壶，投进去的箭数分别为：6，8，5，9，7（单位：支），某同学求得这组数据的平均数为7支，则这组数据的方差是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差，熟练掌握方差公式是解题关键，根据方差的公式计算即可． 【详解】解：这组数据的方差为：． 故选：A． 8. 小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．如图是小孔成像原理的示意图，长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是，蜡烛到小孔的距离为，则像到小孔的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 设像到小孔的距离为，根据相似三角形的性质来求解. 【详解】解：设像到小孔的距离为， ∵ ∴， 长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是，蜡烛到小孔的距离为， ， ． 故选：B． 9. 在学习“用频率估计概率”这节课时，教材“读一读”环节介绍了“估计6个人中有2个人生肖相同的概率”的模拟试验，课后某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人生肖相同的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 200 500 1000 2000 3000 “有2个人生肖相同”的次数 24 53 126 259 522 780 “有2个人生肖相同”的频率 0．24 0．265 0．252 0．259 0．261 0．26 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人生肖相同”的概率（精确到0．01）大约是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，在大量重复试验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就是事件发生的概率成为解题的关键． 根据表格中的数据即可解答． 【详解】解：通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人生肖相同”的概率大约是． 故选C． 10. 开窗通风是日常生活中保持室内空气流通的一种方法，图是平开窗的打开实物图，图是平开窗打开的效果图，此时，窗户打开了，窗户底边长是，则这扇窗户底边端点扫过区域的轨迹长（弧长）是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，根据题意可知弧的半径是，所对的圆心角的度数是，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意可知，弧的半径是，所对的圆心角的度数是， 端点抛过区域的轨迹长是． 故选：C． 11. 小妍同学在翻阅《九章算术》时，看到这样一个问题：“今有二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”题目大意为：甲、乙两人各有钱若干，若乙将他所有钱的给甲，则甲有钱50；若甲将他所有钱的给乙，则乙也有钱50，问甲、乙原本各有多少钱？ 解决这个问题，小妍设甲原有钱，乙原有钱，可以得到方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，审清题意、弄清楚量之间的关系成为解题的关键． 设甲原有钱，乙原有钱，根据乙将他所有钱的给甲，则甲有钱50；若甲将他所有钱的给乙，则乙也有钱50列二元一次方程组即可解答． 【详解】解：设甲原有钱，乙原有钱， 由题意可得：． 故选C． 12. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识点，灵活运用数形结合思想是数形结合的思想． 先利用抛物线的对称轴求出n，得到抛物线解析式为，再计算出自变量为2和5对应的函数值，然后利用函数图象写出直线与抛物线在时有公共点时m的范围即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，； 当时，； 当直线与抛物线在时有公共点时，， 如图：关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，m的取值范围为． 故选C． 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 化简的结果是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简，根据平方差公式和约分的方法即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点作的垂线交于点，连接．已知的周长是，则平行四边形的周长是________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，垂直平分线的性质，根据题意得出为对角线的垂直平分线是解题的关键． 由平行四边形对角线互相平分和可知，由的周长是，即可推到出，即可解答． 【详解】解：在平行四边形中，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵的周长是， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴． 故答案为：18． 15. 如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握数形结合思想成为解题的关键．从函数图象的角度看，就是确定直线在上方部分对应x的取值范围即可该不等式的解集． 【详解】解：把代入，得：，解得：， ∴直线与直线交于点， 当时，则． 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，点为边的中点，点在边上，连接，，两线段交于点，过点作交于点，若，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、正切的定义、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键． 由矩形的性质以及中点的定义可得，即，进而得到；再根据正切的定义可得 、，再运用勾股定理得到；如图：过G作垂直于I，则，易得，设，则，再证，运用相似三角形的性质列比例式可得，即，则，易得、；在和中运用勾股定理可得①；同理可得：②；最后联立即可解答． 【详解】解：∵矩形ABCD， ∴，， ∵点F为边BC的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即，解得：， ∴， ∴ 如图：过G作垂直于I，则 ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴，， 如图：连接， 设，则， 在中，， 在中，， ∴①； 同理可得：②； ①②联立可得：，（已舍弃负值）． 故答案为：． 三、解答题：本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）请从以下个式子中，任选个式子进行减法运算： ，， ，， ， （2）解分式方程：． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的加减运算、解分式方程． 选，，个式子进行计算，根据算术平方根的定义、指数幂的意义、负指 数幂的意义整理算式可得：原式，再根据有理数的减法法则进行计算即可； 首先去分母把分式方程化为整式方程，可得：，解一元一次方程求出，再把代入原分式方程的最简公分母检验是否增根． 【详解】解：选，，， 则 （答案不唯一）； （2） 解：方程两边都乘以， 得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 经检验，是原方程的根． 18. 如果用眼不科学，坐姿不正确，就容易导致视力下降．经调查发现，近视眼镜的度数（度）与镜片的焦距（米）是反比例函数关系，图象如图所示： （1）写出这一函数表达式； （2）小妮原来佩戴200度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0．25米，求小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了多少度？ 【答案】（1） （2）200度 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用； （1）设函数表达式为，把，代入计算即可； （2）将代入解析式计算即可． 【小问1详解】 解：设函数表达式为， 把，代入上式，得， 故所求函数的表达式为． 【小问2详解】 解：将代入，得， （度）， 答：小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了200度． 19. 某市中考改革后，将地理、生物两个科目纳入等级考试，等级分为，，，四个等级．规定：这两科考试成绩均达到等级及以上可以报考省级示范性高中：两科考试成绩均达到等级及以上可以报考一般普通高中．某校为了解本届八年级学生地理、生物的成绩情况，组织了这两科目的模拟考试，并从八年级学生中随机抽取了名学生的两科考试成绩制作了如下的统计图．根据这些信息，解答下列问题： （1）被抽取的名学生中，某学生的生物模拟考试成绩为分，则该生的地理模拟考试成绩为________分； （2）根据历届成绩分析，地理成绩达分及以上能评定为等级及以上，生物成绩达分及以上能评定为等级及以上．该校本届八年级共有学生人，请估计该校能报考省级示范性高中的学生人数； （3）小沐同学在本次模拟考试中两科成绩均高于分，爸爸想奖励带她去看两场电影，但是目前只有四部电影上映（依次记为，，，），于是爸爸将四张完全相同的卡片分别写上，，，，背面朝上洗匀放好，要求小沐从中随机抽取两张卡片．请用列表或画树状图的方法，求小沐抽到的两张卡片恰好是和的概率． 【答案】（1） （2）人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据折线统计图可得答案； （2）根据折线统计图可得地理成绩达分及以上同时生物成绩达分及以上有人，用乘以，可得答案； （3）通过列表可得：一共有种等可能的结果，其中抽到两张卡片恰好是和的可能有种，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：由统计图可知，第4名同学的生物模拟考试成绩为分，则该生的地理模拟考试成绩为分， 故答案为：； 【小问2详解】 从八年级学生中随机抽取的名学生的两科考试成绩中，地理成绩达分及以上同时生物成绩达分及以上有人， ∴（人）， 答：该校能报考省级示范性高中的学生人数约为人； 【小问3详解】 列表如下： 第二张 第一张 一共有种等可能的结果，其中抽到两张卡片恰好是和的可能有种， ∴（两张卡片恰好是和）． 答：小沐抽到的两张卡片恰好是和的概率为． 【点睛】本题考查折线统计图，样本估计总体，列表法计算概率等知识点．解题的关键是掌握概率的计算公式：满足要求的结果数与一次试验的所有可能结果数之比． 20. 如图，在四边形中，，点，点分别在边，上，连接，，若，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边对等角，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据等边对等角和已知条件可证明，据此可证明，则可证明四边形是平行四边形，再证明，则，据此可证明结论； （2）根据矩形的性质推出，，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴． 21. 每年的4月23日是“世界读书日”，某校为了让学生学会读书，爱上读书，准备购进一批心理学书籍和科技类书籍放在学校和班级的图书馆及图书角里，其中购买3本心理学书籍和4本科技类书籍共需240元，购买6本心理学书籍和5本科技类书籍共需390元． （1）求心理学书籍和科技类书籍的单价各是多少元？ （2）若该校想要购进心理学书籍和科技类书籍共80本，要求心理学书籍不低于50本，设购买心理学书籍本，付款金额为元，请求出与的表达式，并求当为多少本时，有最小值，最小值是多少元？ 【答案】（1）心理学书籍的单价是40元，科技类书籍的单价是30元 （2），当本时，有最小值元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一次函数的应用，正确理解题意、列出方程组和一次函数关系式是关键． （1）设心理学书籍的单价是元，科技类书籍的单价是元，根据：购买3本心理学书籍和4本科技类书籍共需240元，购买6本心理学书籍和5本科技类书籍共需390元，即可得出方程组，解方程组即可； （2）根据付款金额=心理学书籍和科技类书籍的购买费用之和即可得出w与a的关系式，再利用一次函数的性质即可求得最小值． 【小问1详解】 解：设心理学书籍的单价是元，科技类书籍的单价是元， 根据题意，得 解这个方程组，得 答：心理学书籍的单价是40元，科技类书籍的单价是30元． 【小问2详解】 解：由题意得，， 即， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当本时，有最小值，（元）． 22. 某学习小组成员对无人机烟花（如图①）的绽放高度非常感兴趣，开展了“测量无人机烟花绽放高度”的实践活动．如图②，已知一无人机烟花在A点绽放，测角仪在处测得无人机烟花绽放点A的仰角为，在处测得无人机烟花绽放点A的仰角为．点，在同一水平地面上，线段，钓与地面垂直，，． （参考数据：，，．） （1）过点A作于点，连接交于点，若，则________（用含的代数式表示）． （2）在（1）的条件下，求无人机烟花绽放点离地面的高度． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解三角形的应用，理解题意、灵活利用相应的三角函数解决实际问题是解题关键． （1）根据题意利用正切函数求解即可； （2）根据题意得出，，，最后然后利用三角函数解直角三角形并列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：、， ∵在中，，, ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 故答案为：或. 【小问2详解】 解：由题意得：，，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴，解得:， ∴， ∴， 答：无人机烟花绽放点离地面高度为． 23. 等分圆是指将一个圆周均匀分割成多个相同长度的弧段，每个弧段对应的圆心角相等．小南学习了等分圆后，尝试着编了一道题：如图，已知的半径长为2，点，，，，，将六等分，连接，，，，发现恰好过圆心，过点作的垂线，交的延长线于点，连接． （1）________°； （2）在（1）的结论下，求的长； （3）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）90 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理的推论、等边三角形的判定和性质、勾股定理、扇形面积的计算等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． （1）根据等分弧的条件可得，即得，推出，根据可得，进而得到答案； （2）连接，易得是等边三角形，得到，得出，进而可求出，再根据勾股定理即可求出结果； （3）根据结合等边三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵点，，，，，将六等分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：90； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵被六等分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴在直角三角形中，， ∴直角三角形中，； 【小问3详解】 解：由（2）知： 是边长为2的等边三角形， ∴边上的高即为的长，等于， ∴， 在直角三角形中， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 24. 如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，若点的坐标为，点是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限． （1）求二次函数的表达式； （2）连接，过点作轴于点，交线段于点，当点运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点的坐标和的最大值； （3）连接，，若关于轴的对称图形是，是否存在点，使得四边形为菱形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点的坐标为时，的最大值为4 （3）存在，的坐标是 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，菱形的性质． （1）将，分别代入，得到二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设，由由，，可得直线的表达式为，设，得，即可求解； （3）由四边形菱形，得，，进而得，则，即可求解． 【小问1详解】 解：将，分别代入， 得， 解这个方程组，得， 所以二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：设， 由，，可得直线的表达式为， 设， ∴ ， 当时，， 故点的坐标为时，的最大值为4； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 如图，连接，交于点， 设点， 若四边形为菱形， 则，， ∴， ∴，即， 解得， ∵点在第一象限， 故当点的坐标是时，四边形为菱形． 25. （1）【试题改编】小聪同学将教材习题进行了如下改编：如图①，四边形是正方形，是一个等边三角形，连接，则________； （2）【深入探索】小悦同学接着小聪同学所编的题目继续进行改编：如图②，点在正方形内部，且是一个等边三角形，此时发现点恰好在上，提出问题：你能证明吗？ （3）【能力升华】老师看到小聪和小悦编的题后，非常高兴，稍作思考，也提出一个问题：在正方形中，点在正方形内部，且是一个等边三角形，以为边作等边三角形，连接，，，直接写出的值． 【答案】（1）15；（2）见解析；（3）1或 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识 ，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由正方形和等边三角形的性质可得是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质即可解答； （2）由已知、根据正方形和等边三角形的性质可得∶，从而在中，由勾股定理得，再根据线段的和差即可证明结论； （3）当点F在正方形的外部，由（2）知∶，过点A作于点H，在中，由边角关系可得、，则，在中，由勾股定理得，然后代入化简即可；若点F在正方形的内部，根据“等边对等角”和“三角形内角和等于”可得∶，从 而得到，根据“”可证，得到，根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”得是等边三角形，从而得到，然后代入化简即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， ∵是一个等边三角形， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴． （2）能证明，过程如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵等边， ∴， ∵等边， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理，得， ∴． （3）若点F在正方形的外部，由（2）知∶ ， 如图∶过点A作于点H，则， ， ∵四边形是正方形， ∴ ∵等边， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∴； 若点F在正方形的内部， ∵， ， ∵， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即． 综上所述， 的值为或1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$