精品解析：2025年安徽省蚌埠市五河县九年级中考三模数学试题

2025年九年级中考模拟卷 数学 注意事项： 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数中，为无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等数．由此即可判定选择项． 【详解】解：，0，都是有理数， 是无理数， 故选：C． 2. 下列计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法乘法、幂的乘方．据此分别对各选项进行计算求解，进而可得答案．解题的关键在于掌握正确的运算法则． 【详解】解：A、与不是同类项，则，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B． 3. 如图所示的组合几何体的三视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图画法．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示． 【详解】解：三视图如图所示： 故选：A． 4. 安徽省财政厅提前下达2025年中央和省级衔接推进乡村振兴补助资金75.2亿元．其中数据“75.2亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数据“75.2亿”用科学记数法表示为． 故选：B． 5. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握这些性质是解决本题的关键．首先根据平行线的性质，可求得，再根据三角形外角的性质即可求得． 【详解】解：，， ， ，， ， 故选：A． 6. 若关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解．先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围即可． 【详解】 解：去分母得：， 解得：， ∵方程的解是负数， 且， 解得：， 故选：C． 7. 如图，在正五边形中，为的切线，点A为切点，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和，切线的性质．首先利用多边形的内角和公式求得度数，再利用切线的性质的性质求得度数，据此求解即可． 【详解】解：在正五边形中，， 又∵为的切线，点A为切点， ∴， ∴． 故选：A． 8. 如图，电路图上有1个电源，4个开关和1个完好的小灯泡，随机闭合2个开关，则小灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：将左边两个开关记作A、B，右边两个开关记作C、D， 画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有8种情况， ∴小灯泡发光的概率为， 故选D． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率． 9. 如图是直线 （，，是常数且，，），则二次函数 和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，二次函数，反比例函数的图象和性质，熟练掌握其图象和性质，根据图形确定出、的正负情况是解题的关键．先根据一次函数图象确定出，，即可确定双曲线经过的象限，再根据抛物线对称轴位置进行判断，即可得解． 【详解】 直线的函数图象经过二、三、四象限， ，． ∴， ∴二次函数的对称轴，在轴的左侧，图象在二，四象限，只有A选项符合题意， 故选：A． 10. 如图，在腰长为6的等腰中，，，点D是内一点，连接，且，E是的中点，连接，，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短．取的中点，连接、，求出，证明，得出，即可得出，当点、、在同一直线上时，最小，为的长，即可得解． 【详解】解：如图，取的中点，连接、， 则， ∵在等腰中，，， ∴， ∵，E是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点、、在同一直线上时，最小，为的长，即， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同分母分式的加减．根据同分母分式的加减法计算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，正确掌握根的判别式公式，一元二次方程的定义是解题的关键．根据方程有两个不相等的实数根，结合判别式公式，得到一个关于的不等式，解之，根据一元二次方程的定义，得到，解之，取两个解集的公共部分即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得：， 由一元二次方程定义得， 解得：， 综上可知：且， 故答案为：且． 13. 图1是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．根据割圆八线图绘制出图2，在扇形中，，和都是的切线，切点分别为点A，B，交于点E，交于点D．若， ，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据切线的性质，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理可求出，再根据直角三角形的边角关系以及特殊锐角三角函数值求出，即可． 【详解】解： ， ， ， ， ∴， 是的切线，点是切点， ， 即， ， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ， 在中，，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及解直角三角形，掌握切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及解直角三角是正确解答的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，A，B为抛物线 上的两个动点，且，连接，过点O作于点C． （1）若点A的横坐标为，则点 B的坐标为___________； （2）在直线的运动过程中，点C到y轴的距离的最大值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】过作轴交于，过作轴交于，当时，可求，由等腰三角形的性质得，，设，可求，即可求解；过作交轴于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，设，，可求，由相似三角形的判定方法得，同理可求，可得，取的中点，连接，点的运动轨迹是以为圆心，的长为半径的圆，当轴时，到轴的距离最大，即可求解． 【详解】解：（1）如图，过作轴交于，过作轴交于， 当时， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， 解得：，（舍去）， ， （2）根据对称性，不妨设，不影响结果， 如图，过作交轴于，交于点G， ， ∴四边形是矩形， ∵与y轴平行， ， ， 设，，， ，，，，， ，， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， 取的中点，连接， ， 点的运动轨迹是以为圆心，的长为半径的圆， 当轴时，到轴的距离最大， 此时最大距离为； 故答案为：，． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，相似三角形的判定及性质，圆的定义等；能熟练构建相似三角形进行求解，并能找出动点的运动轨迹是解题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式组：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据确定不等式组解集的方法“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”得出答案． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组的解集是． 16. 2025年3月14日是第六个“国际数学日”，某校数学兴趣小组举行了一次数学知识竞赛，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．已知每支钢笔的售价比自动铅笔贵，且购买10支自动铅笔和5支钢笔共花费90元．求每支自动铅笔和钢笔的售价分别为多少元． 【答案】每支自动铅笔的售价为元，则每支钢笔的售价为元． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设每支自动铅笔的售价为元，则每支钢笔的售价为元，根据题意列一元一次方程，据此求解即可． 【详解】解：设每支自动铅笔的售价为元，则每支钢笔的售价为元， 根据题意得 ， 解得， ， 答：每支自动铅笔的售价为元，则每支钢笔的售价为元． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知网格点O，的顶点都在网格点上，按要求解决下列问题： （1）将向右平移7个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，画出； （2）已知与关于点 O 中心对称，画出； （3）连接，利用网格点和无刻度的直尺画出的垂直平分线． 【答案】（1） 如图，即为所作； （2） 如图，即为所作； （3） 如图，直线即为所作； 【解析】 【分析】本题主要考查了平移变换及中心对称变换，正确得出对应点的位置是解题的关键． （1）直接利用平移的性质得出对应点的位置，进而得出答案； （2）直接利用中心对称的性质得出对应点的位置，进而得出答案； （3）利用正方形的性质找到格点和，直线即为所作． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 【观察思考】 【规律发现】 用含的代数式填空： （1）第个图案中， “△”有 个； （2）第个图案中， “◯”有个；第个图案中， “○”有个；第个图案中， “◯”有个；，第个图案中， “○”有 个； 【规律应用】 （3）第个图案中，若“△”和“○”的数量之和为，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，熟练根据题意得出图形的规律是解题的关键． （1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解． （3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）第个图案中有个“△”， 第个图案中有个“△”， 第个图案中有个“△”， 第个图案中有个“△”， ， ∴第个图案中有个“△”， 故答案为：； （2）第个图案中， “○”有个， 第个图案中， “○”有个， 第个图案中， “○”有个， ， 第个图案中， “○”有， 故答案为：； （3）由（1）（2）得：第个图案中，“△”和“○”的数量之和为：， 则， 即， 解得：或（舍去，不符合题意）， 故． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在海平面上，C和D是相距海里的两处灯塔，灯塔C位于灯塔D 西北方向．某一时刻，一艘渔船位于点A处，测得点A位于灯塔C 的北偏西方向，该渔船沿着正东方向行驶一段时间到达点B处，此时渔船位于灯塔D的北偏东方向，灯塔C的东北方向，求该渔船行驶的距离（线段的长）．（结果保留整数，参考数据：） 【答案】该渔船行驶的距离（线段的长）为海里． 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，如图，过作于，过作于，由题意可得：，，，，，可得，，，再依次解直角三角形即可． 【详解】解：如图，过作于，过作于， ， 由题意可得：，，，，， ，，， 在中，，， ， 在中，， 在中，， 在中，， ， ； 该渔船行驶的距离（线段的长）为海里． 20. 在中，是直径，是的切线，C是切点，E，F分别是和上的点，且于点D，连接． （1）如图1，当点 D与点O重合时，若，求证：是等边三角形； （2）如图2，连接，与交于点G．若，，，求的长． 【答案】（1） 解：是的切线， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，即，因为，所以，所以，因为，，所以，即，进一步可得结论． （2）过点作于点，故，因为，，所以，即，可得四边形是矩形，所以，即． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ∴． ∵，， ∴， ， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质、圆周角定理、矩形的性质和判定等知识；掌握切线的判定与性质、圆周角定理、矩形的性质和判定是解决本题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 为营造健康向上的校园足球文化氛围，丰富学生课余体育文化生活、激发学生对足球的兴趣，增强学生体质，某校举行足球运动员选拔赛，报名参加选拔赛的学生需要参加米折返跑、传准、运射、比赛四项指标的考核，每项满分为100分，确定各项得分后再按照下面表格的比例计算出每人的总成绩． 类别 专项素质 专项技术 实战能力 考核指标 米折返跑 传准 运射 比赛 比例 全校共有300名学生参加这次选拔赛．校学生会从中随机抽取名学生的最终比赛成绩进行了分析，把总成绩（满分100分，所有成绩均不低于60分）分成四个等级（D：；C：；B：；A：），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）请补全频数分布直方图； （3）参赛同学小祺四项考核指标米折返跑、传准、运射、比赛成绩分别为90分，85分，95分，80分，请你计算出他的总成绩； （4）该校计划从报名的300名同学中按比赛成绩从高到低选拔48名足球运动员，请你通过计算估计小祺能否入选． 【答案】（1）150；36 （2） 补全频数分布直方图如图所示； （3）小祺同学的总成绩是86分； （4） 解：在分的人数有：（人）， 答：小祺同学86分的总成绩不能入选． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图、用样本评估总体： （1）根据B等级的人数和占比，可求得样本容量，再根据C等级的人数即可求得的值； （2）求得A等级的人数，可补全频数分布直方图； （3）利用加权平均数的计算方法即可求解； （3）利用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：（人）， ， ∴， 故答案为：150；36； 【小问2详解】 解：A等级的人数有（人）； 【小问3详解】 解：小祺同学的总成绩是（分）； 【小问4详解】 略 七、（本题满分12分） 22. 将矩形绕点C按顺时针方向旋转，得到矩形． （1）如图1，若 点E落在上，求的度数； （2）连接，，过点E作交于点M． 如图2，证明：； 如图3，若射线分别交，于点P，N，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） ①证明：如图，连接， 由矩形与旋转可得：，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ； ②关系式为，证明如下： 如图，连接， 在≌中， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ，， ∴， ， ， 【解析】 【分析】（1）如图，过作于，证明四边形为矩形，求解，证明，即可解答． （2）①连接BE，证明，得到，即可证得．②连接，证明，，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，过作于，四边形为矩形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 矩形绕点A顺时针旋转得到矩形， ∴， ∵， ∴，， ， ， ， 矩形， ， ． ∴ 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，掌握这些性质定理是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，抛物线 与x轴交于点A和点B，点D是抛物线的顶点，是抛物线的对称轴且交x轴于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P 是抛物线上一点，且位于点 A和点D之间（不含点A，D）． 如图2，连接，，，求四边形的面积的最大值； 如图3，连接交于点Q，连接交于点E，求的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，解方程组即可得到答案； （2）①求出点B的坐标是，则，过点P作轴，交线段于点Q，求出点的 D的坐标是，得到，可得，求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，则，得到，得到四边形面积，由，即可得答案； ②设点P的坐标为，求出直线的解析式为，求出，则，求出直线的解析式为，则点E的坐标是，求出，即可求出定值． 【小问1详解】 解：把点代入得到，① ∵是抛物线的对称轴且交x轴于点． ∴，② 联立①②得， 解得 ∴抛物线的解析式为： 【小问2详解】 解：①∵， 当时，， 当时，，解得，， ∴点B的坐标是， ∴， 连接，过点P作轴，交线段于点Q， ∵ ∴顶点D的坐标是， ∴ ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为， ∴， ∴， ∴四边形面积， ∵点P是抛物线上一点且位于点A和点D之间． ∴， ∴当时，有最大值，最大值为9； ②设点P的坐标为，如图， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∴ ∴， 设的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点E的坐标是， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了二次函数综合题，二次函数与面积，二次函数与线段和，还考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，难度较大，数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级中考模拟卷 数学 注意事项： 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数中，为无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 下列计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的组合几何体的三视图是（ ） A. B. C. D. 4. 安徽省财政厅提前下达2025年中央和省级衔接推进乡村振兴补助资金75.2亿元．其中数据“75.2亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 7. 如图，在正五边形中，为的切线，点A为切点，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，电路图上有1个电源，4个开关和1个完好的小灯泡，随机闭合2个开关，则小灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图是直线 （，，是常数且，，），则二次函数 和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在腰长为6的等腰中，，，点D是内一点，连接，且，E是的中点，连接，，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：________． 12. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________． 13. 图1是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．根据割圆八线图绘制出图2，在扇形中，，和都是的切线，切点分别为点A，B，交于点E，交于点D．若， ，则的长为___________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，A，B为抛物线 上的两个动点，且，连接，过点O作于点C． （1）若点A的横坐标为，则点 B的坐标为___________； （2）在直线的运动过程中，点C到y轴的距离的最大值为__________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式组：． 16. 2025年3月14日是第六个“国际数学日”，某校数学兴趣小组举行了一次数学知识竞赛，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．已知每支钢笔的售价比自动铅笔贵，且购买10支自动铅笔和5支钢笔共花费90元．求每支自动铅笔和钢笔的售价分别为多少元． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知网格点O，的顶点都在网格点上，按要求解决下列问题： （1）将向右平移7个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，画出； （2）已知与关于点 O 中心对称，画出； （3）连接，利用网格点和无刻度的直尺画出的垂直平分线． 18. 【观察思考】 【规律发现】 用含的代数式填空： （1）第个图案中， “△”有 个； （2）第个图案中， “◯”有个；第个图案中， “○”有个；第个图案中， “◯”有个；，第个图案中， “○”有 个； 【规律应用】 （3）第个图案中，若“△”和“○”的数量之和为，求的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在海平面上，C和D是相距海里的两处灯塔，灯塔C位于灯塔D 西北方向．某一时刻，一艘渔船位于点A处，测得点A位于灯塔C 的北偏西方向，该渔船沿着正东方向行驶一段时间到达点B处，此时渔船位于灯塔D的北偏东方向，灯塔C的东北方向，求该渔船行驶的距离（线段的长）．（结果保留整数，参考数据：） 20. 在中，是直径，是的切线，C是切点，E，F分别是和上的点，且于点D，连接． （1）如图1，当点 D与点O重合时，若，求证：是等边三角形； （2）如图2，连接，与交于点G．若，，，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 为营造健康向上的校园足球文化氛围，丰富学生课余体育文化生活、激发学生对足球的兴趣，增强学生体质，某校举行足球运动员选拔赛，报名参加选拔赛的学生需要参加米折返跑、传准、运射、比赛四项指标的考核，每项满分为100分，确定各项得分后再按照下面表格的比例计算出每人的总成绩． 类别 专项素质 专项技术 实战能力 考核指标 米折返跑 传准 运射 比赛 比例 全校共有300名学生参加这次选拔赛．校学生会从中随机抽取名学生的最终比赛成绩进行了分析，把总成绩（满分100分，所有成绩均不低于60分）分成四个等级（D：；C：；B：；A：），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）请补全频数分布直方图； （3）参赛同学小祺四项考核指标米折返跑、传准、运射、比赛成绩分别为90分，85分，95分，80分，请你计算出他的总成绩； （4）该校计划从报名的300名同学中按比赛成绩从高到低选拔48名足球运动员，请你通过计算估计小祺能否入选． 七、（本题满分12分） 22. 将矩形绕点C按顺时针方向旋转，得到矩形． （1）如图1，若 点E落在上，求的度数； （2）连接，，过点E作交于点M． 如图2，证明：； 如图3，若射线分别交，于点P，N，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，抛物线 与x轴交于点A和点B，点D是抛物线的顶点，是抛物线的对称轴且交x轴于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P 是抛物线上一点，且位于点 A和点D之间（不含点A，D）． 如图2，连接，，，求四边形的面积的最大值； 如图3，连接交于点Q，连接交于点E，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $