精品解析：贵州省黔南州2025年九年级中考二模考试数学试题

黔南州2025年初中学业水平模拟考试（二） 数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用科学计算器． 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分． 1. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列立体图形中，俯视图是三角形的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，数轴上点表示的数是（　　） A. B. C. D. 4. 如图是小星探索两直线平行的条件时所用的学具，木条，，在同一平面内，经测量，要使木条，则的度数应为（ ） A. B. C. D. 5. 将式子因式分解的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 一只小鸟自由自在地在空中飞行，然后随意落在图中某个方格内（每个方格除颜色外完全一样），小鸟停在阴影方格内的概率是（ ） A. B. C. D. 1 7. 如图，点C为直线上一个定点，点D为直线上一个动点，直线外有一点P，，当最短时，则的长是（ ） A B. 2 C. D. 4 8. 计算的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 9. 如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（ ） A. AB平分∠CAD B. CD平分∠ACB C. AB⊥CD D. AB=CD 10. 一辆小车从甲地匀速行驶到乙地，到达乙地后按原来的速度返回，若x表示行驶的时间，y表示小车与甲地的距离．则下列图象能反映y与x的函数关系的是（　　） A. B. C. D. 11. 如图，矩形的周长为20，对角线，相交于点，为的中点，连接，，则的周长是（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 12. 已知反比例函数的图象与直线交于点，．若，，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 计算：3a+2a=___ 14. 某鱼塘养了400条鲤鱼、若干条草鱼和200条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在左右，若该鱼塘主在鱼塘中随机捕捞一条鱼，则捕捞到鲤鱼的概率约为________． 15. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是________．（写出一个即可） 16. 如图，在中，，，．点在直线右侧，且，连接，当线段的值最大时，则的长为________． 三、解答题：本大题共9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）解不等式组，并将解集表示在数轴上； （2）三个二元一次方程，，．请在这三个方程中任选两个方程，组成一个二元一次方程组，并解该方程组． 18. 五一假期，小红与家人计划一同前往榕江观看“村超”，为了选择一个最合适的酒店，小红对甲、乙、丙三个酒店进行了调查与评估．她依据实际需要，从安全保障、价格、地理位置和住宿条件四项对每个酒店评分（10分制）．三个酒店的得分如表所示： 酒店 安全保障 价格 地理位置 住宿条件 甲 7 7 9 8 乙 8 6 7 9 丙 7 7 7 8 （1）如果小红认为四项同等重要，按比确定最终得分，通过计算回答：小红会选择哪家酒店； （2）若四项得分所占百分比如扇形统计图所示，通过计算回答：小红会选择哪家酒店； （3）如果你是小红，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的百分比，选择最合适的酒店，并说明理由． 19. 如图，在中，过点作，垂足为，为上一点，且，过点作，垂足为． （1）求证：； （2）若，，，求五边形的面积． 20. 模具厂计划生产面积为4，周长为矩形模具．对于的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： 建立函数模型 设矩形相邻两边的长分别为，，由矩形的面积为4，得，即；由周长为，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第一象限内交点的坐标． 画出函数图象 （1）函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．请在同一平面直角坐标系中直接画出直线． 观察函数图象 （2）平移直线，在直线平移的过程中，交点个数有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围． 得出结论 （3）若能生产出面积为4的矩形模具，则周长的取值范围为________． 21. 小星、小红在一栋大楼前游玩，小星在点处，小红在点处，同时看对面楼的楼顶点，小星与小红的仰角分别为，，已知楼高，小星眼睛到地面的高度，小红眼睛到地面的高度．求此时小星与小红之间的距离的长．（，，，在同一平面内，，，在同一直线上）．（参考数据：，，，，结果保留整数） 22. 如图①，某社区计划制作一幅长的室外宣传画，实际制作时社区将长度增加了，高度不变，完成后宣传画面积从增加到． （1）求出的值； （2）宣传画制作完成后，为了美观和耐用，社区准备了100元为宣传画上、下两边添加宽度相等的金属边框，如图②，金属边框单价为30元，则金属边框的宽最多是多少米？（结果精确到） 23. 如图，在中，，，以为直径的交于点，连接，点在上，连接，过点作，交于点． （1）求证：为的中点； （2）求证：； （3）延长，交于点，若，，求的半径． 24. 近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为2米，且点和点的水平距离为6米． （1）按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； （2）现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； （3）为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图③所示，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．求出第二段钢架长度的最大值． 25. 在矩形中，是射线上的一点，过点作分别交直线，于点，，且． 备用图 （1）【问题解决】 如图①，若点在线段上，求证：四边形是正方形； 图① （2）【深入探究】 在（1）的条件下，若，，求的长； （3）【拓展迁移】 过点作交直线于点，直线，相交于点，根据题意画出图形，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 黔南州2025年初中学业水平模拟考试（二） 数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用科学计算器． 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分． 1. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，解题的关键是掌握有理数的加法法则．根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 2. 下列立体图形中，俯视图是三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图． 【详解】解：A、立方体的俯视图是正方形，故此选项错误； B、圆柱体的俯视图是圆，故此选项错误； C、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项正确； D、圆锥体的俯视图是圆，故此选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 3. 如图，数轴上点表示的数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴的定义判断数轴上实数的大小． 【详解】实数与数轴上的点是一一对应的，点在的位置，故选C． 【点睛】本题考查数轴的知识，要理解实数与数轴上的点是一一对应的． 4. 如图是小星探索两直线平行的条件时所用的学具，木条，，在同一平面内，经测量，要使木条，则的度数应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同位角相等，两直线平行．根据同位角相等，两直线平行求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 当时，木条a与b平行， 故选：B． 5. 将式子因式分解的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了公式法分解因式，正确掌握公式是解题的关键．运用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ，故C正确． 故选：C． 6. 一只小鸟自由自在地在空中飞行，然后随意落在图中的某个方格内（每个方格除颜色外完全一样），小鸟停在阴影方格内的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比，掌握几何概率的公式是解决问题的关键． 确定阴影方格的面积在整个方格中占的比例，根据这个比例即可求出小鸟停在阴影方格中的概率． 【详解】解：图上共有4个方格，阴影方格为1个， ∴小鸟停在阴影方格内的概率是． 故选：A． 7. 如图，点C为直线上一个定点，点D为直线上一个动点，直线外有一点P，，当最短时，则的长是（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，垂线段最短，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 根据垂线段最短可得：当时，最短，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 详解】解：当时，最短， 在中，， ， 故选：B． 8. 计算的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的减法运算：同分母相减，分母不变，分子相减，据此进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：C． 9. 如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（ ） A. AB平分∠CAD B. CD平分∠ACB C. AB⊥CD D. AB=CD 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图判断出四边形ACBD是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案 【详解】解：由作图知AC=AD=BC=BD， ∴四边形ACBD是菱形， ∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD， 不能判断AB=CD， 故选：D． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图、菱形的判定方法等，解题的关键是掌握菱形的判定与性质． 10. 一辆小车从甲地匀速行驶到乙地，到达乙地后按原来的速度返回，若x表示行驶的时间，y表示小车与甲地的距离．则下列图象能反映y与x的函数关系的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数的图象．根据题意可以得到各段内y随x的变化情况，从而可以得到哪个选项是正确的． 【详解】解：从甲地匀速行驶到乙地，y随x 的增大而增大；到达乙地后按原来的速度返回，y随x的增大而减小． 故选：A． 11. 如图，矩形的周长为20，对角线，相交于点，为的中点，连接，，则的周长是（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，中位线的判定与性质，先由矩形的性质得，，再结合为的中点，得是的中位线，即，即可求出的周长． 【详解】解：∵矩形的周长为20， ∴，，， ∵为的中点， ∴，是的中位线， ∴， 则的周长是， 故选：B 12. 已知反比例函数的图象与直线交于点，．若，，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数与反比例函数的图像与性质，同时考查了一元二次方程的根与系数的关系，不等式的性质，掌握以上知识是解题的关键． 由题意得： ，且，则，那么，结合，可得，由，可得，结合，可得，从而可得答案． 【详解】由题意得： ，且 两函数的交点为：，． 当时，， 且， ． 故选：C． 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 计算：3a+2a=___ 【答案】5a 【解析】 【分析】根据合并同类项的法则进行解答即可． 【详解】解：原式=（3+2）a=5a． 故答案为5a． 【点睛】本题考查的是合并同类项的法则，即把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． 14. 某鱼塘养了400条鲤鱼、若干条草鱼和200条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在左右，若该鱼塘主在鱼塘中随机捕捞一条鱼，则捕捞到鲤鱼的概率约为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用频率和概率，解题的关键是明确题意，由草鱼的数量和出现的频率可以计算出鱼的数量． 根据捕捞到草鱼的频率估计其概率，进而估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到鲤鱼的概率． 【详解】解：∵捕捞到草鱼的频率稳定在左右， 设草鱼的条数为，可得：； 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴由题意可得，捞到鲤鱼的概率为， 故答案为：． 15. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是________．（写出一个即可） 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求出的取值范围，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意得：此一元二次方程根的判别式， 解得或， 则的值可以是3， 故答案为：3（答案不唯一）． 16. 如图，在中，，，．点在直线的右侧，且，连接，当线段的值最大时，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先解直角三角形求出，然后由得到点D在以为弦，圆周角为的圆上运动，点O为圆心，当为圆的直径时，线段的值最大，延长到点E，连接，，然后求出点A，B，E三点共线，且四边形是矩形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴如图所示，点D在以为弦，圆周角为的圆上运动，点O为圆心 ∴如图所示，当为圆的直径时，线段的值最大，延长到点E，连接， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵，为圆的直径 ∴ ∴点A，B，E三点共线，且四边形是矩形 ∵ ∴， ∴ ∴ ∴当线段的值最大时，则的长为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆周角定理，解直角三角形，矩形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题：本大题共9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）解不等式组，并将解集表示在数轴上； （2）三个二元一次方程，，．请在这三个方程中任选两个方程，组成一个二元一次方程组，并解该方程组． 【答案】（1）；数轴表示见解析；（2）选方程和组成的方程组解集为；选方程和组成的方程组解集为；选方程和组成的方程组解集为； 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后在数轴上表示即可； （2）分别组成方程组，然后利用加减消元法和代入消元法求解即可． 【详解】解：（1） 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以，不等式组的解集为 将解集表示在数轴上如图所示． （2）选方程和组成的方程组为： ，得， 解得， 将代入， 解得得 方程组的解为； 选方程和组成的方程组为： 将②代入①，得， 解得， 将代入， 方程组的解为； 选方程和组成的方程组为： 将②代入①，得， 解得， 将代入， 方程组的解为． 18. 五一假期，小红与家人计划一同前往榕江观看“村超”，为了选择一个最合适的酒店，小红对甲、乙、丙三个酒店进行了调查与评估．她依据实际需要，从安全保障、价格、地理位置和住宿条件四项对每个酒店评分（10分制）．三个酒店的得分如表所示： 酒店 安全保障 价格 地理位置 住宿条件 甲 7 7 9 8 乙 8 6 7 9 丙 7 7 7 8 （1）如果小红认为四项同等重要，按的比确定最终得分，通过计算回答：小红会选择哪家酒店； （2）若四项得分所占百分比如扇形统计图所示，通过计算回答：小红会选择哪家酒店； （3）如果你是小红，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的百分比，选择最合适的酒店，并说明理由． 【答案】（1）小红会选择酒店甲 （2）小红会选择酒店乙 （3）小红选择酒店甲，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键． （1）根据加权平均数的计算方法分别求出甲、乙、丙三个酒店的综合得分即可； （2）根据加权平均数的计算方法分别求出甲、乙、丙三个酒店的综合得分即可； （3）给定安全保障、价格、地理位置和住宿条件所占的百分比，根据加权平均数的计算方法分别求出甲、乙、丙三个酒店的综合得分即可． 【小问1详解】 解： 四项同等重要， 酒店甲得分为：， 酒店乙得分为：， 酒店丙得分为：． ， 小红会选择酒店甲． 【小问2详解】 解：酒店甲得分为：， 酒店乙得分为：， 酒店丙得分为：． ， 小红会选择酒店乙． 【小问3详解】 解：如：将安全保障、价格、地理位置和住宿条件四项得分的百分比分别定为，，，，小红认为最重要的是安全保障和住宿条件，其次是地理位置，最后才考虑价格． 酒店甲得分为：， 酒店乙得分为：， 酒店丙得分为：． ， 小红选择酒店甲． 19. 如图，在中，过点作，垂足为，为上一点，且，过点作，垂足为． （1）求证：； （2）若，，，求五边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，再进一步利用证明即可； （2）由勾股定理求解，可得，再利用割补法求解五边形的面积即可. 【小问1详解】 证明：在中，． ，， ． 在和中， ，，， ． 【小问2详解】 解：在中，，，， ． 由（1）知， ． 又四边形是平行四边形， ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，平行四边形的性质；熟记平行四边形的性质是解本题的关键. 20. 模具厂计划生产面积为4，周长为的矩形模具．对于的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： 建立函数模型 设矩形相邻两边的长分别为，，由矩形的面积为4，得，即；由周长为，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第一象限内交点的坐标． 画出函数图象 （1）函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．请在同一平面直角坐标系中直接画出直线． 观察函数图象 （2）平移直线，在直线平移的过程中，交点个数有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围． 得出结论 （3）若能生产出面积为4的矩形模具，则周长的取值范围为________． 【答案】（1）见解析；（2）0个交点时，；1个交点时，；2个交点时，；（3） 【解析】 【分析】本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、一元二次方程、函数平移等知识点，此类探究题，通常按照题设条件逐次求解，一般难度不大． （1）直接画出图象即可； （2）①把点代入即可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，联立和并整理得：，即可求解； （3）运用（2）的相关结论即可． 【详解】解：（1）图象如下所示： （2）在直线平移的过程中，交点个数有0个、1个、2个三种情况， 联立和并整理得． ， 0个交点时，即；即1个交点时，；2个交点时，，． （3）由（2）得：． 21. 小星、小红在一栋大楼前游玩，小星在点处，小红在点处，同时看对面楼的楼顶点，小星与小红的仰角分别为，，已知楼高，小星眼睛到地面的高度，小红眼睛到地面的高度．求此时小星与小红之间的距离的长．（，，，在同一平面内，，，在同一直线上）．（参考数据：，，，，结果保留整数） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数定义，是解题关键．分别过点，作，垂足为，，垂足为根据，得出，求出．根据，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：如图，分别过点，作，垂足为，，垂足为． 则四边形和四边形均为矩形， ，，，， 在中，， ． ， ， ． 在中，， ． ， ， ， ． 22. 如图①，某社区计划制作一幅长的室外宣传画，实际制作时社区将长度增加了，高度不变，完成后宣传画面积从增加到． （1）求出值； （2）宣传画制作完成后，为了美观和耐用，社区准备了100元为宣传画上、下两边添加宽度相等的金属边框，如图②，金属边框单价为30元，则金属边框的宽最多是多少米？（结果精确到） 【答案】（1）5 （2）金属边框的宽最多为． 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式的应用，分式方程的应用； （1）由图形的宽不变，可得方程，再解方程即可； （2）由金属边框的面积乘以单价不多于100元，再建立不等式求解即可. 【小问1详解】 解：根据题意，列方程得， 解得． 经检验，是原方程的根． 所以的值为5． 【小问2详解】 解：设金属边框的宽为． 根据题意，列不等式得， 解得：． 要求边框的宽最多，结果精确到， 取． 答：金属边框的宽最多为． 23. 如图，在中，，，以为直径交于点，连接，点在上，连接，过点作，交于点． （1）求证：为的中点； （2）求证：； （3）延长，交于点，若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，，，可得，可得，同理可得，进一步可得结论． （2）证明，再证明，即可得到结论； （3）如图，延长，交于点，连接，求解，证明，可得，证明，可得，进一步可得答案． 【小问1详解】 证明：在中，，， ． 是的直径， ，． 在中，，， ，． ∴， ，同理可得． ， 为的中点． 【小问2详解】 证明：， ． ，． ． 在和中，，，， ， ． 【小问3详解】 解：如图，延长，交于点，连接． ， ． ． 在中，， ． 在和中， ，， ， ． ． ，， ． 在和中， ，， ， ， ， ，即的半径为． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟练的确定全等三角形与相似三角形是解本题的关键. 24. 近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为2米，且点和点的水平距离为6米． （1）按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； （2）现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； （3）为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图③所示，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．求出第二段钢架长度的最大值． 【答案】（1） （2）这辆观光车不可以完全停进遮阳棚正下方 （3）钢架长度的最大值是米 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的应用；二次函数的性质； （1）结合题意设抛物线的函数解析式为，代入点的坐标为，即可得到答案； （2）将代入中，可得，再进一步求解即可； （3）先直线的函数解析式为．结合抛物线为，设点的坐标为．可得点的坐标为，再建立二次函数求解即可． 【小问1详解】 解：由题可得：抛物线的顶点的坐标为． 设与的函数解析式为， 抛物线的函数解析式为． 点的坐标为， 将点代入函数解析式中，得，解得． 抛物线的函数解析式为． 【小问2详解】 解：根据题意：设点的坐标为， 将代入中， 得：， 解得：（舍去），． ， 这辆观光车不可以完全停进遮阳棚正下方． 【小问3详解】 解：设直线的函数解析式为． 将点代入中， 得， 直线的函数解析式为． 抛物线的一般式为， 且是抛物线上的点， 设点的坐标为． ∵轴，点的横坐标为，点在上， 点的坐标为， ． 当时，取最大值，最大值为． 钢架长度的最大值是米． 25. 在矩形中，是射线上的一点，过点作分别交直线，于点，，且． 备用图 （1）【问题解决】 如图①，若点在线段上，求证：四边形是正方形； 图① （2）【深入探究】 在（1）的条件下，若，，求的长； （3）拓展迁移】 过点作交直线于点，直线，相交于点，根据题意画出图形，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或；见解析 【解析】 分析】（1）根据题意证明出，得到，即可证明； （2）证明出，得到，求出，勾股定理求出，同理得到； （3）根据题意分两种情况讨论：当点在线段上时，当点在的延长线上时，然后分别根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：如图①， 　　　　　图① 四边形是矩形， ， ． ， ， ． ， ， ， 四边形是正方形． 【小问2详解】 解：同（1）可得，， ， ， ， ． 在中，． 同理，． ； 【小问3详解】 解：第一种情况：如图，当点在线段上时， ， ， ． ， ． 由（1）知，此时四边形是正方形， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ，． ， 是等腰直角三角形， ， ． 第二种情况：如图，当点在的延长线上时， ， ， ． ， ． 由（1）同理可得四边形是正方形， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ，． ， 是等腰直角三角形， ， ． 【点睛】此题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$