精品解析：2025年山东省泰安市岱岳区中考二模数学试题

九年级第二学期 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个数中，最小数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2. 中国空间站（又称天宫空间站）是中华人民共和国建成的国家级太空实验室，其轨道高度设定在约425 000米，设定寿命为10年，可以长期驻留3人，最大可扩展为180吨级六舱组合体，以进行较大规模的空间应用．将数据425 000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 图1是某校运动会颁奖时的场景，图2是领奖台的示意图，则此领奖台的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，长方形的边，分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，点D，E分别在，边上．若，沿直线将翻折，点B落在点处，此时轴，则点的坐标为（） A. B. C. D. 7. “泰山”“沂蒙山”“曲阜三孔”和“青岛崂山”是山东省排名靠前的旅游景点，若明侠从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“沂蒙山”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 点是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点，则的度数为（ ） A B. C. D. 9. 如图，在中，为锐角，点在边上，连接，且．是边的中点，连接，对角线分别与相交于点．则下列结论： ①点是的中点；②；③；④． 其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下： 现有甲、乙两种类型的客车，已知每辆甲车的载客量要比乙车多15人，在无空座的情况下，480人需要乙种客车的数量是360人需要甲种客车数量的2倍． 对，你的问题我可以用列方程来解决． 若我们安排七、八年级的240名师生集体外出活动，可以租用甲、乙种客车共6辆（要求两种类型的客车都要租），一次将全部师生送到指定地点． 不过甲车的租用费用比乙车的贵120元，每辆甲种客车的租金为400元． 根据他们的对话得到以下四个结论： ①若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量为270人；②共有两种租车方案； ③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多． 其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ②③ D. ①②④ 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 当二次根式的运算结果为整数时，写出一个符合要求的x值________． 12. 如图，已知 是外接圆，是的直径，若，则的度数是____°． 13. 已知两个不相等的实数，，满足：，，则________． 14. 研究数轴我们可以发现许多重要的规律．例如：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为．若，数轴上动点Q表示的数为x，点Q到点A，B的距离和为S．则下列结论正确：①；②当时，S随x的增大而增大；③S的最小值不随x的变化而变化；④线段、的中点之间的距离为．其中正确结论的序号是________． 15. 如图，中，，，为边上一点，将绕点顺时针旋转得到，点落在线段上，此时、、三点也恰好共线，点的对应点为，连接，则长度的最小值为________． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值． 17. 在中按以下步骤进行尺规作图． （1）①以为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点； ②以点为圆心，以长为半径画弧交于点； ③以点为圆心，以长为半径画弧交前弧于点； ④作射线交于点． （2）以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点、．分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点． 请根据上述尺规作图过程， （1）证明：； （2）已知，，求的值． 18. 如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与x轴、y轴相交于点C、D． （1）①求反比例函数和一次函数的表达式； ②直接写出关于x的不等式的取值范围； （2）如图2，点E为一次函数的图象上一点，过点E作反比例函数，连接，若面积为S，当时，求的取值范围． 19. 为进一步挖掘和传承泰山文化、普及有关泰山知识，某校开展了“泰山文化知识竞赛”活动，进一步提升学生的爱家乡、爱祖国的浓厚情怀，该校举办了泰山文化知识竞赛，现从全校七、八年级学生中随机抽取20名学生竞赛成绩（百分制）．数学兴趣小组对竞赛成绩进行统计分析，形成如下报告（不完整）： 主题项目 泰山文化知识竞赛成绩分析报告 数据收集 七年级学生成绩 80，80，100，90，80， 70，70，80，70，90， 70，80，100，90，60， 80，90，80，90，90 八年级学生成绩 90，90，100，80，80， 60，70，80，60，100， 60，70，100，70，90， 90，90，70，100，90 数据整理与分析 七年级学生成绩条形统计图 八年级学生成绩扇形统计图 七、八年级学生成绩分析表 统计量 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 82 80 80 106 八年级 82 a 90 186 任务1 ①补全条形统计图； ②求“扇形统计图”中70分所在扇形圆心角度数； ③直接写出成绩分析表中，八年级学生成绩的中位数________． 任务2 该校七年级学生共1500人，请估计成绩不低于80分的人数； 任务3 根据上述统计数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由． 根据所给信息，请完成以上所有任务． 20. 自行车骑行是一项充满乐趣和挑战的爱好．通过骑自行车，可以享受自由、放松身心，增强体力和耐力，欣赏大自然的美景，还可以与他人一同分享美妙的体验．图1为一骑行山地车，图2是该车的车架示意图，已知立管与上管垂直，立管比上管短，前下管，后下叉与立管所成的夹角为，即． （1）求立管的长； （2）当时，求后下叉的长．（结果精确到，参考数据，，） 21. 如图，在中，，以为直径作交斜边于点E．连接并延长交的延长线于点D，交于点G．F为中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 22. 综合与实践 在学习了角平分线的性质与判定以后，数学兴趣小组继续进行了以下探究： 【动手实践】 用两段铁丝分别折成一个锐角、一个钝角，，在锐角的两边分别截取，在平面内与相对放置，并且的两边刚好经过点C、点D，连接（如图1），兴趣小组通过测量发现． 【提出猜想】 兴趣小组提出猜想： 有一组邻边相等、对角互补的四边形中，经过两条相等邻边的公共顶点的一条对角线，必平分四边形的一个内角． 【验证猜想】 兴趣小组通过观察、探究，提出以下两种证明思路． 思路一：如图2，过点A作垂线交的延长线于点E，过点A作的垂线，垂足为F，证明平分． 思路二：如图3，延长到点E，使得，连接．证明平分． 请从两种思路选择一种给出完整证明，帮助兴趣小组验证猜想． 【拓展应用】 在平面内，兴趣小组用一根长铁丝围成一个四边形（如图4），，． （1）请直接写出________度； （2）经测量，求四边形的面积． 23. 已知抛物线的对称轴为直线． （1）若， ①求的值； ②若抛物线与轴相交于点、两点，与轴相交于点，求长； （2）当时，函数最大值与最小值差为3，求出的值； （3）若，平面内有两个点、，抛物线与线段有且只有一个公共点，求出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级第二学期 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 利用有理数大小的比较方法：正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 【详解】解：∵， ∴最小的数是：．   故选：D ． 2. 中国空间站（又称天宫空间站）是中华人民共和国建成的国家级太空实验室，其轨道高度设定在约425 000米，设定寿命为10年，可以长期驻留3人，最大可扩展为180吨级六舱组合体，以进行较大规模的空间应用．将数据425 000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：． 故选C． 3. 未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：． 4. 图1是某校运动会颁奖时的场景，图2是领奖台的示意图，则此领奖台的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．结合几何体的形状，找到从左面看所得到的图形即可． 【详解】解：从左边看时，可得选项A的图形． 故选：A． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘除法，完全平方公式，积的乘方，幂的乘方的运算，掌握整式的混合运算法则是关键． 根据同底数幂乘除法，完全平方公式，积的乘方，幂的乘方的运算法则计算即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算正确，符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：C ． 6. 如图，长方形的边，分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，点D，E分别在，边上．若，沿直线将翻折，点B落在点处，此时轴，则点的坐标为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查图形折叠性质以及坐标的确定；解题关键是熟练掌握折叠性质．由长方形中得出，，再根据算出．依据翻折性质得，利用轴及在上，先确定纵坐标，再结合长度得出横坐标为，从而得到答案． 【详解】已知长方形中，点的坐标为，则，． ∵， ∴． ∵沿直线翻折得到， ∴． ∵轴，D在上轴，D纵坐标为1， ∴纵坐标为． ∵，轴， 综上，点的坐标为， 故选：B． 7. “泰山”“沂蒙山”“曲阜三孔”和“青岛崂山”是山东省排名靠前的旅游景点，若明侠从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“沂蒙山”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 列表可得出所有等可能的结果数以及这两个景点中有“沂蒙山”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将这四个景点分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A B C D 共有种等可能的结果，其中这两个景点中有“沂蒙山”的结果有：，，，，，，共6种， ∴这两个景点中有“沂蒙山”的概率为． 故选：B． 8. 点是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正多边形的性质，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 连接，，根据正多边形的性质可证，得到，进而得到是的垂直平分线，即，根据多边形的内角和公式可求出每个内角的度数，进而得到，再根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】解：连接，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵在正五边形中，， ∴， ∴． 故选：A． 9. 如图，在中，为锐角，点在边上，连接，且．是边的中点，连接，对角线分别与相交于点．则下列结论： ①点是的中点；②；③；④． 其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，面积的计算可判定①；根据题意可证，可判定②；根据中位线的判定和性质可判定③；根据题意可证，，结合可判定④；由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 如图所示，过点作延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点，故①正确； ∵是边的中点， ∴，且， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴，故②正确； ∵点分别是中点， ∴，故③正确； ∵点分别是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有：①②③④，共4个， 故选：D ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，中位线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质，中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质是关键． 10. 学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下： 现有甲、乙两种类型的客车，已知每辆甲车的载客量要比乙车多15人，在无空座的情况下，480人需要乙种客车的数量是360人需要甲种客车数量的2倍． 对，你的问题我可以用列方程来解决． 若我们安排七、八年级的240名师生集体外出活动，可以租用甲、乙种客车共6辆（要求两种类型的客车都要租），一次将全部师生送到指定地点． 不过甲车的租用费用比乙车的贵120元，每辆甲种客车的租金为400元． 根据他们的对话得到以下四个结论： ①若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量为270人；②共有两种租车方案； ③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多． 其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ②③ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，设甲客车的载客量为x人，乙客车的载客量为人，根据480人需要乙种客车的数量是360人需要甲种客车数量的2倍建立方程可求出甲客车的载客量为45人，乙客车的载客量为30人，据此可判断①；设租用甲客车m辆，则租用乙客车辆，根据所有客车的载客量要大于等于240以及两种客车都要租用建立不等式组求出m的取值范围，进而确定m可以取的值，即可确定方案，进而求出每个方案的费用，据此可判断②③④． 【详解】解：设甲客车的载客量为x人，乙客车的载客量为人， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴甲客车的载客量为45人，乙客车的载客量为30人， ∴若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量为人，故①正确； 设租用甲客车m辆，则租用乙客车辆， 由题意得，， 解得， ∵m为正整数， ∴m的值可以为4或5， 当时，，此时租车费用为元， 当时，，此时租车费用为元， ∴共有2种租车方案，且两种租车方案的费用不相同，租车最低费用是2160元，故②③正确，④不正确， 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 当二次根式的运算结果为整数时，写出一个符合要求的x值________． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据二次根式的性质可得是一个完全平方数，据此可得答案． 【详解】解：∵二次根式的运算结果为整数， ∴是一个完全平方数， ∴的结果可以是0，即， ∴， 故答案为：3（答案不唯一）． 12. 如图，已知 是的外接圆，是的直径，若，则的度数是____°． 【答案】 【解析】 【分析】根据是的直径可得，根据圆周角定理可得，即可求得的度数． 【详解】解：如下图所示，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． 13. 已知两个不相等的实数，，满足：，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意可得实数，是关于x的方程的两个不相等的实数根，则由根与系数的关系可得答案． 【详解】解：∵两个不相等的实数，，满足：，， ∴实数，是关于x的方程的两个不相等的实数根， ∴， 故答案为：． 14. 研究数轴我们可以发现许多重要的规律．例如：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为．若，数轴上动点Q表示的数为x，点Q到点A，B的距离和为S．则下列结论正确：①；②当时，S随x的增大而增大；③S的最小值不随x的变化而变化；④线段、的中点之间的距离为．其中正确结论的序号是________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次函数的应用，绝对值与数轴的综合应用，根据已知可得，即可判断①；根据得，即可化简，再结合一次函数的性质即可判断②；当点Q位于A、B之间时，即，S有最小值，，即可判断③；先分别表示出、的中点，进而得线段、的中点之间的距离为，即可判断④． 【详解】解：①，正确，符合题意； ②当时，则，， ∵， ∴S随x的增大而增大， 故②正确，符合题意； ③当点Q位于A、B之间时，即，S有最小值， 最小值为， ∴S的最小值不随x的变化而变化， 故③正确，符合题意； ④的中点表示的数为，的中点表示的数为， ∴线段、的中点之间的距离为， 故④错误，不符合题意． 故答案为：①②③． 15. 如图，中，，，为边上一点，将绕点顺时针旋转得到，点落在线段上，此时、、三点也恰好共线，点的对应点为，连接，则长度的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质和勾股定理以及垂线段最短，熟练掌握相关定义是解题的关键．连接，，由旋转性质可得，，结合勾股定理得出，即可得出时，长度取最小值，即长度取最小值，利用等面积法进行运算即可得出答案． 【详解】解：连接，，如图： 绕点顺时针旋转得到，点的对应点为， ， 、、三点共线， ，即旋转角， ，， ， 由勾股定理可得：， ，， ， 可知长度取最小值，则长度亦取最小值， 点在上，由点到直线垂线段最短， 可得时，长度取最小值，即长度取最小值， ， ， ， 长度的最小值为． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】（1）；（2），当时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查锐角三角函数的计算，负指数幂，分式的混合运算，掌握实数的混合运算法则，分式的性质及混合运算法则是关键． （1）先算出特殊角的三角函数值，负指数幂的结果，化简绝对值，再根据实数的混合运算法则计算即可； （2）根据分式的性质，分式的混合运算法则计算，结合分式的性质取值，最后代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， ，， ，， 当时，原式． 17. 在中按以下步骤进行尺规作图． （1）①以为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点； ②以点为圆心，以长为半径画弧交于点； ③以点为圆心，以长为半径画弧交前弧于点； ④作射线交于点． （2）以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点、．分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点． 请根据上述尺规作图过程， （1）证明：； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作图，三角形外加和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）由作图步骤得：，，根据三角形外角和定理得到，即可求解； （2）根据题意可证，得到，根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：由作图步骤得：，， 是的外角， ， 是的外角，， ， ； 小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ，， ． 18. 如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与x轴、y轴相交于点C、D． （1）①求反比例函数和一次函数的表达式； ②直接写出关于x的不等式的取值范围； （2）如图2，点E为一次函数图象上一点，过点E作反比例函数，连接，若面积为S，当时，求的取值范围． 【答案】（1）①，；②或 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式；同时考查函数的增减性，从而来解不等式． （1）①利用待定系数法即可求得； ②通过观察图象即可求得． （2）设E点坐标为，由题意得，，根据求出即可得出的取值范围． 【小问1详解】 解：①点，点在反比例函数上， ， ， 反比例函数的关系式为： 将点，代入 得，解得， 一次函数的关系式为：； ②由图象得，关于x的不等式的取值范围为或； 【小问2详解】 解：设E点坐标为， 由题意知：，， ， ， ∴， 当时，，； 当时，，； 因此， 19. 为进一步挖掘和传承泰山文化、普及有关泰山知识，某校开展了“泰山文化知识竞赛”活动，进一步提升学生的爱家乡、爱祖国的浓厚情怀，该校举办了泰山文化知识竞赛，现从全校七、八年级学生中随机抽取20名学生竞赛成绩（百分制）．数学兴趣小组对竞赛成绩进行统计分析，形成如下报告（不完整）： 主题项目 泰山文化知识竞赛成绩分析报告 数据收集 七年级学生成绩 80，80，100，90，80， 70，70，80，70，90， 70，80，100，90，60， 80，90，80，90，90 八年级学生成绩 90，90，100，80，80， 60，70，80，60，100， 60，70，100，70，90， 90，90，70，100，90 数据整理与分析 七年级学生成绩条形统计图 八年级学生成绩扇形统计图 七、八年级学生成绩分析表 统计量 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 82 80 80 106 八年级 82 a 90 186 任务1 ①补全条形统计图； ②求“扇形统计图”中70分所在扇形圆心角度数； ③直接写出成绩分析表中，八年级学生成绩的中位数________． 任务2 该校七年级学生共1500人，请估计成绩不低于80分的人数； 任务3 根据上述统计数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由． 根据所给信息，请完成以上所有任务． 【答案】任务1：①见解析；②72度；③85；任务2：1125人；任务3：七年级，见解析 【解析】 【分析】此题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，方差、中位数、众数、平均数等统计量，熟练掌握相关统计量的求法和意义是关键． 任务1：①求出七年级学生中随机抽取20名学生竞赛成绩中80分的有7人，据此补全统计图即可；②用“70分”的百分比乘以即可；③根据中位数的定义进行解答即可； 任务2：根据样本估计总体进行解答即可； 任务3：我认为七年级成绩更好；从平均数和方差等方面进行分析即可． 【详解】解：任务一：①七年级学生中随机抽取20名学生竞赛成绩中80分的有7人， 补全条形统计图，如图所示： ②“70分”所在扇形的圆心角的度数为：； ③把八年级20名学生的成绩按照从低到高排列，处在第10名和第11名的成绩分别为80，90， ∴八年级学生成绩的中位数； 故答案为：85； 任务2：（人）， 答：估计成绩不低于80分的人数为1125人； 任务3：我认为七年级成绩更好； 理由：由分析表可知两个年级的平均数相同，但七年级的方差小于八年级，所以七年级的成绩更稳定． 20. 自行车骑行是一项充满乐趣和挑战的爱好．通过骑自行车，可以享受自由、放松身心，增强体力和耐力，欣赏大自然的美景，还可以与他人一同分享美妙的体验．图1为一骑行山地车，图2是该车的车架示意图，已知立管与上管垂直，立管比上管短，前下管，后下叉与立管所成的夹角为，即． （1）求立管的长； （2）当时，求后下叉的长．（结果精确到，参考数据，，） 【答案】（1）厘米 （2）厘米 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，解直角三角形的计算，掌握锐角三角函数的计算是关键． （1）设，则，根据勾股定理列式求解即可； （2）过点作于，在中，，，可得，，由即可求解． 【小问1详解】 解：设，则， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴； 【小问2详解】 解：过点作于， 在中，，， ，， ，， ，， ， ， ∴． 21. 如图，在中，，以为直径作交斜边于点E．连接并延长交的延长线于点D，交于点G．F为中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质切线的判定定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，扇形的面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，得到，推出，得到，推出，即可得到结论； （2）由得到是等边三角形，得出，求出，得到． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 为直径， ， ∴， 为中点， ， ， ， ， ， 为的半径， 为的切线； 【小问2详解】 解：， 等边三角形， ， ， ，即， ， ． 22. 综合与实践 在学习了角平分线的性质与判定以后，数学兴趣小组继续进行了以下探究： 【动手实践】 用两段铁丝分别折成一个锐角、一个钝角，，在锐角的两边分别截取，在平面内与相对放置，并且的两边刚好经过点C、点D，连接（如图1），兴趣小组通过测量发现． 【提出猜想】 兴趣小组提出猜想： 有一组邻边相等、对角互补的四边形中，经过两条相等邻边的公共顶点的一条对角线，必平分四边形的一个内角． 【验证猜想】 兴趣小组通过观察、探究，提出以下两种证明思路． 思路一：如图2，过点A作垂线交的延长线于点E，过点A作的垂线，垂足为F，证明平分． 思路二：如图3，延长到点E，使得，连接．证明平分． 请从两种思路选择一种给出完整证明，帮助兴趣小组验证猜想． 【拓展应用】 在平面内，兴趣小组用一根长铁丝围成一个四边形（如图4），，． （1）请直接写出________度； （2）经测量，求四边形面积． 【答案】验证猜想：见解析；拓展应用：（1）45；（2）450平方厘米 【解析】 【分析】[验证猜想] 思路一证明：如图，过点作垂线交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，证明，则，根据角平分线判定得到点在平分线上，则平分；思路二证明：如图，延长到点，使得，连接，证明，则，那么，则，故，则平分； [拓展应用]（）直接利用[验证猜想]即可求解；（）过点作垂线，垂足为．过点作的垂线交的延长线于点，由猜想可知平分，然后根据角平分线性质可得，证明，则有，然后得出四边形是正方形，故有，最后代入求解即可． 【详解】[验证猜想]思路一证明： 如图，过点作垂线交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为， 证明：由题意得 ∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在平分线上， ∴平分； 思路二证明：如图，延长到点，使得，连接， ∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ，， ∴ ， ∴， ∴ 平分； [拓展应用]（）∵，， ∴由猜想可知：平分， ∴， 故答案为：； （）解：如图：过点作垂线，垂足为．过点作的垂线交的延长线于点， ∵在四边形中，，， 由猜想可知：平分， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴ 四边形是正方形， ∴ 设，则由勾股定理得，， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定，角平分线的判定及性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 23. 已知抛物线的对称轴为直线． （1）若， ①求的值； ②若抛物线与轴相交于点、两点，与轴相交于点，求的长； （2）当时，函数最大值与最小值的差为3，求出的值； （3）若，平面内有两个点、，抛物线与线段有且只有一个公共点，求出的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）①根据的值，结合对称轴公式，进行求解即可；②求出函数解析式，进而求出时的自变量的值，即可得出结果； （2）分和两种情况，根据二次函数的性质，进行求解即可； （3）分有两个相等实根和有两个不相等实根，分别进行求解即可． 【小问1详解】 解：①， ； ②抛物线与轴交于点 抛物线关系式为： 当时， 解得： ； 【小问2详解】 解：当时， 对称轴为直线， ， 当时函数有最大值为， 当时函数有最小值为， 由题意得 ； 当时， 对称轴为直线， ， 当时函数有最小值为， 当时函数有最大值为， 由题意得 ； 综上：； 【小问3详解】 解：当时，抛物线为， ∵、， ∴直线为：； ①当有两个相等实根时，抛物线与线段有一个公共点， ， ； ②当有两个不相等实根时，由题意得 ， 解得； 因此，当或时抛物线与线段有一个公共点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$