精品解析：2025年河南省周口市第十九初级中学中考三模数学试题

2025年河南省普通高中招生考试模拟试卷 数学（五） 注意： 本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（下面各题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的序号填涂在答题卡相应位置．每小题3分，共30分） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 全国两会，习近平总书记在参加江苏代表团审议时指出，我们能不能如期全面建成社会主义现代化强国，关键看科技自立自强．将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是（ ） A. 自 B. 立 C. 科 D. 技 3. 如图，已知直线，于点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，平行四边形的对角线、相交于点，点是的中点，．若的周长为5，则平行四边形的周长为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 6. 已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 7. “海葵一号”是完全由我国自主设计建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一体，储油量达立方米．将用科学记数法表示为，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 为了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类节目的喜爱情况，班主任对全班50名同学进行了问卷调查（每名同学只选其中的一类），依据50份问卷调查结果绘制了全班同学喜爱节目情况扇形统计图（如图所示）．下列说法正确的是（ ） A. 班主任采用的是抽样调查 B. 喜爱动画节目的同学最多 C. 喜爱戏曲节目的同学有6名 D. “体育”对应扇形的圆心角为 9. 如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 节能环保已成为人们的共识．淇淇家在3月份计划先购买200度电，其用电量的分档情况如图所示，若平均每天用电度，则能使用天．下列说法错误的是（ ） 信息窗 为了促进节约用电，某市设立了居民用电阶梯电价制度，将用电量分为三个档次，每个档次用电量如下： 第一档：210度以下 第二档：210-400度 第三档：400度以上 A. 若，则淇淇家本月的用电量为第二档 B. 若，则淇淇家本月的用电量为第一档 C. 若减小，则也减小 D. 若减小一半，则增大一倍 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，若一次函数的图象不经过第一象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式________． 12. 关于的一元一次不等式组的解为，则的取值范围为________． 13. 衣中挂着3套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱中各任取一件上衣和一条裤子，它们取自同一套的概率是________． 14. 如图，在矩形中，，．以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为________． 15. 如图，菱形中，，对角线与相交于点，过点作，交边于点，连接，若，则菱形的面积为 ___． 三、解答题（本大题8个小题，共75分） 16. 解答下列各题： （1）计算： （2）化简： 17. 综合与实践 【项目背景】 无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】 从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位：）表示． 将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下： 任务1 求图1中a的值． 【数据分析与运用】 任务2 A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数． 任务3 下列结论一定正确的是______（填正确结论的序号）． ①两园样本数据的中位数均在C组； ②两园样本数据的众数均在C组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． 任务4 结合市场情况，将C，D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由． 根据所给信息，请完成以上所有任务． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为1． （1）求的值及点的坐标； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 19. 双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七凤塔构成．某校数学实践小组通过查资料得知七凤塔的高度为73.2米，七凤塔周边两个地点和之间因有障碍物无法接测量，该小组开展测量七凤塔周边两个地点和之间距离的实践活动，并制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如下表： 测量和两个地点之间距离 测量工具 测角仪 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果 如图，步骤如下： ①在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角； ②在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角． … 已知测角仪的高度为1.2米，点、、在同一水平直线上．根据以上信息，求和两个地点之间的距离．（参考数据：，，） 20. 为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多元，用元购买航空模型的数量是用元购买航海模型数量的． （1）求航空和航海模型的单价； （2）学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航海模型打八折．若购买航空、航海模型共个，且航空模型数量不少于航海模型数量的倍，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少? 21. 在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下： 水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 （1）根据上表，请确定抛物线的表达式； （2）请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度． 22. 如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：在（1）的条件下，以点为圆心，长为半径作．求证：与相切； （3）在（2）的条件下，延长与交于点，若，，求弦的长． 23. 在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图①，在中，，，点、在边上，且，，，求的长． 解：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接． 由旋转的特征得，，，． ，，． ，，即，． 在和中， ，， ① ，，． 又 ② ， 在中，． ，， ③ ． 【问题解决】 上述问题情境中，“①”处应填：________；“②”处应填：________；“③”处应填：________； 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】 如图③，在正方形中，点、分别在边、上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连接、，分别与对角线交于、两点．探究、、的数量关系并证明； 【拓展应用】 如图④，在矩形中，点、分别在边、上，且．探究、、的数量关系：________（直接写出结论，不必证明）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河南省普通高中招生考试模拟试卷 数学（五） 注意： 本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（下面各题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的序号填涂在答题卡相应位置．每小题3分，共30分） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 全国两会，习近平总书记在参加江苏代表团审议时指出，我们能不能如期全面建成社会主义现代化强国，关键看科技自立自强．将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是（ ） A. 自 B. 立 C. 科 D. 技 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，还原正方体是正确解答的关键． 根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：将“自”作为底面，则折起来“强”在前面，“立”在右面，“科”在后面， ∴与“强”字所在面相对面上的汉字是“科”， 故选：C． 3. 如图，已知直线，于点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和垂直线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．根据平行线的性质和垂直的定义，可以求出的大小，最终确定的度数． 【详解】解：，， ， ． 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项、单项式乘以多项式、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式的运算法则逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项、单项式乘以多项式、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 5. 如图，平行四边形的对角线、相交于点，点是的中点，．若的周长为5，则平行四边形的周长为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角线互相平分、平行四边形的对边相等． 根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，，又因为是的中点，可得是的中位线，可得，，再根据的周长求出，进而可求出平行四边形的周长． 【详解】解：∵平行四边形的对角线、相交于点，点是的中点， ∴，， ∴是的中位线， ∴，， 又∵，若的周长为5， ∴， ∴平行四边形的周长为， 故选：D． 6. 已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此先求出，再求出的符号即可得到结论． 【详解】解： ∵， ∴， ∴ ， ， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 7. “海葵一号”是完全由我国自主设计建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一体，储油量达立方米．将用科学记数法表示为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示一个较大的数，用科学记数法表示一个数就是把这个数写成的形式，其中与小数点移动的方向和数位有关，本题中需要把小数点向左移动位，所以的值是． 【详解】解：． 故选：C． 8. 为了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类节目的喜爱情况，班主任对全班50名同学进行了问卷调查（每名同学只选其中的一类），依据50份问卷调查结果绘制了全班同学喜爱节目情况扇形统计图（如图所示）．下列说法正确的是（ ） A. 班主任采用的是抽样调查 B. 喜爱动画节目的同学最多 C. 喜爱戏曲节目的同学有6名 D. “体育”对应扇形的圆心角为 【答案】D 【解析】 【分析】根据全班共50名学生，班主任制作了50份问卷调查，可知班主任采用的是普查，由此可判断A；根据喜爱娱乐节目的同学所占的百分比最多，可判断B；用50乘以喜爱戏曲节目的同学所占的百分比计算出喜爱戏曲节目的同学的人数，可判断C；用乘以“体育”所占的百分比求出“体育”对应扇形的圆心角的度数，即可判断D． 本题考查了扇形统计图，从扇形统计图中正确获取信息是解题关键． 【详解】全班共50名学生，班主任制作了50份问卷调查， 所以班主任采用的是全面调查， 故A选项错误； 喜爱娱乐节目的同学所占的百分比最多，因此喜爱娱乐节目的同学最多， 故B选项错误； 喜爱戏曲节目的同学有名， 故C选项错误； “体育”对应扇形的圆心角为， 故D选项正确． 故选：D． 9. 如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标规律探索、旋转的性质、全等三角形的判定与性质，过点作轴于，过作轴，则，证明得出第次旋转后的坐标为，同理可得，第次旋转后的坐标为，第次旋转后的坐标为，第次旋转后的坐标为，第次旋转后的坐标为，…，从而得出规律每次一个循环，结合即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于，过作轴，则， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点的坐标为， ∴，， ∴，即第次旋转后的坐标为， 同理可得，第次旋转后的坐标为， 第次旋转后的坐标为， 第次旋转后的坐标为， 第次旋转后的坐标为，…， 故每次一个循环， ∵， ∴第2025次旋转结束时，点的对应点的坐标为， 故选：B． 10. 节能环保已成为人们的共识．淇淇家在3月份计划先购买200度电，其用电量的分档情况如图所示，若平均每天用电度，则能使用天．下列说法错误的是（ ） 信息窗 为了促进节约用电，某市设立了居民用电阶梯电价制度，将用电量分为三个档次，每个档次用电量如下： 第一档：210度以下 第二档：210-400度 第三档：400度以上 A. 若，则淇淇家本月的用电量为第二档 B. 若，则淇淇家本月的用电量为第一档 C. 若减小，则也减小 D. 若减小一半，则增大一倍 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意列出反比例函数，然后逐项计算判断即可． 【详解】解：由题意得，， A.当时，，，则淇淇家本月的用电量为第二档，故选项A正确，不符合题意； B.当时，，，则淇淇家本月的用电量为第一档，故选项B正确，不符合题意； C. 对于，若减小，则变大，故选项C错误，符合题意； D. 对于，若减小一半，则增大一倍，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，若一次函数的图象不经过第一象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，根据题意写出符合该条件的一次函数的表达式即可，掌握一次函数的图象特点是解题的关键． 【详解】解：符合条件的一次函数的表达式可以是， 故答案为：． 12. 关于的一元一次不等式组的解为，则的取值范围为________． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查不等式组解集的确定，关键在于理解参数与第二个不等式解集之间的包含关系．通过比较两个不等式解集的范围，可确定的取值范围．本题解第二个不等式，结合两个不等式的解集关系，即可分析参数的取值范围． 【详解】解：由，得到，即， 已知不等式组的解集为， 则第一个不等式的解集必须包含第二个不等式的解集， 因此的取值范围应满足． 故答案为：． 13. 衣中挂着3套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱中各任取一件上衣和一条裤子，它们取自同一套的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有等可能的结果，概率=所求情况数与总情况数之比． 画树状图，共有9种等可能结果，其中它们取自同一套的有3种可能，再由概率公式求解即可． 【详解】解：令3件上衣分别为A、B、C，对应的裤子分别为a、b、c，画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能结果，其中取自同一套的有3种可能， ∴它们取自同一套的概率为， 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，．以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质和判定，扇形的面积，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积． 设弓形，连接，，由题意知，即为等边三角形，，即可得出阴影部分面积为，代入数值即可求出结果． 【详解】解：∵以点为圆心，长为半径作弧交于点，，， ∴， ∴以为直径作半圆时，圆心为点， 设弓形，连接，，即，如图： ∴为等边三角形， ∴， 故阴影部分面积为， 代入数值可得， 故答案为． 15. 如图，菱形中，，对角线与相交于点，过点作，交边于点，连接，若，则菱形的面积为 ___． 【答案】 【解析】 【分析】先根据菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，再根据勾股定理求出、，最后由菱形面积即可得解． 【详解】解：菱形中，、互相垂直平分， 点是、中点，， ， ， ， ，， 中，， ， 菱形的面积． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理解直角三角形、菱形的面积，解题关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长． 三、解答题（本大题8个小题，共75分） 16. 解答下列各题： （1）计算： （2）化简： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简，实数的运算，熟练掌握分式混合运算法则，特殊角的三角函数值，准确进行计算是解题的关键． （1）根据二次根式的性质，负整数指数幂，特殊角三角函数值，绝对值的性质，计算求值即可； （2）根据分式的混合运算法则，利用因式分解，约分化简； 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 综合与实践 【项目背景】 无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】 从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位：）表示． 将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下： 任务1 求图1中a的值． 【数据分析与运用】 任务2 A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数． 任务3 下列结论一定正确的是______（填正确结论的序号）． ①两园样本数据的中位数均在C组； ②两园样本数据的众数均在C组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． 任务4 结合市场情况，将C，D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由． 根据所给信息，请完成以上所有任务． 【答案】任务1：40； 任务2：6； 任务3：①； 任务4：乙园的柑橘品质更优， 理由如下：甲园样本数据的一级率为：， 乙园样本数据的一级率为： ， ∵乙园样本数据的一级率高于甲园样本数据的一级率， ∴乙园的柑橘品质更优． 【解析】 【分析】题目主要考查统计表及频数分布直方图，平均数、中位数及众数的求法，根据图标获取相关信息是解题关键． 任务1：直接根据总数减去各部分的数据即可； 任务2：根据加权平均数的计算方法求解即可； 任务3：根据中位数、众数的定义及样本中的数据求解即可； 任务4：分别计算甲和乙的一级率，比较即可． 【详解】解：任务1：； 任务2：， 乙园样本数据的平均数为6； 任务3：①∵， ∴甲园样本数据的中位数在C组， ∵， ∴乙园样本数据的中位数在C组，故①正确； ②由样本数据频数直方图得，甲园样本数据的众数均在B组，乙园样本数据的众数均在C组，故②错误； ③无法判断两园样本数据的最大数与最小数的差是否相等，故③错误； 故答案为：①； 任务4：略 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为1． （1）求的值及点的坐标； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1），的坐标为； （2）的面积为； （3）不等式的解集为或． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）由题意先求点的坐标代入即可求的值，进一步通过联立直线和反比例函数的方程即可求点的坐标； （2）由题意设直线与轴交于点，与轴交于点，再根据三角形的面积等于三角形的面积加上三角形的面积进行计算即可； （3）由直线与反比例函数的图象可以得出不等式的解集． 【小问1详解】 解：点的横坐标为1，且点在直线上， 点的坐标为， 又点也在反比例函数上， 联立直线和反比例函数， 解得，所以点的坐标为； 【小问2详解】 设直线与轴交于点，与轴交于点， 可得点的坐标为，点的坐标为， 三角形的面积等于三角形的面积加上三角形的面积， 即； 【小问3详解】 由直线与反比例函数的图象可知， 关于的解集为：或． 19. 双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七凤塔构成．某校数学实践小组通过查资料得知七凤塔的高度为73.2米，七凤塔周边两个地点和之间因有障碍物无法接测量，该小组开展测量七凤塔周边两个地点和之间距离的实践活动，并制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如下表： 测量和两个地点之间距离 测量工具 测角仪 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果 如图，步骤如下： ①在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角； ②在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角． … 已知测角仪的高度为1.2米，点、、在同一水平直线上．根据以上信息，求和两个地点之间的距离．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到米，，，在中，求出，在中，求出，即可得到结论． 【详解】解：由题意得，米，，， ∴， 在中，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴ 答：和两个地点之间的距离为：． 20. 为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多元，用元购买航空模型的数量是用元购买航海模型数量的． （1）求航空和航海模型的单价； （2）学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航海模型打八折．若购买航空、航海模型共个，且航空模型数量不少于航海模型数量的倍，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少? 【答案】（1）航空模型的单价为元，航海模型的单价为元 （2）购买航空模型个，购买航海模型个时，学校花费最少 【解析】 【分析】（）设航空模型的单价为元，则航海模型的单价为元，根据题意列出方程即可求解； （） 设购买航空模型个，花费为元，则购买航海模型个，由题意可得，即得，又根据题意可得，再根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：设航空模型的单价为元，则航海模型的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：航空模型的单价为元，航海模型的单价为元； 【小问2详解】 解：设购买航空模型个，花费为元，则购买航海模型个， 由题意得，， 解得， 由题意得，， ∵， ∴随增大而增大， ∴当时，有最小值，此时， 即购买航空模型个，购买航海模型个时，学校花费最少． 21. 在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下： 水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 （1）根据上表，请确定抛物线的表达式； （2）请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度． 【答案】（1）抛物线的表达式 （2）水火箭距离地面的竖直高度米 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质， 根据题意可设抛物线的表达式，结合体图标可知抛物线的顶点坐标为，代入求解即可； 由题意知，代入抛物线的表达式即可求得水火箭距离地面的竖直高度． 【小问1详解】 解：根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式， 由表格得抛物线的顶点坐标为，则，解得， 则抛物线的表达式， 【小问2详解】 解：由题意知，则， 那么，水火箭距离地面的竖直高度米． 22. 如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：在（1）的条件下，以点为圆心，长为半径作．求证：与相切； （3）在（2）的条件下，延长与交于点，若，，求弦的长． 【答案】（1）如图，即为所求． （2）证明：过点D作于点E， ∵平分， ∴， ∴为的半径， ∴与相切． （3）3 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、角平分线的性质、切线的判定，熟练掌握角平分线的性质及作图方法、切线的判定是解答本题的关键． （1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）过点D作于点E，根据角平分线的性质可得，则为的半径，结合切线的判定可知，与相切． （3）证明，求出，证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， 在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 又， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴， 又， ∴, ∴， ∴， ∴． 23. 在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图①，在中，，，点、在边上，且，，，求的长． 解：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接． 由旋转的特征得，，，． ，，． ，，即，． 在和中， ，， ① ，，． 又 ② ， 在中，． ，， ③ ． 【问题解决】 上述问题情境中，“①”处应填：________；“②”处应填：________；“③”处应填：________； 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】 如图③，在正方形中，点、分别在边、上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连接、，分别与对角线交于、两点．探究、、的数量关系并证明； 【拓展应用】 如图④，在矩形中，点、分别在边、上，且．探究、、的数量关系：________（直接写出结论，不必证明）． 【答案】问题解决：；； 知识迁移：，证明如下： 如图，将绕点逆时针旋转，得到，过点作交于，连接， ， 由旋转的性质可得：，，， 由题意可得：， ∴， ∴， ∴， ∵为正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴； 拓展应用：． 【解析】 【分析】问题解决：由旋转的特征得，，，，证明得出，再由勾股定理计算即可得解； 知识迁移：将绕点逆时针旋转，得到，过点作交于，连接，由旋转的性质可得，，，证明得出，证明得出，，证明得出，最后再由勾股定理即可得解； 拓展应用：延长交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，连接、，作交 延长线于，则，由全等三角形的性质可得，，证明为等腰直角三角形，得出，由知识迁移可得，由全等三角形的性质可得，，由勾股定理可得，即可得解． 【详解】问题解决：略 知识迁移：略 拓展应用：，证明如下： 如图，延长交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，连接、，作交 延长线于， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由知识迁移可得：， ∴，， 由勾股定理可得：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $