微专题12 数列放缩（4大题型）-2025年新高考数学微专题全力突破

微专题12 数列放缩 【题型归纳目录】 题型一：蛛网图（压轴小题放缩） 题型二：等差放缩 题型三：等比放缩 题型四：通项放缩 【知识点梳理】 常见放缩公式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10） ； （11） ； （12）； （13）． （14）． （15）二项式定理 ①由于， 于是 ②， ； ， （16）糖水不等式 若，则；若，则． 【典型例题】 题型一：蛛网图（压轴小题放缩） 【典例1-1】已知数列满足，，，则下列结论中不一定正确的是 A．， B． C． D． 【答案】C 【解析】结合与可知，，将选项变形即可证明其正确性.因为，，所以有. 又因为，所以 对于A选项，，故成立； 对于B选项，，故成立； 对于C选项，，故不成立； 对于D选项， ，故成立. 故选：C. 【典例1-2】（2025·高三·浙江·期中）已知数列满足，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，， ∴，，则， ∵， ∴，即数列递减，则， ∵， ∴两边取倒数得，即，则， ∵数列递减， ∴当时，，即； 当时，，即，，，， ∴根据不等式的性质可得，即， ∴. 故选：B. 【变式1-1】（2025·河北石家庄·模拟预测）已知数列满足：，．则下列说法正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令， 由可得在上单调递增， 由可得在单调递减，且， 可得，又恒成立，若，则数列为常数列，不满足，所以，所以数列为单调递增数列，如图所示： 且，， 由图象可得， 所以， 故选：B． 【变式1-2】已知数列，，下列说法正确的是（    ） A．对任意的，存在，使数列是递增数列； B．对任意的，存在，使数列不单调； C．对任意的，存在，使数列具有周期性； D．对任意的，当时，存在. 【答案】C 【解析】A选项，要想保证数列是递增数列，则必有，其中，因为，所以当或2时，取得最大值，此时为，故，解得：，而，不合题意，故A错误；因为，，所以，数列是递增数列，故B错误； 令，令，解得：，，即，为其不动点，因为，所以， ，令得：，，且，从蛛网模型可以看出， 当时，随着的增大，趋向于不动点或不动点或变为周期数列，且此时数列的值均在A点的左边，故对任意的，当时，均有，C选项正确，D选项错误. 故选：C 题型二：等差放缩 【典例2-1】已知数列满足：，正项数列满足：，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项的和； (3)记为数列的前项积，证明： 【解析】（1）当时，，即， 当时，， 两式相减有：，， 经检验，也满足上式，故. 因为， 则当时，， 累加可得：，且，. 经检验，也满足上式，又因为是正项数列，故. （2） 令，则， 两式相减可以得到：， . 令， 当为偶数时：； 当为奇数时：； . （3）因为，所以， 左边： ， 右边：，得证. 【典例2-2】已知函数的定义域为，设，曲线在点处的切线交轴于点，当时，设曲线在点处的切线交轴于点，依次类推，称得到的数列为函数关于的“数列”，已知. (1)求证：的图象与轴有两个交点； (2)若是函数关于的“数列”，记. ①证明：数列为等比数列，并求其通项公式； ②记，（），证明：. 【解析】（1）由题意知，， 当单调递减；当单调递增， 所以， 因为（或者：当时，）， （或者：）， 所以在和上各有一个零点， 即的图象与轴有两个交点. （2）①， 则在处的切线斜率为， 所以在处的切线方程为， 令，解得， 所以，所以， 即， 所以是以首项为，公比为2的等比数列，所以 ②由， 则. 【变式2-1】已知数列满足记. (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)求数列的前项和. (3)设，记数列的前项和为，求证：. 【解析】（1）证明：因为， 所以， 又， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以. （2） （3） 题型三：等比放缩 【典例3-1】（2025·天津南开·一模）在正项等比数列中，. (1)求的通项公式： (2)已知函数，数列满足：. （i）求证：数列为等差数列，并求的通项公式 （ii）设，证明：， 【解析】（1）因为正项等比数列中，，所以. 又因为，所以，进而公比，所以. （2）（i）因为， 所以，所以， 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列. 所以，即. （ii）. 当时，左式，右式，左式＝右式. 当时， 下面先证明， ， 令，， ， ，，又， ，即，又， 所以. . 所以 . 即. 综上：当时， . 【典例3-2】（2025·天津南开·模拟预测）设数列满足：．设为数列的前n项和，已知，． （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前n项和； （3）证明：对任意且，有． 【解析】（1）由，所以数列是以3为公比的等比数列，则 又当时，，又，即 所以 当时， 所以，所以数列是以2为公比的等比数列，则 （2）由 则 两式相减得： 所以 （3） 当时， 当时，，所以 所以对任意且，有 【变式3-1】（2025·高三·河南洛阳·期中）已知数列满足，设. （I）求证：数列为等比数列，并求的通项公式； （II）设，数列的前项和，求证：. 【解析】（I）可化为即， ，从而可得数列为等比数列，进而可得的通项公式；（II）由（I）可得 ，分组求和后，利用放缩法可得结论. 试题解析：（I）由已知易得，由 得即；                               , 又, 是以为首项，以为公比的等比数列.              从而 即，整理得 即数列的通项公式为.                             （II）   ，               ， ，                                  .           【变式3-2】（2025·天津河西·模拟预测）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求证：； (3)表示不超过x的最大整数，； 求（i）； （ii）． 【解析】（1）(1)设等比数列 的公比为 , 等差数列 的公差为 , 由 ， 得 , 解得 或 (舍去)； 故 , （2）由（1）知，，，则 证明： 则 ； （3）（i） ， ， 所以. （ii）①， 则 ②， 由①-②得： . 题型四：通项放缩 【典例4-1】（2025·高三·山东青岛·期末）在各项均为正数的数列中，，，． (1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，记数列的前n项和为． （i）求；（ii）证明：． 【解析】（1）由题意知， 因此数列是以为首项，以4为公比的等比数列， 于是，． ． 又适合上式，所以． （2）（i）因为， 所以 ． （ii）因为数列的前n项和为 ， 所以只需证明：， 也就是， 令，只需证明， 设函数，，． 所以，即成立，得证． 【典例4-2】已知数列满足=且=-（）. （1）证明：1（）； （2）设数列的前项和为，证明（）. 【解析】（1）由题意得，，即，， 由， 得， 由得，， 即； （2）由题意得， ∴①， 由和，得， ∴， 因此②， 由①②得. 考点：数列与不等式结合综合题. 【典例5-1】已知数列，满足，记． (1)求数列的通项公式； (2)求证：； (3)设数列的前n项和为，证明：． 【解析】（1）设，即， 因为，所以， 解得，所以， 因为，则，所以， 所以. （2）证明：令，因为，所以， 要证， 只要证，即可． 因为，令， 则， 所以在上单调递增，所以， 所以单调递增， 则， 所以得证． （3）由（2）可知，， 所以 ，即， 另一方面， 所 ，则， 所以 【典例5-2】（2025·浙江·模拟预测）已知数列满足． (1)证明：是等差数列； (2)记为的前n项和，证明：当时，． 【解析】（1）因为数列满足， 所以，也即， 所以， 故数列是等差数列. （2）由（1）可知：当时，数列是以为首项，以1为公差的等差数列，故，则， 所以 ，因为，所以， 所以得证. 【专题训练】 1．（2025·湖南·模拟预测）已知正项数列满足，且，为前100项和，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则可得，故， 将两边同除得， 为递减数列， ， 可得， 所以，所以， 根据等比数列求和公式得， 综上，， 故选：C 2．（多选题）（2025·辽宁朝阳·一模）已知数列满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．数列为递减数列 B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为和可知，数列的各项均为正值， 由可得，所以，则数列为递减数列，故选项A正确； 由选项A的分析可知：数列为递减数列，又因为，所以，故选项B正确； 由两边同时取倒数可得， 则，所以， 因为数列为递减数列， 由可得， 当时，，即， 当时，，即，， ， 不等式累加可得：， 所以，则， 所以，故选项C错误； 由可得， 所以，故选项D正确； 故选：ABD. 3．（多选题）（2025·辽宁铁岭·一模）设数列满足，对恒成立，则下列说法正确的是（    ）． A． B．是递增数列 C． D． 【答案】ABD 【解析】由，， 设，则， 所以当时，，即在上为单调递增函数， 所以函数在为单调递增函数， 即， 即， 所以，即，则，故A正确； 由在上为单调递增函数，， 所以是递增数列，故B正确； ∵，所以，故C错误； 因此，，故D正确． 故选：ABD． 4．已知正项数列满足，，则 . 【答案】 【解析】因为，所以，即， 故， 当且仅当时，等号成立. 设，可得，解得， 故是常数列，每一项都是. 故答案为： 5．（2025·高三·辽宁葫芦岛·期末）已知数列是等比数列，首项，公比，其前n项和为，且，，成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，为数列的前n项和，求证：． 【解析】（1）由题意知：， ∴，即，于是， ∵， ∴，又，则． （2）法一：，则，故， ∴， ， . 法二：，则，故， ∴， ， ， . 6．（2025·浙江·模拟预测）已知数列的前n项和为，且满足. (1)求数列的通项公式. (2)若，数列的前n项和为，证明：. 【解析】（1）因为，所以令，得，所以. 又，所以， 两式相减可得，即， 所以是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，即. （2）因为，所以为递增数列，则. 由（1）知， 所以 ， 所以， 从而. 综上可得. 7．设数列前项和为，且满足，，，数列满足． (1)求、的通项公式； (2)记，求证：． 【解析】（1）对任意的，， 当时，由可得， 上述两个等式作差得，所以，， 所以，，所以，， 令，则，故数列为常数列，且， 所以，， 也满足，故对任意的，. 故，所以，. （2）因为，解得， 所以，， 当时，成立； 当时， ， 此时， 综上所述，对任意的，. 8．（2025·高三·浙江杭州·开学考试）设数列满足：，设为数列的前项和，已知， （1）求数列的通项公式 （2）求证：对任意的且，有 【解析】（1）数列满足：， 所以是公比为3的等比数列，所以. 在中，对于， 令n=1可得：，解得：； 所以. 当时，， 所以，即， 所以是公比为2的等比数列，所以. （2）因为时，， 所以 即证. 9．（2025·浙江·模拟预测）已知数列的前n项和为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）记为的前项和，证明：． 【解析】（1）当时， ，即， 所以，由因为， 所以是首项为1，公差为1的等差数列， 所以， 所以， 所以， 经检验不满足， 所以 ， （2）由（1）可得 ， 所以， 要证明， 即证明， 数学归纳法证明如下： 当时，左边，右边， 左边=右边，所以不等式成立； 假设当时成立，即成立， 当时，左边等于 右边， 即当时，不等式也成立， 综上所述：当时，不等式成立， 故. 10．已知数列的前n项和为，满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和为，证明：当时. 【解析】（1）根据题意，当时， 法一： ∴ 当时， ，也满足. 法二： 可得， 所以数列是常数列， . （2），， 首项满足，所以， 所以， 设数列， 数列前n项和为， 分析可得，数列从第2项开始放缩成， 设数列 数列前n项和为， 所以. 11．已知正项数列满足且． （I）证明数列为等差数列； （II）若记，求证：． 【解析】（I）将原式变形得 ，利用累乘法得：，是以 为首项，以 为公差的等差数列；（II）由（I）知 ． 试题解析： （I）证明：将原式变形得：， 由于为正项数列，故有：，利用累乘法得：． 从而得知：数列是以 为首项，以 为公差的等差数列． （II）由（I）知， 从而 ． 考点：1、等差数列；2、累积法；3、裂项相消法． 【方法点晴】本题考查等差数列、累积法和裂项相消法，涉及转化化归思想，考查逻辑推理能力、化归能力和计算能力，综合性较高，属于较难题型．第二小题利用转化化归思想将原式变形得 ，利用累乘法得：可得是等差数列．第二小题利用放缩法和裂项相消法即可证明原命题成立． 12．（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知等差数列中，．正项数列前项和满足：对任意 成等比数列． (1)求数列的通项公式： (2)记．证明：对任意，都有． 【解析】（1）由，可得，，所以， 由题设，①，取得，解得． 又 ②， 两式相减得：， 所以，故． （2）由（1）得：， 当时，不等式显然成立， 假设时不等式成立，即， 那么当时， ， 所以当时，结论也成立． 综上，对任意，都有． 13．（2025·高三·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求a的取值范围； (3)设，证明：． 【解析】（1）当时，，则． 当时，；当时，， 故的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）设，则． 又，设，则． 若，则． 因为为连续不间断的函数，故存在，使得，总有， 所以在上为增函数，所以， 所以在上为增函数，故，与题设矛盾． 若，则． 下证：对任意，总有成立， 证明：设，则， 所以在上为减函数，故，即成立． 由上述不等式有， 故总成立，即在上为减函数，所以． 当时，有， 所以在上为减函数，所以． 综上，a的取值范围为． （3）取，则，总有成立． 令，则，故即对任意的恒成立， 所以对任意的，有，整理得到， 故， 故不等式成立． 14．已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求a的取值范围； (3)设，证明：． 【解析】（1）当时，，则， 当时，，当时，， 故的减区间为，增区间为. （2）设，则， 又，设， 则， 若，则， 因为为连续不间断函数， 故存在，使得，总有， 故在为增函数，故， 故在为增函数，故，与题设矛盾. 若，则， 下证：对任意，总有成立， 证明：设，故， 故在上为减函数，故即成立. 由上述不等式有， 故总成立，即在上为减函数， 所以. 当时，有，     所以在上为减函数，所以. 综上，. （3）取，则，总有成立， 令，则， 故即对任意的恒成立. 所以对任意的，有， 整理得到：， 故 ， 故不等式成立. 15．（2025·高三·湖北·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：. 【解析】（1）的定义域为,， .当时，恒成立，在单调递增； .当时，有两根，但两根均为负数， 当时，单调递增， .当时，有两正根和， 当时，在单调递增； 当时，在单调递减； 当时在单调递增； 综上所述： 当时，增区间为； 当时，增区间为和； 减区间为. （2），令， 则在上单调递增，， 若，则在上单调递增， ，与题意相符； 若，则，所以必存在，使得当时，单调递减， 从而使得当时，，与题意相矛盾； 综上：. （3）由（2）知，当时，（仅当时取等号）， ，令，则有：； ，得证. 16．已知函数． (1)当时，判断在的单调性； (2)设，证明：． 【解析】（1）当时，，则， 显然，令，则，则， 当时，，所以在上递减，所以， 所以，即，即，， 所以在的单调递减. （2）令，则， 所以在上递增，所以，所以， 令，则， 所以，所以， 所以， 所以， 因为，，所以， 所以， 即. 17．设等差数列的前项和为，，，数列满足：对每成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）记 证明： 【解析】(1)由题意可得：，解得：， 则数列的通项公式为 . 其前n项和. 则成等比数列，即： ， 据此有： ， 故. (2)结合(1)中的通项公式可得： ， 则. 18．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，求k的值； (3)设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值. 【解析】（1）当时，，， 所以，所以切线的斜率为， 又因为， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）因为， 当时，， 所以在上单调递增， 又因为，与不符； 当时，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以，所以， 设， 则， 由，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以有唯一解，且. （3）由（2）知当时，， 当且仅当时，. 所以当且时，， 则. 取（），所以， 所以，，， 所以. 所以 所以 于是对于任意正整数n，， 只需，又因为，所以， 则m的最小值为. 19．已知等差数列的首项，数列的前项和为，且，，成等比数列． （1）求通项公式； （2）求证：（）； 【解析】（1）记为的公差，则对任意，， 即为等比数列，公比. 由，，成等比数列，得， 即，解得，即. 所以，即； （2）由（1），即证：. 下面用数学归纳法证明上述不等式. ①当时，不等式显然成立； ②假设当时，不等式成立，即， 则当时，. 因， 故. 于是， 即当时，不等式仍成立. 综合①②，得. 所以 20．（2025·浙江·一模）已知数列满足，，数列的前项和为，证明：当时， （1）； （2）； （3）. 【解析】（1）直接作差得，根据差的符号可得.转化为证明，利用反证法可得；再证，利用得与同号，即得结论（2）放缩构造裂项：，即得，再根据裂项求和法可得（3）放缩构造裂项：，再利用裂项相消法求和得结论 试题解析：证明：（1）由于，则. 若，则，与矛盾，从而， ， 又，与同号， 又，则，即. （2）由于，则. 即，， 当时， 从而 当时，，从而. （3）， 叠加： . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题12 数列放缩 【题型归纳目录】 题型一：蛛网图（压轴小题放缩） 题型二：等差放缩 题型三：等比放缩 题型四：通项放缩 【知识点梳理】 常见放缩公式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10） ； （11） ； （12）； （13）． （14）． （15）二项式定理 ①由于， 于是 ②， ； ， （16）糖水不等式 若，则；若，则． 【典型例题】 题型一：蛛网图（压轴小题放缩） 【典例1-1】已知数列满足，，，则下列结论中不一定正确的是 A．， B． C． D． 【典例1-2】（2025·高三·浙江·期中）已知数列满足，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·河北石家庄·模拟预测）已知数列满足：，．则下列说法正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式1-2】已知数列，，下列说法正确的是（    ） A．对任意的，存在，使数列是递增数列； B．对任意的，存在，使数列不单调； C．对任意的，存在，使数列具有周期性； D．对任意的，当时，存在. 题型二：等差放缩 【典例2-1】已知数列满足：，正项数列满足：，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项的和； (3)记为数列的前项积，证明： 【典例2-2】已知函数的定义域为，设，曲线在点处的切线交轴于点，当时，设曲线在点处的切线交轴于点，依次类推，称得到的数列为函数关于的“数列”，已知. (1)求证：的图象与轴有两个交点； (2)若是函数关于的“数列”，记. ①证明：数列为等比数列，并求其通项公式； ②记，（），证明：. 【变式2-1】已知数列满足记. (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)求数列的前项和. (3)设，记数列的前项和为，求证：. 题型三：等比放缩 【典例3-1】（2025·天津南开·一模）在正项等比数列中，. (1)求的通项公式： (2)已知函数，数列满足：. （i）求证：数列为等差数列，并求的通项公式 （ii）设，证明：， 【典例3-2】（2025·天津南开·模拟预测）设数列满足：．设为数列的前n项和，已知，． （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前n项和； （3）证明：对任意且，有． 【变式3-1】（2025·高三·河南洛阳·期中）已知数列满足，设. （I）求证：数列为等比数列，并求的通项公式； （II）设，数列的前项和，求证：. 【变式3-2】（2025·天津河西·模拟预测）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求证：； (3)表示不超过x的最大整数，； 求（i）； （ii）． 题型四：通项放缩 【典例4-1】（2025·高三·山东青岛·期末）在各项均为正数的数列中，，，． (1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，记数列的前n项和为． （i）求；（ii）证明：． 【典例4-2】已知数列满足=且=-（）. （1）证明：1（）； （2）设数列的前项和为，证明（）. 【典例5-1】已知数列，满足，记． (1)求数列的通项公式； (2)求证：； (3)设数列的前n项和为，证明：． 【典例5-2】（2025·浙江·模拟预测）已知数列满足． (1)证明：是等差数列； (2)记为的前n项和，证明：当时，． 【专题训练】 1．（2025·湖南·模拟预测）已知正项数列满足，且，为前100项和，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（2025·辽宁朝阳·一模）已知数列满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．数列为递减数列 B． C． D． 3．（多选题）（2025·辽宁铁岭·一模）设数列满足，对恒成立，则下列说法正确的是（    ）． A． B．是递增数列 C． D． 4．已知正项数列满足，，则 . 5．（2025·高三·辽宁葫芦岛·期末）已知数列是等比数列，首项，公比，其前n项和为，且，，成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，为数列的前n项和，求证：． 6．（2025·浙江·模拟预测）已知数列的前n项和为，且满足. (1)求数列的通项公式. (2)若，数列的前n项和为，证明：. 7．设数列前项和为，且满足，，，数列满足． (1)求、的通项公式； (2)记，求证：． 8．（2025·高三·浙江杭州·开学考试）设数列满足：，设为数列的前项和，已知， （1）求数列的通项公式 （2）求证：对任意的且，有 9．（2025·浙江·模拟预测）已知数列的前n项和为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）记为的前项和，证明：． 10．已知数列的前n项和为，满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和为，证明：当时. 11．已知正项数列满足且． （I）证明数列为等差数列； （II）若记，求证：． 12．（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知等差数列中，．正项数列前项和满足：对任意 成等比数列． (1)求数列的通项公式： (2)记．证明：对任意，都有． 13．（2025·高三·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求a的取值范围； (3)设，证明：． 14．已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求a的取值范围； (3)设，证明：． 15．（2025·高三·湖北·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：. 16．已知函数． (1)当时，判断在的单调性； (2)设，证明：． 17．设等差数列的前项和为，，，数列满足：对每成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）记 证明： 18．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，求k的值； (3)设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值. 19．已知等差数列的首项，数列的前项和为，且，，成等比数列． （1）求通项公式； （2）求证：（）； 20．（2025·浙江·一模）已知数列满足，，数列的前项和为，证明：当时， （1）； （2）； （3）. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$