微专题08 三次函数的性质（4大题型）-2025年新高考数学微专题全力突破

微专题08 三次函数的性质 【题型归纳目录】 题型一：函数的零点 题型二：对称性 题型三：切线问题 题型四：根与系数的关系 【知识点梳理】 1、基本性质 设三次函数为：(、、、且)，其基本性质有： 性质1：①定义域为．②值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③单调性和图像： 图像 性质2：三次方程的实根个数 由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数 其导函数为二次函数:， 判别式为：△=，设的两根为、，结合函数草图易得： (1) 若，则恰有一个实根； (2) 若,且，则恰有一个实根； (3) 若,且，则有两个不相等的实根； (4) 若,且，则有三个不相等的实根. 说明:(1)(2)含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在R上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）; (5)有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且; (6)有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且. 性质3：对称性 （1）三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；； （2）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2、常用技巧 （1）其导函数为 对称轴为，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，图象的对称中心在导函数的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点； （2）是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线 对称. （3）若图象关于直线对称，则图象关于点对称. （4）已知三次函数的对称中心横坐标为，若存在两个极值点，，则有. 【典型例题】 题型一：函数的零点 【典例1-1】已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是 A． B． C． D． 【典例2-1】若函数有极值点，且，则关于x的方程的不同实根个数是（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【典例2-2】（多选题）设，若为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知函数 (1)若，求函数的单调区间; (2)证明：函数至多有一个零点. 题型二：对称性 【典例3-1】设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数图象的对称中心.若函数，则 . 【典例3-2】若函数图象关于点成中心对称，则 . 【变式3-1】（多选题）（2025·全国·模拟预测）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（    ） A．的极大值点为 B．有且仅有3个零点 C．点是的对称中心 D． 【变式3-2】已知函数，，其中、，若存在极值点，且，其中，则 . 题型三：切线问题 【典例4-1】已知函数，过点可作曲线的三条切线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】已知函数，若过点可作曲线的三条切线， 则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【变式4-1】若过点可作曲线的三条切线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式4-2】（2025·安徽·一模）已知曲线与直线相切，且满足条件的值有且只有3个，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 题型四：根与系数的关系 【典例5-1】已知函数有两个零点，，则可设，由可知，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也称韦达定理．多项式运算可以更好地理解“韦达定理”，类似地，若为方程的3个实数根，设，则为的系数，为的系数，为常数项，于是有，，实际上任意实系数次方程都有类似结论．设方程的四个实数根为，则 ， ． 【典例5-2】函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数． (1)若函数的对称中心为，求函数的解析式． (2)由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积．进而，一元n次多项式方程有n个复数根（重根按重数计）．如设实系数一元二次方程，在复数集内的根为，，则方程可变形为，展开得：则有，即，类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系． ①若，方程在复数集内的根为，当时，求的最大值； ②若，函数的零点分别为，求的值. 【变式5-1】人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题，牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法—牛顿法，这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采用.设实系数一元三次方程：—①，在复数集C内的根为，，，可以得到，方程①可变为：，展开得：—②，比较①②可以得到一元三次方程根与系数关系： (1)若一元三次方程：的3个根为，，，求的值； (2)若函数，且，，求的取值范围； (3)若一元四次方程有4个根为，，，，仿造上述过程，写出一元四次方程的根与系数的关系. 【变式5-2】设实系数一元二次方程①，有两根， 则方程可变形为，展开得②， 比较①②可以得到 这表明，任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理. 事实上，与二次方程类似，一元三次方程也有韦达定理. 设方程有三个根，则有③ (1)证明公式③，即一元三次方程的韦达定理； (2)已知函数恰有两个零点. （i）求证：的其中一个零点大于0，另一个零点大于且小于0； （ii）求的取值范围. 【专题训练】 1．（2025·高三·湖北荆州·期末）设函数，,若当0当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是 A． B． C． D． 2．已知曲线与直线相切，且满足条件的值有且只有个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北武汉·一模）已知直线与曲线相交，交点依次为，，，且，则直线的方程为 A． B． C． D． 4．已知正方形的中心在坐标原点，四个顶点都在函数的图象上．若正方形唯一确定，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 5．函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是 . 6．已知函数．若时，直线与曲线相切，则的所有可能的取值为 ；若a∈R时，直线与曲线相切，且满足条件的k的值有且只有3个，则a的取值范围为 ． 7．设函数，其中．若存在极值点，且，其中，则 ． 8．（2025·全国·模拟预测）已知函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）求证：对任意的，只有一个零点. 9．（2025·高三·内蒙古包头·开学考试）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)证明：只有一个零点． 10．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有三个零点，求的取值范围． 11．已知函数在处有极值0. (1)讨论函数的单调性； (2)记，若函数有三个零点，求实数k的取值范围. 12．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有三个零点，求的取值范围． 13．设函数，． (1)求的单调区间； (2)若存在极值点，且，其中，求证：． 14．设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直． （1）求b． （2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1． 15．已知函数存在极值点. (1)求的取值范围； (2)过曲线外的点作曲线的切线，所作切线恰有两条，切点分别为. (ⅰ)证明：； (ⅱ)请问的面积是否为定值？若是，求此定值；若不是求出面积的取值范围. 16．已知函数（为常数），其图象是曲线． （1）当时，求函数的单调减区间； （2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围； （3）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为．问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题08 三次函数的性质 【题型归纳目录】 题型一：函数的零点 题型二：对称性 题型三：切线问题 题型四：根与系数的关系 【知识点梳理】 1、基本性质 设三次函数为：(、、、且)，其基本性质有： 性质1：①定义域为．②值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③单调性和图像： 图像 性质2：三次方程的实根个数 由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数 其导函数为二次函数:， 判别式为：△=，设的两根为、，结合函数草图易得： (1) 若，则恰有一个实根； (2) 若,且，则恰有一个实根； (3) 若,且，则有两个不相等的实根； (4) 若,且，则有三个不相等的实根. 说明:(1)(2)含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在R上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）; (5)有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且; (6)有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且. 性质3：对称性 （1）三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；； （2）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2、常用技巧 （1）其导函数为 对称轴为，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，图象的对称中心在导函数的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点； （2）是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线 对称. （3）若图象关于直线对称，则图象关于点对称. （4）已知三次函数的对称中心横坐标为，若存在两个极值点，，则有. 【典型例题】 题型一：函数的零点 【典例1-1】已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，函数有两个零点和，不满足题意，舍去；当时，，令，得或．时，；时，；时，，且，此时在必有零点，故不满足题意，舍去；当时，时，；时，；时，，且，要使得存在唯一的零点，且，只需，即，则，选C． 考点：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性． 【典例2-1】若函数有极值点，且，则关于x的方程的不同实根个数是（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】令，则．又，由题意知或，即方程的根为．于是，或． 如图1所示． 由图像可知有2个解，有1个解，因此方程的不同实根个数为3． 故选：A． 【典例2-2】（多选题）设，若为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故. 有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的. 当时，由，，画出的图象如下图所示： 由图可知，，故. 当时，由时，，画出的图象如下图所示： 由图可知，，故. 综上所述，成立. 故选：BCD. 【变式2-1】已知函数 (1)若，求函数的单调区间; (2)证明：函数至多有一个零点. 【解析】（1）当时，，. 令，解得或， 当时，；当时，， 故 在，上单调递增，在上单调递减. （2），由于，所以等价于 设， 则，当且仅当或时，，所以在上单调递增， 故至多有一个零点，从而至多有一个零点. 题型二：对称性 【典例3-1】设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数图象的对称中心.若函数，则 . 【答案】 【解析】由，可得， 令，可得，又， 所以的图象的对称中心为， 即， 所以 ， 故答案为： 【典例3-2】若函数图象关于点成中心对称，则 . 【答案】 【解析】由题意得， 由， 联立解得，所以， 故答案为： 【变式3-1】（多选题）（2025·全国·模拟预测）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（    ） A．的极大值点为 B．有且仅有3个零点 C．点是的对称中心 D． 【答案】BCD 【解析】由题意知. 令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递增； 令，解得，所以在上单调递减. 又，. 所以，在处有极大值，在处有极小值. 所以的极大值点为-2，A项错误； 又极大值，极小值，作出的图象， 有图象可知，有且仅有3个零点，故B正确； ，令，解得， 又，由题意可知，点是的对称中心，故C正确； 因为点是的对称中心，所以有，即. 令， 又， 所以 ，，所以.故D正确. 故选：BCD. 【变式3-2】已知函数，，其中、，若存在极值点，且，其中，则 . 【答案】 【解析】，， 由题意可得，则，，， ，， ，， ，， ，即， ，即. 故答案为：. 题型三：切线问题 【典例4-1】已知函数，过点可作曲线的三条切线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设切点为， 则， 所以切线的斜率为， 又因为切线过点， 所以，即， 令， 则，令，得或， 当或时，，当时，， 所以当时，取得极大值， 当时，取得极大小值， 因为过点可作曲线的三条切线， 所以方程有3个解， 则，解得， 故选：D 【典例4-2】已知函数，若过点可作曲线的三条切线， 则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，设切点为，所以切线的斜率，曲线在点处的切线方程为，因为该切线过点，所以，即， 过点可作曲线的三条切线， 关于的方程有三个不同的根， 令， ，解得或， 当时，，当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极大值， 当时，取得极小值， 关于的方程有三个不同的根，等价于与的图象有三个不同的交点， ， ， 实数的取值范围为． 故选：A． 【变式4-1】若过点可作曲线的三条切线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】设出切点坐标,利用导数求得切线的斜率,再用两点式表示出斜率.令两个斜率相等,即可得关于切点横坐标的方程,分离参数后研究三次函数的极值情况即可求得的取值范围.过点作曲线的切线 则 设切点坐标为 则 则过切点的直线方程的斜率为 过切点和的斜率为 则 化简可得 令, 则 令 解得或 当时, ,所以单调递增 当时, ,所以单调递减 当时, ,所以单调递增 画出函数图像如下图所示: 所以当时, 取得极大值为 所以当时, 取得极小值为 所以若有三个不同交点,则 此时满足过点可作曲线三条切线 故选:B 【变式4-2】（2025·安徽·一模）已知曲线与直线相切，且满足条件的值有且只有3个，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得：，设切点， 则其切线的斜率为， 所以切线方程为，又点在切线上， ∴，即， 由题意得，方程有三个不同的实数解，记， 则，当时，令，解得或，令，解得， 则函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∵，，∴要使方程有三个不同的实数解， 则，解得，实数的取值范围是，故选B 题型四：根与系数的关系 【典例5-1】已知函数有两个零点，，则可设，由可知，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也称韦达定理．多项式运算可以更好地理解“韦达定理”，类似地，若为方程的3个实数根，设，则为的系数，为的系数，为常数项，于是有，，实际上任意实系数次方程都有类似结论．设方程的四个实数根为，则 ， ． 【答案】 【解析】设 ，， 由， 可得， 所以，即，，，，， 所以，， ，． 故答案为：； 【典例5-2】函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数． (1)若函数的对称中心为，求函数的解析式． (2)由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积．进而，一元n次多项式方程有n个复数根（重根按重数计）．如设实系数一元二次方程，在复数集内的根为，，则方程可变形为，展开得：则有，即，类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系． ①若，方程在复数集内的根为，当时，求的最大值； ②若，函数的零点分别为，求的值. 【解析】（1）由为奇函数，则恒成立. 即， 整理得：恒成立，故，解得， 故. （2）①若，则，由题有的三个实根为. 设， 展开得， 故， 则， 又，故， 综上：当时，的最大值为； ②时，，由有， 同时除以得，令，，， 由题知是方程的三个根， 则， 展开得，， 则. 【变式5-1】人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题，牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法—牛顿法，这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采用.设实系数一元三次方程：—①，在复数集C内的根为，，，可以得到，方程①可变为：，展开得：—②，比较①②可以得到一元三次方程根与系数关系： (1)若一元三次方程：的3个根为，，，求的值； (2)若函数，且，，求的取值范围； (3)若一元四次方程有4个根为，，，，仿造上述过程，写出一元四次方程的根与系数的关系. 【解析】（1）依题意，对于，， 所以， 因为， 所以. （2）因为，则， 令，则是方程的三个根， 因为，所以，则， 因为，所以 （3）因为（）有4个根为，，，， 所以， 展开得 ， 对比可得一元四次方程的根与系数的关系为. 【变式5-2】设实系数一元二次方程①，有两根， 则方程可变形为，展开得②， 比较①②可以得到 这表明，任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理. 事实上，与二次方程类似，一元三次方程也有韦达定理. 设方程有三个根，则有③ (1)证明公式③，即一元三次方程的韦达定理； (2)已知函数恰有两个零点. （i）求证：的其中一个零点大于0，另一个零点大于且小于0； （ii）求的取值范围. 【解析】（1）证明：因为方程有三个根， 所以方程即为， 变形为， 比较两个方程可得. （2）（i）证明：有两个零点， 有一个二重根，一个一重根，且 由（1）可得，由可得. 由可得，. 联立上两式可得，解得， 又，综上. （ii）由（i）可得， . 令，则， ，当时，， 在上单调递增，， . 【专题训练】 1．（2025·高三·湖北荆州·期末）设函数，,若当0当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，，令， 则 而是上的单调递增函数，又是奇函数，于是. 故不等式恒成立，可得到， 则，即， 因为，所以，则， 故. 2．已知曲线与直线相切，且满足条件的值有且只有个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设切点坐标为，对函数求导得， 所以，曲线在处的切线方程为， 因为直线过定点， 将点的坐标代入切线方程得， 由题意可知，关于的方程有三个解， 显然不满足方程，则， 令，则，列表如下： 增 减 极小值 减 所以，函数的极小值为，且，如下图所示： 由题意可知，当时，直线与曲线有三个交点， 故选：D. 3．（2025·湖北武汉·一模）已知直线与曲线相交，交点依次为，，，且，则直线的方程为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数的解析式可得：， 导函数的对称轴为原函数的对称中心横坐标， 则原函数对称中心纵坐标为：， 则对称中心为，由可知直线经过点， 联立方程组：可得：或， 据此可得直线过点：， 则直线方程为：. 故选：B 4．已知正方形的中心在坐标原点，四个顶点都在函数的图象上．若正方形唯一确定，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】法一：因为四边形为正方形，为其中心， 所以⊥于点，且， 不妨设直线的方程为，则直线的方程为， 设点，，则， 当时，，在R上单调递增，与仅有1个交点为原点，不合题意， 当时，联立直线与曲线方程，得到，解得， 联立直线与曲线方程，得到，解得， 因为，所以， 整理得，即， 设，该函数在上单调递增，值域为R， 要使符合题意的正方形只有1个，则必有有两个相等的实数根， 即，解得，正根舍去， 此时，解得，负根舍去， 所以； 法二：不妨设点在第一象限，且四点逆时针排布， 设，， 则， 由题意得两点存在曲线上， 所以， 由①得，由②得， 联立两式得 ， 因为，， 故，， 又，所以只有时，才能使得两式恒成立， 故， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 由题意，有唯一解，故. 故选：C 5．函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】的定义域为，且， 为奇函数，且在上单调递增， 由得，， ，， ①时，， ②时，， 的最小值为1，， 实数的取值范围是，故答案为. 6．已知函数．若时，直线与曲线相切，则的所有可能的取值为 ；若a∈R时，直线与曲线相切，且满足条件的k的值有且只有3个，则a的取值范围为 ． 【答案】 ，5 【解析】当时，，求导得：，设直线与曲线相切的切点为， 则，且，即， 整理得，解得或，则或， 所以的所有可能的取值为，5； 由求导得：，设直线与曲线相切的切点为，于是得，且，则， 显然函数在R上单调递增，因直线与曲线相切的k的值有且只有3个， 则有直线与曲线相切的切点横坐标t值有且只有3个，即方程有3个不等实根， 令，求导得：，当或时，，当时，， 即函数在，上递增，在上递减，当时，取得极大值，当时，取得极小值， 方程有3个不等实根，当且仅当函数有3个不同的零点，因此，解得， 所以a的取值范围为. 故答案为：，5； 7．设函数，其中．若存在极值点，且，其中，则 ． 【答案】4 【解析】依题意，，因存在极值点，则，即， 由得， 由得， 而，于是得，即， ，从而得， 所以. 故答案为：4 8．（2025·全国·模拟预测）已知函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）求证：对任意的，只有一个零点. 【解析】（1）时，， 则， 令，解得：或， 令，解得：， 故在和，递增，在，递减； （2）证明： 令，则有， 令， 则， 故在上递增， 又，所以仅有1个根， 即只有1个零点. 9．（2025·高三·内蒙古包头·开学考试）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)证明：只有一个零点． 【解析】（1）若，则，， 令，解得，， 当时，，递增， 当时，，递减， 所以在，单调递增，在单调递减； （2）由于，所以等价于， 设，则， 因为，所以所以在单调递增， 故至多有一个零点，从而至多有一个零点， 又， ， 所以存在唯一的，使得故有一个零点， 综上，只有一个零点 10．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有三个零点，求的取值范围． 【解析】（1）由题，， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得，令，得， 令，得或，所以在上单调递减，在 ，上单调递增. （2）由（1）知，有三个零点，则，且 即，解得， 当时，，且， 所以在上有唯一一个零点， 同理，， 所以在上有唯一一个零点， 又在上有唯一一个零点，所以有三个零点， 综上可知的取值范围为. 【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及已知零点个数求参数的范围问题，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题. 11．已知函数在处有极值0. (1)讨论函数的单调性； (2)记，若函数有三个零点，求实数k的取值范围. 【解析】（1）由函数，可得， 因为在处有极值0， 可得，即，解得或， 当时，， 此时函数在R上单调递增，不满足在时有极值，故舍去， 故，，所以， 可得， ∴当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. （2）由（1），可得， 则， 由（1）知在和上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，的极小值为， 要使函数有三个零点，则须满足， 解得， 故实数k的取值范围为. 12．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有三个零点，求的取值范围． 【解析】（1）由题意，函数，可得， 当时，，单调递增； 当时，， 令，解得或； 令，解得， 所以函数单调递增区间为，递减区间为， 综上可得，当时，单调递增； 当时，函数单调递增区间为，递减区间为. （2）由（1）知，当时，单调递增，显然不成立， 当时，函数在递增，在递减，在递增， 且当时，，当时，， 要使得函数有三个零点，则满足， 解得， 综上可得，实数的取值范围． 13．设函数，． (1)求的单调区间； (2)若存在极值点，且，其中，求证：． 【解析】（1）由求导，可得． 下面分两种情况讨论： ① 当时，有恒成立，所以的单调递增区间为； ② 当时，令，解得． 当x变化时，，的变化情况如下表： x 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递减区间为， 单调递增区间为，．       综上：当时，的单调递增区间为， 当时，所以的单调递减区间为，单调递增区间为，． （2）因为存在极值点，所以由（1）知，且， 由题意，得，即，， 进而． 又 ，且． 由题意及（1）知，存在唯一实数满足，且， 因此，所以． 14．设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直． （1）求b． （2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1． 【解析】（1）因为，由题意，，即：，则． （2）［方法一］：通性通法 由（1）可得，， 令，得或；令，得， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 且， 若所有零点中存在一个绝对值大于1的零点，则或， 即或. 当时，， 又， 由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点， 即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点， 此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 当时，， 又， 由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点， 即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点， 此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 综上，所有零点的绝对值都不大于1. ［方法二］【最优解】： 设是的一个零点，且，则． 从而． 令，由判别式，可知在R上有解，的对称轴是，所以在区间上有一根为，在区间上有一根为（当时，），进而有，所以的所有零点的绝对值均不大于1． ［方法三］： 设是函数的一个绝对值不大于1的零点，且．设，则，显然在区间内单调递减，在区间内单调递增，在区间内单调递减．又，于是的值域为． 设为函数的零点，则必有，于是，所以解得，即． 综上，的所有零点的绝对值都不大于1． ［方法四］： 由（1）知，，令，得或．则在区间内递增，在区间内递减，在区间内递增，所以的极大值为的极小值为． （ⅰ）若，即或，有唯一一个零点，显然有，不满足题意； （ⅱ）若，即或，有两个零点，不妨设一个零点为，显然有，此时，，则，另一个零点为1，满足题意；同理，若一个零点为，则另一个零点为． （ⅲ）若，即，有三个零点，易知在区间内有一个零点，不妨设为，显然有，又，，所以在内有一个零点m，显然，同理，在内有一个零点n，有． 综上，所有零点的绝对值都不大于1． ［方法五］： 设是的一个零点且，则是的另一个零点． ． 则，设，由判别式，所以方程有解． 假设实数满足． 由，得．与矛盾，假设不成立． 所以，所有零点的绝对值都不大于1． 15．已知函数存在极值点. (1)求的取值范围； (2)过曲线外的点作曲线的切线，所作切线恰有两条，切点分别为. (ⅰ)证明：； (ⅱ)请问的面积是否为定值？若是，求此定值；若不是求出面积的取值范围. 【解析】( 1 )函数的导数为，若函数存在极值点, 则有解，即，， 当时， ,此时函数单调递增，无极值，. (2) ( i )过点作曲线的切线，设切点， 则切线方程为， 将代入得， 即， 由条件知切线恰有两条， 方程恰有两根， 令， 则， 则函数有两个极值点与, 于是或， 当时，成立. 当时，，此时， 经过与条件在曲线外不符合，. (ⅱ)当时，， 等价为，解得或， 此时，即， ，即， 则的方程为，即， 则， 点到直线的距离， 的面积为为定值. 16．已知函数（为常数），其图象是曲线． （1）当时，求函数的单调减区间； （2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围； （3）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为．问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】(1)当时， . 2分 令f ¢(x)<0，解得，f(x)的单调减区间为． 4分 (2) ， 由题意知消去，得有唯一解． 6分 令，则， 以在区间，上是增函数，在上是减函数， 8分 又，， 故实数的取值范围是． 10分 (3) 设，则点处切线方程为， 与曲线：联立方程组，得，即，所以点的横坐标． 12分 由题意知，，， 若存在常数，使得，则， 即常数，使得， 所以常数，使得解得常数，使得，． 15分 故当时，存在常数，使；当时，不存在常数，使．16分 2 学科网（北京）股份有限公司 $$