精品解析：2025年湖南省常德市澧县中考二模数学试题

2025初中学业水平考试模拟试卷（三）数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证、号、考场和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共26道题目，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项） 1. 下面算式错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数的运算，根据有理数的加减乘除法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，错误，符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，正确，不符合题意； D、，正确，不符合题意； 故选A． 2. 由5个完全相同的小正方体组成的几何体如图所示，该几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图，根据从左面观察物体所得到的视图是左视图进行解答即可，正确理解三视图是解题的关键． 【详解】解：这个几何体的左视图是， 故选：． 3. 如图，把一块含角的直角三角板放置于两条平行线间，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 利用平行线的性质计算即可得到答案． 【详解】解：如图， ， ， ， ， 故选：C． 4. 如果单项式与单项式是同类项，那么在平面直角坐标系中的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同类项的定义，平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据同类项的定义求出，得到点的坐标为，得出点在第一象限，即可得到答案． 【详解】解：单项式与单项式是同类项， ， ， 点的坐标为， 点第一象限． 故选：A． 5. 《数书九章》中有一个问题：今有田一顷，分为三乡，甲乡田三十亩，乙乡田四十亩，丙乡田三十亩．今从甲乡抽田三亩，验得其中一亩产谷十石；从乙乡抽田四亩，验得其中一亩产谷八石；从丙乡抽田三亩，验得其中一亩产谷九石．问三乡田总产谷多少？其意思是：有一块田，总面积为100亩，分给三个乡，甲乡分田30亩，乙乡分田40亩，丙乡分田30亩．现从甲乡中抽取3亩田，测得平均每亩产谷10石；从乙乡中抽取4亩田，测得平均每亩产谷8石；从丙乡抽取3亩田，测得平均每亩产谷9石．则这100亩田共产谷大约（　　） A. 800石 B. 890石 C. 900石 D. 1000石 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求平均数，利用样本估计总体，求出抽取的10亩田中每亩平均产谷量，再利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】解：抽取的10亩田中每亩平均产谷为（石）， 这100亩田共产谷大约（石）． 故选B． 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组解集的数轴表示，正确掌握解集表示法是解题的关键．先求出不等式组的解集，再根据大于方向向右，小于方向向左，有等号，数用实点覆盖，无等号，数用空心圆圈覆盖，解答即可． 【详解】解：， 由得：， 由得：， 原不等式组的解集为． 故选C． 7. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，与相交于点．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理及其推论是解题的关键．根据对顶角相等、三角形内角和定理以及圆周角定理得到，根据圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ． 是的直径， ∴ ， ． 故选D． 8. 若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比较二次根式的大小，分别求出，进而即可判断求解，掌握二次根式的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ， ， 故选：． 9. 如图，在菱形中，点是与的交点，，垂足为，若，则的长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，以及直角三角形的性质，根据题意可得，利用勾股定理求出的长度．再根据直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：在菱形中，点是与的交点，，， ，， ，点为的中点， ， ， 是直角三角形， ， 故选：C． 10. 对于实数，规定一种新的运算，则下面说法错误的是（　　） A. B. C. 若，则 D. 若，则或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，一元二次方程的应用，按照题意判断每个选项即可，正确理解题意，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：A、，故A正确； B、，故B正确； C、，，故C正确； D、， ， 整理得， 解得或，故D错误． 故选：D． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 若，则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】 ， 解得， 检验：将代入，符合题意 ∴原方程的解为． 故答案为：3． 12. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的意义，有， 解得， 故自变量x的取值范围是， 故答案为：． 13. 杭州“六小龙”是指六家在杭州创办、具有较强科技创新能力和影响力的企业．这六家企业分别是：深度求索（）、游戏科学、宇树科技、强脑科技、群核科技和云深处科技．某科技活动小组的同学准备利用“五一”假期到杭州参观科技企业，他们想从杭州“六小龙”企业中随机的选择家参观，则恰好选到宇树科技的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率，利用概率公式求解即可． 【详解】解：总共有家企业， 从中任选家，恰好选到宇树科技的概率是， 故答案为：． 14. 某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而增大．写出一个满足条件的k的值是_____________． 【答案】（答案不唯一，只要） 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的值即可． 【详解】解：∵当时，y随x的增大而增大． ∴， 故答案为：（答案不唯一，只要） 15. 若，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查分式的求值，完全平方公式的应用，利用完全平方公式可得，即可求解． 【详解】解：， ，即， ． 故答案为：． 16. 如图，在中，，作交的延长线于点，若是的中线，，则四边形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，由平行四边形和中线的性质可得，，进而由勾股定理得，再求出四边形的周长即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 是的中线， ， ∴， ， ∴， ∴， ∴四边形的周长， 故答案为：． 17. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向、距离灯塔60海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的东南方向上的处，若海轮以每小时30海里的速度航行，则海轮从处航行到达处大约要_______小时．（参考数据：，，tan） 【答案】2.76 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握方位角和三角函数是解题的关键．过点作于点，由题意知，根据时间等于路程除以速度进行解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意知 ， 则海轮从处航行到达处需要的时间 （小时）． 故答案为：2.76 18. 将4个大小相同的小正方形按如图所示的方式摆放在大正方形中，已知13，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、二元一次方程组的应用、正方形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键．证明，则．设，则，列方程组可得则．证明，利用相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】如图， 由题意可知， ∴ ∴ ∴， ∵． 设， 则，可得 解得 ． ∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ， ． 故答案为： 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，特殊角的三角函数值的运算，先化简各数，再进行加减运算即可．熟练掌握相关运算法则，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 20. 先化简，再选择合适的的值代入求值． 【答案】取， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握运算法则是解题的关键． 利用分式混合运算的法则把代数式化简，然后选取适当的的值代入即可计算． 【详解】解：原式 ． ， 取，原式． 21. 新年到来之际，学校开展了丰富多彩的元旦文艺演出活动．为提高学生的参与度，学校成立了（专业老师评委组），（学生评委组），（家长评委组）三个评委组．在独唱比赛中，甲、乙两名同学表现优异，三个评委组对他们的评分统计结果及6名组评委对他们的评分统计情况如下：（单位：分） 三个评委组给甲、乙两名同学评分的平均分统计表 组别 A B C 甲 84 80 乙 83 85 B组评委给甲、乙两名同学评分的统计图 根据以上信息，回答下列问题． （1）____，_____； （2）B组评委给甲、乙两名同学打分的中位数分别是多少分？ （3）如果规定独唱的综合得分为：专业老师评委评分的平均分学生评委评分的平均分家长评委评分的平均分，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，判断甲、乙两名同学谁的表现更好． 【答案】（1）87，85 （2）B组评委给甲同学打的数的中位数为89.5分；B组评委给乙学打的数的中位数为88分； （3）甲、乙两名同学相比较，甲表现更好 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数以及加权平均数，掌握相关定义和公式是解题关键． （1）根据平均数定义求解即可； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）根据加权平均数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 故答案为：87，85 【小问2详解】 解：B组评委给甲同学打分从小到大依次为76，85，89，90，90，92， 则分数的中位数为（分）； B组评委给乙同学打分从小到大依次为70，80，86，90，92，92， 分数的中位数为（分）． 【小问3详解】 解：甲的综合得分为（分）， 乙的综合得分为（分）， 按此评价方法，甲、乙两名同学相比较，甲表现更好． 22. 如图，在四边形中，已知，点在上，且． （1）求证：； （2）当时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质： （1）等边对等角，结合角的和差关系推出，进而得到，证明即可； （2）过点作于点，设，易得，，根据，求出的值即可． 【小问1详解】 证明：在四边形中，，， ，， ∵， ， ． 在与中， ， （）． 【小问2详解】 当时，由（1）知， ∴， 过点作于点，如图． 设，则， ∵， ∴， ， ， ． 23. 如图1是三个城市的位置图（三个城市在同一直线上），小华由市驾车驶向市，小明由市驾车驶向市，两车同时出发，行驶过程中车速保持不变，小华、小明的车速分别是75千米/小时和100千米/小时．图2是小华、小明分别与C市的距离（千米），（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系图象． （1）小明、小华两人驾车到达C市时各用了几小时？ （2）若出发时间是上午，则小华什么时间到达市？ （3）求点的横坐标，并说明点的横坐标的实际意义． 【答案】（1）小明驾车到达市时用了7.5小时，小华驾车到达C市时用了2小时 （2）小华到达B市的时间为晚上 （3）点的横坐标为，其表示的实际意义是行驶小时后，小明与小华相遇 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）直接从图象中获取信息作答即可； （2）根据路程等于速度乘以时间，求出市与市的距离，用总路程除以速度，再加上小华中途休息时间，即可求出结果； （3）求出的解析式，线段的解析式，联立求出点的横坐标，根据交点表示相遇，进行作答即可． 【小问1详解】 解：由题意，折线为小华与市的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系图象． 线段是小明与市的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系图象． 由题图2知，小明驾车到达市时用了7.5小时， 小华驾车到达C市时用了2小时． 【小问2详解】 A市与B市之间的距离为（千米）． 由题图2可知小华由市到市中间休息了1小时， （小时），（小时）． 若出发时间是上午，则小华到达市的时间为晚上． 【小问3详解】 由图可知：的坐标分别为， 设， 则， 解得， ． 由图可知：的坐标为， 当时，小华与市的距离为（千米）， 的坐标为． 设直线的表达式为， 则， 解得， ． 当时，， 解得（小时）， 故点的横坐标为，其表示的实际意义是行驶小时后，小明与小华相遇． 24. 如图，四边形是圆的内接四边形，为圆的直径．以点为圆心，以小于的长为半径画弧，分别交于点；以点为圆心、长为半径画弧，与射线交于点；以点为圆心、长为半径画弧，交以点为圆心且长为半径的弧于点，射线与射线交于点． （1）求证：是圆的切线； （2）若，求圆半径及的长． 【答案】（1）见解析 （2）圆的半径为， 【解析】 【分析】（1）由作图可知，圆周角定理结合角的和差关系，推出，即可得证； （2）延长，交于点，圆周角定理，得到，解直角三角形，直角三角形，求出的长，勾股定理求出的长，即可得到半径的长，证明，求出的长即可． 【小问1详解】 证明：由作图可知． 是圆的直径， ， ， ， 即， ∴， 是圆的直径， 是圆的切线． 【小问2详解】 如图，延长，交于点． 是圆的直径， ． ，， ， ， ， ， ， 圆的半径为． 由（1）知， 又∵， ， ，即． ． 【点睛】本题考查尺规作图—作一个角等于已知角，圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 25. 如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点，点的坐标为，点为抛物线上一动点，以点为圆心，长为半径的圆交轴于两点（点在点的左侧）． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）当点在抛物线上运动时，弦的长度是不是定值？若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出弦的长． （3）如图2，若直线过点，求证：三角形是等边三角形． 【答案】（1）抛物线函数表达式为 （2）弦的长度是定值．弦的长为6 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，垂径定理，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，垂足为，连接，设点的坐标为，则，利用垂径定理结合勾股定理求出的长，进而求出的长，进行判断即可； （3）求出直线的解析式，设，则且，求出，分两种情况，进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的函数表达式为． 将点代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 弦的长度是定值．理由如下： 如图1所示，过点作轴，垂足为，连接，则：， 设点的坐标为，则． ， ∴． ， ． ， ， ∴弦的长度为定值． 【小问3详解】 证明：设直线的解析式为， 直线过点， ，解得：， ∴； 设，则且， ， ， ． ①当时，点在对称轴左侧，如图2， ． ， 的坐标为， ，又， 三角形是等边三角形． ②当时，在对称轴右侧，如图3， ， ， 的坐标为， ， ，又， 三角形是等边三角形． 26. 【问题背景】 已知矩形与矩形共顶点，连接交的延长线于点． 【特例感知】 （1）如图1，当点在上时，试判断与的大小，并说明理由； 拓展探究】 （2）如图2，当点不在上时，求证： ①； ②． 【答案】（1）．理由见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定，平行线的性质，准确作出辅助线是正确解答此题的关键． （1）根据矩形与矩形共顶点，可得，进而可证明，即可证明结论； （2）①过点作，交于点，交于点，证明，可得．再根据，，可证明，即可证明结论． ②过点作，交的延长线于点．可得，设，可得，由，可证明即可证明，得出结论． 【详解】解：（1）． 理由如下： 矩形与矩形共顶点， 且在上， ， ， ． 【拓展探究】（2）证明：①如图，过点作，交于点，交于点， ， ， ． 而在与中， ，， ，即， ． ②如图，过点作，交的延长线于点． ， ， 设， ， ， 又， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025初中学业水平考试模拟试卷（三）数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证、号、考场和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共26道题目，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项） 1. 下面算式错误的是（　　） A B. C. D. 2. 由5个完全相同的小正方体组成的几何体如图所示，该几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，把一块含角的直角三角板放置于两条平行线间，若，则（　　） A. B. C. D. 4. 如果单项式与单项式是同类项，那么在平面直角坐标系中的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 《数书九章》中有一个问题：今有田一顷，分为三乡，甲乡田三十亩，乙乡田四十亩，丙乡田三十亩．今从甲乡抽田三亩，验得其中一亩产谷十石；从乙乡抽田四亩，验得其中一亩产谷八石；从丙乡抽田三亩，验得其中一亩产谷九石．问三乡田总产谷多少？其意思是：有一块田，总面积为100亩，分给三个乡，甲乡分田30亩，乙乡分田40亩，丙乡分田30亩．现从甲乡中抽取3亩田，测得平均每亩产谷10石；从乙乡中抽取4亩田，测得平均每亩产谷8石；从丙乡抽取3亩田，测得平均每亩产谷9石．则这100亩田共产谷大约（　　） A. 800石 B. 890石 C. 900石 D. 1000石 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，与相交于点．若，则（ ） A B. C. D. 8. 若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，点是与的交点，，垂足为，若，则的长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. 对于实数，规定一种新的运算，则下面说法错误的是（　　） A. B. C. 若，则 D. 若，则或 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 若，则_____． 12. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 13. 杭州“六小龙”是指六家在杭州创办、具有较强科技创新能力和影响力的企业．这六家企业分别是：深度求索（）、游戏科学、宇树科技、强脑科技、群核科技和云深处科技．某科技活动小组的同学准备利用“五一”假期到杭州参观科技企业，他们想从杭州“六小龙”企业中随机的选择家参观，则恰好选到宇树科技的概率是_____． 14. 某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而增大．写出一个满足条件的k的值是_____________． 15. 若，则______． 16. 如图，在中，，作交的延长线于点，若是的中线，，则四边形的周长为______． 17. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向、距离灯塔60海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的东南方向上的处，若海轮以每小时30海里的速度航行，则海轮从处航行到达处大约要_______小时．（参考数据：，，tan） 18. 将4个大小相同的小正方形按如图所示的方式摆放在大正方形中，已知13，则图中阴影部分的面积为________． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 先化简，再选择合适的的值代入求值． 21. 新年到来之际，学校开展了丰富多彩的元旦文艺演出活动．为提高学生的参与度，学校成立了（专业老师评委组），（学生评委组），（家长评委组）三个评委组．在独唱比赛中，甲、乙两名同学表现优异，三个评委组对他们的评分统计结果及6名组评委对他们的评分统计情况如下：（单位：分） 三个评委组给甲、乙两名同学评分的平均分统计表 组别 A B C 甲 84 80 乙 83 85 B组评委给甲、乙两名同学评分的统计图 根据以上信息，回答下列问题． （1）____，_____； （2）B组评委给甲、乙两名同学打分的中位数分别是多少分？ （3）如果规定独唱的综合得分为：专业老师评委评分的平均分学生评委评分的平均分家长评委评分的平均分，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，判断甲、乙两名同学谁的表现更好． 22. 如图，在四边形中，已知，点在上，且． （1）求证：； （2）当时，求的长． 23. 如图1是三个城市的位置图（三个城市在同一直线上），小华由市驾车驶向市，小明由市驾车驶向市，两车同时出发，行驶过程中车速保持不变，小华、小明的车速分别是75千米/小时和100千米/小时．图2是小华、小明分别与C市的距离（千米），（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系图象． （1）小明、小华两人驾车到达C市时各用了几小时？ （2）若出发时间上午，则小华什么时间到达市？ （3）求点的横坐标，并说明点的横坐标的实际意义． 24. 如图，四边形是圆的内接四边形，为圆的直径．以点为圆心，以小于的长为半径画弧，分别交于点；以点为圆心、长为半径画弧，与射线交于点；以点为圆心、长为半径画弧，交以点为圆心且长为半径的弧于点，射线与射线交于点． （1）求证：是圆的切线； （2）若，求圆半径及的长． 25. 如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点，点的坐标为，点为抛物线上一动点，以点为圆心，长为半径的圆交轴于两点（点在点的左侧）． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）当点在抛物线上运动时，弦的长度是不是定值？若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出弦的长． （3）如图2，若直线过点，求证：三角形是等边三角形． 26. 【问题背景】 已知矩形与矩形共顶点，连接交的延长线于点． 【特例感知】 （1）如图1，当点在上时，试判断与大小，并说明理由； 【拓展探究】 （2）如图2，当点不在上时，求证： ①； ②． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$