湖南省部分学校2025届高三“一起考”大联考（模拟三）数学试卷

2025届高三“一起考”大联考（模拟三） 数学 (时量：120分钟 满分：150分) 命题人：陈森君 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合A={0,1,2},B={x∈Zx2-2x<0},则 () A.A∩B=1 B.A=B C.AUB=B D.ACB 2.某科技公司对2012年至2024年的生产成本y(万元)进行统计，根据统计数据作出如下散 点图： ↑生产成本y万元 3600 3500 3400 3300 3200 3100 3000 8 由此散点图，判断最适合作为该公司的生产成本y与时间变量x(x的值依次为1,2，…，13) 的经验回归方程类型的是 () A.y=ax2+b(a>0) B.y=ax+b(a>0) C.y=aln x+b(a<0) D.y=4+b(a<0) 3.某学生要从5门选修课中选择1门，从4个课外活动中选择2个，则不同的选择种数为 ( A.11 B.10 C.20 D.30 4.已知等差数列(an},m,n,p∈N”,则“2n=m十p”是“2an=am十a,”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知一直角梯形纸片上、下底边边长分别为2,4，高为3，该纸片绕着下底边所在直线旋转 120°，则该纸片扫过的区域形成的几何体的体积为 () A.6π B.8π C.16元 D.24π 6.已知复数名1,2分别满足|名1|=1，iz2十3+4i=2,则11一的最大值为 A.5 B.6 C.7 D.8 2025届高三“一起考”大联考（模拟三）·数学 C③扫描全能王 】亿人意在用的月国Ap 1.已知双曲线号-芳-1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F,,过R的直线交双曲线的右 y 支于A,B两点，若AF,⊥AB,且4AF,|=3引AB|,则该双曲线的离心率为 A.0 2 B.√0 c D.5 8.在资源有限的情况下，种群数量N(t)随时间t(单位：天)的变化满足逻辑斯蒂模型：N(t)= K ，其中常数K为环境容纳量，N。为种群初始数量，r为比增长率.生态学家 1+-10e 高斯(G.F.Gause)曾经做过单独培养大草履虫的实验：初始时，在培养液中放人5个大草履 虫，观察到t=2时，种群数量为120；t=4时，种群数量为360.根据逻辑斯蒂模型，可估算大 草履虫种群的比增长率为 ( 参考数据： x 2 3 5 7 11 13 17 19 23 Inzx 0.693 1.099 1.609 1.945 2.398 2.565 2.833 2.944 3.135 A.1.38 B.1.53 C.1.77 D.2.03 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知a>0,b>0,且a十b=2,则 ( A.2"+2≥8 B日+>2 C.log2a+logb≤1 D.a2+b≥2 10,对于△ABC,有如下判断，其中正确的判断是 A若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC是钝角三角形 B.若△ABC是锐角三角形，则不等式sinA>cosB恒成立 C.若a=8,c=10,B=60°，则符合条件的△ABC有两个 D.若△ABC为斜三角形，则tanA十tanB十tanC=tan Atan Btan C 11,设函数f(x)=是-，g(x)=e一x,下列命题正确的是 A,若函数x)有两个零点，则0<<】 B.若f红)<0恒成立，则k< C.若0<x1<x2时，总有a(z号-x)<2g(x2)-2g(x)恒成立，等价于a≤1 D.z∈（日e,g(a)-是-lhx>0恒成立 2 2025届高三“一起考”大联考（模拟三）·数学 C③扫描全能王 3亿人重在用的月得Ap明 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点M在C上，且|MF|=3,则M到y轴的距离为 13.已知函数f(x)=sin wx一√3 COS Wz(w>0),若存在x1∈[0，π]，使得f(x1)=一2，则w的 最小值为 14.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为3，该四棱锥内部的球O与其所有面均相切，若球面 上有且仅有一点Q满足AC·P=A夜·P心=0，则球0的表面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概 率是子，得到黄球或蓝球的概率是宁 (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色 (1)写出该试验的样本空间2： (ⅱ)设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断 这个游戏是否公平，请说明理由。 16.(15分) 如图，四棱柱ABCD-A1B,C,D,的底面ABCD是正方 D 形，AB=AA=√2，A1C⊥平面BB,DD. (1)求点A到平面ABCD的距离； (2)若M是线段BB,上一点，平面MAC与平面 B,DD夹角的余弦值为时，来聪的值。 2025届高三“一起考”大联考（模拟三）·数学 3 CS扫描全能王 3亿人重在两的月理A明 17.(15分) 已知函数f(x)=xIn ax一ax十1(a>0),其导函数为f(x),曲线y=f(x)与曲线y= f(x)交于A,B两点，其中A点的横坐标为1. (1)求B点的纵坐标： (2)求B点的横坐标的最小值； (3)设C(1,1),判断△ABC是否可能为等腰三角形，并说明理由. 18.(17分) 已知椭圆C苦+芳=16>0)，A(0,6b),B0,-6).椭圆C内部的-点T,合>0)，过 点T作直线AT交椭圆于M,作直线BT交椭圆于N,M,N是不同的两点. 1)若椭圆C的离心率是号，求6的值， (2)设△BTM的面积是S,△ATN的面积是S:,若受-5，b-1时，求：的值， (3)若点U(xu,w),V(xv,w)满足u<xv且yu>w,则称点U在点V的左上方.求证： 当6>号时，点N在点M的左上方. 19.(17分) 已知正整数m≥2，定义m一聚合数列{an}如下：设a1,a2,…,am已知，此后每一项取值为 其前m项平均数的相反数，即4，=-分 m a,其中n>m. (1)对于2一聚合数列，若a1=2,a2=1,求a5; (2)对于100一聚合数列，记M为|a1l,azl,…,la1o|中的最大值，求证： (|)若a1,,…,a1m的正负不全相同，则存在实数λ∈(0,1)，使得引a1o1≤M且a1m<M （1)存在正整数，使得1a<2 4 2025届高三“一起考”大联考（模拟三）·数学 CS扫描全能王 3亿人重在用的月得AP2025届高三“一起考”大联考（模拟三）·数学 参考答案 1n解折：B=lxEZ-2x<01-11,又A-0,1,27, 双向细目表 故A门B-(1},A≠B,AUB=A,BA, 故A正确，共他选项错促 数选A. 驱序 知议内容（考点） 难度幕数 分值 2解析，根据图中政点圆可知，散点大致分有在一条“对数里西数曲线的周图，图A透理 1 角合运算 0.95 5 是“麵物晚返“的拟合函数，且是地加的，故A婚换， B选项是“直线服的合面数，且基增加的，故B相误！ 2 变量间的相关性 Q.90 D边项是幂画数型"的拟合函数，且是增加的，故D结领： 排列组合 0.90 只有C进项的拟合函数符合愿盘，故C正确.故速C 5 3.D解析：根据题意，分2步进行分析： 数列 0.85 先从5门边修课中热择1门，有5种选法 再从4个课外活狗中选择2个，有G口6种选法。 简单几钢体 0.70 5 质以该学生不同的选释种数为5×6■0. 复数 075 5 故造D. 4.A解折：设等兼致列(a,》的公集为d,则a=十(m一1)d,a=a十（丽一1）d,a。=,+ 7 双业线 0.70 5 《p-1)d. 8 函数 0.45 5 当d一0时，4.■a。=品，■a24一品。十4，恒成立，不他得到2一m十p: 所以由2a,=a十d,不能得到2知=m十n. 9 不等式 0.75 6 当2m-m+P时，2a.-2a1+(2m一2)d-2a:十(m十p一2)d=a.十e, 10 解三角形 0.70 6 所以由2m=m十争可得24，=a.十4 所限“2知=网十p”是2a,一a。十a,”的充分不您要条件 11 函数 0.45 6 故盖A 12 抛物线 0.80 5,B解析，该纸片绕著下底边所在直线旋转一周所得几何体是一个应面华轻为3，高为2的 圆桂和一个度面率径为3，高为2的阻陆构成的姐合体， 13 三角函数 0.70 5 则装转一周质得但合体的体积V=9=×2十子×X2一24 14 立体几何 0.50 5 故若旋钟120，得到的几何体的体积为V一8x 15 服率与统计 0.70 13 故选且 16 立体几何 0.60 15 6D部新：设=x十(xy∈)， 17 函效与导数 0.60 15 则1+3+4l=3-y+(x+40川■√3-y+(x+4T一2， 即x+D+(y一动'一4，复数安在复平面内对应点的轨迹是以B(一4,3) 圆依面械 0.40 17 为园心.2为半径的四。 数列的新定文 0.30 17 由1I一1，知复数在复平面内对应点的轨迹是以原点O为圆心，1 为半径的田， 2025周高三一起考大联考（接位三）·数学参考答案 2 2025届高三“一起考”大联考（键根三》·数学垫考答案 C3扫描全能王 手花人单重角额胜量 阅6一la0B1+1+2向5+1+2向8 i0,ABD折：若rA十iaB<nC,用d+分<， 故迹D. 故co:C<0,即C为前角，△AC是慎角三角形，速项A正暗1 t,A解桥，可设A形|一3.30.由利AF|-3AB可得A-4 白双由旅的定义可得AS,1■|AF1-2g=新一a: 岩△ABC是锐角三角形则A+D受且A:B为锐指， BF:l=A81-1A形|=4-(3-2a)-1+2a 所以受>A>受一D0, 由双业设的定文可得1BF1mBP,1十每mt中4如 在△AB中，可得引=√AB+A下-5t+4a,即-4 所以血A>a(受一)一6onB,动项B正确， 在R△AF,R中，可得引AFP+IAF,P■|F|” 即9+一4即一。，可得e一一平故运九 由余孩定理得c0B一壹-心4装9。 Zar 老X汉0 解得口2√红：符合条仲的△ABC有一个，选项C储设： 多C部折：已知初始时，在培禁液中放人5个大草程血，用从■5 叉一2时，升屏数量为120，=4时，种吓数量为60. 因为nB+O一巴品+把， 所以HnB+tnnC-an(B+C(I一tanB口n=一tnA+tan Atan Bran C, ==1204 1+(-1 K-120 所以wnA+anB十tnC=tan Atan8:anC,速项D正确. 故选ABD K-360 -=360, 1+(停-1 山.AC解析，网为面数八x)一寺-k所以f✉-与学 令广(x)一0，得x=1, 图优汤”-0 所以当x<1时，(x)>0,f(x)单现端增1 当x>1时，f(x》C0,f()单周道减。 整现得7-2680K一0，解得K一25成K一0（合去）. 7 所以x一1时f八)取得级大值，也是最大值为)一一k 20-120 因此一2▣鱼 若函数八红有两个零点，则片一>0都得<。 24×2-120 一l加希-h2-1h3-h23w-3.51. 又因为>0时，一>0所以>0 解得r1.77. 所似大草用虫种耳约比增长率的为1.77.故沈C 所以长的取值范围是(0，合)，选项A正南 9.BCD解析，园为a0,0,且4十=2， 对于A,著a■=1，选项A是然不成立1 若f八<0征成立，则片-k0,解每。， 对于，合+言-含×2+-7(a+0哈+)-量2+是+异)>含2+ 两以的取值范图是[片，十)，选嘎B情误 2 者0<<时，总有（一）<2g()一2g(n)氟成立，等价于a一2g(x)<ax一 2g(有)恒成立， 甲十方≥2，当且仅当行-名时数等号，即a-b-1时取警号，造项B正确： 设h(x)=ax2-g(x),则h(x》在定义投(0，十o》上单周通被， 对于c,因为1oeae+leb-le(a≤oa生-0，即loea+lo6b0, 所以'(x)=2ax一2十20，所以c'一ax-130瓦成立 设(x▣e一ax-1,xe0,+o),划f(x)=e”一a, 当且仅当a=b=1时取等号，显校loa十og1成文，选项C正确1 x>0时，c>1,所以当a≤1时，(x)>0国成立，s式x)单到递增， 对于D,因为半<罗◆+≥2，当L仅当。-b1时取等号，滤夏D正确， 又因为(0)-0，所以(x)0恒成立. Z 当>1时，x∈(0，ha),/(x)<0,(x)单到提减z∈(na,+),(x)>0,s(x)单调 故选BCD, 遵垢。 205店考品一起考*大聚诗（摄都三）·雕学参考答案 4 2025岳南三“一起背”大联考（集做品）·败学垫考答浆 C3扫描全能王 事花人非面知额胜量4每 又四为式01m0.所以3出E《0.lna3,n()<0 在图@中，因为心，夜古.心=0， 所以北对≥0不恒皮立，所以≤1.进项C正确 所以∠QAO+∠C-∠CPO+∠C=90'.质以∠QAOm∠CPO, 因为R(x)网-x.群以g小e一1. 又∠POA=∠POC-g0',所以△AOQ△POC, 以r6()时g()>0,1单调通婚， 最-+h则e-写学 长（合时.d4)<0,)单两是碳r6(1,e时(e>0:》单调道增。 在图@中，n∠Pw0-器-录an∠0M0-架-琴 PO 3 所以取得最小值，也是最小位为1)-1=-1，e)一是+1 枚an∠PM0·Bn∠O,M0-l.∠PMO+∠0Mo-是 t哈6-吉gto-g-tr<ge>rte 因为球O与MN,PM均相切， 所以x《)与(x)必有交点， 故∠PMO,=∠0，MO.∠PM0=2∠0Mo,故3∠0M0-,即∠O,M0-若， 所以对v长（合）一子-h>0不伍成立法项D锥视 球的*径R-是n∠0，M0-号.球的表面积S-R-3 故志AG 15.师领，(1)从中任取一球，分群记得到红球，营球，应球为市种A.B,C, 12.2解新：已知做物酸Cy=x的角点为F,网F(1,0): 国为A,B,C为两两互斥事件， 又点M在C上，且|MF=3, (P(A)+P(B)+P(C)=1. 设M(知为》，由瑞物线的性质得五-3一1▣2， 故M西y牡的E岚为 由已知得 P(A)+P() 18.是n折/)=mu-万co2a(ag-受)， P(B)+P(C)- 图为xe[0小，可得-货名r-6-于 (P(A) 因为存在∈[0，]，使得)口一2， 解PB)-之 所以一营≥受解得心号，原=的绿小值为号 PC)-. 14.3解桥，由通能得，球为正四棱植的内切球， 如图①所示，设底图中心为O,过P作与AC压直的平置，则该平 所以盒中红、货球，蓝球的个数分别是2，，L.…4mmn(6分) (2)(1)由(1)如缸，冀账、蓝跟个数分别为2,1,1，用1,2表示红球，用ā表示贊默，用b 面与球的交敏为围，过A作与PC垂直的平细，被平面与球的交 表示蓝球，网表示箱一次取出的球，表示第二次取出的腺，（丽：）衰示试验的竿本点， 线也为四，球上两网的交点即为点Q.因为两圆都关于平而PAC 则样本空间0=（1,1).(1,2)，(1，a),(1.b),《2,1),2,2),(2,a》,(2,b),(d,1).(a,2) 对称，且两四有且贝有一个交点，战点Q电在平面PAC上，即点 《g:a),(a,b),《b,1),(b,2),(b,a),(,)》,FI-48FP1ES6101838F99449*nwm4…《9分) Q在PO上.M,N分别为AD,BC的中点，分别作平面PAC,平面 《)由(1)得m()一16，记“康到两个球颜色和闻为亦件M,“取到两个球顶色不相可”为 PMN截正四校推的粮面，如图②所示. 事件N, 图① 用(0- 所以P(M--音 所以PNn=1-PaD-1-寻-号 图② 设球的单径为R,R心为Q0Q=2R 因为受>号所以此每戏不公平.m 13分) 2025瑾高三一起考”大疑青（视极三）+数学静考若米 2配5需高三“一起青”发联片（模似三》·数学静考答粥 C3扫描全能王 事花人非面知额胜量4每 的新，门1如函，主：AC:AC交BD干点O 2设et-ga>则ga1-二业 n4纺分， 因年AC⊥平面BB,D,D.8DC平面B8,AD,乐以 AC⊥BD 当ae0,lb时：ga<01 又D⊥AC,AcnA.Coc,AC,ACC平面AAC,质 当a∈(1，中o)时，g(a>0 以BD⊥平钱人1G*=mn2分) 所以x《妇)在他.1)上单通规，在(1，+0)上单到鳞地 又BDC平西ACD,所世平面AAC⊥平面ABCD, 震(a》≥g1),做B么约横童标的最小崔为8，+1ARE13F81410AEL004711E14208A0E46444:…·(移分) 因为AC⊥平面EBDD,BB,C平面BBDD,所以AC⊥BB: (3)f(1)=ln a-a+1,A(1.In a-a+D), 又8A所限CLAA,一m4分) 由2得g>1,即a-a4>0, 在RL△MAC中，M-E.AC=2,所gA,CE 故lAC-llna-=g-lha. 又O为AC的中点，奇世A,0⊥AC且A,O-1, 又平断AACL平西ACD,平面AACn平西ABCD-AC,所级AO⊥平面ABCD. 又Bcg,D,厮双1BC-l片---1.lBC-aC--a+na-L…(10分) 新以互A到平面A8CD的距离为A,O-1.mmm )以0为原点，分别以0朗，0C,QA所在直线为本轴、y轴，±销迪立如固所示的空侧直 量ao-一a+ha-1e>0,则wa-g卫-1+h-《二a=卫， 角会标装。 由(2)得=a>0, 则Bc1.e.01.C0.1.a0,h(o.0,1D.(1,1,1D,A(0.-1.0. 当aE(0,1)时，A'(@)<0: C-0,1.-1D,A在=1,1.0). 当a∈(1，+o∞时'(a>0, 由(1角.平面BD,D幽-个法向量1-花=0,1，一1，… m《8分) 所似ha在0,1)上单调端减，在0，十6o)上单调通增。nm”(13分) 聪-40<<.则顾-画-01， A()(1)e-2(a)>.RCI>ACI. 从直角三角形ABC不可能为$限三角形. ……”(15分) -B+82-(1,1+107A0-(0,2,0. 在正明k(d)■e+一(a一lha》一10(e十1)，根据(2》，无法取等血是一种方法. 及：=x,动为平西MAC的一个法向是，则 ~-t每+a++c-0. 1追都系，少图为精国C馅膏心率是要。 得 属·0-02y=0. 当<a时号-得- (1分) 夏r=.则=a,0,-1D. 444444444444 (10分) 设平面MAC与平面BB,D,D的类角为8， 当2时停罕，得 精京平 13分) 新以占的值为1或人…一中* (3分) 斯格一空器-宁子 一5分) (因D向题意，直线AM的斛率上存在，直线BN的斜率k存在，k一 一一一去直线 17.解折，1)(x)=l血x+】一a(z之0》，M1 m(1分】 设A0,f1D》,B(f). AM的方器y-+1,设Mw): 我立y八国和一寸的方圈hr-a+L,， ly-in ax+1-a. 0(红-1)ha红=ax-1.m 4 nm4a…(5分) 4444（得分 甲a-a解五-子-广儿-1 202西高高三“一起考“大联考（模粗三）+数学参考答案 2025届高三“一越考“大联考（模板三）·数学静考答聚 C3扫描全能王 事花人非面知额胜量4每 麝似直线BN的方恩y=京-山，漫Nm 又T宁在国内邦，号+高<--0:故w> 又根题妇%>之> (行分》 衡以n>之 唐短暖-7lM扁w 所以当>之时，点N在点M约左上方.ma(17分) 客ITAI.ITNI,a∠ATN 解折ia,-a+a)-一音a一含a+n)-a=-毫a+a）-吾 往意到∠TM-∠ATN.别∠BTM-in∠AT礼 (3分) I灯一√/，一+Gr-于=+xl 动证明：(1)只考虑m,e不为0的情形，否则命团不证白明 可理可得-√+一DM=√1+l一w,TM=√+l一 记为一品不销设画与a异号，则国十a<4, 咬- 从nl-1高2a高+a1+容篇-AM- (8分) 细据翠合致列定义与4十十一十异号，斯以，…，e的符号术完企相同， 又今0，所狱一1，一一m 0分) ()狂明：曲期震，直线AM的转率是m存在，直线8N的 希aal-1-高容41高1容al+amD<鸡费M-u4 1 一b1- 斜率k存在，k如= ■，直线AM的方樱y= 其中=器密<1取一以即二者中的最大值符合奚象。一 道+6，慢M (1)风冒考成a,≠0，否可年题白正 小 若t,一a1✉的正负不克金相同，重复便用(|)中的步录 →-++-w-0 al高99+eM-=l高+hML-2. 4m小(12分) 1 设1=■axA不…，A》<1,则a,GM.对任撒=101,102，…200成立. 420-1)1 划一二+7m… 12分) 如果，一a全正或全我，划根据聚合数列的定义：4与ae不同号，此时a:,a1,一，a1o 的正数不克全相同，可将视为第一项再进行上面的过程，根据聚合数列的定义，显然有 1wM,重复上面的过程可证引aM,对任意一102.103,201成立.…(15分) 一立中垫，直绿N的方器y生垫：-小设州m小， 故在最开始便可不物设向南a的正负不完全相间.在武基动上再考煜(4,4t,, “m》,亦可不按设其正负不克余相同（香则风需婴考虑（©网4um,a阳》）. →0+2+6-1+2 4h(2b+11 +-1 24-0xw一a++87·" 可以得到|4M,对任意口12证，一300我立.1是圈定的小手1的正实数， 政足体大的正盛致是调是>og一20说uM,从<知2·测aml<,证单 444444444444444444++4+44+44+4 *网44444444nn444a44444a44(17分) 则w-w=aa料n 25+1 -物体-1D2+'+7-(2+Dr-2+82 [1=2+2(25+I+F] 8(4-1-) “[1-26+6(2b+D+6叮' 2如晒后高三“一是考”大联考（提数三》·数学参考答案 9 10 2025属南三“一夷青”大秩考（模板三】·数学9考答案 C3扫描全能王 事花人非面知额胜“：