精品解析：山东省济宁市任城区2025年二模九年级数学试题和答案

2024-2025学年度第二学期二模检测 九年级数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它是一门研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合,这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A，不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； B，是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； C，不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； D，是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选D． 3. 如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（ ） A. 三棱锥 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 长方体 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了常见几何体的展开图，掌握常见几何体展开图的特点是解题的关键． 根据平面图形的特点，结合立体图形的特点即可求解． 【详解】解：根据图示，上下是两个三角形，中间是长方形， ∴该几何体是三棱柱，   故选：C ． 4. 有理数a，b在数轴上位置如图所示，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，化简绝对值．从数轴上获取正确的信息是解题的关键． 由题意知，，，则，，，，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴，，，， ∴A、B、D错误，故不符合要求；C正确，故符合要求； 故选：C． 5. 在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，由，可得，即可求解． 详解】∵， ∴， ∵，则， ∴， 故选：A． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，正确的计算是解题的关键． 7. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形外角和定理，由多边形的外角和定理直接可求出结论，掌握正八边形的外角和为是解此题的关键． 【详解】解：正八边形的外角和为， 每一个外角为， 故选：B． 8. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂经定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握知识点．由垂径定理和勾股定理求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接,可知三点共线， 由题意得：， 在中，根据勾股定理得， 即截面圆中弦AB的长为， 故选：C． 9. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目大意是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：绫布出售一尺收入罗布出售一尺共收入文，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设绫布有x尺， 则根据题意可列方程为：， 故选：B． 10. 如图，在中，，以点为圆心，以大于的长为半径作弧，分别交于两点；分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点；作射线，交于点．以点为圆心，以的长为半径作弧，与交于两点；过两点作直线，分别交于点，连接．下列结论①②为等腰三角形③④点为的外心，其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】由作图可得平分，垂直平分，由线段垂直平分线的定义可得，结合，推出不是等边三角形，即可判断①错误；由角平分线的性质结合平行四边形的性质得出，推出，即可判断②正确；令交于，由等腰三角形的性质可得，再由三角形外角的定义及性质即可判断③正确；由等腰三角形的性质可得，再由三角形内心的定义即可判断④错误；从而得解． 【详解】解：由作图可得：平分，垂直平分， ∴， ∵， ∴不是等边三角形， ∴，故①错误； ∵平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，即为等腰三角形，故②正确； 如图：令交于， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴点为的内心，故④错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了尺规作图—作角平分线、作垂线，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，平行四边形的性质，三角形内心的概念，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，直接利用平方差公式分解因式即可. 【详解】解：， 故答案为： 12. 月球距离地球的平均距离为384000千米，数据384000用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 张华和王亮平时的耐力与速度相差无几，李老师设计了一个赛跑方案，赛跑的全过程如图所示，甲，乙分别代表张华和王亮距起点的距离与出发时间的关系．当两人相距时，出发的时间是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，分王亮提速前，王亮提速追上甲之前和王亮提速追上甲之后，三种情况列出方程进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：张华的速度为：； 王亮提速前的速度为：，提速后的速度为：； 王亮追上张华所用时间为：，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得； 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：（舍去）； 综上：或； 故答案为：或． 14. 如图，在中，，，点是边上一点，连接，已知，点是射线上的一个动点，点是线段上一点，且，连接．则的面积最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由，设，则，，然后由勾股定理得出，然后解方程求出x的值，得出的长，过点作于，则，证明，所以，即，设，则，得出，，故有，然后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：由，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：，， ∴， 过点作于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴ ， ∵，且对称轴为直线， ∴当时有最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 15. 对于正数，规定，例如，则的值是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了运算的规律、分式的混合运算等知识点，发现的规律成为解题的关键． 先发现，然后代入化简求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）解方程：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握相关求解方法是解题关键，需注意分式方程要验根． （1）通过变形得，确定最简公分母为，去分母，转化为整式方程，解方程即可； （2）逐一求得不等式解集，再确定不等式组的公共解集即可． 【详解】（1）解：， ， 去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的解． （2）解：， 由①得：， 由②得：， 原不等式组的解集为：． 17. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．化学实验室中有四瓶 标签被污染无法识别的无色溶液，分别是A：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：氢氧化钾溶液（呈碱性）．慕梓睿在这四瓶溶液中取样，用酚酞检测其碱性． （1）若慕梓睿将酚酞随机滴入一种样本溶液中，结果样本溶液变红色的概率是 ； （2）若慕梓睿将酚酞随机滴入两种样本溶液中，请你用列表或画树状图的方法，求两种样本溶液恰好都变红色的概率是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：慕梓睿将酚酞随机滴入一种样本溶液中，结果样本溶液变红色的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D A B C D ∴共有12种可能结果，其中两种样本溶液恰好都变红色的有2种， ∴两种样本溶液恰好都变红色的概率为． 18. 2024年国家提出推进中国式现代化，推进乡村全面振兴后，长丰县下塘镇甲村经济发展进入了快车道．为了解甲村去年下半年经济发展状况，从该村400户家庭中随机抽取了部分家庭调查其去年下半年的收入情况，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图． 部分家庭收入统计表 组别 分组（万元） 频数（户） 每组平均收入（万元） A 4 7 B 5 8.3 C 9 D 9.5 请根据图表中提供的信息，解答下列问题： （1）请补全统计表和统计图； （2）所抽取家庭去年下半年家庭收入的中位数落在__________组； （3）求所抽取家庭去年下半年家庭收入的平均数； （4）试估计去年下半年甲村400户家庭中收入不低于8.5万元的户数． 【答案】（1）见解析 （2）C （3）所抽取家庭去年下半年家庭收入的平均数为万元； （4）估计去年下半年甲村400户家庭中收入不低于8.5万元的约有220户． 【解析】 【分析】（1）用B组的户数除以B组户数占比即可得出抽取的总户数，再根据D组的占比求得D组的户数，再用总数减去其他各组户数，即可得出组的户数； （2）由各组的户数及中位数的定义即可得出所抽取家庭去年下半年家庭收入的中位数落在哪一组； （3）根据平均数的定义和计算方法进行计算即可； （4）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：（户）， （户）， （户）， ， ， 补全统计表和统计图如图所示： 组别 分组（万元） 频数（户） 每组平均收入（万元） A 4 7 B 5 8.3 C 8 9 D 3 9.5 ； 【小问2详解】 解：抽取的总户数为，且，， 所抽取家庭去年下半年家庭收入的中位数落在组， 故答案为：； 【小问3详解】 解：（万元）， 所抽取家庭去年下半年家庭收入的平均数为万元； 【小问4详解】 解：（户）， 估计去年下半年甲村400户家庭中收入不低于8.5万元的约有220户． 【点睛】本题主要考查了由扇形统计图求总量，频数分布表，根据数据描述求频数，中位数的定义，求一组数据的平均数，用样本估计总体等知识点，熟练掌握频数、平均数、中位数的概念及扇形统计图、频数分布表是解题的关键． 19. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点． （1）求k的值； （2）一次函数的图象过，与的图象交于两点，两函数图象交点之间的部分组成的封闭图形称作图象“”，该图象内横纵坐标均为整数的点称为“区域点”（不含边界）； ①当一次函数图象过时，存在______个“区域点”； ②如果“区域点”的个数为3个，画出示意图，直接写出a的取值范围． 【答案】（1） （2）①2个；②见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题等知识点， （1）把代入中可得k的值； （2）①将代入可得：直线解析式为，画图可得结论；②画图计算边界时a的值，即可得解； 熟练掌握整点的定义，并利用数形结合的思想是解决此题的关键． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过点， ∴； ∴k的值为1； 【小问2详解】 解：①一次函数的图象过，， ∴，解得， ∴直线l的解析式为， 画出图形，如图所示， 区域G内的整点有和共两个； 故存在2个“G区域点”； 故答案为：2； ②如图，直线l：过时，， 解得， 直线l：过时，， 解得， 观察图象可知：“G区域点”的个数为3个时，a的取值范围是． 20. 在学习三角函数知识后，李老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量建筑物的高度．如图，圆圆在自家楼顶处观测，测得对面一幢楼房顶部处的仰角为，测得这幢楼房底部处的俯角为．已知观测点处距地面的高度为24米（图中点均在同一平面内）． （1）求两幢楼房之间的水平距离（结果保留根号）． （2）求对面这幢楼房的高度（结果取整数）．（参考数据：） 【答案】（1）为米 （2）对面这幢楼房的高度约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作， 垂足为， 根据题意可得：米，， 然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 小问1详解】 解：过点作， 垂足为， 由题意得： 米， ， 在中， ， (米) ， 米， ∴两幢楼房之间的水平距离为米； 【小问2详解】 在中， 米， （米) ， ∵米， (米)， ∴对面这幢楼房的高度约为米. 21. 如图，是的直径，点，点在上，且位于的两侧，点在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）当平分时，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理得到，求得，连接，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， ∵，， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， 连接， 平分， ， ， ， 是的直径， ， ． 22. 综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断： 如图1，先用对折的方式确定矩形的边的中点，再沿折叠，点落在点处，把纸片展平，延长，与交点为．请写出线段与线段的数量关系，并说明理由； （2）迁移思考： 如图2，把按照（1）中的操作进行折叠和作图，请判断这两条线段之间的数量关系，并仅就图2证明你的判断． （3）拓展探索： 如图1，若，按照（1）中操作进行折叠和作图，求的长． 【答案】（1），见解析 （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，利用矩形的性质，折叠的性质，证明即可． （2）连接，利用平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，证明即可． （3）利用矩形的性质，折叠的性质，勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：，理由如下， 如图所示，连接， 四边形是矩形， ， 由折叠的性质可得， ， 点是的中点， ， ， 又， ， ； 【小问2详解】 证明：，证明如下： 如图所示，连接， 四边形是平行四边形， ， ， 由折叠的性质可得， 点是的中点， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可得， 由（1）得， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 23. 如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止． （1）求抛物线的表达式； （2）当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由． （3）如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，求的最小值． 【答案】（1） （2）四边形是平行四边形，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）作交抛物线于点，垂足为，连接，，由点在上，可知，，连接，得出，则，当时，，进而得出，然后证明，即可得出结论； （3）由题意得，，连接．在上方作，使得，，证明，根据得出的最小值为，利用勾股定理求得，即可得解． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 四边形是平行四边形． 理由：如图1，作交抛物线于点，垂足为，连接，． ∵点在上， ∴，， 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问3详解】 如图2，由题意得，，连接． 在上方作，使得，， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴（当，，三点共线时最短）， ∴的最小值为， ∵， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期二模检测 九年级数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 未来将是一个可以预见时代．一般指人工智能，它是一门研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（ ） A. 三棱锥 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 长方体 4. 有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A B. C D. 7. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（） A. B. C. D. 9. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目大意是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，则根据题意可列方程为（ ） A B. C. D. 10. 如图，在中，，以点为圆心，以大于的长为半径作弧，分别交于两点；分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点；作射线，交于点．以点为圆心，以的长为半径作弧，与交于两点；过两点作直线，分别交于点，连接．下列结论①②为等腰三角形③④点为的外心，其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：_______． 12. 月球距离地球的平均距离为384000千米，数据384000用科学记数法表示为_____． 13. 张华和王亮平时的耐力与速度相差无几，李老师设计了一个赛跑方案，赛跑的全过程如图所示，甲，乙分别代表张华和王亮距起点的距离与出发时间的关系．当两人相距时，出发的时间是___________． 14. 如图，在中，，，点是边上一点，连接，已知，点是射线上的一个动点，点是线段上一点，且，连接．则的面积最大值为___________． 15. 对于正数，规定，例如，则的值是___________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）解方程：； （2）解不等式组： 17. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．化学实验室中有四瓶 标签被污染无法识别的无色溶液，分别是A：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：氢氧化钾溶液（呈碱性）．慕梓睿在这四瓶溶液中取样，用酚酞检测其碱性． （1）若慕梓睿将酚酞随机滴入一种样本溶液中，结果样本溶液变红色的概率是 ； （2）若慕梓睿将酚酞随机滴入两种样本溶液中，请你用列表或画树状图的方法，求两种样本溶液恰好都变红色的概率是多少？ 18. 2024年国家提出推进中国式现代化，推进乡村全面振兴后，长丰县下塘镇甲村经济发展进入了快车道．为了解甲村去年下半年经济发展状况，从该村400户家庭中随机抽取了部分家庭调查其去年下半年的收入情况，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图． 部分家庭收入统计表 组别 分组（万元） 频数（户） 每组平均收入（万元） A 4 7 B 5 8.3 C 9 D 9.5 请根据图表中提供的信息，解答下列问题： （1）请补全统计表和统计图； （2）所抽取家庭去年下半年家庭收入的中位数落在__________组； （3）求所抽取家庭去年下半年家庭收入的平均数； （4）试估计去年下半年甲村400户家庭中收入不低于8.5万元的户数． 19. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点． （1）求k的值； （2）一次函数的图象过，与的图象交于两点，两函数图象交点之间的部分组成的封闭图形称作图象“”，该图象内横纵坐标均为整数的点称为“区域点”（不含边界）； ①当一次函数图象过时，存在______个“区域点”； ②如果“区域点”的个数为3个，画出示意图，直接写出a的取值范围． 20. 在学习三角函数知识后，李老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量建筑物的高度．如图，圆圆在自家楼顶处观测，测得对面一幢楼房顶部处的仰角为，测得这幢楼房底部处的俯角为．已知观测点处距地面的高度为24米（图中点均在同一平面内）． （1）求两幢楼房之间水平距离（结果保留根号）． （2）求对面这幢楼房的高度（结果取整数）．（参考数据：） 21. 如图，是的直径，点，点在上，且位于的两侧，点在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）当平分时，若，求的长． 22. 综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断： 如图1，先用对折的方式确定矩形的边的中点，再沿折叠，点落在点处，把纸片展平，延长，与交点为．请写出线段与线段的数量关系，并说明理由； （2）迁移思考： 如图2，把按照（1）中的操作进行折叠和作图，请判断这两条线段之间的数量关系，并仅就图2证明你的判断． （3）拓展探索： 如图1，若，按照（1）中的操作进行折叠和作图，求的长． 23. 如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止． （1）求抛物线的表达式； （2）当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由． （3）如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $