专题12.1 定义 命题 证明（4大知识点4大考点10类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）基础知识专项突破讲与练-2024-2025学年苏科版数学七年级下册

专题12.1 定义 命题 证明（4大知识点4大考点10类题型） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】定义 概念：对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给出它们的定义. 【要点提示】 1.定义必须是严密的，不能使用含糊不清的词语，如 “一些”“大概”“差不多” 等. 2.正确的定义能把被定义的事物或名词的本质属性反映出来. 3.定义是几何说理的依据，既可以当性质用，又可以当判定用. 【知识点2】命题 1.概念：判断一件事情的句子叫做命题. 2.命题的组成：命题由条件（题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. 3.命题的形式：命题一般为 “如果……，那么……” 的形式，其中“如果” 后接的是条件，“那么” 后接的是结论.有些命题的条件和结论不明显，可将它们经过适当变形，改写成 “如果……，那么……” 的形式. 4命题的种类： （1）真命题：如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题. （2）假命题：命题的条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做假命题. 5.反例：举出一个符合命题的条件，但命题结论不成立的例子来说明命题是假命题，这样的例子称为反例.在数学中，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可. 【知识点3】证明 1.概念：根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明. 2.定理：经过证明的真命题称为定理. 3.证明与图形有关的命题的一般步骤： （1）根据题意，画出图形. （2）根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证. （3）写出证明过程. 【知识点4】定理 定义：经过证明的真命题称为定理。定理是在一定的数学体系中，通过严格的逻辑推理和证明得到的具有普遍正确性的命题。 考点与题型目录 【考点一】定义 【题型1】定义的判断..........................................................2 【考点二】命题 【题型2】命题与命题的题设与结论..............................................3 【题型3】命题与命题的真假....................................................4 【题型4】命题的逆命题........................................................6 【考点三】证明 【题型5】写出一个命题的已知、求证及证明过程..................................7 【题型6】已知证明过程填写理论依据...........................................10 【题型7】举反例.............................................................12 【题型8】反证法.............................................................14 【考点四】证明 【题型9】定理与证明.........................................................15 【题型10】互逆定理..........................................................17 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】定义 【题型1】定义的判断 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列描述是定义的是（   ） A． B．不相交的两条线段是平行线 C．用“”连接而成的式子叫作等式 D．同角的补角相等 【答案】C 【分析】本题考查定义问题，定义是由三部分组成：被定义项、定义项和定义联项，能区别语句中的定义，定理，作图语句是解题关键．据此逐一判断即可． 解：A.是数学语言，不是定义，故该选项不符合题意； B. 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线是定义，故该选项不符合题意； C. 用“”连接而成的式子叫作等式是定义，故该选项符合题意； D. 同角的补角相等是定理不是定义，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列定义不合理的是 （填序号）． ①能被2整除的整数叫作“偶数”； ②能写成（n是整数）的数叫作“偶数”； ③1，3，5，7，……叫作“单数”； ④两个数的所有公约数中比较大的公约数叫作“大公约数”． 【答案】③④ 【分析】本题主要考查定义的相关知识，根据偶数、奇数、最大公约数的定义解答即可． 解：①能被2整除的整数叫作“偶数”，正确； ②能写成（n是整数）的数叫作“偶数”，正确； ③1，3，5，7，……叫作“奇数”，故原说法不合理； ④两个数的所有公约数中最大的公约数叫作“最大公约数”，故原说法不合理； 故答案为：③④． 【考点二】命题 【题型2】命题与命题的题设与结论 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并写出它的条件和结论． （1）同位角相等，两直线平行； （2）同角的余角相等． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要查了把命题写成“如果……，那么……”的形式，熟练掌握一般的命题都可以改写成“如果…，那么…”的形式，即把命题的题设放在如果后面，把结论放在那么后面，再加以适当的调整即可． 命题是有题设和结论构成．命题都能写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论是解题的关键． （1）根据把命题写成“如果……，那么……”的形式的方法解答，即可； （2）根据把命题写成“如果……，那么……”的形式的方法解答，即可． 解：（1）解：同位角相等，两直线平行改写成“如果两条直线被第三条直线所截同位角相等，那么两直线平行”， 条件是两条直线被第三条直线所截同位角相等，结论是两直线平行； （2）解：同角的余角相等改写成如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等， 条件是两个角是同一个角的余角，结论是这两个角相等 【变式1】（24-25八年级上·浙江衢州·期末）命题“两直线平行，同位角相等”的条件是（ ） A．两直线平行 B．同位角相等 C．两直线不平行 D．同位角不相等 【答案】A 【分析】本题主要考查命题与定理的知识，难度适中，解题的关键是：先将原命题改写成：如果…，那么…的形式． 改写成“如果…那么…”的形式，如果后面的文字就是条件． 解：命题“两直线平行，同位角相等”改写为如果两直线平行，那么同位角相等， 所以条件是两直线平行， 故选：A． 【变式2】．（24-25七年级下·全国·课后作业）命题“周长相等的两个三角形的面积相等”的条件是 ，结论是 ．该命题的逆命题是 ，这个逆命题是 命题． 【答案】 两个三角形周长相等 它们的面积相等 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形的周长相等 假 【分析】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．解答本题的关键是熟练掌握命题由题设和结论两部分组成．其中题设是已知的条件，结论是由题设推出的结果． 根据“其中题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项”即可写出条件和结论；根据逆命题就是交换原命题的题设和结论即可写出逆命题；由于面积相等的三角形可以作无数个，但是周长不一定相等，即可判断逆命题是真假性． 解：命题“周长相等的两个三角形的面积相等”的条件是：两个三角形周长相等； 结论是：它们的面积相等； 该命题的逆命题是：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形的周长相等； 这个逆命题是假命题， 故答案为：两个三角形周长相等；它们的面积相等；如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形的周长相等；假． 【题型3】命题与命题的真假 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）1．下列语句是不是命题？如果是命题，指出其是真命题还是假命题． （1）画的平分线．          （2）对顶角相等吗？ （3）直角都相等．                （4）如果，那么． （5）延长线段．              （6）长方形的四个角都是直角． 【答案】（1）（2）（5）不是命题，（3）（6）是真命题，（4）是假命题 【分析】本题主要查了命题的定义以及判断命题的真假． 根据命题的定义，直角都相等等逐项判断，即可求解． 解：（1）画的平分线，不是命题．           （2）对顶角相等吗？不是命题． （3）直角都相等，是真命题．                 （4）如果，那么，是假命题．     （5）延长线段，不是命题．               （6）长方形的四个角都是直角，是真命题． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）判断下列命题的真假（在括号内填上“真”或“假”）： （1）两个负数的积是正数；（ ） （2）如果，那么；（ ） （3）在平面内，没有交点的两条直线互相平行；（ ） （4）：时，钟面上的时针与分针所成的角是直角．（ ） 【答案】 真 真 假 假 【分析】本题考查了有理数的乘法，立方根，在同一平面内两直线的位置关系，钟面角，解题的关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 根据有理数的乘法，立方根，在同一平面内两直线的位置关系，钟面角，对四个题逐一分析，再作出判断． 解：（1）∵两数相乘，同号得正， ∴两个负数的积是正数是真命题． 故答案为：真． （2）∵任何实数都有一个和它符号相同的立方根， ∴如果，那么是真命题． 故答案为：真． （3）∵在同一平面内，不相交的两条直线互相平行， ∴如果两条直线不在同一平面内，就不一定平行． 故答案为：假． （4）∵钟面上：时，时针指向和中间，分针指向， ∴时针与分针之间相差的大格数为， ∴钟面上：时，时针和分针所成的角是：， ∴：时，钟面上的时针与分针所成的角是直角．这是假命题． 故答案为：假． 【变式2】（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）下列是假命题的是（　） A．取线段的中点 B．同角的余角相等 C．相等的角是对顶角 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 利用命题的定义、余角的性质、对顶角的定义及平行公理分别判断后即可确定正确的选项． 解：A、取线段的中点，不是命题，不符合题意； B、同角的余角相等，正确，是真命题，不符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题，符合题意； D、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，不符合题意； 故选：C． 【题型4】命题的逆命题 【例4】（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）（1）将不等式化成“”或“”的形式． （2）判断命题“若，则”的真假，写出其逆命题并判断真假． 【答案】（1） （2）若，则，是假命题，其逆命题为：若，则，是真命题 【分析】本题考查了解一元一次不等式，逆命题，命题的真假判断，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据不等式的性质，即可解答； （2）根据命题的真假判断以及逆命题的定义，即可解答． 解：（1）， 移项，得， 系数化为，得； （2）若，则，是假命题， 其逆命题为：若，则，是真命题． 【变式1】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列各命题成立，且它们的逆命题也成立的是（   ）． A．对顶角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查真假命题的判定，逆命题的定义，熟练掌握对顶角性质、直角三角形现锐角互余的性质、等式的性质是解题的关键．先写出每个选项中命题的逆命题，然后再进行判断即可． 解：A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，此命题是假命题，故此选项不符合题意； B、直角三角形的两个锐角互余的逆命题是三角形中两个角互余的三角形是直角三角形，此命题是真命题，故此选项符合题意； C、如果，那么的逆命题是如果，那么，此命题是假命题，故此选项不符合题意； D、如果，那么的逆命题是如果，那么，此命题是假命题，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期中）命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是 （用“如果…那么…”的形式写出）． 【答案】如果三角形有三条对称轴，那么这个三角形是等边三角形 【分析】本题考查了命题的逆命题．根据逆命题的定义，将原命题的条件和结论互换即可解答． 解：命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是“如果三角形有三条对称轴，那么这个三角形是等边三角形”． 故答案为：如果三角形有三条对称轴，那么这个三角形是等边三角形． 【考点二】证明 【题型5】写出一个命题的已知、求证及证明过程 【例5】（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 【答案】见分析 【分析】本题考查平行线性质和判定，根据题意选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并结合平行线性质和判定进行证明，即可解题． 解：（答案不唯一）已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （两直线平行，同位角相等）， ． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，同位角相等）． ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 【变式1】（23-24八年级上·河南平顶山·期末）命题：直角三角形的两锐角互余．   （1）将此命题写成“如果…，那么…”：______； （2）请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程． 【答案】（1）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；（2）该命题是真命题，详见分析 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，逆命题的概念： （1）根据逆命题的概念写出原命题的逆命题； （2）根据三角形内角和定理计算，即可证明． 解：（1）解：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余； 故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 （2）解：该命题是真命题 已知：如图，在中， 求证： 证明： ． 【变式2】（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____（填序号）． 【答案】①②③；④，证明见分析 【分析】本题考查了命题，平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义； 选择①②③为条件，④为结论组成一个命题．先由①得到，则根据平行线的性质得到，，再有②得到，所以，接着由③得到，然后根据平行线的性质得到，然后利用等量代换得到． 解：选择的条件：①②③，结论：④． 证明如下：， ， ，， 平分， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：①②③；④． 【题型6】已知证明过程填写理论依据 【例6】（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案； 解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 【变式1】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案； 解：∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （对顶角相等）， ． 【变式2】（22-23七年级下·河北石家庄·期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】阅读证明可以得到答案． 解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 【点拨】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论． 【题型7】举反例 【例7】（24-25七年级下·全国·课后作业）举反例说明下列命题是假命题， （1）如果，那么； （2）两直线被第三条直线所截，同位角相等． 【答案】（1）反例：；（2）若两条直线不平行，则被第三条直线所截得的同位角不相等 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推理，论证得到的真命题称为定理． （1）根据命题举出使得命题不成立的命题即可． （2）根据命题举出使得命题不成立的命题即可． 解：（1）解：当时，满足，但不成立； （2）解：如图，为同位角，但是， 只有两条平行线被第三条直线所截，同位角才相等． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）对于命题“如果，那么．”能说明它是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了命题的真假，熟练掌握真假命题的定义及几何图形的性质是解答本题的关键，当命题的条件成立时，结论也一定成立的命题叫做真命题；当命题的条件成立时，不能保证命题的结论总是成立的命题叫做假命题．要指出一个命题是假命题，只要能够举出一个例子，使它具备命题的条件，而不符合命题的结论就可以了，这样的例子叫做反例． 解：A、满足，但不满足，满足题意； B、满足命题“如果，那么．”，不符合题意； C、不满足命题“如果，那么．”，不符合题意； D、不满足命题“如果，那么．”，不符合题意； 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·北京·期中）能够说明命题“如果，那么”是假命题的一组反例是： ， ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据举反例时需满足题设，而不满足结论求解即可． 解：能够说明命题“如果，那么”是假命题的一组反例是：，， 故答案为：，（答案不唯一）． 【题型8】反证法 【例8】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知：如图1，直线，直线分别与、交于点，． 求证：． 完成下面证明过程． 证明：假设_______． 如图②，过点O作直线，使． （_______）． ，且直线经过点O， ∴过点O存在两条直线，与直线平行． 这与基本事实_______矛盾，假设不成立， ． 【答案】；同位角相等，两直线平行；过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】本题考查了反证法，反证法的证明步骤一般先假设与要求证结的相反的命题，再根据已知条件进行正面，最后得出的结论与已知或数学定理矛盾，从而说明要求证命题正确．根据反证法的证明步骤分析即可． 解：（1）证明：假设． 如图2，过点作直线，使． （同位角相等，两直线平行）， 又，且直线经过点， 过点存在两条直线、与直线平行， 这与基本事实过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，假设不成立， ． 故答案为：；同位角相等，两直线平行；过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【变式1】（23-24八年级下·辽宁本溪·期末）证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：． 求证：，，中不能有两个角是直角． 证明：假设，，中有两个角是直角，不妨设和是直角，即，． 于是． 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“和是直角”的假设不成立． 所以，一个三角形中不能有两个角是直角． 上述证明方法是（    ） A．归纳法 B．枚举法 C．反证法 D．综合法 【答案】C 【分析】本题考查了反证法“假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法”，熟记定义是解题关键．根据反证法的定义即可解答． 解：由证明过程可知，证明方法是反证法， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·山东菏泽·期中）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”时，应先假设 ． 【答案】一个三角形中有两个角是直角 【分析】本题主要考查了反证法的应用，解题的关键在于能够熟练掌握反证法的步骤．根据反证法的步骤：第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 解：用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”时，应先假设一个三角形中有两个角是直角， 故答案为：一个三角形中有两个角是直角． 【考点三】证明 【题型9】定理与证明 【例9】（22-23八年级上·全国·课后作业）下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理． （1）同旁内角互补，两直线平行． （2）三角形的两边之和大于第三边． 【答案】（1）有，逆定理是：两直线平行，同旁内角互补；（2）有，逆定理是：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形 【分析】（1）先写出逆命题，再根据平行线的性质判断逆命题的真假，进而可得出结论； （2）先写出逆命题，再根据三角形的三边关系判断逆命题的真假，进而可得出结论． 解：（1）解：逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题， 故原定理有逆定理：两直线平行，同旁内角互补； （2）解：逆命题为：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形，是真命题， 故原定理有逆定理：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形． 【点拨】本题考查了逆定理的定义、平行线的性质、三角形的三边关系，解答的关键是理解逆定理的定义：如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理． 【变式1】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）下列可以作为定理的有（    ） ①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是3；④三角形内角和为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到①、②、③是假命题，④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 解：能被2整除的数未必能被4 整除，所以①是假命题，不能作为定理； 相等的角是对顶角是假命题，所以②不能作为定理； 25 与x的平均值是 ，所以③是假命题，不能作为定理； 三角形的内角和为，经过证明是正确的，所以④可以作为定理． 故选：A． 【变式2】（2022八年级上·浙江·专题练习）请举出一个关于角相等的定理： ． 【答案】两直线平行，同位角相等 【分析】任意写出一个角相等的定理即可． 解：关于角相等的定理：两直线平行，同位角相等 故答案为：两直线平行，同位角相等（答案不唯一）． 【点拨】本题考查角相等的定理，如同位角、内错角或对顶角，写出相应的定理即可． 【题型10】互逆定理 【例10】（22-23八年级上·全国·课后作业）下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理． （1）等腰三角形的两个底角相等． （2）内错角相等，两直线平行． （3）对顶角相等． 【答案】（1）有逆定理，逆定理为：两个底角相等的三角形是等腰三角形；（2）有逆定理，逆定理为：两直线平行，内错角相等；（3）没有逆定理 【分析】先写出对应命题的逆命题，然后判断真假即可得到答案． 解：（1）解：命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题为“两个角相等的三角形是等腰三角形”，是真命题，故定理“等腰三角形的两个底角相等”有逆定理； （2）解：命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题为“两直线平行，内错角相等”，是真命题，故定理“内错角相等，两直线平行”有逆定理； （3）解：命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，是假命题， 故定理“对顶角相等”没有逆定理． 【点拨】本题主要考查了互逆命题和互逆定理，正确写出每个命题的逆命题并判断真假是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）下列定理中，没有逆定理的是（ ） A．两直线平行，同位角相等 B．对顶角相等 C．全等三角形的对应边相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【答案】B 【分析】本题主要考查了命题与定理，分别写出四个命题的逆命题，逆命题是真命题的就是逆定理，不成立的就是假命题，就不是逆定理． 解：A项，两直线平行，同位角相等的逆命题是：同位角相等，两直线平行，是真命题，即A项有逆定理； B项，对顶角相等的逆命题是：相等的角是对顶角，是假命题，即B项没有逆定理； C项，全等三角形的对应边相等的逆命题是：对应边相等的两个三角形是全等三角形，是真命题，即C项有逆定理． D项，两直线平行，同旁内角互补的逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，是真命题，即D项有逆定理． 故选：B． 【变式2】（2024·江苏宿迁·中考真题）请写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了逆定理的改写，根据题意，将题设与结论交换位置即可． 解：定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理是同位角相等，两直线平行， 故答案为：同位角相等，两直线平行 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12.1 定义 命题 证明（4大知识点4大考点10类题型） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】定义 概念：对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给出它们的定义. 【要点提示】 1.定义必须是严密的，不能使用含糊不清的词语，如 “一些”“大概”“差不多” 等. 2.正确的定义能把被定义的事物或名词的本质属性反映出来. 3.定义是几何说理的依据，既可以当性质用，又可以当判定用. 【知识点2】命题 1.概念：判断一件事情的句子叫做命题. 2.命题的组成：命题由条件（题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. 3.命题的形式：命题一般为 “如果……，那么……” 的形式，其中“如果” 后接的是条件，“那么” 后接的是结论.有些命题的条件和结论不明显，可将它们经过适当变形，改写成 “如果……，那么……” 的形式. 4命题的种类： （1）真命题：如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题. （2）假命题：命题的条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做假命题. 5.反例：举出一个符合命题的条件，但命题结论不成立的例子来说明命题是假命题，这样的例子称为反例.在数学中，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可. 【知识点3】证明 1.概念：根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明. 2.定理：经过证明的真命题称为定理. 3.证明与图形有关的命题的一般步骤： （1）根据题意，画出图形. （2）根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证. （3）写出证明过程. 【知识点4】定理 定义：经过证明的真命题称为定理。定理是在一定的数学体系中，通过严格的逻辑推理和证明得到的具有普遍正确性的命题。 考点与题型目录 【考点一】定义 【题型1】定义的判断..........................................................2 【考点二】命题 【题型2】命题与命题的题设与结论..............................................2 【题型3】命题与命题的真假....................................................3 【题型4】命题的逆命题........................................................3 【考点三】证明 【题型5】写出一个命题的已知、求证及证明过程..................................3 【题型6】已知证明过程填写理论依据............................................4 【题型7】举反例..............................................................6 【题型8】反证法..............................................................6 【考点四】证明 【题型9】定理与证明..........................................................7 【题型10】互逆定理...........................................................8 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】定义 【题型1】定义的判断 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列描述是定义的是（   ） A． B．不相交的两条线段是平行线 C．用“”连接而成的式子叫作等式 D．同角的补角相等 【变式】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列定义不合理的是 （填序号）． ①能被2整除的整数叫作“偶数”； ②能写成（n是整数）的数叫作“偶数”； ③1，3，5，7，……叫作“单数”； ④两个数的所有公约数中比较大的公约数叫作“大公约数”． 【考点二】命题 【题型2】命题与命题的题设与结论 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并写出它的条件和结论． （1）同位角相等，两直线平行； （2）同角的余角相等． 【变式1】（24-25八年级上·浙江衢州·期末）命题“两直线平行，同位角相等”的条件是（ ） A．两直线平行 B．同位角相等 C．两直线不平行 D．同位角不相等 【变式2】．（24-25七年级下·全国·课后作业）命题“周长相等的两个三角形的面积相等”的条件是 ，结论是 ．该命题的逆命题是 ，这个逆命题是 命题． 【题型3】命题与命题的真假 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）1．下列语句是不是命题？如果是命题，指出其是真命题还是假命题． （1）画的平分线．          （2）对顶角相等吗？ （3）直角都相等．                （4）如果，那么． （5）延长线段．              （6）长方形的四个角都是直角． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）判断下列命题的真假（在括号内填上“真”或“假”）： （1）两个负数的积是正数；（ ） （2）如果，那么；（ ） （3）在平面内，没有交点的两条直线互相平行；（ ） （4）：时，钟面上的时针与分针所成的角是直角．（ ） 【变式2】（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）下列是假命题的是（　） A．取线段的中点 B．同角的余角相等 C．相等的角是对顶角 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【题型4】命题的逆命题 【例4】（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）（1）将不等式化成“”或“”的形式． （2）判断命题“若，则”的真假，写出其逆命题并判断真假． 【变式1】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列各命题成立，且它们的逆命题也成立的是（   ）． A．对顶角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式2】（24-25七年级下·上海·期中）命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是 （用“如果…那么…”的形式写出）． 【考点二】证明 【题型5】写出一个命题的已知、求证及证明过程 【例5】（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 【变式1】（23-24八年级上·河南平顶山·期末）命题：直角三角形的两锐角互余．   （1）将此命题写成“如果…，那么…”：______； （2）请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程． 【变式2】（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____（填序号）． 【题型6】已知证明过程填写理论依据 【例6】（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【变式1】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【变式2】（22-23七年级下·河北石家庄·期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【题型7】举反例 【例7】（24-25七年级下·全国·课后作业）举反例说明下列命题是假命题， （1）如果，那么； （2）两直线被第三条直线所截，同位角相等． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）对于命题“如果，那么．”能说明它是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·北京·期中）能够说明命题“如果，那么”是假命题的一组反例是： ， ． 【题型8】反证法 【例8】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知：如图1，直线，直线分别与、交于点，． 求证：． 完成下面证明过程． 证明：假设_______． 如图②，过点O作直线，使． （_______）． ，且直线经过点O， ∴过点O存在两条直线，与直线平行． 这与基本事实_______矛盾，假设不成立， ． 【变式1】（23-24八年级下·辽宁本溪·期末）证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：． 求证：，，中不能有两个角是直角． 证明：假设，，中有两个角是直角，不妨设和是直角，即，． 于是． 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“和是直角”的假设不成立． 所以，一个三角形中不能有两个角是直角． 上述证明方法是（    ） A．归纳法 B．枚举法 C．反证法 D．综合法 【变式2】（24-25八年级下·山东菏泽·期中）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”时，应先假设 ． 【考点三】证明 【题型9】定理与证明 【例9】（22-23八年级上·全国·课后作业）下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理． （1）同旁内角互补，两直线平行． （2）三角形的两边之和大于第三边． 【变式1】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）下列可以作为定理的有（    ） ①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是3；④三角形内角和为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（2022八年级上·浙江·专题练习）请举出一个关于角相等的定理： ． 【题型10】互逆定理 【例10】（22-23八年级上·全国·课后作业）下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理． （1）等腰三角形的两个底角相等． （2）内错角相等，两直线平行． （3）对顶角相等． 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）下列定理中，没有逆定理的是（ ） A．两直线平行，同位角相等 B．对顶角相等 C．全等三角形的对应边相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【变式2】（2024·江苏宿迁·中考真题）请写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$