精品解析：2025年四川省绵阳市安州区中考三模数学试题

绵阳市安州区2024-2025学年度九年级中考第三次模拟检测 （九年级数学） （考试时间：120分钟 满分：150分） 第I卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分每个小题只有-个选项符合题目要求） 1. 下列实数中满足的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 九洲体育馆是绵阳市的一座大型的体育会展场地，其主场馆建筑面积约，将24000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ） A. 圆锥 B. 长方体 C. 圆柱 D. 球 5. 如图，为的直径，，垂足为H， E是上的点， 若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C D. 7. 估算的运算结果应是（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 已知关于x的不等式组解集为，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形中，，P为的中点，连接，以点P为圆心，为半径作，将得到的扇形围成一个圆锥，若该圆锥的高与母线形成的夹角为a，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形是菱形，，，E是上一动点，把沿翻折得到，其中点C的对应点为F，且，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 4 11. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，P为抛物线上一点，其横坐标为，C为抛物线对称轴上一动点，连接，，当取得最小值时，的值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，将1，三个数按图中方式排列；若规定表示第a排第b列的数，则与表示的两个数的积是（ ） 1 第1排 第2排 1 第3排 1 1 第4排 …… 第4列 第3列 第2列 第1列 …… A. B. C. D. 1 第II卷（非选择题．共114分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分．共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上） 13. 因式分解：______． 14. 如果方程组的解也是方程的一个解，则的值为_______． 15. 在一个口袋中有6个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，6随机地摸出一个小球后然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号的和等于5的概率为__________． 16. 在城区老旧燃气管道改造项目中，已知某小区需要新铺设一条长的管道，由于临近春节，平均每天实际施工长度比原计划减少，结果推迟了3天完成任务，则其原计划每天铺设管道的长度是________． 17. 如图，将等边三角形ABC绕点A顺时针旋转得到等边三角形ADE，若AD与BC交于点F，且，则值是_________. 18. 如图，在四边形中， ， ，，为上一点，且平分，为上一点，且，若，，则的长是_________ 三、解答题（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：． （2）已知，求代数式 值． 20. 某校为了解九年级学生的体重情况，随机抽取了九年级部分学生进行调查，将抽取学生的体重情况绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，请根据图表信息回答下列问题： 体重频数分布表 组边 体重（千克） 人数 A 45≤x＜50 12 B 50≤x＜55 m C 55≤x＜60 80 D 60≤x＜65 40 E 65≤x＜70 16 （1）填空：①m＝　 　（直接写出结果）； ②在扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数等于　 　度； （2）如果该校九年级有1000名学生，请估算九年级体重低于60千克的学生大约有多少人？ 21. 已知某工厂生产甲、乙两种不同规格的产品，生产1吨的甲产品需要2吨原材料A；生产1吨的乙产品需要3吨原材料A．根据市场调研，甲、乙两种产品所获利润y（单位：万元）与其产量x（单位：吨）之间分别满足以下函数关系： 甲产品：．当时，；当时，． 乙产品：． （1）求甲产品所获利润y（单位：万元）与其产量x（单位：吨）之间满足的函数关系． （2）若现原材料A共有20吨，应怎样将原材料分配给甲、乙两种规格的产品，才能使得利润最大？求出最大利润． 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴、y轴分别交于点A，B，且．求： （1）该反比例函数的解析式； （2）点A的坐标． 23. 如图，为的直径，是的弦，，与交于点M，连接并延长与的延长线交于点F，延长至点E，使，连接，平分． （1）求证：与相切； （2）若，，求长． 24. 如图，在中，，为边上高，且， ， E，M为边上两个不重合的动点（点E在点M的上方，且均不与端点重合），，与边交于点F，四边形为平行四边形，连接． （1）求，的长． （2）如图①，若四边形为菱形，当时，求该菱形的边长． （3）如图②，若，则当长为多少时，平行四边形的面积取得最大值？求出最大值． 25. 如图，已知抛物线分别与x轴、y轴交于点，，过点B作，与抛物线交于点C，轴，垂足为D，连接，与y轴交于点E，过点E作，垂足为F． （1）求抛物线的解析式； （2）求的长； （3）如图②，已知P为线段上一动点（不与点C、D重合），连接并延长，与x轴交于点M，N为上一点，且，求出当线段的长取何值时，线段最长，并求出此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绵阳市安州区2024-2025学年度九年级中考第三次模拟检测 （九年级数学） （考试时间：120分钟 满分：150分） 第I卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分每个小题只有-个选项符合题目要求） 1. 下列实数中满足的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，立方根，负指数幂，先分别计算出结果，然后比较即可得出答案． 【详解】解：．，故该选项不符合题意； ． ，故该选项不符合题意； ．，故该选项不符合题意； ．，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形是中心对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 3. 九洲体育馆是绵阳市的一座大型的体育会展场地，其主场馆建筑面积约，将24000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，掌握科学记数法的形式是解题的关键．用科学记数法表示较大数时的形式是 ，其中 ，n是正整数，正确确定a，n即可． 【详解】解：； 故选：D 4. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ） A. 圆锥 B. 长方体 C. 圆柱 D. 球 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图与左视图，主视图与俯视图的关系，可得答案． 【详解】解： 由主视图与左视图都是高平齐的矩形，主视图与俯视图都是长对正的矩形，得几何体是矩形， 故选B． 【点睛】本题考查由三视图判断几何体． 5. 如图，为的直径，，垂足为H， E是上的点， 若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，同弧所对的圆周角相等，直角三角形的性质，由垂径定理可得，则，再由直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：∵为的直径，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法，解决本题的关键是根据整式的乘法法则分别计算出各项的正确结果，根据正确结果判断正误即可． 【详解】解：A选项：根据平方差公式可得： ， 故A选项正确； B选项：根据多项式乘以多项式的法则可得： ， 故B选项错误； C选项：根据单项式乘以多项式的法则可得： ， 故C选项错误； D选项：根据完全平方公式可得： ， 故D选项错误． 故选：A． 7. 估算的运算结果应是（ ） A B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和估算无理数的大小的应用，先将原式中的二次根式化简，再进行估算． 【详解】解： ， ， ， 故选：C． 8. 已知关于x的不等式组解集为，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握不等式组解集的规律“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”成为解答本题的关键． 先解不等式组求得解集，然后再根据不等式组解集的情况，再结合不等式组的解集规律解答即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵不等式的解集为， ∴， 解得． 故选C． 9. 如图，矩形中，，P为的中点，连接，以点P为圆心，为半径作，将得到的扇形围成一个圆锥，若该圆锥的高与母线形成的夹角为a，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的有关计算，熟练掌握圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长．锐角三角函数定义，是解题的关键． 设，圆锥底面半径为r，则， ，，，得，得，得，即得． 【详解】解：设，圆锥底面半径为r，则， ∵P为的中点， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 10. 如图，四边形是菱形，，，E是上一动点，把沿翻折得到，其中点C的对应点为F，且，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接，记与的交点为，证明是等边三角形，可得为的内心， 外心，，，，进一步求解即可. 【详解】解：如图，连接，记与的交点为， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 由对折可得：，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴为的内心， 外心， ∴，，， ∴， 故选：C 【点睛】本题考查的是菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内心与外心的含义，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 11. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，P为抛物线上一点，其横坐标为，C为抛物线对称轴上一动点，连接，，当取得最小值时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数、二次函数的图象与性质、轴对称的性质及一次函数的图象与性质，熟练掌握三角函数、二次函数的图象与性质、轴对称的性质及一次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得，，连接，，当P、B、C三点共线时，取得最小值，然后求得直线的解析式为，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】解：当时，则有， ∴， 由可知：对称轴为直线，当时，则有， 解得：， ∴， 连接，，如图所示： 由轴对称可知：，所以， ∴当P、B、C三点共线时，取得最小值， 设直线的解析式为，则有， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴当时，则有， ∴，即， ∵， ∴； 故选A． 12. 如图，将1，三个数按图中方式排列；若规定表示第a排第b列的数，则与表示的两个数的积是（ ） 1 第1排 第2排 1 第3排 1 1 第4排 …… 第4列 第3列 第2列 第1列 …… A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，每三个数一循环，分别为1，．第一排有1个数，第二排有2个数，第三排有3个数，……，第n排有n个数，且每—排的数是从右往左排列的，可得表示第5排第4列的数，表示第5l排第30列的数，进而找到循环规律得到相应的数，再计算乘积即可． 【详解】解：由题意可得，每三个数一循环，分别为1，．第一排有1个数，第二排有2个数，第三排有3个数，……，第n排有n个数，且每—排的数是从右往左排列的． ∴表示第5排第4列的数，表示第5l排第30列的数， ∵前4排共有个数， ∴第5排第4列的数是第个， ∵， ∴表示的数是； 前50排共有个数， ∴第5l排第30列的数是第个数， ∵， ∴表示的数是， ∴与表示的两个数的积是； 故选：A. 第II卷（非选择题．共114分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分．共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上） 13. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 用提公因式的方法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 如果方程组的解也是方程的一个解，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程．先求出二次一次方程组的解，再代入，解一元一次方程即可得到的值． 【详解】解： 把②代入①得，， 解得，， 把代入②得，， ∴， 把代入得， ， 解得， 故答案为： 15. 在一个口袋中有6个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，6随机地摸出一个小球后然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号的和等于5的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号和为5的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】 和 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 共有36种等可能结果，其中两次摸出的小球标号的和为5的有4种， ∴两次摸出的小球标号的和等于5的概率是 故答案为：． 【点睛】本题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 16. 在城区老旧燃气管道改造项目中，已知某小区需要新铺设一条长的管道，由于临近春节，平均每天实际施工长度比原计划减少，结果推迟了3天完成任务，则其原计划每天铺设管道的长度是________． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划每天铺设管道，则实际每天铺设管道，利用工作时间工作总量工作效率，结合实际比原计划推迟了3天完成任务，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】解：设原计划每天铺设管道，则实际每天铺设管道， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：原计划每天铺设管道． 故答案为：40． 17. 如图，将等边三角形ABC绕点A顺时针旋转得到等边三角形ADE，若AD与BC交于点F，且，则的值是_________. 【答案】 【解析】 【分析】先要构造出直角三角形，然后利用ASA证出，找出相等的边与相等的角，并进一步利用等角的正弦值、余弦值相等，求出所需边长，根据正切值的定义，求比即可． 【详解】解：过点A作，过点E作. 设，则，，， 勾股定理得， ， 在和中， 可得，， 即 解得 即 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查了正切值的计算，解题的关键是要构造出直角三角形，并进一步利用三角形全等、正弦、余弦等知识求出所需边长． 18. 如图，在四边形中， ， ，，为上一点，且平分，为上一点，且，若，，则的长是_________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形的性质求出边长．根据，设，则，利用勾股定理可得，过点作，可证四边形是矩形，根据，可证是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得，，，过点作，可证，根据相似三角形的性质可以求出，可证，利用相似三角形的性质可求的长度． 【详解】解：， ， 设，则， ， ， 如下图所示，过点作， ， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ，，， 过点作， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 三、解答题（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：． （2）已知，求代数式 的值． 【答案】（1）4；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值和实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂和绝对值的意义计算即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：（1） ； （2）    由，得到 ∴原式． 20. 某校为了解九年级学生的体重情况，随机抽取了九年级部分学生进行调查，将抽取学生的体重情况绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，请根据图表信息回答下列问题： 体重频数分布表 组边 体重（千克） 人数 A 45≤x＜50 12 B 50≤x＜55 m C 55≤x＜60 80 D 60≤x＜65 40 E 65≤x＜70 16 （1）填空：①m＝　 　（直接写出结果）； ②在扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数等于　 　度； （2）如果该校九年级有1000名学生，请估算九年级体重低于60千克的学生大约有多少人？ 【答案】（1）52；144；（2）720人 【解析】 【详解】试题分析：（1）①根据D组的人数及百分比进行计算即可得到m的值；②根据C组的百分比即可得到所在扇形的圆心角的度数； （2）根据体重低于60千克的学生的百分比乘上九年级学生总数，即可得到九年级体重低于60千克的学生数量． 【解析】（1）①调查的人数为：40÷20%=200（人），∴m=200﹣12﹣80﹣40﹣16=52； ②C组所在扇形的圆心角的度数为×360°=144°； 故答案为52，144； （2）九年级体重低于60千克的学生大约有×1000=720（人）． 点睛：本题主要考查了扇形统计图，用样本估计总体以及频数分布表的运用，从扇形统计图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．各部分扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°． 21. 已知某工厂生产甲、乙两种不同规格的产品，生产1吨的甲产品需要2吨原材料A；生产1吨的乙产品需要3吨原材料A．根据市场调研，甲、乙两种产品所获利润y（单位：万元）与其产量x（单位：吨）之间分别满足以下函数关系： 甲产品：．当时，；当时，． 乙产品：． （1）求甲产品所获利润y（单位：万元）与其产量x（单位：吨）之间满足的函数关系． （2）若现原材料A共有20吨，应怎样将原材料分配给甲、乙两种规格的产品，才能使得利润最大？求出最大利润． 【答案】（1） （2）20吨原材料A分配给甲产品13吨，分配给乙产品7吨时，利润最大，最大利润为 【解析】 【分析】本题是二元一次方程组的应用与二次函数的应用的综合题，关键是根据题目中的数量关系列出方程组和函数解析式． （1）代入已知的两对变量值，用待定系数法求出a、b便可； （2）设产品甲生产了x吨，需要A原料吨，则可分配给新产品乙的原材料A有吨，则生产乙吨，再求出总利润关于x的二次函数，运用二次函数的最值求法解答． 【小问1详解】 解：根据题意得， ， 解得， ∴产品甲所获利润y（万元）与其产量x（吨）之间满足的函数关系：； 【小问2详解】 解：设产品甲生产了x吨，需要A原料吨，则可分配给新产品乙的原材料A有吨，则生产乙吨， 设甲、乙两种产品总的利润为w万元，则 ， 整理得，， 即当且仅当生产甲吨时，利润达到最大． 吨，吨， 答：20吨材料A应分配给甲13吨，分配给乙7吨时，最终所获利润最大，最大利润为． 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴、y轴分别交于点A，B，且．求： （1）该反比例函数的解析式； （2）点A的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，一次函数与反比例函数的综合 ； （1）把代入即可得到答案； （2）设，而，可得，结合，求解，再进一步求解一次函数解析式以及的坐标即可． 【小问1详解】 解：把代入得：， 反比例函数为：． 【小问2详解】 解：设，而， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 把，代入一次函数中， ∴， 解得：， ∴一次函数为， 当时，解得：， ∴． 23. 如图，为的直径，是的弦，，与交于点M，连接并延长与的延长线交于点F，延长至点E，使，连接，平分． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由角平分线的定义得出，再证明，由平行线的性质得出，再根据垂线的定义得出，进而可得出，再由等边对等角得出，即可得出，即可证明． （2）由垂径定理可得出，有圆周角定理可得出，由正切的定义可知，由(1)可得，即，设半径，则．由勾股定了得出r，再由正切的定义得出，设，则．，最后由勾股定理即可求出答案． 【小问1详解】 证明∶如图，连接， ∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又 ∴， ∵， ∴， ∴， 即．． ∵为的半径， ∴与相切． 【小问2详解】 解∶∵，为直径，∶ ∴垂直平分， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 由(1)可得， 即． ∵， 设半径，则． ∵，， ∴． 在中， ，， ∴， 即， 解得或． 当时，，故不符合题意，舍去， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则． 在，， 即， 解得， ∴ 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，等边对等角，平行线的判定和性质，圆切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的有关计算，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 24. 如图，在中，，为边上的高，且， ， E，M为边上两个不重合的动点（点E在点M的上方，且均不与端点重合），，与边交于点F，四边形为平行四边形，连接． （1）求，的长． （2）如图①，若四边形为菱形，当时，求该菱形的边长． （3）如图②，若，则当长为多少时，平行四边形的面积取得最大值？求出最大值． 【答案】（1）， （2） （3）当时，平行四边形的面积取得最大值，最大值为． 【解析】 【分析】（1）由正切的定义设，，由勾股定理可得出，解出x即可得出答案． （2）过点E作于点H，设与交于点R，过点M作于点G，过点N 作于点K， 由平行线的性质和等腰直角三角形的性质得出，，，进而可得出．设，则，由菱形的性质得出，通过解直角三角形可得出，再由已知条件可得出，最后可得出，解x即可得出答案． （3）过点B作于点P，与交于点Q，过点E作于点T．设与交于点W．由正切的定义求出 ，由等腰三角形三线合一的性质得出． 设，则，由平行线截线段成比例可得出，进而可得出，再解直角三角形可得出，最后再根据菱形的面积得出关于m的一元二次函数，利用二次函数的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：在中， 为边上的高， ∴是直角三角形， ∵， 设，， ∴ 解得， ∴，， ∴ 【小问2详解】 如图③，过点E作于点H，设与交于点R，过点M作于点G，过点N 作于点K， ∵， ，， ∴，，， ∴， 即． 设， 则， ∴ ∵四边形为菱形， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴当时，该菱形的边长为． 【小问3详解】 解：如图④，过点B作于点P，与交于点Q，过点E作于点T．设与交于点W． 在中，，， ∵， ∴设， ∴ 解得或（舍去） ∴， ∴． 当时，是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴为的中线和高， 即． 设，则， ∴， ∵， ∴， 即：， 解得， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 同（2）可得出， ∴， 当时，， ∴当时，平行四边形的面积取得最大值，最大值为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的相关计算和利用，菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，利用二次函数的性质求面积的最大值，平行线截线段成比例等知识，难度较大，掌握这些知识是解题的关键． 25. 如图，已知抛物线分别与x轴、y轴交于点，，过点B作，与抛物线交于点C，轴，垂足为D，连接，与y轴交于点E，过点E作，垂足为F． （1）求抛物线的解析式； （2）求的长； （3）如图②，已知P为线段上一动点（不与点C、D重合），连接并延长，与x轴交于点M，N为上一点，且，求出当线段的长取何值时，线段最长，并求出此时的长． 【答案】（1） （2）4 （3）当线段时，线段最长，此时的长为． 【解析】 【分析】1）将点，代入抛物线解析式，利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴于点，设，利用勾股定理列方程求出，从而得到点的坐标，得出，依次证明，，得到，即可求出的长； （3）过点作于点，证明，得到，从而得到， ，设，利用角的正切值，得出，则，再利用直角三角形，得出，，进而推出，再根据得到关于的二次函数，求出最值即可． 小问1详解】 解：抛物线分别与x轴、y轴交于点，， ，解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴于点， ，， ，， ， 点在抛物线上， 设， ，， 在中，， ， 解得：或（舍）， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， ，， ， ， ， ， 由（2）可知，， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，， 在中，， 在中，， ， ， ， ， 当时，有最大值， 当线段时，线段最长，此时的长为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，解直角三角形的应用，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值等知识，作辅助线构造直角三角形，利用数形结合的思想解决问题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$