2025年高考数学解题技巧之琴生不等式讲义

大招8   琴生不等式 1． 琴生不等式 凸函数的定义：设连续函数的定义域为，对于区间内任意两点，都有，则称为上的下凸（凸）函数； 反之，若有，则称为上的上凸（凹）函数. 琴生(Jensen)不等式（1905年提出）：若为上的下凸（凸）函数，则 （想象边形的重心在图象的上方，个点重合时“边形”的重心在图象上） 琴生(Jensen)不等式证明： 1） 时，由下凸（凸）函数性质知结论成立； 2） 假设时命题成立，即 那么当时，设， 所以 所以，得证 2． 加权平均琴生(Jensen)不等式： 若为上的下凸（凸）函数，  且， 则 3． 曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数， （1） 如果对任意x∈I，，则曲线y=f(x)在I内是下凸的； （2） 如果对任意x∈I，，则y=f(x)在I内是上凸的. 4． 幂平均不等式： 若，且，，则．由幂平均不等式得 【典例1】已知函数，则的最小值是 ． 【大招指引】 给定一个函数，我们先要研究函数的性质，再去处理后续问题，很明显本题函数是奇函数，且周期为.故可先求其最大值；易知在上取得最大值，且为凸函数．从而可以利用琴生不等式进行解决. 解析： 易知该函数为奇函数，故求其最大值即可；易知在上取得最大值，且为凸函数．那么，故最小值为． 【题后反思】本题的方法很多，值得各位同学及其思考，还有如下方法： ［方法一］： 【通性通法】导数法 ． 令，得，即在区间内单调递增； 令，得，即在区间内单调递减． 则． 故答案为：. ［方法二］： 三元基本不等式的应用 因为， 所以 ． 当且仅当，即时，取等号． 根据可知，是奇函数，于是，此时． 故答案为：. ［方法三］： 升幂公式＋多元基本不等式 ， ， 当且仅当，即时，． 根据可知，是奇函数，于是． 故答案为：. ［方法四］： 化同角＋多元基本不等式+放缩 ，当且仅当时等号成立． 故答案为：. ［方法五］：万能公式＋换元+导数求最值 设，则可化为， 当时，；当时，，对分母求导后易知， 当时，有最小值． 故答案为：. ［方法六］： 配方法 ， 当且仅当即时，取最小值． 故答案为：. ［方法七］：【最优解】周期性应用＋导数法 因为，所以， 即函数的一个周期为，因此时，的最小值即为函数的最小值． 当时，， 当时， 因为 ，令，解得或，由，，，所以的最小值为．故答案为：. 【温馨提醒】 琴生不等式在使用时一定要注意它的适用条件和解题步骤，在高考中作为一个解题技巧使用，尤其是小题当中． 【举一反三】 1． 在内，求的最大值 ． 【答案】## 【分析】根据凸函数的性质结合琴生不等式可求得答案. 【详解】在中，， 设函数，则在上为凸函数， 由琴生不等式可得 ， 当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故答案为：. 2． 无数次借着你的光，看到未曾见过的世界：国庆七十周年､建党百年天安门广场三千人合唱的磅礴震撼，“930烈士纪念日”向人民英雄敬献花篮仪式的凝重庄严金帆合唱团，这绝不是一个抽象的名字，而是艰辛与光耀的延展，当你想起他，应是四季人间，应是繁星璀璨！这是开学典礼中，我校金帆合唱团的颁奖词，听后让人热血沸腾，让人心向往之.图1就是金帆排练厅，大家都亲切的称之为“六角楼”，其造型别致，可以理解为一个正六棱柱（图2）由上底面各棱向内切割为正六棱台（图3），正六棱柱的侧棱交的延长线于点，经测量，且 (1) 写出三条正六棱台的结构特征. (2) “六角楼”一楼为办公区域，二楼为金帆排练厅，假设排练厅地板恰好为六棱柱中截面，忽略墙壁厚度，估算金帆排练厅对应几何体体积.（棱台体积公式：） (3) “小迷糊”站在“六角楼”下，陶醉在歌声里.“大聪明”走过来说：“数学是理性的音乐，音乐是感性的数学.学好数学方能更好的欣赏音乐，比如咱们刚刚听到的一个复合音就可以表示为函数，你看这多美妙!” “小迷糊”：“.....” 亲爱的同学们，快来帮“小迷糊”求一下的最大值吧. 【答案】(1)答案见解析 (4) (5) 【分析】 （1） 根据正六棱台性质即可; （2） 找出棱台的高，代入体积公式即可; （3） 法1.利用四元均值不等式，法2.利用琴生不等式法，法3.利用二元均值不等式推广，法4.利用柯西不等式. 【详解】（1）类似于上下底面平行，相似，都是正六边形，侧棱等长，侧棱延长交于一点，侧面都是等腰梯形，等等. （4） 在中，可求， 所以排练厅上底面为边长10的正六边形，下底面为边长9的正六边形，高为， 所以， 所以. （5） 法1.四元均值不等式 . 当且仅当，即时取等号. 所以最大值为. 法2.琴生不等式法 ， 当且仅当，即取等号. 所以最大值为. 法3.二元均值不等式推广， ， 当且仅当时取等号. 所以最大值为. 法4.柯西不等式 ，根据二次函数知识可知当取得最大值， 所以； 柯西不等式等号成立时与二次函数取到最值时相同，当且仅当. 所以最大值为. 注：可以参考（不限于）下面公式： ①元均值不等式： 2 琴生不等式： 若函数在上为“凸函数”，且为上任意个实数，则 注：在是“凸函数” 3 柯西不等式： 注：其二元形式为 【典例2】设，， 求证：． 【大招指引】本题是证明不等式问题，证明不等式常见得方法是通过函数进行研究，根据不等式左侧能够发现，可以构造，然而题中又给出，，所以可以考虑琴生不等式证明，先研究其凹凸性，再利用琴生不等式证明. 解析：设函数，则， 所以在上下凸， 所以 又由算术平均不小于平方平均得 所以 所以 【题后反思】通过观察不等式的特征，从而构造函数，用二阶导数判断函数的凸性，求导运算是关键．要充分理解琴生不等式的特征. 【举一反三】 3． 已知，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】两边取对数转化为求证，由在上是上凸函数，利用加权平均琴生不等式可得证. 【详解】两边取自然对数， 即证， 因为在上是上凸函数，且 由加权平均琴生不等式 ， （） 所以 4． 设，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由曲线形状的凹凸性，列出函数满足的不等式，化简即可. 【详解】证明：的图象是等轴双曲线的上支，在区间上是下凸函数， 所以，所以． 5． 丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析作出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数在区间内的导函数为，在区间内的导函数为，在区间内恒成立，则称函数在区间内为“凸函数”，则下列函数在其定义域内是“凸函数”的是（    ） A． B． B． D． 【答案】B 【分析】根据基本初等函数的导函数公式求各函数二阶导函数，判断其在定义域上是否恒有，即可知正确选项. 【详解】A：，则，显然定义域内有正有负，故不是“凸函数”； C． ，则，故是“凸函数”； D． ，则，故不是“凸函数”； E． ，则，显然定义域内有正有负，故不是“凸函数”； 故选：B 6． 丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若为上任意n个实数，满足，则称函数在上为“上凸函数”.设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“上凸函数”.下列结论成立的是（    ） A． 在上为“上凸函数” B． 在上为“上凸函数” C． 在中， D． 在中， 【答案】ACD 【分析】根据“上凸函数”的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：对于A，，在上恒成立， 故在上为“上凸函数”，选项A正确； 对于B，，在上恒成立，在不成立， 故在上不是“上凸函数”，选项B错误； 对于C，由选项A可知，在上为“上凸函数”， 又，，为内角， ， 即，选项C正确； 对于D，由选项B可知，在上为“上凸函数”， 又， ∴， 即，选项D正确； 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用函数的导数研究函数的性质，解决本题的关键在于求出函数的二阶导数，再结合“上凸函数”的定义判断，考查了学生的运算求解能力、转化与化归能力，属于中档题． 7． 建筑师高迪曾经说：直线属于人类，而曲线属于上帝，一切灵感来源于自然和幻想，灵活生动的曲线和简洁干练的直线，在生活中处处体现了几何艺术美感，我们可以利用曲线和直线写出很多不等关系，如由在点处的切线写出不等式，进而用替换x得到一系列不等式，叠加后有．这些不等式同样体现数学之美．运用类似方法推导，下面的不等式正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】选项A，可用特殊值法，令，可知不等式不成立；选项B，将中的替换为，用赋值法可得，然后根据同向不等式相加可判断B选项的正误；选项C，将中的替换为，可得，同样根据同向不等式相加与指对互化即可证明；选项D，将中的替换为，可得，然后再根据同向不等式相加可判断D的正误，另外，也可用特殊值法即由即可说明选项D的正误． 【详解】令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值，， 故，当且仅当时等号成立， A 选项：时不等式左右两端相等，故错误； B 选项：将中的替换为，可得， 当且仅当时等号成立， 令，可得， 所以， 故， 其中， 所以，B正确； C 选项：将中的替换为，显然， 则， 故， 当时，，故成立； 当时，显然成立， 故正确； 选项：将中的替换为，其中，且，则， 则，故， 则，又，D错误. 故选：BC． 8． 设函数f（x）在区间I上有定义，若对和，都有，那么称f（x）为I上的凹函数，若不等号严格成立，即“<”号成立，则称f（x）在I上为严格的凹函数.对于上述不等式的证明，19世纪丹麦数学家琴生给出了如下的判断方法：设定义在（a，b）上的函数f（x），其一阶导数为，其二阶导数为（即对函数再求导，记为），若，那么函数f（x）是严格的凹函数（，均可导）.试根据以上信息解决如下问题：函数在定义域内为严格的凹函数，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】对函数求导，并对其导函数再次求导，将问题转化为函数最值问题，利用导数求最值即可. 【详解】由，得， 令，则， 令恒成立，即恒成立， 令，则， 当时，，g（x）单调递减； 当时，，g（x）单调递增， 所以， 所以. 故答案为：. 9． 设是实数，则在中，有． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，构造函数，利用导数判断函数在上的凸凹性，结合詹森不等式即可证明. 【详解】当时，令， ， 因为，， 所以函数在区间上是下凸函数， 由詹森不等式可得：． 所以. 10． 已知函数，，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】由可得的凹凸性，由此可得结论. 【详解】，，在上是下凸函数， . 11． 已知，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】令，由可得为下凸函数，由不等式可证得结论. 【详解】令，则，， 为下凸函数，则由不等式得：， 即（当且仅当时取等号）， ， 由对数性质可知：． 12． 已知，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用函数导数证明函数是上是上凸函数，再由琴生不等式证明即可. 【详解】令，，， 其中，，，， 故可知，是上是上凸函数， 由琴生不等式． 13． 应用琴生（Jensen）不等式证明幂平均不等式：若，且，，则． 【答案】证明见解析 【分析】利用琴生不等式和的凹凸性质证明. 【详解】， 函数， 当时，为下凸函数， ， ， 用代替，即，得证． 当时，为下凸函数，证明过程同上， 当时，为上凸函数， ， 且函数在单调递减， 所以， 用代替，即，得证． 综上，原命题得证. 14． 设，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】构造上凸函数在，利用琴生不等式证明. 【详解】证明：由幂函数的图像可知，在上为上凸函数，由琴生不等式， 则 ， 且，，不能同时相等，从而等号取不到． ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大招8   琴生不等式 1． 琴生不等式 凸函数的定义：设连续函数的定义域为，对于区间内任意两点，都有，则称为上的下凸（凸）函数； 反之，若有，则称为上的上凸（凹）函数. 琴生(Jensen)不等式（1905年提出）：若为上的下凸（凸）函数，则 （想象边形的重心在图象的上方，个点重合时“边形”的重心在图象上） 琴生(Jensen)不等式证明： 1） 时，由下凸（凸）函数性质知结论成立； 2） 假设时命题成立，即 那么当时，设， 所以 所以，得证 2． 加权平均琴生(Jensen)不等式： 若为上的下凸（凸）函数，  且， 则 3． 曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数， （1） 如果对任意x∈I，，则曲线y=f(x)在I内是下凸的； （2） 如果对任意x∈I，，则y=f(x)在I内是上凸的. 4． 幂平均不等式： 若，且，，则．由幂平均不等式得 【典例1】已知函数，则的最小值是 ． 【大招指引】 给定一个函数，我们先要研究函数的性质，再去处理后续问题，很明显本题函数是奇函数，且周期为.故可先求其最大值；易知在上取得最大值，且为凸函数．从而可以利用琴生不等式进行解决. 解析： 易知该函数为奇函数，故求其最大值即可；易知在上取得最大值，且为凸函数．那么，故最小值为． 【题后反思】本题的方法很多，值得各位同学及其思考，还有如下方法： ［方法一］： 【通性通法】导数法 ． 令，得，即在区间内单调递增； 令，得，即在区间内单调递减． 则． 故答案为：. ［方法二］： 三元基本不等式的应用 因为， 所以 ． 当且仅当，即时，取等号． 根据可知，是奇函数，于是，此时． 故答案为：. ［方法三］： 升幂公式＋多元基本不等式 ， ， 当且仅当，即时，． 根据可知，是奇函数，于是． 故答案为：. ［方法四］： 化同角＋多元基本不等式+放缩 ，当且仅当时等号成立． 故答案为：. ［方法五］：万能公式＋换元+导数求最值 设，则可化为， 当时，；当时，，对分母求导后易知， 当时，有最小值． 故答案为：. ［方法六］： 配方法 ， 当且仅当即时，取最小值． 故答案为：. ［方法七］：【最优解】周期性应用＋导数法 因为，所以， 即函数的一个周期为，因此时，的最小值即为函数的最小值． 当时，， 当时， 因为 ，令，解得或，由，，，所以的最小值为．故答案为：. 【温馨提醒】 琴生不等式在使用时一定要注意它的适用条件和解题步骤，在高考中作为一个解题技巧使用，尤其是小题当中． 【举一反三】 1． 在内，求的最大值 ． 2． 无数次借着你的光，看到未曾见过的世界：国庆七十周年､建党百年天安门广场三千人合唱的磅礴震撼，“930烈士纪念日”向人民英雄敬献花篮仪式的凝重庄严金帆合唱团，这绝不是一个抽象的名字，而是艰辛与光耀的延展，当你想起他，应是四季人间，应是繁星璀璨！这是开学典礼中，我校金帆合唱团的颁奖词，听后让人热血沸腾，让人心向往之.图1就是金帆排练厅，大家都亲切的称之为“六角楼”，其造型别致，可以理解为一个正六棱柱（图2）由上底面各棱向内切割为正六棱台（图3），正六棱柱的侧棱交的延长线于点，经测量，且 (1) 写出三条正六棱台的结构特征. (2) “六角楼”一楼为办公区域，二楼为金帆排练厅，假设排练厅地板恰好为六棱柱中截面，忽略墙壁厚度，估算金帆排练厅对应几何体体积.（棱台体积公式：） (3) “小迷糊”站在“六角楼”下，陶醉在歌声里.“大聪明”走过来说：“数学是理性的音乐，音乐是感性的数学.学好数学方能更好的欣赏音乐，比如咱们刚刚听到的一个复合音就可以表示为函数，你看这多美妙!” “小迷糊”：“.....” 亲爱的同学们，快来帮“小迷糊”求一下的最大值吧. 注：可以参考（不限于）下面公式： ①元均值不等式： 2 琴生不等式： 若函数在上为“凸函数”，且为上任意个实数，则 注：在是“凸函数” 3 柯西不等式： 注：其二元形式为 【典例2】设，， 求证：． 【大招指引】本题是证明不等式问题，证明不等式常见得方法是通过函数进行研究，根据不等式左侧能够发现，可以构造，然而题中又给出，，所以可以考虑琴生不等式证明，先研究其凹凸性，再利用琴生不等式证明. 解析：设函数，则， 所以在上下凸， 所以 又由算术平均不小于平方平均得 所以 所以 【题后反思】通过观察不等式的特征，从而构造函数，用二阶导数判断函数的凸性，求导运算是关键．要充分理解琴生不等式的特征. 【举一反三】 3． 已知，，求证：． 4． 设，且，求证：． 5． 丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析作出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数在区间内的导函数为，在区间内的导函数为，在区间内恒成立，则称函数在区间内为“凸函数”，则下列函数在其定义域内是“凸函数”的是（    ） A． B． B． D． 6． 丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若为上任意n个实数，满足，则称函数在上为“上凸函数”.设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“上凸函数”.下列结论成立的是（    ） A． 在上为“上凸函数” B． 在上为“上凸函数” C． 在中， D． 在中， 7． 建筑师高迪曾经说：直线属于人类，而曲线属于上帝，一切灵感来源于自然和幻想，灵活生动的曲线和简洁干练的直线，在生活中处处体现了几何艺术美感，我们可以利用曲线和直线写出很多不等关系，如由在点处的切线写出不等式，进而用替换x得到一系列不等式，叠加后有．这些不等式同样体现数学之美．运用类似方法推导，下面的不等式正确的有（    ） A． B． C． D． 8． 设函数f（x）在区间I上有定义，若对和，都有，那么称f（x）为I上的凹函数，若不等号严格成立，即“<”号成立，则称f（x）在I上为严格的凹函数.对于上述不等式的证明，19世纪丹麦数学家琴生给出了如下的判断方法：设定义在（a，b）上的函数f（x），其一阶导数为，其二阶导数为（即对函数再求导，记为），若，那么函数f（x）是严格的凹函数（，均可导）.试根据以上信息解决如下问题：函数在定义域内为严格的凹函数，则实数m的取值范围为 . 9． 设是实数，则在中，有． 10． 已知函数，，证明：． 11． 已知，．求证：． 12． 已知，且．求证：． 13． 应用琴生（Jensen）不等式证明幂平均不等式：若，且，，则． 14． 设，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$