2025年高考数学解题技巧之权方和不等式讲义

大招7  权方和不等式 在遇到利用不等式法求最值时，常常会遇到无法利用基本不等式解决的问题，可以利用权方和不等式处理. （1） 二维权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立. 证明：，要证，只需证 即证，故只要证， 则，当且仅当时，等号成立 即，当且仅当时，等号成立. 变形1：已知，则有：（当且仅当时，等号成立）. 变形2：已知，且，则当且仅当时，等号成立. （2） 多维权方和不等式： 公式1：若，则，当时，等号成立. 公式2：若，则，当时，等号成立. 权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数大1，用于“知和求和型”快速求最值，本质还是代数式常数化. 【典例1】已知a＞0，b＞0，且，则的最小值是____. 【大招指引】本题给定了已知整式和方程，待求式符合权方和的形式：分子的幂指数比分母的幂指数大1，利用权方和会得到.根据已知条件知不等式右侧为定值，从而可直接使用. 解析：；当，即时，等号成立. 【题后反思】不等式的最值求法方法较多，关键是要熟知每种不等式的结构特征，根据题中特征选择合适的方法. 【温馨提醒】权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数大1，用于“知和求和型”快速求最值，本质还是代数式常数化.另外，一定要验证等号成立条件. 【举一反三】 1． 设，，若，则的最小值为 2． 已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 . 【典例2】若，，，则的最小值为______________ 【大招指引】本题给定了分式和方程，而我们的权方和不等式就是分式形状，因此需要对已知式变形，一方面符合权方和的形式，另一方面需要出现待求式，于是可将分子分母同乘4，则可见分母，正是待求式，便可顺利解决. 解析： 即，则，当且仅当时取等号. 【题后反思】很多题目是不会直接可以利用权方和不等式解决的，需要进行一定的配凑与变形，得出我们所要的结果. 【举一反三】 3． 已知，且满足，则的最小值为 . 4． 已知，且，求的最小值为 . 【典例3】已知x＞1，y＞1，则的最小值是__________. 【大招指引】本题未告知已知条件，只有一个分式和求最值，则需要观察这个分式的特征，若直接利用权方和不等式，这样分子出现，分母也出现，接着就可以利用换元换成一个变量，再利用基本不等式即可解决. 解析：令， 当，即，两个等号同时成立. 【题后反思】权方和不等式在使用时也跟基本不等式相似，“一正，二定，三等式”，关键也是需要变形和验证. 【举一反三】 5． 已知，则的最小值为 ． 6． 已知，则的最小值 . 【典例4】求的最小值为______________. 【大招指引】本题未告知已知条件，只有一个分式和求最值，则需要观察这个分式的特征，若直接利用权方和不等式，需要寻求定值，与三角函数有关的定值就是，于是通过配凑得出即可. 解析： ，当且仅当时取等号. 【题后反思】遇到求最值的问题还是需要寻求定值，有时给了最值，有时是在给定式中，灵活的变形也是解题的关键. 【举一反三】 7． 函数的最小值是 . 8． 已知正实数、且满足，求的最小值 . （2023·全国·高三专题练习） 9． 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 10． 设、，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 11． 已知为锐角，则的最小值为 . （2023秋·贵州贵阳·统考期末） 12． 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为 ． 13． 已知正数，，满足，则的最小值为 14． 已知正数满足，则的最小值为 15． 已知，求的最小值为 16． 设,则的最大值为 ． 17． 求的最大值为 18． 已知实数x，y满足，且，的最小值为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大招7  权方和不等式 在遇到利用不等式法求最值时，常常会遇到无法利用基本不等式解决的问题，可以利用权方和不等式处理. （1） 二维权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立. 证明：，要证，只需证 即证，故只要证， 则，当且仅当时，等号成立 即，当且仅当时，等号成立. 变形1：已知，则有：（当且仅当时，等号成立）. 变形2：已知，且，则当且仅当时，等号成立. （2） 多维权方和不等式： 公式1：若，则，当时，等号成立. 公式2：若，则，当时，等号成立. 权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数大1，用于“知和求和型”快速求最值，本质还是代数式常数化. 【典例1】已知a＞0，b＞0，且，则的最小值是____. 【大招指引】本题给定了已知整式和方程，待求式符合权方和的形式：分子的幂指数比分母的幂指数大1，利用权方和会得到.根据已知条件知不等式右侧为定值，从而可直接使用. 解析：；当，即时，等号成立. 【题后反思】不等式的最值求法方法较多，关键是要熟知每种不等式的结构特征，根据题中特征选择合适的方法. 【温馨提醒】权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数大1，用于“知和求和型”快速求最值，本质还是代数式常数化.另外，一定要验证等号成立条件. 【举一反三】 1． 设，，若，则的最小值为 【答案】 【分析】利用基本不等式的性质即可得出． 【详解】解：， ， ， 当且仅当，时取等号， 故，则的最小值为， 故答案为： 【点睛】本题考查基本不等式求最值，“1”的整体代换是解决问题的关键，属于基础题． 2． 已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】直接根据权和不等式即可得结果. 【详解】由权方和不等式，可知 ==， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 【典例2】若，，，则的最小值为______________ 【大招指引】本题给定了分式和方程，而我们的权方和不等式就是分式形状，因此需要对已知式变形，一方面符合权方和的形式，另一方面需要出现待求式，于是可将分子分母同乘4，则可见分母，正是待求式，便可顺利解决. 解析： 即，则，当且仅当时取等号. 【题后反思】很多题目是不会直接可以利用权方和不等式解决的，需要进行一定的配凑与变形，得出我们所要的结果. 【举一反三】 3． 已知，且满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由权方不等式，结合已知等式进行求解即可. 【详解】由权方和不等式，可知， ，当且仅当时取等号， 即当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 4． 已知，且，求的最小值为 . 【答案】 【分析】根据，利用基本不等式可求得最小值. 【详解】，且， （当且仅当，即时取等号）， . 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用基本不等式求最值的问题，解题关键是能够灵活利用已知条件中“”的等式，将所求项配凑成符合基本不等式的形式. 【典例3】已知x＞1，y＞1，则的最小值是__________. 【大招指引】本题未告知已知条件，只有一个分式和求最值，则需要观察这个分式的特征，若直接利用权方和不等式，这样分子出现，分母也出现，接着就可以利用换元换成一个变量，再利用基本不等式即可解决. 解析：令， 当，即，两个等号同时成立. 【题后反思】权方和不等式在使用时也跟基本不等式相似，“一正，二定，三等式”，关键也是需要变形和验证. 【举一反三】 5． 已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先判断得每一项均为正，然后利用两个分布的关系得，利用均值不等式计算即可. 【详解】因为，所以，，显然，，所以，当，即时，等号成立，所以，所以的最小值为. 故答案为： 6． 已知，则的最小值 . 【答案】 【分析】将函数解析式变形为，然后在代数式上乘以，展开后利用基本不等式可求出该函数的最小值. 【详解】，，， 由基本不等式得. 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，函数的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最小值，解题的关键在于将函数解析式配凑，考查计算能力，属于中等题. 【典例4】求的最小值为______________. 【大招指引】本题未告知已知条件，只有一个分式和求最值，则需要观察这个分式的特征，若直接利用权方和不等式，需要寻求定值，与三角函数有关的定值就是，于是通过配凑得出即可. 解析： ，当且仅当时取等号. 【题后反思】遇到求最值的问题还是需要寻求定值，有时给了最值，有时是在给定式中，灵活的变形也是解题的关键. 【举一反三】 7． 函数的最小值是 . 【答案】9 【分析】利用同角三角函数的平方关系，结合基本不等式求函数最小值. 【详解】由， ， 当，即时等号成立. 所以函数的最小值是9. 故答案为：9. 8． 已知正实数、且满足，求的最小值 . 【答案】 【分析】设，，，由权方和不等式计算可得. 【详解】设，，， 由权方和不等式，可知， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： （2023·全国·高三专题练习） 9． 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】B 【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答. 【详解】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立， 又，即， 于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以函数的最小值为25. 故选：B 10． 设、，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用基本不等式可得出，即可求得的最小值. 【详解】设，因为，则且， 因为，构造数字式 ， 所以，，故， 当且仅当，即当时，等号成立， 因此，的最小值是. 故选：B. 11． 已知为锐角，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用权方和不等式：求解. 【详解】 当且仅当即，时取“”. 故答案为： （2023秋·贵州贵阳·统考期末） 12． 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为 ． 【答案】8 【分析】先将给定函数式表示成已知不等式左边的形式，再利用该不等式求解即可. 【详解】因为，，，，则，当且仅当时，等号成立， 又，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 故答案为：8. 13． 已知正数，，满足，则的最小值为 【答案】 【分析】根据权方和不等式可得解. 【详解】因为正数，满足， 所以， 当且仅当即时取等号. 故答案为：. 14． 已知正数满足，则的最小值为 【答案】 【分析】 运用权方和不等式求和式的最小值，关键在于找到所求和式的两个分母与题设和式之间的联系，满足条件则迅速求解. 【详解】 要求最小值，先来证明权方和不等式，即：有当且仅当时取等号. 证明：利用柯西不等式：，当且仅当时取等号， 要证只须证， 因则= 当且仅当时，即时取等号. 故由 当且仅当时取等号.由解得：， 即当时，的最小值为. 故答案为： 15． 已知，求的最小值为 【答案】 【分析】应用权方和不等式即可求解. 【详解】 当且仅当时取等号 故答案为：60 16． 设,则的最大值为 ． 【答案】 【详解】由两边同时加上 得两边同时开方即得：（且当且仅当时取“=”）， 从而有（当且仅当,即时，“=”成立） 故填：. 考点：基本不等式. 【名师点睛】本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式转化为（a>0,b>0且当且仅当a=b时取“=”）再利用此不等式来求解.本题属于中档题，注意等号成立的条件. 17． 求的最大值为 【答案】 【分析】根据权方和不等式直接求解即可. 【详解】 当且仅当，即或时取等号 故答案为：. 18． 已知实数x，y满足，且，的最小值为 . 【答案】##1.6 【分析】巧妙运用权方和不等式求解和式的最小值问题，关键是找到所求式的两个分母与题设和式的内在联系. 【详解】要求最小值，先来证明权方和不等式，即：有当且仅当时取等号. 证明：利用柯西不等式：，当且仅当时取等号， 要证只须证， 因则= 当且仅当时，即时取等号. 不妨令,整理得， 则解得则 ， 当且仅当时等式成立，由解得：，即当时，的最小值为. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$