高中数学解题技巧之柯西不等式讲义

大招6   柯西不等式 1. 二维形式的柯西不等式 2. 二维形式的柯西不等式的变式 3. 二维形式的柯西不等式的向量形式 注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了. 4. 扩展：，当且仅当时，等号成立. 5. 记忆方法：口诀：平和城，城和平 平：平方 城：同“乘”，相乘 【典例1】实数x、y满足，则的最小值是（ ） A．    B．    C．3    D．4 【大招指引】 本题的特征是已知高幂因式，求低幂因式，根据柯西不等式的特征，高幂因式是平方和的乘积，右边是低幂因式的平方，因此本题需要先进行配凑，由于要小于等于两个平方和的乘积，但由于前系数较大，所以需变形为，即为．则. 解析：实数x、y满足，， ，， 当且仅当时取等号，的最小值是.故选：A. 【题后反思】不少同学在遇到不等式时，很想利用基本不等式解决，但解决不了，对于柯西不等式的利用，麻烦的是不会变形，那么变形的常见策略是什么呢？找准突破口，像本题就是对低幂形式进行变形，再对已知式进行配凑变形． 【温馨提醒】 1． 对于柯西不等式的应用，仍然要注意等号成立条件，尤其是多维形式． 2． 柯西不等式一般在使用时，一定要注意变形，配凑． 【举一反三】 1． 若实数，则的最小值为（    ） A．14 B． C．29 D． 2． 已知，，求的最值? 【典例2】函数的最大值为________． 【大招指引】此题没给条件，也就无法利用已知式进行求解，并且含有参数，那么我们的解题思路就是消参，但参数又在根号里，那只能利用平方解决.对于本题的式子结构，知它是柯西不等式右侧低幂形式，所以 ，从而能快速得出结果. 解析：法一：柯西不等式∵且， 函数的定义域为，且， 即时函数取最大值，最大值为. 法二：∵且， ∴函数的定义域为 由，得 即，解得∴时函数取最大值，最大值为. 【题后反思】对于一维单变量求最值的问题，可以使用不等式进行解决，也可以利用函数知识，如导数进行解决，还可以利用换元法处理． 【举一反三】 （2023·全国·高三专题练习） 3． “柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从历史的角度讲，该不等式应当称为柯西﹣﹣布尼亚科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材4﹣5中给出了二维形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad＝bc（即）时等号成立．该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有广泛的应用．根据柯西不等式可知函数的最大值及取得最大值时x的值分别为（　　） A． B． C． D． 4． 已知，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2022·全国·统考高考真题）已知a，b，c均为正数，且，证明： (1)； (2)若，则． 【大招指引】（1）方法一：根据，利用柯西不等式即可得证； （2）由（1）结合已知可得，即可得到，再根据权方和不等式即可得证. 【解析】（1）[方法一]：【最优解】柯西不等式 由柯西不等式有， 所以，当且仅当时，取等号，所以. [方法二]：基本不等式 由，，， ， 当且仅当时，取等号，所以. （2）证明：因为，，，，由（1）得， 即，所以， 由权方和不等式知， 当且仅当，即，时取等号， 所以. 【题后反思】（1）方法一：利用柯西不等式证明，简洁高效，是该题的最优解； 方法二：对于柯西不等式不作为必须掌握内容的地区同学，采用基本不等式累加，也是不错的方法． 【举一反三】 （2023·河南·校联考模拟预测） 5． 已知a，b，c是正实数，且．求证： (1) ； (2) ． （2023·江西吉安·统考一模） 6． 已均为正数，且，证明： (1) ； (2) ． 【典例4】（2021·浙江·统考高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________. 【大招指引】本题是以平面向量为背景，考查不等式最值问题，可以先利用向量的坐标法，可设，由平面向量的知识可得，发现其复合柯西不等式的特征，可结合柯西不等式即可得解. 【解析】由题意，设， 则，即， 又向量在方向上的投影分别为x，y，所以， 所以在方向上的投影， 即， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为.故答案为：. 【题后反思】柯西不等式作为工具性的知识，所以在高考中单独考查的不多，常常会跟其他知识结合考查，需要先进行转化，再利用柯西不等式进行解决. 【举一反三】 7． 已知，，是的三个内角的弧度数，则与的大小关系为 A． B． B． D． 8． 已知空间向量，向量，且，则不可能是（    ） A． B．1 C． D．4 9． 已知，，，且，则的最大值为 A．3 B． C．18 D．9 10． 若正数满足，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11． 对于，当非零实数、满足，且使最大时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 12． 已知，均为正数，且，则的最小值为 A．6 B．7 C．8 D．9 （2023·浙江·统考一模） 13． 若，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D． （2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末） 14． 若⊙C：，⊙D：，M，N分别为⊙C，⊙D上一动点，最小值为4，则取值范围为 ． （2023春·江苏苏州·高三统考开学考试） 15． 设角、均为锐角，则的范围是 ． （2023秋·湖南湘潭·高三校联考期末） 16． 已知正实数a，b满足，则的最小值为 . （2023春·江西·高三校联考阶段练习） 17． 设为正数，且. (1) 证明； (2) 证明. （2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模） 18． 已知，且，证明： (1) ； (2) 若，则. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大招6   柯西不等式 1. 二维形式的柯西不等式 2. 二维形式的柯西不等式的变式 3. 二维形式的柯西不等式的向量形式 注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了. 4. 扩展：，当且仅当时，等号成立. 5. 记忆方法：口诀：平和城，城和平 平：平方 城：同“乘”，相乘 【典例1】实数x、y满足，则的最小值是（ ） A．    B．    C．3    D．4 【大招指引】 本题的特征是已知高幂因式，求低幂因式，根据柯西不等式的特征，高幂因式是平方和的乘积，右边是低幂因式的平方，因此本题需要先进行配凑，由于要小于等于两个平方和的乘积，但由于前系数较大，所以需变形为，即为．则. 解析：实数x、y满足，， ，， 当且仅当时取等号，的最小值是.故选：A. 【题后反思】不少同学在遇到不等式时，很想利用基本不等式解决，但解决不了，对于柯西不等式的利用，麻烦的是不会变形，那么变形的常见策略是什么呢？找准突破口，像本题就是对低幂形式进行变形，再对已知式进行配凑变形． 【温馨提醒】 1． 对于柯西不等式的应用，仍然要注意等号成立条件，尤其是多维形式． 2． 柯西不等式一般在使用时，一定要注意变形，配凑． 【举一反三】 1． 若实数，则的最小值为（    ） A．14 B． C．29 D． 【答案】B 【分析】直接利用柯西不等式得到答案. 【详解】根据柯西不等式：，即， 当且仅当，，时等号成立. 故选：B. 【点睛】本题考查了柯西不等式，意在考查学生对于柯西不等式的应用能力. 2． 已知，，求的最值? 【答案】最大值为，最小值为. 【分析】由柯西不等式求解即可. 【详解】解：由柯西不等式可得 . 所以. 于是的最大值为，最小值为. 【典例2】函数的最大值为________． 【大招指引】此题没给条件，也就无法利用已知式进行求解，并且含有参数，那么我们的解题思路就是消参，但参数又在根号里，那只能利用平方解决.对于本题的式子结构，知它是柯西不等式右侧低幂形式，所以 ，从而能快速得出结果. 解析：法一：柯西不等式∵且， 函数的定义域为，且， 即时函数取最大值，最大值为. 法二：∵且， ∴函数的定义域为 由，得 即，解得∴时函数取最大值，最大值为. 【题后反思】对于一维单变量求最值的问题，可以使用不等式进行解决，也可以利用函数知识，如导数进行解决，还可以利用换元法处理． 【举一反三】 （2023·全国·高三专题练习） 3． “柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从历史的角度讲，该不等式应当称为柯西﹣﹣布尼亚科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材4﹣5中给出了二维形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad＝bc（即）时等号成立．该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有广泛的应用．根据柯西不等式可知函数的最大值及取得最大值时x的值分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入二维形式的柯西不等式的公式中，进行化简即可得到答案． 【详解】由柯西不等式可知： 所以，当且仅当即x＝时取等号， 故函数的最大值及取得最大值时的值分别为， 故选A． 【点睛】本题考查二维形式柯西不等式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题． 4． 已知，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意得，则，进而由柯西不等式可得最大值. 【详解】由可得，即. 由可知，所以. 由，可得， 由柯西不等式得 ， 所以，当即时，取等号. 所以的最大值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：在得出之后，关键在于根据题目特点应用柯西不等式求最大值. 【典例3】（2022·全国·统考高考真题）已知a，b，c均为正数，且，证明： (1)； (2)若，则． 【大招指引】（1）方法一：根据，利用柯西不等式即可得证； （2）由（1）结合已知可得，即可得到，再根据权方和不等式即可得证. 【解析】（1）[方法一]：【最优解】柯西不等式 由柯西不等式有， 所以，当且仅当时，取等号，所以. [方法二]：基本不等式 由，，， ， 当且仅当时，取等号，所以. （2）证明：因为，，，，由（1）得， 即，所以， 由权方和不等式知， 当且仅当，即，时取等号， 所以. 【题后反思】（1）方法一：利用柯西不等式证明，简洁高效，是该题的最优解； 方法二：对于柯西不等式不作为必须掌握内容的地区同学，采用基本不等式累加，也是不错的方法． 【举一反三】 （2023·河南·校联考模拟预测） 5． 已知a，b，c是正实数，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用三个正数的算术平均数不小于其几何平均数； （2）利用柯西不等式． 【详解】（1）因为a，b，c是正实数，所以，所以 （当且仅当时等式成立），即； （2）因为，当且仅当等号成立 所以，即． （2023·江西吉安·统考一模） 6． 已均为正数，且，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用题意构造基本不等式，再利用柯西不等式证明即可； （2）构造基本不等式即可证明. 【详解】（1）证明：由柯西不等式可得， 当且仅当时取等号． 即，则原式成立； （2）证明： ． 当且仅当时取等号. 【典例4】（2021·浙江·统考高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________. 【大招指引】本题是以平面向量为背景，考查不等式最值问题，可以先利用向量的坐标法，可设，由平面向量的知识可得，发现其复合柯西不等式的特征，可结合柯西不等式即可得解. 【解析】由题意，设， 则，即， 又向量在方向上的投影分别为x，y，所以， 所以在方向上的投影， 即， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为.故答案为：. 【题后反思】柯西不等式作为工具性的知识，所以在高考中单独考查的不多，常常会跟其他知识结合考查，需要先进行转化，再利用柯西不等式进行解决. 【举一反三】 7． 已知，，是的三个内角的弧度数，则与的大小关系为 A． B． B． D． 【答案】A 【分析】直接利用柯西不等式即可得结果. 【详解】由柯西不等式, ≥ , 当且仅当 ，时等号成立，故选A. 【点睛】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，属于中档题. 解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答. 8． 已知空间向量，向量，且，则不可能是（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】由柯西不等式求解即可. 【详解】因为， 因为， 利用柯西不等式可得， . 故选：A. 9． 已知，，，且，则的最大值为 A．3 B． C．18 D．9 【答案】B 【分析】先利用柯西不等式求得的最大值，由此求得的最大值. 【详解】由柯西不等式得： ，所以，当且仅当时，等号成立，故选B. 【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式求最大值，属于基础题. 10． 若正数满足，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不等式化为，左边，利用柯西不等式求出最小值即可求解. 【详解】不等式化为， 左边 ， 所以， 实数的取值范围为. 故选：D 11． 对于，当非零实数、满足，且使最大时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先将等式变形为，再由柯西不等式得到，分别用表示、，再代入到得到关于的二次函数，求得其最小值即可. 【详解】，， 由柯西不等式可得， 故当最大时，有，则，， ， 所以，当时，取得最小值. 故选：C. 【点睛】本题考查代数式最值的求解，考查了柯西不等式的应用，考查计算能力，属于中等题. 12． 已知，均为正数，且，则的最小值为 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】a，b均为正数，且ab﹣a﹣2b＝0，可得1，根据柯西不等式求出代数式的最小值即可． 【详解】∵a，b均为正数，且ab﹣a﹣2b＝0， ∴1． 则 b2﹣1， 又因为b＝（）（b）2≥2+2＝4，当且仅当a＝4，b＝2时取等号． ∴（b2）（1+1）≥（b）2≥16，当且仅当a＝4，b＝2时取等号． ∴b2≥8， ∴b2b2﹣1≥7． 故选B． 【点睛】本题考查“乘1法”、基本不等式的性质、柯西不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． （2023·浙江·统考一模） 13． 若，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】先把已知整理成的形式，再把等式的右边利用柯西不等式进行放缩，得到关于的一元二次不等式进行求解. 【详解】由已知整理得 ， 由柯西不等式得 ， 当时取等号， 所以，即， 解得，所以的最小值为. 故选：C． （2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末） 14． 若⊙C：，⊙D：，M，N分别为⊙C，⊙D上一动点，最小值为4，则取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据的最小值求出，即，再使用柯西不等式求出取值范围. 【详解】由于最小值为4，圆C的半径为1，圆D的半径为2，故两圆圆心距离， 即， 由柯西不等式得：， 当且仅当，即时，等号成立， 即，解得：. 故答案为： （2023春·江苏苏州·高三统考开学考试） 15． 设角、均为锐角，则的范围是 ． 【答案】 【分析】由将函数化为，结合三角函数的性质求出函数的最小值，再由柯西不等式求出函数的最大值，即可得出答案. 【详解】因为角、均为锐角，所以的范围均为， 所以， 所以 因为， 所以， ， 当且仅当时取等， 令，，， 所以. 则的范围是：. 故答案为： （2023秋·湖南湘潭·高三校联考期末） 16． 已知正实数a，b满足，则的最小值为 . 【答案】## 【分析】将目标式转化为，应用柯西不等式求的取值范围，进而可得目标式的最小值，注意等号成立条件. 【详解】由题设，，则， 又， ∴，当且仅当时等号成立， ∴，当且仅当时等号成立. ∴的最小值为. 故答案为：. （2023春·江西·高三校联考阶段练习） 17． 设为正数，且. (1)证明； (2)证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由柯西不等式可得，由此证明结论； （2）由重要不等式结合不等式性质可得，，结合不等式性质和柯西不等式证明结论. 【详解】（1）因为为正数，， 由柯西不等式可得， 当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立； （2）由重要不等式得，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 同理可得，当且仅当时等号成立， 两式相加得 所以 ，当且仅当时等号成立； 即，当且仅当时等号成立. （2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模） 18． 已知，且，证明： (1)； (2)若，则. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由柯西不等式即可证明； （2）由均值的不等式可得，由（1）可得，即可证明. 【详解】（1）由，得， 由柯西不等式有， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立； （2）由可得 ， 当且仅当时取等， 由（1）可得，当且仅当时等号成立， 从而，当且仅当时等号成立. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$