精品解析：四川省乐山市井研县2024-2025学年下学期九年级数学（适应1）考试题

井研县2025年初中数学调研考试 本试题卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共8页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回，考生作答时，不能使用任何型号的计算器． 第一部分（选择题，共30分） 注意事项： 1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上． 2、本部分共10小题，每小题3分，共30分． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1. 计算（ ） A. B. C. D. 2. 垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 方程的解是，则的值（ ） A. B. C. D. 无解 5. 某小组5名学生的某次考试成绩如下（单位：分）：80、85、90、88、92，则这组数据的中位数是（ ） A. 85 B. 87 C. 88 D. 90 6. 已知关于x的方程的解是，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在x轴上，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 8. 已知一次函数与反比例函数的图像交于、两点，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 9. 已知是关于x的方程的一个实数根，则锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 新定义：一动点到定直线的最小距离我们称为“亲密距离”．如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，直线的表达式为，平分，点B为中点，延长使，动点P在平面内运动，恒有，点P到直线OD的“亲密距离”为d，求d的值是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共120分） 注意事项： 1、考生使用0.5mm黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效． 2、作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨汁签字笔描清楚． 3、本部分共16小题，共120分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 分式有意义，则的取值范围是_______． 12. 分解因式：_______________． 13. 如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画2个单位长度的线段；②以点A、C为圆心，2个单位长为半径画弧，分别于点B，D；③连接，则的大小是_______． 14. 如图，过圆外一点向圆O做两条切线分别是和，已知圆的半径为3，，求弦_______． 15. 如图，点是矩形中边上的一点，沿折叠为，点落在上．若的大小为，且满足，则的值为_______． 16. 如图，等边的顶点A在双曲线且底边在x轴上，F为中点，O为的中点，连接交于E，四边形的面积为4，则_______． 三、解答题：本大题共3个小题，每小题9分，共27分． 17. 计算：． 18. 解不等式组：，并在数轴上表示其解集． 19. 如图，在中，延长到E点，使，连结，与交于点O，连结、． （1）求证：； （2）求证：． 四、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分． 20. 为做好青少年禁毒教育宣传工作，某校开展了主题为“珍爱生命，拒绝毒品”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的九年级（1）和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表． 【收集数据】 九年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95． 九年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95． 【描述数据】九年级（1）班20名学生成绩统计表 分数 80 85 90 95 100 人数 3 3 a 7 3 九年级（3）班20名学生成绩条形统计图 【分析数据】九年级（1）班和（3）班20名学生成绩统计表 统计量/班级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 m n 95 41.5 九年级（3）班 91 90 p 26.5 【应用数据】根据以上信息，回答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）填空：________，________，________； （3）你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由； （4）从上面5名的100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率． 21. 一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶设行驶的时间为x（时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系． （1）根据图中信息，求线段AB所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离； （2）已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t时，求t的值； （3）在（2）的条件下，若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y关于x的函数的大致图象． 22. 周末，小明的父母带着他和妹妹一起去湿地公园放风筝．如图1，妹妹的身高为1.50米，风筝线长（近似的看作直线）与水平地面构成角，米．如图2，小明的身高米，风筝线长（近似的看作直线）米． （1）求妹妹的风筝离水平地面的高度（结果保留两位小数）； （2）小明勇于挑战，把放风筝的位置选在一个坡度的斜坡上，且坡长米，风筝线与水平面构成角．请问小明和妹妹谁放的风筝离水平地面高？（参考数据，） 五、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分． 23. 如图，在平面直角坐标系内，一次函数与反比例函数交于、两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）若一次函数与x轴、y轴分别交于A、B两点，过的顶点能不能画出直线把分成面积相等的两部分？若能，请求出这样的直线所对应的函数表达式． 24. 如图1，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． （1）求证：与相切． （2）若正方形的边长为，求的半径． （3）如图2，在（2）的条件下，若点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长． 六、解答题：本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共计25分． 25. 在中，，点是边上一点（点不与端点重合）．点关于直线的对称点为点，连接．在直线上取一点，使，直线与直线交于点． （1）如图1，若，求的度数（用含的代数式表示）； （2）如图1，若，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明； （3）如图2，若，点从点移动到点的过程中，连接，当为等腰三角形时，请直接写出此时的值． 26. 如图，抛物线过点，顶点为Q，抛物线（其中t为常数，且），顶点为P． （1）求出a的值和点Q的坐标； （2）佳佳说：无论t取何值，将的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在上； 琪琪说：无论t为何值，总经过一个定点； 请选择一人的说法进行说理； （3）当时， ①求直线的解析式； ②作直线，当l与的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 井研县2025年初中数学调研考试 本试题卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共8页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回，考生作答时，不能使用任何型号的计算器． 第一部分（选择题，共30分） 注意事项： 1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上． 2、本部分共10小题，每小题3分，共30分． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1. 计算（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据加法法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故选C． 2. 垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据有理数的乘方、完全平方公式、合并同类项法则和单项式乘以单项式的运算法则分别运算即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、，该选项运算错误，不合题意； 、，该选项运算错误，不合题意； 、与不是同类项，不能合并，该选项运算错误，不合题意； 、，该选项运算正确，符合题意； 故选：． 4. 方程的解是，则的值（ ） A. B. C. D. 无解 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，把代入分式方程解答即可求解，掌握分式方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵方程的解是， ∴， ∴， 故选：． 5. 某小组5名学生的某次考试成绩如下（单位：分）：80、85、90、88、92，则这组数据的中位数是（ ） A. 85 B. 87 C. 88 D. 90 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中位数，根据中位数的意义求出中位数即可． 【详解】解：将5名学生的某次考试成绩按从小到大的顺序排列为： 80、85、88、90、92， 最中间的一个数为88， 所以，中位数为88， 故选：C． 6. 已知关于x的方程的解是，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，解一元一次不等式，先根据方程的解求出a的值，然后把a的值代入到不等式中解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， 解得， ∴不等式为， 解得． 故选：A． 7. 已知点在x轴上，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据点所在位置，求参数的值，根据x轴上的点的纵坐标为0，进行求解即可． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得：； 故选D． 8. 已知一次函数与反比例函数的图像交于、两点，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点求不等式解集，掌握一次函数、反比例函数图形的性质是关键． 根据题意，反比例函数图象经过第一、三象限，交点在第一象限，在第三象限，由此即可求解． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图像交于、两点， 把点、代入反比例函数解析式得到，， ∴， 代入一次函数中得，， 解得，， ∴一次函数解析式为， ∵反比例函数中，， ∴反比例函数图象经过第一、三象限， ∴交点在第一象限，在第三象限， 如图所示， ∴不等式的解集为：或， 故选：B． 9. 已知是关于x的方程的一个实数根，则锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及特殊角的三角函数值，设方程的另一个根为，根据根与系数的关系求出和锐角的度数． 【详解】解：设方程的另一个根为，则： ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 10. 新定义：一动点到定直线的最小距离我们称为“亲密距离”．如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，直线的表达式为，平分，点B为中点，延长使，动点P在平面内运动，恒有，点P到直线OD的“亲密距离”为d，求d的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】联立两个解析式，求出点坐标，令，求出点坐标，作，角平分线的性质结合等积法求出的长，进而求出点坐标，勾股定理求出，的长，进而求出的长，圆周角定理，得到点在以为圆心，的长为半径的圆上，过点作，等积法求出的长，得到点在线段上时，点P到直线OD的距离最小，根据新定义，进行求解即可． 【详解】解：∵直线的表达式为，直线的表达式为， 联立，解得：， ∴， ∵，当时，， ∴， ∴， 作，则：， ∴， ∵平分， ∴点到的距离等于点到的距离，为的长， ∵， ∴，即：， ∴， ∵在直线上， ∴当时，， 解得：， ∴， ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴点在以为圆心，的长为半径的圆上， ∴； 过点作，则：， ∴， ∴， ∵点在以为圆心，的长为半径的圆上， ∴当点在线段上时，点P到直线OD的距离最小， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，圆周角定理，正确的求出A、D点的坐标，确定点轨迹，掌握新定义，是解题的关键． 第二部分（非选择题共120分） 注意事项： 1、考生使用0.5mm黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效． 2、作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨汁签字笔描清楚． 3、本部分共16小题，共120分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 分式有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式分母不为是解题的关键． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 分解因式：_______________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再运用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：3(1-x2) =． 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题关键． 13. 如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画2个单位长度的线段；②以点A、C为圆心，2个单位长为半径画弧，分别于点B，D；③连接，则的大小是_______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，菱形的判定性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴四边形是菱形，和是等边三角形， ∴平分，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，过圆外一点向圆O做两条切线分别是和，已知圆的半径为3，，求弦_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查切线长定理，切线的性质，解直角三角形，根据切线长定理，结合半径相等，得到垂直平分，切线的性质，得到，设相交于点，根据，以及，进行求解即可． 【详解】解：∵过圆外一点向圆O做两条切线分别是和， ∴，， ∵圆的半径为3，， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， 设相交于点，则：， 在中，， ∴； 故答案为： 15. 如图，点是矩形中边上的一点，沿折叠为，点落在上．若的大小为，且满足，则的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数的计算，掌握锐角三角函数的计算方法是关键． 根据矩形，折叠的性质得到，，由锐角三角函数的计算得到，则，由此得到，结合正切值的计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴，， 在中，， ∴ ， ∴， 整理得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2 ． 16. 如图，等边的顶点A在双曲线且底边在x轴上，F为中点，O为的中点，连接交于E，四边形的面积为4，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】设等边的边长为a，则， 可求，，过A作轴于G，根据三线合一的性质求出，根据勾股定理求出，则，根据中点坐标公式求出，根据待定系数法求出设直线解析式为，直线解析式为，联立方程组，请求出，根据割补法得出，则可求，最后根据待定系数法求出k的值即可． 【详解】解∶设等边的边长为a，则， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∴， 过A作轴于G， ∴， ∴， ∴， ∵F为中点， ∴，即， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 联立方程组， 解得， ∴， ∵四边形的面积为4， ∴， ∴， ∴， ∵双曲线经过， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．待定系数法等知识，设等边的边长为a，求出E的坐标是解题的关键． 三、解答题：本大题共3个小题，每小题9分，共27分． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、绝对值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值以及化简二次根式，再计算加减即可得解． 【详解】解： 18. 解不等式组：，并在数轴上表示其解集． 【答案】， 不等式组的解集在数轴上表示如下： 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，取解集的公共部分可得不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：由不等式①得，， 由不等式②得，， ∴不等式组的解集为， 数轴略． 19. 如图，在中，延长到E点，使，连结，与交于点O，连结、． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ∴； （2） 证明：由（1）知，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定． （1）先根据平行四边形的性质得，，再根据平行线的性质得，，再由得，即可证明； （2）由（1）知，，可证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分． 20. 为做好青少年禁毒教育宣传工作，某校开展了主题为“珍爱生命，拒绝毒品”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的九年级（1）和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表． 【收集数据】 九年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95． 九年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95． 【描述数据】九年级（1）班20名学生成绩统计表 分数 80 85 90 95 100 人数 3 3 a 7 3 九年级（3）班20名学生成绩条形统计图 【分析数据】九年级（1）班和（3）班20名学生成绩统计表 统计量/班级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 m n 95 41.5 九年级（3）班 91 90 p 26.5 【应用数据】根据以上信息，回答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）填空：________，________，________； （3）你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由； （4）从上面5名的100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率． 【答案】（1） 根据九年级（3）班20名学生成绩，补全条形统计图，如图所示： （2）4，91，92.5 （3）我认为九年级（1）班成绩更好一些，理由： 九年级（3）班的众数为，平均数两个班相同，中位数和众数方面（1）班优于（3）班，方差方面（3）班优于（1）班， 综上所述，九年级（1）班成绩更好一些； （4） 【解析】 【分析】此题考查了列表法与树状图法，条形统计图，中位数，众数，方差． （1）找出九年级（3）班得90分和95分的人数，补全条形统计图即可； （2）求出九年级（1）班成绩为90分的学生人数，以及得分的平均分和中位数即可； （3）比较两个班的平均数，中位数，众数，以及方差，判断即可； （4）列表得出所有等可能的情况数，找出所抽取的2名学生恰好在同一个班级的情况，即可求出所求概率． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：根据题意得：， ； 从小到大排列得：80，80，80，85，85，85，90，90，90，90，95，95，95，95，95，95，95，100，100，100， 最中间的两个为90和95， ∴； 故答案为：4，91，92.5； 【小问3详解】 略； 【小问4详解】 解：九年级（1）班三位满分同学记作，（3）班两位同学满分记作， 列表如下： --- --- --- --- --- 所有等可能的情况有20种，其中所抽取的2名学生恰好在同一个班级的情况有，，，，，，，共8种， 则P（所抽取的2名学生恰好在同一个班级）． 21. 一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶设行驶的时间为x（时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系． （1）根据图中信息，求线段AB所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离； （2）已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t时，求t的值； （3）在（2）的条件下，若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y关于x的函数的大致图象． 【答案】（1）直线AB的解析式为y=﹣140x+280（x≥0），甲乙两地之间的距离为280千米； （2）快车从甲地到达乙地所需时间为t=3.5小时； （3）图象如图所示： 【解析】 【详解】试题分析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，由直线AB经过点（1.5，70），(2，0)，即可根据待定系数法求得函数解析式，从而得到甲乙两地之间的距离． （2）设快车的速度为m千米/时，慢车的速度为n千米/时，根据图象即可列方程组求解； （3）根据（2）中快车与慢车速度，求出C，D，E坐标，进而作出图象即可． （1）由题意得直线AB经过点（1.5，70），(2，0)， 设直线AB的解析式为y=kx+b， 则解得 ∴ 直线AB的解析式为y="-140x+280" ∵ 当x=0时，y=280. ∴ 甲乙两地之间的距离为280千米； （2）设快车的速度为m千米/时，慢车的速度为n千米/时， 由题意可得解得 ∴快车的速度为80千米/时 ∴ （3）（3）∵快车的速度为80千米/时．慢车的速度为60千米/时． ∴当快车到达乙地，所用时间为：280÷80=3.5小时， ∵快车与慢车相遇时的时间为2小时， ∴y=（3.5-2）×（80+60）=210， ∴C点坐标为：（3.5，210）， 此时慢车还没有到达甲地，若要到达甲地，这个过程慢车所用时间为：280÷60小时， 当慢车到达甲地，此时快车已经驶往甲地时间为：小时， ∴此时距甲地：千米， ∴D点坐标为：（，）， 再一直行驶到甲地用时3.5×2=7小时． ∴E点坐标为：（7，0）． 考点：本题考查的是一次函数的应用 点评：解答本题的关键是熟练掌握待定系数法求函数关系式，同时认真仔细分析题意，准确作出图形. 22. 周末，小明的父母带着他和妹妹一起去湿地公园放风筝．如图1，妹妹的身高为1.50米，风筝线长（近似的看作直线）与水平地面构成角，米．如图2，小明的身高米，风筝线长（近似的看作直线）米． （1）求妹妹的风筝离水平地面的高度（结果保留两位小数）； （2）小明勇于挑战，把放风筝的位置选在一个坡度的斜坡上，且坡长米，风筝线与水平面构成角．请问小明和妹妹谁放的风筝离水平地面高？（参考数据，） 【答案】（1）妹妹的风筝离水平地面的高度为88.10米 （2）小明放的风筝高 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，得出米，解，求出米，从而可求出妹妹的风筝离水平地面的高度为88.10米； （2）延长交于，过点作于点，过点作于点，得四边形是矩形，求出米，通过解求出米，得出米，再与88.10米作比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点， 则四边形为矩形， 米， 在中，米， ， ∴米， ∴米， 所以，妹妹的风筝离水平地面的高度为88.10米； 【小问2详解】 解：延长交于，过点作于点，过点作于点，如图， 则四边形是矩形， ∴， ∵坡度，且米， ∴设米，则米， ∵， ∴， 解得，（负值舍去） ∴米， ∵米， ∴米， ∴米， 在中，米， ∴， ∴米。 ∴米， ∵， ∴小明放的风筝高． 五、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分． 23. 如图，在平面直角坐标系内，一次函数与反比例函数交于、两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）若一次函数与x轴、y轴分别交于A、B两点，过的顶点能不能画出直线把分成面积相等的两部分？若能，请求出这样的直线所对应的函数表达式． 【答案】（1） （2）能画出，解析式为或或 【解析】 【分析】本题主要考查运用待定系数法求函数解析式以及中线的性质，灵活运用中线的性质是解答本题的关键． （1）把点代入，求出，得，代入，求出的值即可； （2）求出点坐标，根据中点坐标公式求出三边中点坐标，以及三角形中线性质，运用待定系数法求出中线所在直线解析式即可． 【小问1详解】 解：把点代入，得， ∴，代入，得：， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：对于， 当时，，当时，，解得，， ∴，， 过顶点的直线把分成面积相等的两部分， 设三边的中点分别为，则有： ，，即， 设直线的解析式为， 把，代入，得： ， 解得， ∴直线的解析式为； 同理可求直线的解析式为；直线的解析式为； 如图， 24. 如图1，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． （1）求证：与相切． （2）若正方形的边长为，求的半径． （3）如图2，在（2）的条件下，若点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长． 【答案】（1） 方法一：证明：连接，过点作于点， 与相切于点， ． 四边形是正方形，是正方形的对角线， ， ， 为的半径， 为的半径， ， 与相切． 方法二： 证明：连接，过点作于点， 与相切于点，， ， 四边形是正方形， ， 又， ， ， 为的半径， 为的半径， ， 与相切． 方法三： 证明：过点作于点，连接． 与相切，为半径， ， ， ， ， 又四边形为正方形， ， 四边形为矩形， 又为正方形的对角线， ， ， 矩形为正方形， ． 又为的半径， 为的半径， 又， 与相切． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）方法一：连接，过点作于点，四边形是正方形，是正方形的对角线，得出，进而可得为的半径，又，即可得证； 方法二：连接，过点作于点，根据正方形的性质证明得出，同方法一即可得证； 方法三：过点作于点，连接．得出四边形为正方形，则，同方法一即可得证； （2）根据与相切于点，得出，由（1）可知，设，在中，勾股定理得出，在中，勾股定理求得，进而根据建立方程，解方程，即可求解． （3）方法一：连接，设，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，结合题意得出，即可得出； 方法二：连接，证明得出，进而可得，同理可得 方法三：连接，证明得出，设，则，进而可得，进而同方法一，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：为正方形的对角线， ， 与相切于点， ， 由（1）可知，设， 在中， ， ， ，， 又正方形的边长为． 在中， ， ， ， ． ∴的半径为． 【小问3详解】 方法一： 解：连接，设， ， ， ， ． 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 又， ． ． 方法二： 解：连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 方法三： 解：连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ． 又， ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂径定理，相似三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键． 六、解答题：本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共计25分． 25. 在中，，点是边上一点（点不与端点重合）．点关于直线的对称点为点，连接．在直线上取一点，使，直线与直线交于点． （1）如图1，若，求的度数（用含的代数式表示）； （2）如图1，若，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明； （3）如图2，若，点从点移动到点的过程中，连接，当为等腰三角形时，请直接写出此时的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由三角形内角和定理及外角定理结合即可求解； （2）在上截取，连接，交于点H，连接，先证明，再证明四边形是平行四边形，可得，记与的交点为点N，则由轴对称可知：，，再解即可； （3）连接，记与的交点为点N，由轴对称知，，，，当点G在边上时，由于，当为等腰三角形时，只能是，同（1）方法得，，中，，解得，然后，解直角三角形，表示出，，即可求解；当点G在延长线上时，只能是， 设，在中，，解得，设，解直角三角形求出，即可求解． 【小问1详解】 解：如图， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， 在上截取，连接，交于点H， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 记与的交点为点N， 则由轴对称可知：，， ∴中，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接，记与的交点为点N， ∵， ∴， 由轴对称知， 当点G在边上时，由于， ∴当为等腰三角形时，只能是， 同（1）方法得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴中，，解得， ∴，而， ∴为等边三角形， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点G在延长线上时，只能是，如图： 设， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴在中，， 解得， ∴， 设，则，， 在中，，由勾股定理求得， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了三角形的内角和，外角定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的分类讨论，等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 26. 如图，抛物线过点，顶点为Q，抛物线（其中t为常数，且），顶点为P． （1）求出a的值和点Q的坐标； （2）佳佳说：无论t取何值，将的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在上； 琪琪说：无论t为何值，总经过一个定点； 请选择一人的说法进行说理； （3）当时， ①求直线的解析式； ②作直线，当l与的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的坐标． 【答案】（1），； （2） 解：选择佳佳：将的顶点向左平移2个单位长度，得到的点坐标为， 当时，， 点在抛物线上， 佳佳的说法是正确的； 选择琪琪：， 当时，， 无论t为何值，总经过一个定点， 琪琪的说法是正确的； （3）①；②或． 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，求出的值，再利用利用配方法化为顶点式，即可得到点Q的坐标； （2）选择佳佳：根据平移的性质得到对应点的坐标，再代入抛物线，即可证明；选择琪琪：将抛物线整理，得到时，，即可证明； （3）①将代入抛物线，从而得到顶点P的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可；②根据平行设设直线的解析式为，再根据直线l与的交点到x轴的距离与抛物线的顶点坐标，确定l与的交点的纵坐标为，从而求出对应的横坐标，再分别代入直线解析式求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线过点，顶点为Q， ， 解得：， 抛物线， 点Q的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当时，， 顶点的坐标为， 由（1）可知，点Q的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为； ②直线，直线的解析式为， 设直线的解析式为， 直线l与的交点到x轴的距离恰为6， l与的交点的纵坐标为， 顶点的坐标为， l与的交点的纵坐标为， 令，则抛物线：， 解得：， 当直线经过点时，，解得：， 直线解析式为， 令，则，解得：， 即l与x轴交点的坐标为； 当直线经过点时，，解得：， 直线解析式为， 令，则，解得：， 即l与x轴交点的坐标为； 综上可知，l与x轴交点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，一次函数的图象和性质，平移的性质等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $