精品解析：2025年甘肃省武威市凉州区高坝镇中考二模数学试题

2024-2025学年第二学期九年级第二次模拟考试试卷 数 学 一、选择题（共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 如图，二次函数的图像过点，对称轴为直线．现有下列结论：①；②；③若是抛物线上的两点，则当时，；④若方程的两个根为，且，则．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图，内接于，是的直径，点是的中点，连接，若，，则的长为（ ）． A. 4 B. 3 C. D. 6. 在一个不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，小球除了颜色不同外其余都相同．从中任意摸出两个小球，摸到两个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在边长为12的正方形中，点E是的中点，点 F，G分别在边，上，且．若平分，则 的长为（　　） A. B. 9 C. D. 10 9. 如图，正六边形的边长为，点M是的内心，点N是的外心，则的长度为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 下图是一个组合几何体的三视图，则组成该几何体的是（ ） A. 正方体和长方体 B. 长方体和球 C. 圆柱和球 D. 长方体和圆柱 二、填空题（共24分） 11. 一元二次方程的一个解为，则______． 12. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则______． 13. 如图，在和中，，，将绕点A顺时针旋转一定角度，当时，的度数是______． 14. 如图，四边形内接于，若四边形是菱形，则___________． 15. 在平面直角坐标系中，点为原点，点A 在第一象限，且． 若反比例函数 的图像经过点，则的取值范围是____． 16. 如图，在中，D，E分别是边的中点，则与的面积比_____ 17. 如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为______． 18. 如图，圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则圆锥主视图的面积为__________． 三、解答题（共66分） 19. 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段．按下列要求在网格中画图，不写画法． （1）以A为旋转中心，将线段逆时针旋转，画出线段； （2）连接，仅用无刻度的直尺在给定的网格中画出线段的垂直平分线． 20. （1）计算：； （2）化简：． 21. “道路千万条，安全第一条”，公安交警部门提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规；某安全头盔经销商统计了某品牌头盔6月份到8月份的销量，该品牌头盔6月份销售500个，8月份销售845个，且从6月份到8月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 22. 如图，在中，O是边上一点，和关于点O成中心对称，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求证：四边形是菱形． 23. 如图，都是的半径，． （1）求证：； （2）若，，求． 24. 如图，过点且与y轴平行的直线与反比例函数和的图像分别交于A、B两点，若P是y轴上任意一点，求的面积． 25. 如图，已知是的直径，是的弦，，连接交于点E，连接，，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求． 26. 如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B． 无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为无人机垂直上升悬停在D处，此时在B 处测得 D的仰角为点A， B， C， D在同一平面内， A， B两点在 的同侧． 求无人机在 C 处时离地面的高度．（参考数据：） 27. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标； （2）如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值； （3）如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期九年级第二次模拟考试试卷 数 学 一、选择题（共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 3. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此列式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故选：A． 4. 如图，二次函数的图像过点，对称轴为直线．现有下列结论：①；②；③若是抛物线上的两点，则当时，；④若方程的两个根为，且，则．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．由图像可知，该抛物线开口向下，与轴交于正半轴，易知，结合对称轴为直线，易得，即可判断结论①；首先确定该抛物线与轴的另一交点为，故当时，可有，易得，即可判断结论②；由抛物线的对称性可知，故当时，可得，即可判断结论③；若方程的两个根为，，则，为抛物线与直线的两个交点的横坐标，结合图形即可判断结论④． 【详解】解：由图像可知，该抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴， 又∵对称轴为直线， ∴， ∴，故结论①正确； ∵该抛物线过点，对称轴为直线， ∴该抛物线与轴的另一交点为， ∴当时，可有， ∴， ∴，故结论②错误； ∵是抛物线上的两点， ∴由抛物线的对称性可知， ∴当时，， 故结论③正确； ∵该二次函数图像与轴交于，， ∴， 若方程的两个根为，， 则，为抛物线与直线的两个交点的横坐标， ∵， ∴，故结论④正确． 综上所述，结论正确的有①③④，共计3个． 故选：C． 5. 如图，内接于，是的直径，点是的中点，连接，若，，则的长为（ ）． A. 4 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．由圆的基本性质可得，如图：连接，由弧的中点、弧与圆周角的关系以及垂径定理可得、、，即，则；再证明是等边三角形即可证明结论． 【详解】解：∵是的直径，， ∴， 如图：连接、、，则， ∵点是的中点， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故选：B． 6. 在一个不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，小球除了颜色不同外其余都相同．从中任意摸出两个小球，摸到两个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了列表法与树状图法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．应用列表法，求出从布袋里摸出两个球，摸到两个红球的概率是多少即可． 【详解】解：列表如下：   红1 红2 白 红1 -- 红1红2 红1白 红2 红2红1 -- 红2白 白 白红1 白红2 -- ∵从布袋里摸出两个球的情况一共有6种，摸到两个红球的情况有2种， ∴摸到两个红球的概率是． 故选：A． 7. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，理解并掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． 根据题意，可知反比例函数的图象在第一、三象限，且在每一个象限内，都随的增大而减小，据此分析判断即可． 【详解】解：对于反比例函数， ， 其图象在第一、三象限，且在每一个象限内，都随的增大而减小， ， 点在第三象限，且， ， ，在第一象限，且， ， 故选：C． 8. 如图，在边长为12的正方形中，点E是的中点，点 F，G分别在边，上，且．若平分，则 的长为（　　） A. B. 9 C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】如图，过作于，延长交于，证明四边形是矩形，，求解，可得，求解，，，证明，设，则，进一步利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，过作于，延长交于， ∴， ∵正方形， ∴，，，， ∴四边形是矩形，， ∵为的中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， 故选：C 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 9. 如图，正六边形的边长为，点M是的内心，点N是的外心，则的长度为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形的性质，圆的内心和外心，直角三角形的性质等知识，连接交于点，连接，根据正六边形的性质得，，从而得出，根据对称性得出，是等边三角形，得出，设的内切圆的半径为，根据列式求出，再根据求解即可． 【详解】解：连接交于点，连接，设与交于点，如图， ∴点为正六边形的中心， ∴， ∵六边形是正六边形， ∴， ∵正六边形是轴对称图形， ∴ ∴， ∴，, ∵点为的外心，点在上， ∴， 根据对称性得出是等边三角形，， ∴，， ∴， 设的内切圆的半径为， ∴ ∴ ∴ 解得：， ∴， ∴． 故选：A． 10. 下图是一个组合几何体的三视图，则组成该几何体的是（ ） A. 正方体和长方体 B. 长方体和球 C. 圆柱和球 D. 长方体和圆柱 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了组合几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键． 根据组合几何体的三视图分析即可得到答案． 【详解】解：组合几何体的三视图为 组成该几何体的是长方体和圆柱， 故选：D． 二、填空题（共24分） 11. 一元二次方程的一个解为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，由题意可得，解方程即可得解． 【详解】解：∵一元二次方程的一个解为， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为： ， 令，则， 或， 解得：或， ， 故答案为：1． 13. 如图，在和中，，，将绕点A顺时针旋转一定角度，当时，的度数是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，旋转的性质，分两种情况分别画出图形，再结合等腰三角形的性质与角的和差运算可得答案； 【详解】解：如图，当时，延长交于， ∵，， ∴, ∴； 如图，当时，延长交于， ∵，， ∴, ∴， 故答案为：或 14. 如图，四边形内接于，若四边形是菱形，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键； 根据圆内接四边形的性质得到，根据菱形的性质，圆周角定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，点为原点，点A 在第一象限，且． 若反比例函数 的图像经过点，则的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图像与几何图形面积求比例系数，根据题意作图分析，理解当点为反比例函数图像与直线的交点时，的值最大，由的几何意义可知，为图像上的点与坐标轴围成的正方形的面积，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数如图所示， ∵函数图像经过第一象限， ∴， 当点为反比例函数图像与直线的交点时，的值最大，且， ∴， ∴， ∴k的取值范围是． 16. 如图，在中，D，E分别是边的中点，则与的面积比_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据中位线点性质及相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得答案． 【详解】∵D，E分别是边的中点， ∴DE是三角形的中位线， ∴， ∴∽， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查相似三角形的性质及中位线性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． 17. 如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边对等角，平行线的性质与判定等等，解题的关键在于证明，根据等边对等角推出，则可证明得到，再由切线的性质得到，则解求出的长即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴在中，， ∴， ∴半径的长为6， 故答案为：． 18. 如图，圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则圆锥主视图的面积为__________． 【答案】48 【解析】 【分析】圆锥的主视图是等腰三角形，根据圆锥侧面积公式S=πrl代入数据求出圆锥的底面半径长，再由勾股定理求出圆锥的高即可． 【详解】根据圆锥侧面积公式：S=πrl，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π， 故60π=π×10×r， 解得：r=6． 由勾股定理可得圆锥的高==8 ∵圆锥的主视图是一个底边为12，高为8的等腰三角形， ∴它的面积=， 故答案为：48 【点睛】本题考查了三视图的知识，圆锥侧面积公式的应用，正确记忆圆锥侧面积公式是解题关键． 三、解答题（共66分） 19. 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段．按下列要求在网格中画图，不写画法． （1）以A为旋转中心，将线段逆时针旋转，画出线段； （2）连接，仅用无刻度的直尺在给定的网格中画出线段的垂直平分线． 【答案】（1） 如图，线段即为所求； （2）即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换，无刻度直尺作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）取格点，连接，线段即为所求； （2）取格点，连接，即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：取格点，连接， ， 垂直平分， 即为所求． 20. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，分式的运算，解题的关键是： （1）利用二次根式的乘法法则，二次根式的性质，三角函数值，零指数幂的意义化简计算即可； （2）先把括号里的式子通分相加，然后把除数的分母分解因式，再把除数分子分母颠倒后与前面的结果相乘，最后约分化简即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 21. “道路千万条，安全第一条”，公安交警部门提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规；某安全头盔经销商统计了某品牌头盔6月份到8月份的销量，该品牌头盔6月份销售500个，8月份销售845个，且从6月份到8月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该品牌头盔销售量的月增长率为x，利用该品牌头盔8月份的销售量=该品牌头盔6月份的销售量（1+该品牌头盔销售量的月增长率），可列出关于x的一元二次方程，求解出增长率，即可得出结论． 【详解】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 22. 如图，在中，O是边上一点，和关于点O成中心对称，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：和关于点O成中心对称， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2） 证明：连接， AI 和关于点O成中心对称， B，O，F三点共线，， 四边形是平行四边形， ， ， 即， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， 又四边形是平行四边形， 是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定． （1）根据中心对称图形的性质得到，，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）连接．先证得四边形是平行四边形，求得，得到，推出四边形是菱形．推出，即可证明四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，都是的半径，． （1）求证：； （2）若，，求． 【答案】（1） 证明：，， ， 又， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用圆周角定理即可证明； （2）作于点，作于点，利用三线合一性质得到，，得到，利用全等三角形的判定证出，得到，再利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作于点，作于点， ，， ，，， 由（1）得，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． 24. 如图，过点且与y轴平行的直线与反比例函数和的图像分别交于A、B两点，若P是y轴上任意一点，求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数中比例系数k的几何意义：在反比例函数的图像上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．如图，连接，，记与x轴的交点为C，依据轴，可得与的面积相等，再根据反比例函数和的图像分别交于A、B两点，即可得到，，而得出的面积为． 【详解】解：如图，连接，，记与x轴的交点为C， ∵轴， ∴与的面积相等， 又∵反比例函数和的图像分别交于A、B两点， ∴，， ∴， ∴的面积为． 25. 如图，已知是的直径，是的弦，，连接交于点E，连接，，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ，所对的弧是同弧， ． 是 的直径， ， ， ， 即， 是 的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆的性质、等腰三角形性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．掌握圆中直径所对圆周角为直角、等腰三角形等边对等角，以及利用勾股定理和相似三角形求线段长度等知识点是解题的关键． （1）利用圆中边与角的等量关系，逐步进行角的等量代换，最终证明，证明是圆的切线． （2）先利用勾股定理求出，再通过作辅助线，根据角的关系证明三角形相似，利用相似三角形性质求出，进而求出的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， ，， ， 作， ， ， ， ， ， ∴， ， ，， . 26. 如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B． 无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为无人机垂直上升悬停在D处，此时在B 处测得 D的仰角为点A， B， C， D在同一平面内， A， B两点在 的同侧． 求无人机在 C 处时离地面的高度．（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】过点C作于点M， 设， 则，根据仰角，解直角三角形计算即可． 本题考查了仰角解直角三角形，分式方程的应用，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 【详解】解：过点C作于点M， 设， 则， 在中， ， 则， 则； 在中， ， 则 解得：， 经检验，是该分式方程的解． ∴． 答：无人机在C处时离地面． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标； （2）如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值； （3）如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，求面积的最小值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解出抛物线的解析式，再转化为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为．设直线的表达式为，解方程组得到直线的表达式为，则，求得，求得于是得到，解方程得到，根据平移的性质得到，将代入，解方程即可； （3）过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且，求得抛物线的顶点，得到，推出，解方程得到当时，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：抛物线过点 得 解得 抛物线的表达式为 顶点； 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为． 设直线的表达式为 由题意知 解得 直线的表达式为 的面积为12 ， ， 解得（舍） 点先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点 将代入 得 解得． 【小问3详解】 解：如图，过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且 抛物线的顶点 ， 易得 当时， 点横坐标最小值为，此时点到直线距离最近，的面积最小 最近距离即边上的高，高为： 面积的最小值为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，平移的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确地找出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $