高一数学期末模拟卷（人教B版2019，必修第三册～必修第四册）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期末模拟考试

2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版2019必修第三册、必修第四册。 5．难度系数：0.66。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．函数的相邻两个零点之间的距离为（   ） A． B．6 C． D．12 3．已知向量，，．若与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D． 4．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为2的等边三角形，则顶点到轴的距离是（    ） A． B．4 C． D． 5．在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（   ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 6．斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上､下底面边长分别为2，4，侧面积为24，则该正四棱台的体积为（    ） A．56 B． C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．已知中，，，，为所在平面内一点，，则的最小值为（   ） A． B． C．0 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数，则下列命题中正确的是（    ） A．z的虚部是 B． C．z在复平面内对应的点在第四象限 D．若z是关于x的实系数方程的一个根，则， 10．已知角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在轴的正半轴上，如果是角终边上不同于坐标原点的任意一点，记，当角的终边不在轴上时，称为角的正割，记作.则下列说法正确的是（   ） A． B．函数的最小正周期为，其图象的对称轴为 C．（其中和的取值使各项都有意义） D．在锐角中，角，，的对边分别为，，，则 11．长方体中，，，E是线段上的一动点（包括端点），则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．平面 C．的最小值为 D．以A为球心，为半径的球面与侧面的交线长是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，且（其中为虚数单位），则 . 13．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图1所示，它是由4个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若图2中直角三角形的两锐角分别为，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则 .    14．榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重量，并且具有较高的抗震能力．这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛､木片等．如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为2的正方形，且均为正三角形，，则该木楔子的外接球的体积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知． (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)求函数在区间上的最大值和最小值． 16．（本小题满分15分）在平面直角坐标系 中，已知四边形 是等腰梯形，，点 满足，点在线段上运动（包括端点），如图所示. (1)当点 为线段 中点时，将 绕原点 沿逆时针方向旋转 到 的位置，求点 的坐标； (2)求 的余弦值； (3)是否存在实数 ，使 ？若存在，求出实数 的取值范围；若不存在，请说明理由. 17．（本小题满分15分）在中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角； (2)若角的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积． 18．（本小题满分17分）如图，在正三棱柱中，D，E分别是BC，的中点，若，. (1)证明：平面； (2)求到平面的距离： (3)求二面角的大小. 19．（本小题满分17分）对于一组向量（，且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“H向量”． (1)设，若是向量组的“H向量”，求实数x的取值范围； (2)若，向量组是否存在“H向量”？若存在求出所有的“H向量”，若不存在说明理由； (3)已知均是向量组的“H向量”，其中，，设在平面直角坐标系中有一点列满足为坐标原点，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版2019必修第三册、必修第四册。 5．难度系数：0.66。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．函数的相邻两个零点之间的距离为（   ） A． B．6 C． D．12 3．已知向量，，．若与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D． 4．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为2的等边三角形，则顶点到轴的距离是（    ） A． B．4 C． D． 5．在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（   ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 6．斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上､下底面边长分别为2，4，侧面积为24，则该正四棱台的体积为（    ） A．56 B． C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．已知中，，，，为所在平面内一点，，则的最小值为（   ） A． B． C．0 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数，则下列命题中正确的是（    ） A．z的虚部是 B． C．z在复平面内对应的点在第四象限 D．若z是关于x的实系数方程的一个根，则， 10．已知角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在轴的正半轴上，如果是角终边上不同于坐标原点的任意一点，记，当角的终边不在轴上时，称为角的正割，记作.则下列说法正确的是（   ） A． B．函数的最小正周期为，其图象的对称轴为 C．（其中和的取值使各项都有意义） D．在锐角中，角，，的对边分别为，，，则 11．长方体中，，，E是线段上的一动点（包括端点），则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．平面 C．的最小值为 D．以A为球心，为半径的球面与侧面的交线长是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，且（其中为虚数单位），则 . 13．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图1所示，它是由4个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若图2中直角三角形的两锐角分别为，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则 .    14．榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重量，并且具有较高的抗震能力．这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛､木片等．如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为2的正方形，且均为正三角形，，则该木楔子的外接球的体积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知． (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)求函数在区间上的最大值和最小值． 16．（本小题满分15分）在平面直角坐标系 中，已知四边形 是等腰梯形，，点 满足，点在线段上运动（包括端点），如图所示. (1)当点 为线段 中点时，将 绕原点 沿逆时针方向旋转 到 的位置，求点 的坐标； (2)求 的余弦值； (3)是否存在实数 ，使 ？若存在，求出实数 的取值范围；若不存在，请说明理由. 17．（本小题满分15分）在中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角； (2)若角的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积． 18．（本小题满分17分）如图，在正三棱柱中，D，E分别是BC，的中点，若，. (1)证明：平面； (2)求到平面的距离： (3)求二面角的大小. 19．（本小题满分17分）对于一组向量（，且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“H向量”． (1)设，若是向量组的“H向量”，求实数x的取值范围； (2)若，向量组是否存在“H向量”？若存在求出所有的“H向量”，若不存在说明理由； (3)已知均是向量组的“H向量”，其中，，设在平面直角坐标系中有一点列满足为坐标原点，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B B A A B C B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD AC BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 【解】（1）因为……………………3分 所以的最小正周期， …………………………4分 令，，解得，， 所以单调递减区间为，． …………………………7分 （2）因为，所以， …………………………9分 所以由函数图象性质知， 当，即时，； …………………………11分 当，即时，． …………………………13分 16．（本小题满分15分） 【解】（1）因为是等腰梯形，，，点为线段中点 所以，则， ……………………2分 将 绕原点 沿逆时针方向旋转 到 的位置， 如图所示.作轴于点,, 可得, ……………………4分 ， ， , 所以点的坐标为 ………………………7分 （2）在中，， ………8分 所以, 因此的余弦值； ………………………10分 （3）设，其中． …………………………11分 若，则， 即，可得． …………………………13分 若，则不存在， 若，则故． ………………………15分 17．（本小题满分15分） 【解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 所以， …………………………3分 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， …………………………7分 因为，所以； …………………………8分 （2）因为角的角平分线交于点， 所以， …………………………9分 因为，所以由，得 ， 所以， …………………………11分 由余弦定理得，所以， 所以，解得或（舍去）， 所以，解得， 所以， …………………………13分 因为角的角平分线交于点，所以， 因为，所以， 所以. …………………………15分 18．（本小题满分17分） 【解】（1）连接，交于点，连接， 因为四边形为平行四边形，所以O为中点， 又D为BC中点，所以， ……………………2分 又平面，平面， 所以平面； ……………………4分 （2）设到平面的距离为d， 因为，，所以， ……………………5分 又为中点，所以， 因为为等边三角形， 所以， 所以，所以， ……………………7分 ， ……………………8分 因为， 所以，所以，即， 解得， 即到平面的距离为； ……………………10分 （3）由已知正三棱柱中，分别是中点， ……………………11分 所以面，平面， 所以，又，，平面， 所以面，面， 所以，， 所以为二面角的平面角， ……………………14分 连接，在中，， 在中，， 由（2）知，所以， 所以， 所以二面角的大小为. ……………………17分 19．（本小题满分17分） 【解】因为，所以， ……………2分 则， 解得：； ……………………4分 （2）假设存在“向量”，因为， 且， 则由题意得：只需要使得， ……………………6分 又因为， 所以， ……………………7分 则， 即满足 ，又因为， 所以满足上式，故存在“向量”为； ……………………9分 （3）由题意得：， 同理可得：，， ……………………11分 上面三个式子相加得：， 即，所以， ……………………12分 设，则由得：， ……………………13分 设，则依题意得：， 得 , ……………………15分 所以， 而， 当且仅当时等号成立， 故. ……………………17分 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高一数学下学期期末模拟卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版2019必修第三册、必修第四册。 5．难度系数：0.66。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以，则， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限.故选B 2．函数的相邻两个零点之间的距离为（   ） A． B．6 C． D．12 【答案】B 【解析】由正切函数的图象可知，函数的相邻两个零点之间的距离即为最小正周期，又最小正周期为，所以函数的相邻两个零点之间的距离为.故选：B. 3．已知向量，，．若与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由题意，，由与垂直，则， 即，解得.故选：A. 4．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为2的等边三角形，则顶点到轴的距离是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【解析】过点作交轴于点，如图所示， 在中，， 由正弦定理可得，，所以， 由斜二测画法可知，在原平面图形中，点B到x轴的距离是.故选A. 5．在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（   ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【解析】由得，即， 即，所以， 在中，，所以，， 即的形状为直角三角形.故选：B. 6．斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上､下底面边长分别为2，4，侧面积为24，则该正四棱台的体积为（    ） A．56 B． C． D． 【答案】C 【解析】由为四棱台的斜高. 设四棱台的高为，则， 所以四棱台的体积为：，故选：C 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得：， 则：，， 从而有：，即.故选：B. 8．已知中，，，，为所在平面内一点，，则的最小值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【解析】在中，，由，得， 则，即，以点为原点，射线分别为轴建立平面直角坐标系， 则，设，，， 由，得，解得， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为.故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数，则下列命题中正确的是（    ） A．z的虚部是 B． C．z在复平面内对应的点在第四象限 D．若z是关于x的实系数方程的一个根，则， 【答案】BD 【解析】由，可知所以z的虚部为，即A是错误的； 由，可知，则，，所以，即B是正确的； 由可知在复平面内对应的点在第一象限，即C是错误的； 由已知可得方程的根为，所以，，即D是正确的； 故选：BD. 10．已知角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在轴的正半轴上，如果是角终边上不同于坐标原点的任意一点，记，当角的终边不在轴上时，称为角的正割，记作.则下列说法正确的是（   ） A． B．函数的最小正周期为，其图象的对称轴为 C．（其中和的取值使各项都有意义） D．在锐角中，角，，的对边分别为，，，则 【答案】AC 【解析】依题意，，当时，， 对于A，，A正确； 对于B，函数，的最小正周期为，其图象的对称轴为，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，由余弦定理得，D错误. 故选：AC 11．长方体中，，，E是线段上的一动点（包括端点），则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．平面 C．的最小值为 D．以A为球心，为半径的球面与侧面的交线长是 【答案】BCD 【解析】对于A，因为在长方体中，，， 故，故为等腰三角形， 而，故为锐角， 故的最小值为的边上的高，设高为， 则，故， 故的最小值为，故A错误. 对于B，由长方体的性质可得， 故四边形为平行四边形，故， 而平面，平面，故平面， 同理平面，而平面， 故平面平面，而平面，故平面， 故B正确. 对于C，如图，将、放置在一个平面中， 则的最小值即为，而， ， 因为、均为锐角，故，， 故， 故，故C正确. 对于D，以A为球心，为半径的球面与侧面的交线为个圆弧， 该圆弧的圆心为，半径为，故弧长为，故D成立. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，且（其中为虚数单位），则 . 【答案】 【解析】，则， 13．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图1所示，它是由4个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若图2中直角三角形的两锐角分别为，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则 .    【答案】/0.96 【解析】依题意，大正方形的边长为5，小正方形的边长为1， 结合图形知，，即， 两式平方相加得， 即，所以. 14．榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重量，并且具有较高的抗震能力．这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛､木片等．如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为2的正方形，且均为正三角形，，则该木楔子的外接球的体积为 ． 【答案】 【解析】如图，分别过点作的垂线，垂足分别为，连接，则，故. 取的中点，连接， 又，则. 由对称性易知，过正方形的中心且垂直于平面的直线必过线段的中点， 且所求外接球的球心在这条直线上，如图. 设球的半径为，则，且， 从而，即， 当点在线段内（包括端点）时，有，得， 从而，即球心在线段的中点，其半径. 当点在线段外时，，解得（舍）. 故所求外接球的体积. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知． (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)求函数在区间上的最大值和最小值． 【解】（1）因为……………………3分 所以的最小正周期， …………………………4分 令，，解得，， 所以单调递减区间为，． …………………………7分 （2）因为，所以， …………………………9分 所以由函数图象性质知， 当，即时，； …………………………11分 当，即时，． …………………………13分 16．（本小题满分15分）在平面直角坐标系 中，已知四边形 是等腰梯形，，点 满足，点在线段上运动（包括端点），如图所示. (1)当点 为线段 中点时，将 绕原点 沿逆时针方向旋转 到 的位置，求点 的坐标； (2)求 的余弦值； (3)是否存在实数 ，使 ？若存在，求出实数 的取值范围；若不存在，请说明理由. 【解】（1）因为是等腰梯形，，，点为线段中点 所以，则， ……………………2分 将 绕原点 沿逆时针方向旋转 到 的位置， 如图所示.作轴于点,, 可得, ……………………4分 ， ， , 所以点的坐标为 ………………………7分 （2）在中，， ………8分 所以, 因此的余弦值； ………………………10分 （3）设，其中． …………………………11分 若，则， 即，可得． …………………………13分 若，则不存在， 若，则故． ………………………15分 17．（本小题满分15分）在中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角； (2)若角的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积． 【解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 所以， …………………………3分 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， …………………………7分 因为，所以； …………………………8分 （2）因为角的角平分线交于点， 所以， …………………………9分 因为，所以由，得 ， 所以， …………………………11分 由余弦定理得，所以， 所以，解得或（舍去）， 所以，解得， 所以， …………………………13分 因为角的角平分线交于点，所以， 因为，所以， 所以. …………………………15分 18．（本小题满分17分）如图，在正三棱柱中，D，E分别是BC，的中点，若，. (1)证明：平面； (2)求到平面的距离： (3)求二面角的大小. 【解】（1）连接，交于点，连接， 因为四边形为平行四边形，所以O为中点， 又D为BC中点，所以， ……………………2分 又平面，平面， 所以平面； ……………………4分 （2）设到平面的距离为d， 因为，，所以， ……………………5分 又为中点，所以， 因为为等边三角形， 所以， 所以，所以， ……………………7分 ， ……………………8分 因为， 所以，所以，即， 解得， 即到平面的距离为； ……………………10分 （3）由已知正三棱柱中，分别是中点， ……………………11分 所以面，平面， 所以，又，，平面， 所以面，面， 所以，， 所以为二面角的平面角， ……………………14分 连接，在中，， 在中，， 由（2）知，所以， 所以， 所以二面角的大小为. ……………………17分 19．（本小题满分17分）对于一组向量（，且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“H向量”． (1)设，若是向量组的“H向量”，求实数x的取值范围； (2)若，向量组是否存在“H向量”？若存在求出所有的“H向量”，若不存在说明理由； (3)已知均是向量组的“H向量”，其中，，设在平面直角坐标系中有一点列满足为坐标原点，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值． 【解】因为，所以， ……………2分 则， 解得：； ……………………4分 （2）假设存在“向量”，因为， 且， 则由题意得：只需要使得， ……………………6分 又因为， 所以， ……………………7分 则， 即满足 ，又因为， 所以满足上式，故存在“向量”为； ……………………9分 （3）由题意得：， 同理可得：，， ……………………11分 上面三个式子相加得：， 即，所以， ……………………12分 设，则由得：， ……………………13分 设，则依题意得：， 得 , ……………………15分 所以， 而， 当且仅当时等号成立， 故. ……………………17分 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$