精品解析：福建省宁德市2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题

（在此卷上答题无效） 2025年宁德市初中毕业班质量检测 数学试题 本试卷共8页，满分150分 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号：非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 4．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，则绝对值最大的实数是（ ） A. B. C. D. 2. 窗棂是我国传统房屋建筑的重要组成部分，具有较高的艺术与观赏价值，下列窗棂纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 有4个外观完全相同的密封试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、氢氧化钠四种溶液．小星从这4个试剂瓶中任意抽取1个，则抽到的是酸性溶液的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一盏可折叠的护眼灯及其平面示意图，现底座与灯臂的夹角，若要调节灯体，使得，则应等于（ ） A. B. C. D. 6. 用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 利用一个平行四边形画菱形，对于以下两种作法，根据画图痕迹可以判断（ ） A. ①②都正确 B. ①正确，②不正确 C. ①不正确，②正确 D. ①②都不正确 8. 已知函数的图象经过点，则点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将长为的铁丝折成三段，已知第一段长为，第二段长为．若这三条线段恰好能围成一个三角形，则的值可以是（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 10. 如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上．若点的横坐标为3，则的值是（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 18 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. ﹣1的相反数是_____． 12. 如图是人字梯及其侧面的示意图，，为支撑架，为拉杆，，分别是，的中点．若，则，两点间的距离是________cm． 13. 因式分解：__________． 14. 林老师统计全班学生每周参加科学教育活动的时间（单位：），绘制成如图所示的统计图，则全班学生每周参加科学教育活动的时间的众数是________． 15. 如图，已知，点在上，以为半径的与直线相切于点．若，则________． 16. 已知二次函数，当时，．下列说法一定正确的是：________．（填写序号） ①； ②当时，； ③当时，； ④当时，． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 计算：． 18. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 19. 如图，已知和，点在上，，，．求证：． 20. 2025年3月9日，国家卫生健康委员会主任雷海潮在民生主题记者会上表示实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式．表1是初中学生体重指数（BMI）单项评分表，其中BMI计算公式是：． 表1：初中学生体重指数（BMI）单项评分表 等级 单项得分 男生 女生 初一 初二 初三 初一 初二 初三 正常 ～ ～ ～ 低体重 超重 ～ 肥胖 初一（3）班兴趣小组为了解学校初一年级360名男生的胖瘦情况，从本班同学中随机抽出10名男生，测得他们的身高和体重值，并计算出相应的数值（结果精确到0.1），制成如下统计表（表2）． 表2：初一（3）班10名男生BMI数据统计表 编号 身高 体重 根据表格数据回答下列问题． （1）求表2中的值； （2）估计该校初一男生肥胖的人数； （3）兴趣小组从学校获取数据发现：本校初一男生中，有56人肥胖．请你用所学的统计知识说明实际肥胖人数与估计人数出现较大偏差的原因． 21. 宁古高速是福建省境内连接宁德市与古田县的一条高速公路，预计将于2025年底建成通车．宁古高速全线通车后，从宁德城区到古田县城将有两条路线可供选择，路线一：走省道，全长大约125千米；路线二：走高速公路，全长大约75千米．走高速公路的平均速度是走省道的1.5倍，行驶时间比走省道节省1.5小时．求通车前宁德城区到古田县城走省道大约需要多长时间？ 22. 如图，将沿边翻折得到，点是边上一点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 已知：抛物线． （1）求证：抛物线与轴总有两个交点； （2）若点，点是该抛物线上两点，求代数式的值． 24. 夜晚，小明与爸爸在江边散步，看见白天通透的彩虹桥侧面竟然呈现出一幅美丽的画面（如图1），爸爸告诉他，其实那是一幅由彩色灯组成的动感大屏．他很好奇：这个屏有多大？由多少个灯组成？于是展开了如下探究： 【信息收集】 经了解与测量，小明知道：彩虹桥的拱架呈圆弧形，它在桥面上跨度为，拱高为．在拱架与桥面之间每间隔拉一条垂直于桥面的灯带，灯带上每间隔装一个灯． 【图形认识】 小明根据收集到的信息绘制了如图2所示的彩虹桥示意图，其中：半径弦，垂足为，弦，． （1）求的度数和的半径；（精确到整数值，参考数值：，，） （2）求屏（即阴影部分）的面积；（取3.14） 【问题解决】 （3）小明认为要估计灯的数量，可以先估计灯带的长度．受统计中用“组中值”代替“真实值”估算方法的启示，小明给出如下估算方案： ①用点和点处灯带长的平均值代替所有灯带的长度； ②由弦的长和相邻灯带的间隔距离，估计灯带总数量为1600条； ③所以，可以估计灯的数量为________个； （4）请聪明的你给出一种更优化的估算方案，并求出相应灯的数量． 25. 定义：若等边三角形的三个顶点都在一个正方形的边上，则称该三角形为这个正方形的内接正三角形． 任务1：如图1，已知正方形，是的中点，请作出，使得是正方形的内接正三角形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 任务2：如图2，已知是正方形的内接正三角形，点，，分别在，，上，是的中点，连接． 求证：； 任务3：已知正方形的边长为4，求该正方形的最大内接正三角形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ （在此卷上答题无效） 2025年宁德市初中毕业班质量检测 数学试题 本试卷共8页，满分150分 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号：非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 4．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，则绝对值最大的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用绝对值的性质结合各字母的位置进而得出答案． 【详解】解：由数轴可得：|a|＞3，|b|1，|c|2，2＜|d|＜3， 故这四个数中，绝对值最大的是：a． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了实数比较大小，正确利用数轴分析是解题关键． 2. 窗棂是我国传统房屋建筑的重要组成部分，具有较高的艺术与观赏价值，下列窗棂纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，轴对称图形的定义：将一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：将一个图形绕某个点旋转180度后能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；熟知两者的概念是关键． 【详解】解：A．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数的幂相乘，底数不变，指数相加求解即可． 【详解】解：=a6+2=a8， 故选C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 4. 有4个外观完全相同的密封试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、氢氧化钠四种溶液．小星从这4个试剂瓶中任意抽取1个，则抽到的是酸性溶液的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查简单概率的计算：概率所求情况数与总情况数之比．由题意可得稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、氢氧化钠四种溶液中，有稀硫酸、稀盐酸两种酸性溶液，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、氢氧化钠四种溶液中，有稀硫酸、稀盐酸两种酸性溶液， 则小星从这4个试剂瓶中任意抽取1个，抽到的是酸性溶液的概率是：， 故选：C． 5. 如图是一盏可折叠的护眼灯及其平面示意图，现底座与灯臂的夹角，若要调节灯体，使得，则应等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴   故选：C ． 6. 用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查加减消元法解方程组．利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：若消去，则得：； 若消去，则得：； 故选：A． 7. 利用一个平行四边形画菱形，对于以下两种作法，根据画图痕迹可以判断（ ） A. ①②都正确 B. ①正确，②不正确 C. ①不正确，②正确 D. ①②都不正确 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质及线段和垂直平分线的作法，根据作图方法结合平行四边形的性质利用菱形的判定定理逐一判定即可． 【详解】解：在作法①中，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 由作图可知垂直平分， 则， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，①正确； 在作法①中，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，即， 由作图可知， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵不一定相等，则不一定相等， ∴不能判定 四边形是菱形，②不正确； 故选：B． 8. 已知函数的图象经过点，则点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的性质逐项分析即可得解，熟练掌握正比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、当时，，故不在函数的图象上，不符合题意； B、当时，，故不在函数的图象上，不符合题意； C、当时，，故不在函数的图象上，不符合题意； D、当时，，故在函数的图象上，符合题意； 故选：D． 9. 如图，将长为的铁丝折成三段，已知第一段长为，第二段长为．若这三条线段恰好能围成一个三角形，则的值可以是（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握知识点是解题的关键． 逐项求出第三段长，再根据三角形的三边关系判断，即可解答． 【详解】解：A．当时，第三段长为，由，得 3，4，7不能组成三角形，故该选项错误； B． 当时，第三段长为，由，得 4，4，6能组成三角形，故该选项正确； C． 当时，第三段长为，由，得 3，4，7不能组成三角形，故该选项错误； D． 当时，第三段长为，由，得 2，4，8不能组成三角形，故该选项错误； 故选B． 10. 如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上．若点的横坐标为3，则的值是（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，过点作轴，交轴于点，过点作，过点作，证明，设，求出点坐标，根据正方形的性质结合平移思想，求出点坐标，根据均在反比例函数图象上，列出方程进行求解即可． 【详解】解：过点作轴，交轴于点，过点作，过点作， 则：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在的图象上，且点的横坐标为3， ∴，设， 则：，， ∴，， ∴， ∵将点向左平移个单位，再向上平移个单位，得到点， ∴将点向左平移个单位，再向上平移个单位，得到点， ∴，即：， ∵均在反比例函数图象上， ∴， 解得：（舍去）或（舍去）或， 经检验是原方程的解， ∴， ∴． 故选C． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. ﹣1的相反数是_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据相反数的定义可得出答案． 【详解】根据相反数的定义，得﹣1的相反数是1． 【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0． 12. 如图是人字梯及其侧面的示意图，，为支撑架，为拉杆，，分别是，的中点．若，则，两点间的距离是________cm． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线定理即可得到． 【详解】解：如图说是，连接， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为： ． 13. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 14. 林老师统计全班学生每周参加科学教育活动的时间（单位：），绘制成如图所示的统计图，则全班学生每周参加科学教育活动的时间的众数是________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了众数，熟知众数的定义是解题的关键． 根据“众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据”解答即可． 【详解】解：∵每周参加科学教育活动的时间为的人数最多， ∴全班学生每周参加科学教育活动的时间的众数是8， 故答案为：8． 15. 如图，已知，点在上，以为半径的与直线相切于点．若，则________． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，三角形内角和定理，根据得到，即可求得，熟知相关性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， 与直线相切于点， ， ， 故答案为：． 16. 已知二次函数，当时，．下列说法一定正确的是：________．（填写序号） ①； ②当时，； ③当时，； ④当时，． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质性，不等式的解集问题，一元二次方程的配方． 根据自变量的取值，逐项代入，得出不等式，再进行一元二次方程的配方，即可解答． 【详解】解：①当时，， ∴， 即， ∴，或者（该不等式组无解）， ∴， 故①正确． ②当时，， ， ∴， ∴，即； 故②正确． ③当时，， 由，得不一定小于0，故不一定成立． 故③错误； ④当时，， 对称轴为，抛物线开口向上， ∴当时，y随t的增大而增大， 当时，； 当时，； 即当（）时，， 故④正确． 故答案为：①②④． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，掌握零次幂的意义、特殊角的函数值、绝对值的意义是解决本题的关键．先计算零次幂、再代入特殊角的函数值算乘法、化简绝对值，最后加减．即可解答 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】此题考查了一元一次不等式的求解，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解方法．根据一元一次不等式的求解步骤求解，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】解： ． 将不等式解集在数轴上表示为： 19. 如图，已知和，点在上，，，．求证：． 【答案】 证明：， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质，首先根据两直线平行内错角相等，可证，根据可证，根据全等三角形对应边相等可证结论成立． 【详解】略 20. 2025年3月9日，国家卫生健康委员会主任雷海潮在民生主题记者会上表示实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式．表1是初中学生体重指数（BMI）单项评分表，其中BMI计算公式是：． 表1：初中学生体重指数（BMI）单项评分表 等级 单项得分 男生 女生 初一 初二 初三 初一 初二 初三 正常 ～ ～ ～ 低体重 超重 ～ 肥胖 初一（3）班兴趣小组为了解学校初一年级360名男生的胖瘦情况，从本班同学中随机抽出10名男生，测得他们的身高和体重值，并计算出相应的数值（结果精确到0.1），制成如下统计表（表2）． 表2：初一（3）班10名男生BMI数据统计表 编号 身高 体重 根据表格数据回答下列问题． （1）求表2中的值； （2）估计该校初一男生肥胖的人数； （3）兴趣小组从学校获取数据发现：本校初一男生中，有56人肥胖．请你用所学的统计知识说明实际肥胖人数与估计人数出现较大偏差的原因． 【答案】（1） （2）人 （3） ①抽查的样本容量只有10人对于全年段360人来说不具有广泛性； ②只抽取初一（3）班的男生数据对于初一年段来讲不具有代表性． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表和用样本估计总体，抽样调查的可靠性，熟练掌握用样本估计总体的方法是解题的关键． （1）根据公式进行计算即可求解； （2）根据样本估计总体；用乘以肥胖的人数占比，即可； （3）根据抽样调查的可靠性，样本是否具有广泛性和代表性，据此分析，即可求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 结合表1和表2可知这10名男生中肥胖的有3人， （人）． 因此，估计该校七年级肥胖人数有108人． 【小问3详解】 略 21. 宁古高速是福建省境内连接宁德市与古田县的一条高速公路，预计将于2025年底建成通车．宁古高速全线通车后，从宁德城区到古田县城将有两条路线可供选择，路线一：走省道，全长大约125千米；路线二：走高速公路，全长大约75千米．走高速公路的平均速度是走省道的1.5倍，行驶时间比走省道节省1.5小时．求通车前宁德城区到古田县城走省道大约需要多长时间？ 【答案】2.5小时 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设通车前宁德至古田走省道大约需要小时，根据走高速公路的平均速度是走省道的1.5倍，行驶时间比走省道节省1.5小时，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设通车前宁德至古田走省道大约需要小时，则 ， 解得． 经检验，是所列方程的根． 答：通车前宁德至古田走省道大约需要2.5小时． 22. 如图，将沿边翻折得到，点是边上一点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）1 【解析】 【分析】（1）根据沿边翻折得到，得出，根据补角性质得出，得出，最后根据等腰三角形判定得出答案即可； （2）证明，根据折叠得出，即可得出，求出． 【小问1详解】 证明：沿边翻折得到， ， ，， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， 由（1）知，，， ， ， ， 由翻折得， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，补角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． 23. 已知：抛物线． （1）求证：抛物线与轴总有两个交点； （2）若点，点是该抛物线上两点，求代数式的值． 【答案】（1）见解析 （2）1 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线和x轴的交点问题及二次函数的对称性． （1）证明即可； （2）根据题意可得两点关于抛物线对称轴对称，进而得到，求出，整体代入进而求解． 【小问1详解】 证明：当时， ， ， ，即； 抛物线与轴总有两个交点； 【小问2详解】 解：点，点是抛物线上关于对称轴对称的两个点， ， ， ， ． 24. 夜晚，小明与爸爸在江边散步，看见白天通透的彩虹桥侧面竟然呈现出一幅美丽的画面（如图1），爸爸告诉他，其实那是一幅由彩色灯组成的动感大屏．他很好奇：这个屏有多大？由多少个灯组成？于是展开了如下探究： 【信息收集】 经了解与测量，小明知道：彩虹桥的拱架呈圆弧形，它在桥面上跨度为，拱高为．在拱架与桥面之间每间隔拉一条垂直于桥面的灯带，灯带上每间隔装一个灯． 【图形认识】 小明根据收集到的信息绘制了如图2所示的彩虹桥示意图，其中：半径弦，垂足为，弦，． （1）求的度数和的半径；（精确到整数值，参考数值：，，） （2）求屏（即阴影部分）的面积；（取3.14） 【问题解决】 （3）小明认为要估计灯的数量，可以先估计灯带的长度．受统计中用“组中值”代替“真实值”估算方法的启示，小明给出如下估算方案： ①用点和点处灯带长的平均值代替所有灯带的长度； ②由弦的长和相邻灯带的间隔距离，估计灯带总数量为1600条； ③所以，可以估计灯的数量为________个； （4）请聪明的你给出一种更优化的估算方案，并求出相应灯的数量． 【答案】（1），；（2）；（3）320000（或321600或318400）；（4）462000个 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理及解直角三角形可求的度数和的半径； （2）由，可得．进而可得．根据即可求解； （3）按小明给出的估算方案，分三种情况逐一计算即可； （4）结合实际问题，画出图形可综合运用所学知识，如解直角三角形，勾股定理，矩形的性质等相关知识设计方案，合理即可． 【详解】解：（1）是的半径，， ，． 在Rt中，． ， ． 设， ． 在Rt中，， ． 解得 ． 的半径为． （2）， ． ，， ． ， ， ． 屏的面积约为． （3）可以估计灯的数量为（个）；（灯带的一端有灯）； 或（个）；（灯带的两端有灯）； 或（个）；（灯带的两端无灯）； 故答案为：320000（或321600或318400）； （4）方案1：过中点作的垂线文于点，过点作于点． ① ； ②用的长度代替所有灯带长度； ③估计灯带总数量为1600条； ④估计灯的数量为（个）． （注：①如果每条灯带按315或317个灯估计宜可，结果分别为504000和507200；②若按这个方案，计算中有一定的偏差，不影响合理性．下同） 方案2：过中点作的垂线交于，交于，过点作于点． ① ； ； ②用和的平均长度代替所有灯带长度，该长度为； ③估计灯带总数量为1600条； ④估计灯的数荲为（个）． 方案3：过中点作的垂线交于过中点作的垂线交于，过中点作的垂线交于， ①同方案1的计算可知 ，，； ②由图形可知用和的长度估计的灯带分别有800条； ③所以，估计灯带的总长度的为； ④估计灯的数量：（个）． （注：也可以再细分区域，求出每个区域一根灯带的平均值进行估算） 方案4：也可以以每个灯所占面积来估计灯的总数量，方法如下： ①因为拱架与桥面之间每间隔，拉一条垂直于桥面的灯带，灯带上每间隔有一个灯，所以每个灯所占面积为； ②由（1）知屏的面积为； ③估计灯的数量约为（个）． 【点睛】本题主要考查了圆的性质、三角函数应用、扇形面积计算及实际问题的数学建模能力．熟知相关知识点是正确解答此题的关键． 25. 定义：若等边三角形的三个顶点都在一个正方形的边上，则称该三角形为这个正方形的内接正三角形． 任务1：如图1，已知正方形，是的中点，请作出，使得是正方形的内接正三角形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 任务2：如图2，已知是正方形的内接正三角形，点，，分别在，，上，是的中点，连接． 求证：； 任务3：已知正方形的边长为4，求该正方形的最大内接正三角形的面积． 【答案】任务1：见解析；任务2：见解析；任务3： 【解析】 【分析】（1）以为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交于点，连接，即为所求； （2）连接，，三线和一结合正方形的性质，推出，，，四点都在以为直径的圆上，圆周角定理得到，同理可得，进而得到是等边三角形，即可得证； （3）根据内接正三角形的定义得到有两点在正方形的相对的两条边上，不妨设点，分别在，上，点在上，由（2）可知一定经过等边三角形的顶点，当取最大值时，正方形的内接正三角形的面积最大，连接并延交于，点只能在线段上运动，当点与点或点重合时，取得最大值．当与点重合时，连接，过作，分别交，于，两点，解直角三角形求出的长，进而推出的长，根据三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，就是所求作的图形． 由作图可知：， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴为等边三角形； （2）连接，， ∵是正方形的内接正三角形，是的中点， ，，． ，，，四点都在以为直径的圆上． ． 同理可得． ∴， 是等边三角形． ． （3）是正方形的内接正三角形， ∴有两点在正方形的相对的两条边上，不妨设点，分别在，上，点在上． 根据（2）知一定经过等边三角形的顶点，当取最大值时，正方形的内接正三角形的面积最大， 连接并延交于，显然点只能在线段上运动，当点与点或点重合时，取得最大值． 当与点重合时，连接，过作，分别交，于，两点． 由（2）可得在中，， 在中，． ， ． ． 在中：， ． 的面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $