13 抽象函数重难点专题-【高考复习】高中数学重难点系列专题（学生版+解析版）

武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 13 抽象函数重难点专题 常考结论及公式 结论一： 函数的奇偶性和对称性的关系 （1）若 ( )f x a+ 为奇函数，则 ( )f x 关于 ( ,0)a 对称； （2）若 ( )f x a+ 为偶函数函数，则 ( )f x 关于 x a= 对称； （3）若 ( )f x + 为奇函数，则 ( )f x 关于 ( ,0) 对称； （4）若 ( )f x + 为偶函数，则 ( )f x 关于 x = 对称； 结论二： 周期性的定义及常见形式 周期性的定义：若存在一个非零常数T ，对于定义域的任意 x ，都有 ( ) ( )f x T f x+ = 恒 成立，则 ( )f x 叫做周期函数，T 叫做这个函数的周期. 常见形式：①如果 ( ) ( )f x a f x b+ = + ，则 ( )f x 的周期 | |T b a= − ； ②如果 ( ) ( )f x a f x+ = − ，则 ( )f x 的周期 | 2 |T a= ； ③如果 ( ) ( )f x a f x b c+ + + = ，则 ( )f x 的周期 2 | |T b a= − ； ④如果 ( 2 ) ( ) ( )f x a f x f x a+ + = + ，则 ( )f x 的周期 6 | |T a= ； ⑤如果 ( ) ( ) k f x a f x + = （ , 0k R k  ），则 ( )f x 的周期 2 | |T a= ； ⑥如果 1 ( ) ( ) 1 ( ) f x f x a f x + + = − ，则 ( )f x 的周期 4 | |T a= ； ⑦如果 1 ( ) ( ) 1 ( ) f x f x a f x − + = + ，则 ( )f x 的周期 2 | |T a= ； 结论三： 函数与导函数对称性和周期性的关系（高一学生可以先不学） ①若函数 ( )f x 为奇函数，则其导函数为偶函数； ②若函数 ( )f x 为偶函数，则其导函数为奇函数； ③若函数 ( )f x 关于直线 x a= 对称，则其导函数关于 ( ,0)a 中心对称； ④若函数 ( )f x 关于直线 ( , )a b 中心对称，则其导函数关于 x a= 对称； ⑤若函数 ( )f x 是以T 为周期的函数，则其导函数也是以T 为周期的函数. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 特别地，（1）三次函数 3 2( ) ( 0)f x ax bx cx d a= + + +  的图象一定是中心对称图形， 其对称中心是 ( , ( )) 3 3 b b f a a − − ； （2）多项式函数 1 1 1 0( ) n n n nf x a x a x a x a − −= + + + + 当 n 为偶数时， ( )f x 是轴对称图形，其对称轴为 1n n a x na −= − ； 当 n 为奇数时， ( )f x 是中心对称图形，其对称中心为 1 1( , ( ))n n n n a a f na na − −− − ； 结论四：常见的五类抽象函数类型 （1）线性函数型抽象函数：此类函数可类比 ( ) ( 0)f x kx b k= +  ，其形式为 ( ) ( ) ( ) ( )f x y f x f y c c R+ = + +  ； （2）指数函数型抽象函数：此类函数可类比 ( ) ( 0, 1)xf x a a a=   ，其形式为 ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = ； （3）对数函数型抽象函数：此类函数可类比 ( ) log ( 0, 1)af x x a a=   ，其形式为 ( ) ( ) ( )f xy f x f y= + ； （4）三角函数型抽象函数：此类函数可类比 ( ) tanf x x= ，其形式为 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) f x f y f x y f x f y + + = − ； （5）幂函数型抽象函数：此类函数可类比 ( )f x x= ，其形式为 ( ) ( ) ( )f xy f x f y= . 题型一 抽象函数的定义域问题 【例 1】已知函数 ( )2 4 1f x x− + − 的定义域为 0,m ，则可求得函数 ( )2 1f x− 的定义域为  0,2 ,求实数 m 的取值范围__________. 【跟踪训练 1】已知函数 ( )2 3f x− 的定义域为 1,4− ，设函数 ( ) ( ) 2 1 2 8 7 f x F x x x − = − − ，则 函数 ( )F x 的定义域是______. 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 题型二 抽象函数的值域问题 【例 2】函数 ( ) 1f x x= − 的定义域为 0,4 ，则函数 ( ) ( ) 22y f x f x= +    的值域为______． 【跟踪训练 2】已知定义在 R上的函数 ( )f x 满足 ( 1) ( )f x f x+ = ，若函数 ( ) ( )g x f x x= − 在 区间[1,2]上的值域为[ 1,3]− ，则 ( )g x 在区间 2021,2021− 上的值域为__________. 题型三 利用抽象函数表达式求值 【例 3】（多选）已知 f（x）为奇函数，函数 ( ) ( ) 1 1g x f x x = − + ，若 ( ) ( ) 1 1 4 2 2 f g= − =， ， 则（ ） A． ( )1 2g − = − B． ( )2 2f − = C． ( )2 1f = D． ( ) 5 2 2 g = 【跟踪训练 3】（多选）已知函数 ( )f x ， Rx 满足 ( ) ( ) ( )4 9 2f x f x f= − + ，又 ( )9f x+ 的图像关于点 ( )9,0− 对称，且 ( )1 2022f = ，则（ ） A． ( )2 0f = B． ( ) ( ) ( )44 45 46 2022f f f+ + = − C． 1 1 3 3 f x   − +    关于点 ( )1,3− 对称 D． 1 1 3 3 f x   − +    关于点 ( )3,3 对称 题型四 解抽象函数型的不等式 【例 4】已知函数 ( )f x 的定义域是 ( )0 +， ，且满足 ( ) ( ) ( )f xy f x f y= + ， 1 1 2 f   =    ， 如果对于0 x y  ，都有 ( ) ( )f x f y ，不等式 ( ) ( )3 2f x f x− + −  − 的解集为 （ ） A． ) ( 10 3 4− ， ， B． 1 1 2   − −    ， C． )4 3− −， D． )10− ， 【跟踪训练 4】已知定义域为R 的函数 ( )f x 在 )2, + 单调递减，且 ( ) ( )4 0f x f x− + = ， 则使得不等式 ( )2f x x+ + ( )2 0f x  成立的实数 x 的取值范围是（ ） A． 4 1x−   B． 1x  − 或 3x  C． 3x  − 或 1x  D． < 4x − 或 1x  武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 题型五 与抽象函数结合的对称性与周期性综合问题 【例 5】（多选）已知定义在 R 上的函数 ( )f x 满足 ( ) ( )2 2 0f x f x+ + − = ， ( ) ( ) 0f x f x+ − = ，且在区间 2,3 上单调递增.下列结论正确的是（ ） A． ( )1f − 是函数 ( )f x 的最小值 B．函数 ( )f x 的图像的一个对称中心是点 ( )6,0 C． ( ) ( )0 016 12f x f x+ = − D．函数 ( )f x 的图像的一条对称轴是直线 1x = 【跟踪训练 5】（多选）已知函数 ( )f x 定义域为R ，且 ( ) ( )f x f x− = − ， ( ) ( )2 =f x f x− ， ( )1 1f = ，则（ ） A． ( )f x 的图象关于直线 2x = 对称 B． ( )6 0f = C． ( )f x 的图象关于点 ( )2,0− 中心对称 D． ( )2 1f x− 为偶函数 题型六 求抽象函数的解析式 【例 6】已知 ( )0 1f = ，对于任意实数 x y， ，等式 ( ) ( ) ( )2 1f x y f x y x y− = − − + ，求 ( )f x 的解析式. 【跟踪训练 6】定义在实数集上的函数 ( )f x 的图象是一条连绵不断的曲线， x R， ( ) ( ) ( ) 3 26 6f x x f x x f x+ = +       ，且 ( )f x 的最大值为 1，最小值为 0． (1)求 ( )1f 与 ( )1f − 的值； (2)求 ( )f x 的解析式． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 题型七 与抽象函数有关的解答题类试题 【例 7】设函数 ( )y f x= 是定义在 ( )0 ，+ 上的减函数，并且满足 ( ) ( ) ( )f xy f x f y= + ， 1 1 2 f   =    （1）求 ( )1f 和 ( )2f 的值 （2）如果 ( )1 2 8 x f f x   + −     ，求 x 的取值范围 【跟踪训练 7】已知定义在R 上的函数 ( )f x 满足以下三个条件： ①对任意实数 ,x y，都有 ( 1) ( 1) ( ) ( )f x y f x y f x f y+ + = − + − ； ② (1) 2f = ； ③ ( )f x 在区间[0,1]上为增函数． （1）判断函数 ( )f x 的奇偶性，并加以证明； （2）求证： ( 4) ( )f x f x+ = ； （3）解不等式 ( ) 1f x  ． 课后突破训练 1．已知函数 ( )f x 的定义域为 2 2− , ，则函数 ( ) ( ) 1 3 x g x f x x − = + 的定义域为（ ） A． ( 0,1 B． 2 0, 3       C． 2 ,1 3   −    D． 2 0, 3       武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 2．对于定义在R 上的函数 ( )f x ，如果存在实数m ，使得 ( ) ( ) 1f m x f m x+  − = 对任意 实数 xR 恒成立，则称 ( )f x 为关于m 的“ 函数”．已知定义在R 上的函数 ( )f x 是关 于 0和1的“ 函数”，且当  0,1x 时 ( )f x 的值域为  1,2 ，则当  2,2x − 时 ( )f x 的值域 为（ ） A． 1 , 2 2       B． 1 ,1 2       C．  1,2 D． 1,2− 3．已知定义在 ( 1,1)− 上的函数 ( )f x 满足：当 0x  时， ( ) 0f x  ，且对任意的 , ( 1,1)x y − ， 均有 ( )[1 ( ) ( )] ( ) ( )f x y f x f y f x f y+ − = + .若 1 (ln ) 2 f x f       ，则 x 的取值范围是（ ） ( e是自然对数的底数) A． 1 e , e       B． 1 e , e       C． ( e,e) D． 1 1 , ( e e )e e ,       4．已知 ( )f x 的定义域是 R ， ( ) ( )1 1 0f x f x+ + − − = ，且 ( ) ( )1 1f x f x+ = − .当  0,1x 时， ( ) 2 1xf x = − ，则函数 ( ) ( ) ( )2 1g x x f x= − − 在区间 3,6− 上的所有零点之和为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．已知 ( )f x 是定义在 1,1− 上的奇函数，对任意的 1x ，  2 1,1x  − ，均有 ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 2 1x f x x f x x f x x f x+  + .且当  0,1x 时， ( )2 5 x f f x   =    ， ( ) ( )1 1f x f x= − − ，那么表达式 190 191 319 320 2020 2020 2020 2020 f f f f         − + − + + − + − =                （ ） A． 65 4 − B． 65− C． 131 4 − D． 131 2 − 6．（多选）已知函数 ( )f x 的定义域为 R，对任意实数 x，y满足： ( ) ( ) ( ) 1f x f y f x y+ = + + ， 且 (1) 0f = 时，当 1x  时， ( ) 0f x  .则下列选项正确的是（ ） A． (0) 1f = B． ( 1) 2f − = C． ( ) 1f x − 为奇函数 D． ( )f x 为 R上的增函数 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 7．（多选）已知函数 ( )f x 的定义域为 (1, )+ ，值域为R ，则（ ） A．函数 ( )2 1f x + 的定义域为R B．函数 ( )2 1 1f x + − 的值域为R C．函数 1x x e f e  +     的定义域和值域都是R D．函数 ( ( ))f f x 的定义域和值域都是R 8．（多选）把定义域为[0, )+ 且同时满足以下两个条件的函数 ( )f x 称为“类增函数”：（1） 对任意的 [0, )x + ，总有 ( ) 0f x  ；（2）若 0, 0x y  ，则有 ( ) ( ) ( )f x y f x f y+  + 成 立.下列说法错误的是（ ） A．若 ( )f x 为“类增函数”，则 (0) 0f = B．若 ( )f x 为“类增函数”，则 ( )f x 不一定是增函数 C．函数 ( ) 0, Q 1, Q x g x x  =   在[0, )+ 上是“类增函数” D．函数 ( ) [ ]g x x= 在[0, )+ 上不是“类增函数”（[ ]x 表示不大于 x的最大整数） 9．已知函数 ( )f x 是定义域为 (0, )+ 的单调函数，若对任意的 ,( )0x + ，都有 ( )2( ) 2f f x x− = ，则 ( 2022)f = ____________. 10．已知定义在 R 上的函数 ( )f x 在 ( , 3)− − 上是减函数，若 ( ) ( ) 3g x f x= − 是奇函数， 且 ( ) 03g = ，则满足不等式 ( ) 0xf x  的 x 的取值范围是____________． 11．已知 ( )f x 的定义域为R ， 对任意 Rx y， 都有 ( ) ( ) ( ) 1f x y f x f y+ = + − ， 当 0x  时， ( ) 1f x  ， ( )1 0f = . (1)求 ( ) ( )0 , 1f f − ； (2)证明： ( )f x 在R 上是减函数； (3)解不等式： ( ) ( )22 3 2 2 4f x x f x− − +  . 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 12．函数 ( )f x 的定义域为 R ，并满足以下条件：①对任意 xR ，有 ( ) 0f x  ；②对任 意 ,x y R ，有 ( ) [ ( )]yf xy f x= ；③ 1 1 3 f       . （1）求 (0)f 的值； （2）求证： ( )f x 在 R 上是单调增函数； （3）若 0a b c   ，且 2b ac= ，求证： ( ) ( ) 2 ( )f a f c f b+  . 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 13 抽象函数重难点专题 常考结论及公式 结论一： 函数的奇偶性和对称性的关系 （1）若 ( )f x a+ 为奇函数，则 ( )f x 关于 ( ,0)a 对称； （2）若 ( )f x a+ 为偶函数函数，则 ( )f x 关于 x a= 对称； （3）若 ( )f x + 为奇函数，则 ( )f x 关于 ( ,0) 对称； （4）若 ( )f x + 为偶函数，则 ( )f x 关于 x = 对称； 结论二： 周期性的定义及常见形式 周期性的定义：若存在一个非零常数T ，对于定义域的任意 x ，都有 ( ) ( )f x T f x+ = 恒 成立，则 ( )f x 叫做周期函数，T 叫做这个函数的周期. 常见形式：①如果 ( ) ( )f x a f x b+ = + ，则 ( )f x 的周期 | |T b a= − ； ②如果 ( ) ( )f x a f x+ = − ，则 ( )f x 的周期 | 2 |T a= ； ③如果 ( ) ( )f x a f x b c+ + + = ，则 ( )f x 的周期 2 | |T b a= − ； ④如果 ( 2 ) ( ) ( )f x a f x f x a+ + = + ，则 ( )f x 的周期 6 | |T a= ； ⑤如果 ( ) ( ) k f x a f x + = （ , 0k R k  ），则 ( )f x 的周期 2 | |T a= ； ⑥如果 1 ( ) ( ) 1 ( ) f x f x a f x + + = − ，则 ( )f x 的周期 4 | |T a= ； ⑦如果 1 ( ) ( ) 1 ( ) f x f x a f x − + = + ，则 ( )f x 的周期 2 | |T a= ； 结论三： 函数与导函数对称性和周期性的关系（高一学生可以先不学） ①若函数 ( )f x 为奇函数，则其导函数为偶函数； ②若函数 ( )f x 为偶函数，则其导函数为奇函数； ③若函数 ( )f x 关于直线 x a= 对称，则其导函数关于 ( ,0)a 中心对称； ④若函数 ( )f x 关于直线 ( , )a b 中心对称，则其导函数关于 x a= 对称； ⑤若函数 ( )f x 是以T 为周期的函数，则其导函数也是以T 为周期的函数. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 特别地，（1）三次函数 3 2( ) ( 0)f x ax bx cx d a= + + +  的图象一定是中心对称图形， 其对称中心是 ( , ( )) 3 3 b b f a a − − ； （2）多项式函数 1 1 1 0( ) n n n nf x a x a x a x a − −= + + + + 当 n 为偶数时， ( )f x 是轴对称图形，其对称轴为 1n n a x na −= − ； 当 n 为奇数时， ( )f x 是中心对称图形，其对称中心为 1 1( , ( ))n n n n a a f na na − −− − ； 结论四：常见的五类抽象函数类型 （1）线性函数型抽象函数：此类函数可类比 ( ) ( 0)f x kx b k= +  ，其形式为 ( ) ( ) ( ) ( )f x y f x f y c c R+ = + +  ； （2）指数函数型抽象函数：此类函数可类比 ( ) ( 0, 1)xf x a a a=   ，其形式为 ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = ； （3）对数函数型抽象函数：此类函数可类比 ( ) log ( 0, 1)af x x a a=   ，其形式为 ( ) ( ) ( )f xy f x f y= + ； （4）三角函数型抽象函数：此类函数可类比 ( ) tanf x x= ，其形式为 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) f x f y f x y f x f y + + = − ； （5）幂函数型抽象函数：此类函数可类比 ( )f x x= ，其形式为 ( ) ( ) ( )f xy f x f y= . 题型一 抽象函数的定义域问题 【例 1】已知函数 ( )2 4 1f x x− + − 的定义域为 0,m ，则可求得函数 ( )2 1f x− 的定义域为  0,2 ,求实数 m 的取值范围__________. 【答案】 2 4， 【详解】 函数 ( )2 1f x− 的定义域为 0,2 ， 0 2, 1 2 1 3x x   −  −  ，令 2 4 1t x x= − + − , 则 1 3t−   ，由题意知，当  0,x m 时，  1,3t − ，作出函数 2 4 1t x x= − + − 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 的图象， 如图所示，由图可得，当 0x = 或 4x = 时， 1t = − ，当 2x = 时， 3, 2 4t m=    ，时  1,3t − ， 实数m 的取值范围是2 4m  ，故答案为2 4m  . 【跟踪训练 1】已知函数 ( )2 3f x− 的定义域为 1,4− ，设函数 ( ) ( ) 2 1 2 8 7 f x F x x x − = − − ，则 函数 ( )F x 的定义域是______. 【答案】 ( 1,3 【分析】由 ( )2 3f x− 的定义域得出 5 2 3 5x− − ，进而由 2 5 1 2 5 8 7 0 x x x −  −   − + −  得出所求. 【详解】因为函数 ( )2 3f x− 的定义域为 1,4− ，所以 1 4x− ， 5 2 3 5x− − 即 2 5 1 2 5 8 7 0 x x x −  −   − + −  ，解得1 3x  故函数 ( ) ( ) 2 1 2 8 7 f x F x x x − = − − ，则函数 ( )F x 的定义域是 ( 1,3 故答案为： ( 1,3 题型二 抽象函数的值域问题 【例 2】函数 ( ) 1f x x= − 的定义域为 0,4 ，则函数 ( ) ( ) 22y f x f x= +    的值域为______． 【答案】 1 ,4 2   −    【分析】由 ( )f x 定义域可求出 ( ) ( ) 22y f x f x= +    定义域，化简后再由二次函数求出值 域即可. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 【详解】由题意可知， ( ) ( ) 22y f x f x= +    要有意义，则需 20 4 0 4 x x       ，即0 2x  ， 即函数定义域为[0,2]， 又 2 2 21 ( 1) 2 2y x x x x= − + − = − ，对称轴方程为 1 2 x = ， 所以当 1 2 x = 时， min 1 2 y = − ，当 2x = 时， max 4y = ， 所以函数值域为 1 ,4 2   −    ， 故答案为： 1 ,4 2   −    【跟踪训练 2】已知定义在 R上的函数 ( )f x 满足 ( 1) ( )f x f x+ = ，若函数 ( ) ( )g x f x x= − 在 区间[1,2]上的值域为[ 1,3]− ，则 ( )g x 在区间 2021,2021− 上的值域为__________. 【答案】 2020,2025− 【分析】根据 ( )f x 的性质可得 ( )( 1) 1g x g x+ = − ，从而可求函数在给定范围上的值域. 【详解】因为 ( ) ( ) ( )( 1) ( 1) 1 1 1g x f x x f x x g x+ = + − + = − − = − ， 故对任意的整数 k ， 当  1, 2x k k + + 时，  1,2x k−  ， 而 ( ) ( ) ( )( ) 1 1 2 2g x g x g x g x k k= − − = − − = = − − 且 ( )  1,3g x k−  − ， 故  ( ) 1 ,3g x k k − − − ， 故 ( )g x 在区间 2021,2021− 上的值域为：      | 2020 2016 | 2019 2015 | 2021 2025y y y y y y−   − −   −   ， 即为 2020,2025− . 故答案为： 2020,2025− . 题型三 利用抽象函数表达式求值 【例 3】（多选）已知 f（x）为奇函数，函数 ( ) ( ) 1 1g x f x x = − + ，若 ( ) ( ) 1 1 4 2 2 f g= − =， ， 则（ ） A． ( )1 2g − = − B． ( )2 2f − = C． ( )2 1f = D． ( ) 5 2 2 g = 【答案】AC 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 【分析】由 ( )f x 为奇函数， ( )1 4f = 得 ( )1 4f − = − ，分别令 = 1x − ， 2x = − ， 2x = 即可 求解. 【详解】因为 ( )f x 为奇函数， ( )1 4f = ，所以 ( )1 4f − = − ， 令 = 1x − ，有 ( ) ( ) 1 1 4 1 1 21 1g f x = − + = − +− − + = − ，故 A 正确， 令 2x = − ，有 ( ) ( ) 12 2 2 1 g f=− − + + ，即 ( ) 2 1 3 2 2 f= +− ，解得 ( )2 1f − = − ，故 B 错误， 所以 ( ) ( )2 2 1f f= − − = ，故 C 正确， 令 2x = ，有 ( ) ( ) 1 1 3 1 1 2 2 2 2 2 g f= − + = + = ，故 D 错误， 故选：AC. 【跟踪训练 3】（多选）已知函数 ( )f x ， Rx 满足 ( ) ( ) ( )4 9 2f x f x f= − + ，又 ( )9f x+ 的图像关于点 ( )9,0− 对称，且 ( )1 2022f = ，则（ ） A． ( )2 0f = B． ( ) ( ) ( )44 45 46 2022f f f+ + = − C． 1 1 3 3 f x   − +    关于点 ( )1,3− 对称 D． 1 1 3 3 f x   − +    关于点 ( )3,3 对称 【答案】ABD 【分析】先分析函数 ( )f x 的对称性和周期性，再逐项分析即可求解. 【详解】令 2x = ，由 ( ) ( ) ( )4 9 2f x f x f= − + 得： ( ) ( ) ( ) ( )2 2 9 2 , 2 0f f f f= + = ， ( ) ( )4f x f x = − ，即 ( )f x 的一条对称轴是 2x = ， 又 ( )9f x+ 关于 ( )9,0− 对称，令 ( ) ( )9g x f x= + ，即 ( ) ( )9 9 0g x g x− + + − − = ， ( ) ( ) ( ) ( )9 9 9 9 0f x f x f x f x− + + + − − + = + − = ， ( )f x 是奇函数； ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )8 4 8 4 4 4 4f x f x f x f x f x f x+ = − + = − − = − + = − − + =       ， ( )f x 的周期为 8； 对于 A：正确； 对于 B： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )44 45 46 4 5 6 0 1 2f f f f f f f f f+ + = + + = + − + − ( ) ( )0 1 2 2022f f= − − = − ，正确； 对于 D：令 1 1 3 t x= − ，将 3x = 代入得 0=t ，即要证明 ( ) 3f t + 关于 ( )0,3 对称， 显然由 ( ) ( )3 3 6f t f t− + + + = ，故 ( ) 3f t + 关于 ( )0,3 对称，即 1 1 3 3 f x   − +    关于 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 ( )3,3 对称，正确； 对于 C：同上，将 = 1x − 代入得 4 3 t = − ，即 4 ,3 3   −    显然不是 ( ) 3f t + 的对称点，错 误； 故选：ABD. 题型四 解抽象函数型的不等式 【例 4】已知函数 ( )f x 的定义域是 ( )0 +， ，且满足 ( ) ( ) ( )f xy f x f y= + ， 1 1 2 f   =    ， 如果对于0 x y  ，都有 ( ) ( )f x f y ，不等式 ( ) ( )3 2f x f x− + −  − 的解集为 （ ） A． ) ( 10 3 4− ， ， B． 1 1 2   − −    ， C． )4 3− −， D． )10− ， 【答案】D 【分析】由已知令 1x y= = 求得 1 0f =（） ，再求 ( )2 1f = − ，即有 ( )4 2f = − ，原不等式 ( ) ( )3 2f x f x− + −  − 即为 ( ) ( )3 4f x x f − −   ，再由单调性即可得到不等式组，解出它们即可． 【详解】由于 ( ) ( ) ( )f xy f x f y= + ， 令 1x y= = 则 ( ) ( )1 2 1f f= ，即 1 0f =（） ， 则 ( ) ( ) 1 1 1 2 2 0 2 2 f f f f     =  = + =        ， 由于 1 1 2 f   =    ，则 ( )2 1f = − ， 即有 ( ) ( )4 2 2 2f f= = − ， 由于对于0 x y  ，都有 ( ) ( )f x f y ， 则 ( )f x 在 ( )0 +， 上递减， 不等式 ( ) ( )3 2f x f x− + −  − 即为 ( ) ( )3 4f x x f − −   ． 则原不等式即为 ( ) 0 3 0 3 4 x x x x  −   −  − −  ，即有 0 3 1 4 x x x    −   ， 即有 1 0x−   ，即解集为 )10− ， ． 故选：D． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 【跟踪训练 4】已知定义域为R 的函数 ( )f x 在 )2, + 单调递减，且 ( ) ( )4 0f x f x− + = ， 则使得不等式 ( )2f x x+ + ( )2 0f x  成立的实数 x 的取值范围是（ ） A． 4 1x−   B． 1x  − 或 3x  C． 3x  − 或 1x  D． < 4x − 或 1x  【答案】D 【分析】由已知可得函数 ( )f x 的对称性，然后结合函数 ( )f x 在 )2, + 单调递减，所以 可判断 ( )f x 在定义域上的单调性，进而利用单调性可解. 【详解】解： ( ) ( )4 0f x f x− + = ，则 ( )f x 关于 ( )2,0 对称， 因为 ( )f x 在 )2, + 单调递减， ∴ ( )f x 在R 上单调递减， 又 ( ) ( )2 4 2f x f x= − − ∴ ( ) ( )2 22 0 4 2( ) ) 0(f x x f x f x x f x+ +   + − −  ， ∴ ( )2( ) 4 2f x x f x+  − ， ∴ 2 4 2 1x x x x+  −   或 < 4x − ， 故选：D. 【点睛】结论点睛：若 ( )f x 满足 ( ) ( ) 2f a x f b x c+ + − = ，则 ( )f x 关于 , 2 a b c +      中心 对称. 题型五 与抽象函数结合的对称性与周期性综合问题 【例 5】（多选）已知定义在 R 上的函数 ( )f x 满足 ( ) ( )2 2 0f x f x+ + − = ， ( ) ( ) 0f x f x+ − = ，且在区间 2,3 上单调递增.下列结论正确的是（ ） A． ( )1f − 是函数 ( )f x 的最小值 B．函数 ( )f x 的图像的一个对称中心是点 ( )6,0 C． ( ) ( )0 016 12f x f x+ = − D．函数 ( )f x 的图像的一条对称轴是直线 1x = 【答案】BC 【分析】通过题设条件结合函数的性质加以判断即可. 【详解】由函数的定义域为 R ,且 ( ) ( ) 0f x f x+ − = ，可得函数 ( )f x 为奇函数. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 又 ( ) ( )2 2 0f x f x+ + − = ，知函数 ( )f x 的图像关于点 ( )2,0 对称. 没法判断函数的对称轴，故选项D错误. ( )f x 在区间 2,3 上单调递增， ( )f x 在区间 1,2 上单调递增. 又由 ( )f x 是奇函数， ( )f x 在区间 2, 1− − 上单调递增，故 ( )1f − 不是函数 ( )f x 的最 小值. 所以选项A 错误. 由 ( ) ( )2 2 0f x f x+ + − = 可得 ( ) ( )( ) ( ) ( )2+2 2 2 4 0f x f x f x f x+ + − + = + + − = , 则 ( ) ( ) ( )4 =f x f x f x+ − − = , ( )f x\ 周期为 4. ( ) ( ) ( )+12 =f x f x f x = − − , ( ) ( ) ( ) ( )+6 = 6 +6 + 6 =0f x f x f x f x − − −， ， ( )f x 的图像的一个对称中心是点 ( )6,0 ,选项 B 正确. 由 ( ) ( )4f x f x+ = 可得 ( ) ( ) ( ) ( )16 = , 12f x f x f x f x+ − = , ( ) ( )0 016 12f x f x + = − .选项 C 正确. 故选：BC. 【跟踪训练 5】（多选）已知函数 ( )f x 定义域为R ，且 ( ) ( )f x f x− = − ， ( ) ( )2 =f x f x− ， ( )1 1f = ，则（ ） A． ( )f x 的图象关于直线 2x = 对称 B． ( )6 0f = C． ( )f x 的图象关于点 ( )2,0− 中心对称 D． ( )2 1f x− 为偶函数 【答案】BCD 【分析】利用假设 ( )f x 的图象关于直线 2x = 对称，推出矛盾的方法判断 A;根据已知可 推得函数为奇函数，进而得到函数的周期，可判断 B,C;利用偶函数的定义可判断 D. 【详解】对于 A,假设 ( )f x 的图象关于直线 2x = 对称，则 ( ) ( )2 2f x f x− = + ， 因为 ( ) ( )2 =f x f x− ，故 ( ) ( )2f x f x+ = ，即 2 为函数的一个周期， 则 ( )(1) 1 2 ( 1) 1f f f= − = − = ，由 ( ) ( )f x f x− = − ， ( )1 1f = 可得 ( 1) 1f − = − ，矛盾，故 ( )f x 的图象不关于直线 2x = 对称，A 错误； 对于 B, 函数 ( )f x 定义域为R ，且 ( ) ( )f x f x− = − ，则 (0)=0f ， 由 ( ) ( )2 =f x f x− 得 ( ) ( )2f x f x− = − − ，则 ( ) ( )2 , ( 4) ( )f x f x f x f x+ = −  + = ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 9 页 故 ( )6 (2 4) (2) (0) 0f f f f= + = = = ，故 B 正确； 对于 C,由 B 的分析可知， ( ) ( )2 2 ( 2 )f x f x f x− − = − = − − + ， 即 ( )2 ( 2 )f x f x− − = − − + ，故 ( )f x 的图象关于点 ( )2,0− 中心对称，C 正确； 对于 D，由 ( ) ( )f x f x− = − 可得 ( )2 1 (2 1f x f x− − = − + ）， 由 ( ) ( )2 =f x f x− 得 (2 1) (1 2 ) (2 1)f x f x f x+ = − = − − ， 故 ( )2 1 (2 1f x f x− − = − ），即 ( )2 1f x− 为偶函数，D 正确， 故选;BCD. 【点评】本题综合考查函数的奇偶性和周期性以及对称性，综合性较强，解答时要注意 能根据抽象函数的性质进行相应的代换，推出函数的周期，解答的关键是明确如何说明 函数具有对称性和周期性等. 题型六 求抽象函数的解析式 【例 6】已知 ( )0 1f = ，对于任意实数 x y， ，等式 ( ) ( ) ( )2 1f x y f x y x y− = − − + ，求 ( )f x 的解析式. 【答案】 ( ) 2 1f x x x= + + 【分析】对恒等式 ( ) ( ) ( )2 1f x y f x y x y− = − − + 利用赋值法，赋值代入求出 ( )f x 的解 析式. 【详解】对于任意实数 x y、 ，等式 ( ) ( ) ( )2 1f x y f x y x y− = − − + 恒成立， 不妨令 0x = ，则有 ( ) ( ) ( ) ( ) 20 1 1 1 1f y f y y y y y y− = − − + = + − = − + 再令 y x− = ，得函数解析式为： ( ) 2 1.f x x x= + + 【跟踪训练 6】定义在实数集上的函数 ( )f x 的图象是一条连绵不断的曲线， x R， ( ) ( ) ( ) 3 26 6f x x f x x f x+ = +       ，且 ( )f x 的最大值为 1，最小值为 0． (1)求 ( )1f 与 ( )1f − 的值； (2)求 ( )f x 的解析式． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 10 页 【答案】(1) ( )1 1f = ， ( )1 1f − = (2) ( ) (   ) ( )  ) 3 3 1, ,1 1, , 1,0 , 0,1 x f x x x x x    −  +  = −  −   【分析】（1）利用赋值法，令 1x = ，得到 ( )1 1f = ；令 = 1x − ，得到 ( )1 1f − = ； （2）先由 ( ) ( ) ( ) 23 6 6f x x f x xx f + = −    得到 ( ) ( ) ( ) 3 3 1 0f x x f x x f x   − + − =      ， 根据 ( )f x 的最大值为 1，最小值为 0 及 图象连续，写出 ( )f x 的解析式. （1）令 1x = ，则 ( ) ( ) ( ) 3 21 1 1 1f f f+ = + ，得 ( ) ( )( ) ( ) 2 1 1 1 1 1f f f− = − ∴ ( )( ) ( )( ) 2 1 1 1 1 0 0f f f x+ − = ，（ ） ∴ ( )1 1f = 令 = 1x − ，则 ( ) ( ) ( )3 21 1 1 1f f f− + = − + − ， 同理 ( )1 1f − = ； （2）由 ( ) ( ) ( ) 23 6 6f x x f x xx f + = −    得 ( ) ( )2 6 1 0f x x f x − − =    ，即 ( ) ( ) ( ) 3 3 1 0f x x f x x f x   − + − =      这说明 x R， ( )f x 至少与 1， 3x ， 3x− 其中之一相等 ∵ ( )f x 的最大值为 1，最小值为 0 ∴在区间 ( ,1− 和 )1,+ 上，一定有 ( ) 1f x = ( ) 0f x = 只能在 0x = 处取得，因此 ( )0 0f = 又∵函数 ( )f x 的图象是一条连绵不断的曲线 ∴ ( )f x 的解析式为 ( ) (   ) ( )  ) 3 3 1, ,1 1, , 1,0 , 0,1 x f x x x x x    −  +  = −  −   题型七 与抽象函数有关的解答题类试题 【例 7】设函数 ( )y f x= 是定义在 ( )0 ，+ 上的减函数，并且满足 ( ) ( ) ( )f xy f x f y= + ， 1 1 2 f   =    （1）求 ( )1f 和 ( )2f 的值 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 11 页 （2）如果 ( )1 2 8 x f f x   + −     ，求 x 的取值范围 【答案】（1） ( )1 0f = ； ( )2 1f = − （2）( )2,+? . 【分析】（1）根据 ( ) ( ) ( )f xy f x f y= + 对 x 、 y 进行赋值即可得到答案； （2）利用赋值法得 1 2 4 f   =    ，然后结合 ( ) ( ) ( )f xy f x f y= + 转化已知不等式为 2 1 8 4 x x f f  −          ，最后根据单调性求出所求. 【详解】解：（1）令 1x y= = ，则 ( ) ( ) ( )1 1 1f f f= + ，∴ ( )1 0f = 又 ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 2 f f f f     =  = +        即： ( )0 2 1f= + ∴ ( )2 1f = − （2） 1 1 2 f   =    ∴ 1 1 1 1 1 2 4 2 2 2 2 f f f f         =  = + =                ∴ ( )1 2 8 x f f x   + −     ，又由 2 1 8 4 x x f f  −          ，又由 ( )y f x= 是定义在( )0,+? 上的减 函数，得： 2 1 8 4 1 0 0 8 x x x x  −   −      ，解得： 2x  . ∴ x 的取值范围为( )2,+? . 【点睛】本题主要考查利用赋值法求解抽象函数的函数值，利用单调性求解不等式，属 于函数知识的综合应用，属于中档题. 【跟踪训练 7】已知定义在R 上的函数 ( )f x 满足以下三个条件： ①对任意实数 ,x y，都有 ( 1) ( 1) ( ) ( )f x y f x y f x f y+ + = − + − ； ② (1) 2f = ； ③ ( )f x 在区间[0,1]上为增函数． （1）判断函数 ( )f x 的奇偶性，并加以证明； （2）求证： ( 4) ( )f x f x+ = ； （3）解不等式 ( ) 1f x  ． 【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3） 1 5 | 4 4 , 3 3 x k x k k Z   +   +     【分析】（1）通过赋值，令 1, 1x y= − = ，求 ( )1f − ，再赋值 = 1x − ，求得函数是奇函数； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 12 页 （2）同样是赋值令 1y = ， ( ) ( )2f x f x+ = − ，再赋值证明； （3）根据奇函数和周期性可得函数关于 1x = 对称，并且在 1,1− 单调递增，在 1,3 单 调递减，再利用赋值 1 3 x y= = ，可得 1 5 1 3 3 f f     = =        ，再利用函数性质解不等式. 【详解】（1）令 1, 1x y= − = ， ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1f f f f= − − − ， ( )1 2f = ， ( )1 2f − = − ， 令 = 1x − ，代入得 ( ) ( ) ( ) ( )1f y f y f f y= − − − ， ( ) ( ) ( )2f y f y f y = − + ， ( ) ( )f y f y− = − ， Ry ， 函数是奇函数. （2）令 1y = ， ( ) ( ) ( ) ( )2 1f x f x f f x+ = − ， ( )1 2f = ， ( ) ( )2f x f x + = − ， ( ) ( ) ( ) ( )4 2 2 2f x f x f x f x + = + + = − + = ， ( ) ( )4f x f x + = . （3）因为函数是 R 上奇函数，所以满足 ( ) ( )f x f x− = − ， ( )0 0f = 又 ( ) ( )2f x f x+ = − ， ( ) ( )2f x f x + = − ，函数关于 1x = 对称， 因为函数在 0,1 单调递增，并且是奇函数， ( )f x 在 1,1− 上也是单调递增， ( )f x 在 1,3 上单调递减， 令 1 3 x y= = ，代入可得 ( ) 2 5 1 1 3 3 f f f     = −        ， 函数关于 1x = 对称， 1 5 3 3 f f      =        ， 2 1 1 2 0 3 3 f f      + − =        ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 13 页 解得： 1 2 3 f   = −    或 1 1 3 f   =    ， ( )f x 在 0,1 单调递增，且 ( )0 0f = ， 1 2 3 f   = −    （舍） 1 1 3 f    =    ， 当  1 3,x − 时， ( ) 1 5 1 3 3 f x x    ， 又 ( )f x 是周期为 4 的函数， 不等式的解集是 1 5 | 4 4 , 3 3 x k x k k Z   +   +     . 【点睛】本题考查判断抽象函数的奇偶性，周期性，以及根据函数的性质解抽象不等式， 意在考查转化与化归，以及逻辑推理和证明，属于中档题型，抽象函数判断函数性质时， 一般都采用赋值法，利用赋特征值，利用函数性质的定义证明. 课后突破训练 1．已知函数 ( )f x 的定义域为 2 2− , ，则函数 ( ) ( ) 1 3 x g x f x x − = + 的定义域为（ ） A． ( 0,1 B． 2 0, 3       C． 2 ,1 3   −    D． 2 0, 3       【答案】D 【分析】根据题意列出不等式组，求解即可． 【详解】要使 ( )g x 有意义，则 2 3 2 1 0 x x x −  −   ，即 ( ) 2 3 2 1 0 0 x x x x −  −   ，解得 2 0 3 x ， 所以函数 ( )g x 的定义域为 2 0, 3       ． 故选：D． 2．对于定义在R 上的函数 ( )f x ，如果存在实数m ，使得 ( ) ( ) 1f m x f m x+  − = 对任意 实数 xR 恒成立，则称 ( )f x 为关于m 的“ 函数”．已知定义在R 上的函数 ( )f x 是关 于 0和1的“ 函数”，且当  0,1x 时 ( )f x 的值域为  1,2 ，则当  2,2x − 时 ( )f x 的值域 为（ ） A． 1 , 2 2       B． 1 ,1 2       C．  1,2 D． 1,2− 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 14 页 【答案】A 【分析】由关于 0 和1的“ 函数”的定义可得 ( ) ( ) 1f x f x − = ， ( ) ( )2f x f x+ = ，由此可 知 ( )f x 是周期为2的周期函数；利用  0,1x 时 ( )f x 的值域，可推导得到  1,0x − 、  1,2x 和  2, 1x − − 的值域，综合可得最终结果. 【详解】 ( )f x 是关于 0 和1的“ 函数”， ( ) ( ) 1f x f x  − = ， ( ) ( )1 1 1f x f x+ − = ， 由 ( ) ( )1 1 1f x f x+ − = 得： ( ) ( )2 1f x f x+ − = ， ( ) ( )2f x f x + = ， ( )f x\ 是周期为2的周期函数； 当  1,0x − 时，  0,1x−  ，则 ( ) ( ) 1 1 ,1 2 f x f x   =   −   ； 当  1,2x 时，  2 0,1x−  ，则 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ,1 2 2 f x f x f x   = = =  − −   ； 当  2, 1x − − 时，  1,2x−  ，则 ( ) ( )   1 1,2f x f x =  − ； 当  2,2x − 时， ( )f x 的值域为 1 , 2 2       . 故选：A. 3．已知定义在 ( 1,1)− 上的函数 ( )f x 满足：当 0x  时， ( ) 0f x  ，且对任意的 , ( 1,1)x y − ， 均有 ( )[1 ( ) ( )] ( ) ( )f x y f x f y f x f y+ − = + .若 1 (ln ) 2 f x f       ，则 x 的取值范围是（ ） ( e是自然对数的底数) A． 1 e , e       B． 1 e , e       C． ( e,e) D． 1 1 , ( e e )e e ,       【答案】B 【解析】先讨论 ( )f x 在 ( 1,1)− 上的单调性，从而得到 1 1 ln 2 x−   ，求出其解后可得正确 的选项. 【详解】令 1 , 0, 2 x y= = 则 1 0 2 f       且 1 1 1 ( )[1 ( ) (0)] ( ) (0) 2 2 2 f f f f f− = + ， 整理得到 2 1( ) (0) (0) 2 f f f− = ， 若 ( )0 0f  ，则 2 1 ( ) 1 2 f− = ，这与 2 1( ) 0 2 f−  ，矛盾，所以 ( )0 0f = ， 令 y x= − ，则 (0)[1 ( ) ( )] ( ) ( ) 0f f x f x f x f x− − = + − = 即 ( ) ( )f x f x− = − ， 故 ( )f x 为 ( 1,1)− 的奇函数， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 15 页 设 1 20 1x x< < < ，故 2 1 2 1 2 1( )[1 ( ) ( )] ( ) ( )f x x f x f x f x f x− − − = + − ， 即 2 1 2 1 2 1( )[1 ( ) ( )] ( ) ( )f x x f x f x f x f x− + = − ， 因为 2 10 1x x −  ，故 2 1( ) 0f x x−  ，而 2 1( ) 0, ( ) 0f x f x  ， 故 2 11 ( ) ( ) 0f x f x+  即 2 1( ) ( ) 0f x f x−  ， 所以故 ( )f x 为 ( 1,1)− 的增函数， 因为 1 (ln ) 2 f x f       ，故 1 1 ln 2 x−   即 1 x e e   ， 故选：B. 【点睛】方法点睛：抽象函数的性质，一般依据已有的运算性质来推理，对于奇偶性的 探究，需采用赋值法来求 ( )0f 的值，这样才能实现 ( )f x 与 ( )f x− 的联系，而单调性的 探究，则需根据定义来证明. 4．已知 ( )f x 的定义域是 R ， ( ) ( )1 1 0f x f x+ + − − = ，且 ( ) ( )1 1f x f x+ = − .当  0,1x 时， ( ) 2 1xf x = − ，则函数 ( ) ( ) ( )2 1g x x f x= − − 在区间 3,6− 上的所有零点之和为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据题设递推关系易知 ( )f x 为奇函数且周期为 4，进而求出 3 2x− −≤ ≤ 、 2 1x−   − 、 1 0x− ≤ ≤ 上解析式，画出一个周期的图象，进而画出 3,6− 上图象，并 将题设零点问题转化为 ( )f x 与 1 2 y x = − 的交点问题，应用数形结合并结合对称性求所有 零点的和. 【详解】由 ( ) ( )1 1 0f x f x+ + − − = ，易知 ( )f x 为奇函数， ∴ 1 0x− ≤ ≤ ，即0 1x −  时， ( ) ( ) (2 1) 1 2x xf x f x − −= − − = − − = − ， 又 ( ) ( )1 1f x f x+ = − ，即 ( ) ( )1 1 0f x f x− + − − = ，则 (2 ) ( )f x f x+ = − ， ∴ ( )4 ( )f x f x+ = ，易知 ( )f x 的周期为 4， 当 3 2x− −≤ ≤ ，即 1 2 0x−  +  时，则 2( ) (2 ) (1 2 )xf x f x − −= − + = − − ， 当 2 1x−   − ，即0 2 1x +  时，则 2( ) (2 ) 1 2 xf x f x += − + = − ， 综上，可得 3,6− 上 ( )f x 的图象如下： 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 16 页 ( ) ( ) ( )2 1g x x f x= − − 在 3,6− 上的零点，即为 ( )f x 与 1 2 y x = − 的交点横坐标， 如上图知：共四个交点，且四个交点分别关于 ( )2,0 对称，即所有零点之和为4 4 8+ = . 故选：D 【点睛】关键点点睛：根据题设求 ( )f x 的奇偶性及周期，进而画出其函数图象，再将问 题转化为函数的交点问题，利用对称性求零点的和. 5．已知 ( )f x 是定义在 1,1− 上的奇函数，对任意的 1x ，  2 1,1x  − ，均有 ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 2 1x f x x f x x f x x f x+  + .且当  0,1x 时， ( )2 5 x f f x   =    ， ( ) ( )1 1f x f x= − − ，那么表达式 190 191 319 320 2020 2020 2020 2020 f f f f         − + − + + − + − =                （ ） A． 65 4 − B． 65− C． 131 4 − D． 131 2 − 【答案】C 【分析】由 ( )f x 是定义在[ 1− ，1]上的奇函数，且 ( ) 1 (1 )f x f x= − − ，推出 ( )1f ， 1 2 f       ， 再结合当 (0,1)x 时， 2 ( ) ( ) 5 x f f x= ，推出 1 ( ) 5 f ， 1 ( ) 25 f ， 4 ( ) 5 f ， 4 ( ) 25 f ，由题意可得 x 对 任意的 1x ， 2 [ 1x  − ，1]，均有 2 1 2 1( )( ( ) ( )) 0x x f x f x− − ，进而得 190 319 320 1 ( ) ( ) ( ) 2020 2020 2020 4 f f f== = = ，再由奇函数的性质 ( ) ( )f x f x− = − 算出最终结果． 【详解】解：由 ( ) ( )1 1f x f x= − − ，令 0x = ，得 ( )1 1f = ，令 1 2 x = ，则 1 1 2 2 f   =    ﹐ 当  0,1x 时， ( )2 5 x f f x   =    ， ( ) 1 5 2 x f f x    =    ， 即 ( ) 1 1 1 1 5 2 2 f f   = =    ， 1 1 1 1 25 2 5 4 f f     = =        ， 且 4 1 1 1 5 5 2 f f     = − =        ， 4 1 4 1 25 2 5 4 f f     = =        ， 1 190 320 4 25 2020 2020 25    ， 190 319 320 1 2020 2020 2020 4 f f f       = = = =            武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 17 页 对任意的 1x ，  2 1,1x  − ，均有 ( ) ( ) ( )( )2 1 2 1 0x x f x f x− −  ， 190 1 2020 4 f    =    ， 同理 190 319 320 1 2020 2020 2020 4 f f f       = = = =            . ( )f x 是奇函数， 190 191 319 320 2020 2020 2020 2020 f f f f          − + − + + − + −                190 191 319 320 131 2020 2020 2020 2020 4 f f f f          = − + + + + = −                  ， 故选：C 【点睛】本题考查函数的奇偶性，函数值计算，属于中档题． 6．（多选）已知函数 ( )f x 的定义域为 R，对任意实数 x，y满足： ( ) ( ) ( ) 1f x f y f x y+ = + + ， 且 (1) 0f = 时，当 1x  时， ( ) 0f x  .则下列选项正确的是（ ） A． (0) 1f = B． ( 1) 2f − = C． ( ) 1f x − 为奇函数 D． ( )f x 为 R 上的增函数 【答案】ABC 【分析】由抽象函数关系式分析 ( )f x 性质，对选项逐一判断 【详解】对于 A，令 0x y= = ，得 (0) 1f = ，故 A 正确 对于 B，令 1, 1x y= − = ，得 ( 1) 2f − = ，故 B 正确 对于 C，令 y x= − ，得 ( ) ( ) 2f x f x+ − = ，故 ( ) 1 ( ) 1 0f x f x− + − − = ， ( ) 1f x − 为奇函数， 故 C 正确 对于 D， ( )0) (1f f ，故 ( )f x 不是 R上的增函数，D 错误 故选：ABC 7．（多选）已知函数 ( )f x 的定义域为 (1, )+ ，值域为R ，则（ ） A．函数 ( )2 1f x + 的定义域为R B．函数 ( )2 1 1f x + − 的值域为R C．函数 1x x e f e  +     的定义域和值域都是R D．函数 ( ( ))f f x 的定义域和值域都是R 【答案】BC 【解析】根据抽象函数的定义域即可判断选项 A，根据 ( )f x 值域为R ，即可判断选项 B，令 1 1 x x e e +  ， 求 x 得范围即为定义域，由 1 1 x x e e +  可得值域，即可判断选项 C，由 ( ( ))f f x 的值域为R 可得 ( ) 1f x  ，但无法判断定义域，可判断选项 D，进而可得正确选项. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 18 页 【详解】对于选项 A：令 2 1 1x +  可得 0x  ，所以函数 ( )2 1f x + 的定义域为 | 0x x  ， 故选项 A 不正确； 对于选项 B：因为 ( )f x 值域为R ， 2 1 1x +  ，所以 ( )2 1f x + 的值域为R ，可得函数 ( )2 1 1f x + − 的值域为R ，故选项 B 正确； 对于选项 C：令 1 1 x x e e +  ，因为e 0x  可得1 0 恒成立，所以函数 1x x e f e  +     的定义域为 R ，因为 1 1 x x e e +  ，所以函数 1x x e f e  +     的值域为R ，故选项 C 正确； 对于选项D：若函数 ( ( ))f f x 的值域是R ，则 ( ) 1f x  ，此时无法判断其定义域是否为 R ， 故选项 D 不正确， 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是已知 ( )f g x  的定义域，可以先求 ( )f x 的 定义域，再由 ( )f x 的定义域求 ( )f h x  的定义域. 8．（多选）把定义域为[0, )+ 且同时满足以下两个条件的函数 ( )f x 称为“类增函数”：（1） 对任意的 [0, )x + ，总有 ( ) 0f x  ；（2）若 0, 0x y  ，则有 ( ) ( ) ( )f x y f x f y+  + 成 立.下列说法错误的是（ ） A．若 ( )f x 为“类增函数”，则 (0) 0f = B．若 ( )f x 为“类增函数”，则 ( )f x 不一定是增函数 C．函数 ( ) 0, Q 1, Q x g x x  =   在[0, )+ 上是“类增函数” D．函数 ( ) [ ]g x x= 在[0, )+ 上不是“类增函数”（[ ]x 表示不大于 x的最大整数） 【答案】CD 【分析】对 A 选项通过条件及赋值 0x y= = 得到 (0) 0f = ，对 B 通过构造函数 ( ) 0, [0, )f x x =  + 即可判断，对 C 举反例， 2, 3x y= = 通过计算即可判断，对 D 选 项，显然取整函数满足条件（1），通过设字母，将 ,x y分整数与小数部分即可证明 [ ] [ ] [ ]x y x y+  + ，即可判断. 【详解】对于 A，若函数 ( )f x 为“类增函数”，则由条件（1）得 (0) 0f  .由条件（2）， 得当 0x y= = 时， (0) (0) (0) (0) 0f f f f +   ，所以 (0) 0f = ，故 A 说法正确； 对于 B，若 ( ) 0, [0, )f x x =  + ，则 ( )f x 满足条件（1）（2），但 ( )f x 不是增函数，故 B 说法正确； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 19 页 对于 C，当 2, 3x y= = 时， ( 2) 1, ( 3) 1, ( 2 3) 1, ( 2 3) ( 2) ( 3)g g g g g g= = + = +  + ，不满足条件（2），所以 不是“类增函数”，故 C 说法错误； 对于 D， ( ) [ ]g x x= 在[0, )+ 上的最小值是 0，显然符合条件（1）.设[0, )+ 上的每一个 数均由整数部分和小数部分构成，设 x的整数部分是 m，小数部分是 n，即 x m n= + ， 则[ ]x m= .设 y的整数部分是 a，小数部分是 b，即 y a b= + ，则[ ]y a= .当 1n b+  时， [ ]x y m a+ = + ，当 1n b+  时，[ ] 1x y m a+ = + + ，所以[ ] [ ] [ ]x y x y+  + ，所以函数 ( ) [ ]g x x= 满足条件（2），所以 ( ) [ ]g x x= 在[0, )+ 上是“类增函数”，故 D 说法错误. 故选：CD. 【点睛】关键点睛：本题为新定义函数，对于 A,B 选项通过合理赋值即可求出 (0) 0f = ， 而从 B,C 选项的判断可以给我们一些启示，对于一些新定义问题，我们可以通过举一些 正例或是反例来判断选项，本题 C 选项和 D 选项融合了另外两个常考的新定义函数， 狄利克雷函数与高斯取整函数，而 C 选项我们通过举例两个无理数即可反驳，D 选项的 难点在于其证明，其关键点在于我们需要设出数的正数部分与小数部分，结合分类讨论 这样得到[ ]x y+ 与 x ， y 的关系. 9．已知函数 ( )f x 是定义域为 (0, )+ 的单调函数，若对任意的 ,( )0x + ，都有 ( )2( ) 2f f x x− = ，则 ( 2022)f = ____________. 【答案】2023 【分析】由 ( )f x 是定义域为 (0, )+ 的单调函数及 ( )2( ) 2f f x x− = 知 2( )f x x− 为常数， 设 2( )f x x m− = ，可得 ( ) 2f m = ，从而可求得m 值确定 ( )f x 的解析式即可. 【详解】∵对任意 ,( )0x + ，均有 ( )2( ) 2f f x x− = ，且 ( )f x 在 (0, )+ 上单调， 所以 2( )f x x− 为常数， ∴设 2( )f x x m− = ， 2( )f x x m= + ，m 为常数， 函数 ( )f x 是定义域为 (0, )+ ，故 0m  又∵ 2( ) 2 2 1f m m m m=  + =  = 或 2m = − （舍）， ∴ 2( ) 1f x x= + ， ( 2022) 2023f = 故答案为：2023. 10．已知定义在 R 上的函数 ( )f x 在 ( , 3)− − 上是减函数，若 ( ) ( ) 3g x f x= − 是奇函数， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 20 页 且 ( ) 03g = ，则满足不等式 ( ) 0xf x  的 x 的取值范围是____________． 【答案】   3( ), 6 ,− −  − + 【分析】由已知条件，可得 ( )g x 是奇函数，则 ( )f x 关于 ( 3,0)− 对称，可得 ( )f x 在 ( , 3)− − 与 ( 3, )− + 上是减函数，且 ( ) ( ) 06 0f f− = = ， ( 3) 0f − = ，画出 ( )f x 对应的函 数草图，可得不等式 ( ) 0xf x  的 x 的取值范围. 【详解】解：将 ( )f x 向右平移 3 个单位，可得到 ( )3f x− ， 由 ( ) ( ) 3g x f x= − 是奇函数，可得 ( )g x 关于原点对称， 则 ( )f x 关于 ( 3,0)− 对称，且 ( ) 00 ( 3)g f= − = ， 由 ( )f x 在 ( , 3)− − 上是减函数，可得 ( )f x 在 ( 3, )− + 上也是减函数， 由 ( ) 03g = ，可得 ( ) ( ) 03 3g g= − = ， 故可得： ( ) ( ) 06 0f f− = = ， 可得 ( )f x 对应的函数草图如图， 可得 ( ) 0xf x  的解集为：   3( ), 6 ,− −  − + ， 故答案为：   3( ), 6 ,− −  − + . 【点睛】本题主要考查函数单调性与奇偶性的综合，注意数形结合解题，属于难题. 11．已知 ( )f x 的定义域为R ， 对任意 Rx y， 都有 ( ) ( ) ( ) 1f x y f x f y+ = + − ， 当 0x  时， ( ) 1f x  ， ( )1 0f = . (1)求 ( ) ( )0 , 1f f − ； (2)证明： ( )f x 在R 上是减函数； (3)解不等式： ( ) ( )22 3 2 2 4f x x f x− − +  . 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 21 页 【答案】(1) ( )0 1f = ， ( )1 2f − = (2)证明见解析 (3) 1 1 2 x x   −      【分析】（1）赋值法求解出 ( )0 1f = ， ( )1 2f − = ； （2）令 1 2 1,x x y x x= = − ，且 1 2x x ，结合当 0x  时， ( ) 1f x  ，从而得到 ( ) ( ) ( )2 1 2 1 1 0f x f x f x x− = − −  ，故 ( ) ( )2 1f x f x ，所以 ( )f x 在R 上是减函数； （3）赋值法得到 ( )4 3f = − ， ( ) 45f = − ，对 ( ) ( )22 3 2 2 4f x x f x− − +  变形得到 ( ) ( )22 3 3 4f x x f− +  − = ，结合第二问中证明的函数的单调性，得到 22 3 4x x− +  ， 解不等式求出解集. 【详解】（1） ( ) ( ) ( ) 1f x y f x f y+ = + − ，令 0x y= = ，则 ( ) ( )0 2 0 1f f= − ， 解得： ( )0 1f = ， 令 1, 1x y= = − ，则 ( ) ( ) ( )0 1 1 1f f f= + − − ， 因为 ( )1 0f = ，故 ( )1 0 11f= + − − ，解得： ( )1 2f − = ； （2）证明：令 1 2 1,x x y x x= = − ，且 1 2x x ，则 ( ) ( ) ( )1 11 22 1 1f x xx x x f f x− = −+ − − ， 因为当 0x  时， ( ) 1f x  ，所以 ( ) ( ) ( )2 1 2 1 1 0f x f x f x x− = − −  ， 故 ( ) ( )2 1f x f x ，所以 ( )f x 在R 上是减函数； （3）令 1x y= = ，则 ( ) ( ) 12 12 1f f= − = − ， 令 1, 2x y= = 得： ( ) ( ) ( )2 1 1 1 23 1f f f= + − = − − = − ， 令 2x y= = 得： ( ) ( )2 2 1 34f f= − = − ， 令 2, 3x y= = ，则 ( ) ( ) ( ) 15 2 1 2 1 43f f f= + − = − − − = − ， 故 ( ) ( )22 3 2 2 4f x x f x− − +  变形为 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )22 3 2 4 4 5f x x f x f x f x f f x− − +  − = − − + = − + ， 故 ( ) ( )( ) ( )22 3 2 1 5 1 5 1f x x x f x f x− − + +  − + + = − + − ， 整理得： ( ) ( )22 3 2 5 2f x x x f x− − + + +  − 所以 ( )22 3 2 5 1 2f x x x x− − + + + +  − ， 即 ( ) ( )22 3 3 4f x x f− +  − = ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 22 页 由（2）得： ( )f x 在R 上是减函数， 所以 22 3 4x x− +  ，解得： 1 1 2 x−   ， 不等式的解集为 1 1 2 x x   −      . 12．函数 ( )f x 的定义域为 R ，并满足以下条件：①对任意 xR ，有 ( ) 0f x  ；②对任 意 ,x y R ，有 ( ) [ ( )]yf xy f x= ；③ 1 1 3 f       . （1）求 (0)f 的值； （2）求证： ( )f x 在 R 上是单调增函数； （3）若 0a b c   ，且 2b ac= ，求证： ( ) ( ) 2 ( )f a f c f b+  . 【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）根据题中 ( ) [ ( )]yf xy f x= ， ( ) 0f x  ，赋值 0, 2x y= = ，得到 (0)f 的值； （2）利用单调性的定义，结合赋值法，证明函数的单调性； （3）赋值得 ( ) [ ( )] a b a f a f b f b b   =  =    ， ( ) [ ( )] c b c f c f b f b b   =  =    ，再用均值不等式可证 明得 ( ) ( ) 2 ( )f a f c f b+  . 【详解】（1）令 0, 2x y= = 得： 2(0) [ (0)]f f= ，因为 (0) 0f  ，所以 (0) 1f = ； （2）任取 1 2, ( , )x x  − + 且 1 2x x ，设 1 1 2 2 1 1 , 3 3 x p x p= = ，则 1 2p p ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 3 3 3 3 p p f x f x f p f p f f            − = − = −                      因为 1 2 1 1, 3 f p p        ，所以 ( ) ( )1 2f x f x ， 所以 ( )f x 在 R 上是单调增函数； （3）由（1）（2）知 ( ) (0) 1f b f = ，因为 ( ) 1f b  又 ( ) [ ( )] a b a f a f b f b b   =  =    ， ( ) [ ( )] c b c f c f b f b b   =  =    所以 2 ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] 2 [ ( )] 2 [ ( )] 2 ( ) a c a c ac b b b bf a f c f b f b f b f b f b + + = +   = 所以 ( ) ( ) 2 ( )f a f c f b+  【点睛】本题考查了抽象函数的理解与应用，利用定义证明函数的单调性，赋值法的应 用，基本不等式证明不等式，考查了学生分析理解能力，逻辑推理能力.