精品解析：河南省驻马店市第二初级中学2024－2025学年九年级下学期第三次质量检测数学试题

驻马店市二中2024-2025学年下学期九年级第三次质量检测 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数在数轴上对应的点，离原点最近的是（　　） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查绝对值的几何意义，绝对值就是一个数在数轴上到原点的距离，求出每一个数的绝对值就是到原点的距离．根据到原点距离最近的点就是绝对值最小的数，对每个数作出判断，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴到原点的距离是3个长度单位， ∵， ∴到原点的距离是1个长度单位， ∵， ∴到原点的距离是个长度单位， ∵， ∴2到原点的距离是2个长度单位， ∴到原点的距离最近的是． 故选：C． 2. 2025年铁路春运由1月14日开始至2月22日结束，全国铁路运送旅客约有亿人次．数字亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的运用，正确确定的值是关键． 科学记数法的表示形式为，确定n值的方法：当原数的绝对值大于等于10时，把原数变为a时，小数点向左移动位数即为n的值；当原数的绝对值小于1时，把原数变为a时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值；由此即可求解． 【详解】解：亿， 故选：C ． 3. 为了解某校学生每天体育活动的情况，下列抽样调查的方式中最合适的是（　　） A. 随机抽取某一个班的全体同学 B. 每个年级随机抽取15名女生 C. 课外活动时间，在操场上随机抽取20名同学 D. 将全校学生姓名输入电脑程序，由电脑随机抽取150名学生 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查的可靠性．应用抽样调查的可靠性进行判定即可出答案． 【详解】解：A、随机抽取某一个班的全体学生，没有涉及其他班级的学生，不能很好地反映总体的情况，故本选项不符合题意； B、每个年级随机抽取15名女生，没有抽取男生，不能很好地反映总体的情况，故本选项不符合题意； C、课外活动时间，在操场上随机抽取20名学生，没有抽取到其他场所的学生，不能很好地反映总体的情况，故本选项不符合题意； D、将全校学生姓名输入程序，由电脑随机抽取150名学生，能很好地反映总体的情况，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、积的乘方、单项式乘多项式、完全平方公式，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 5. 将三角尺按如图位置摆放，顶点A落在直线上，顶点B落在直线上，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，有关三角板中角度的计算． 由平行线的性质可求出，又由三角板中，根据角的和差即可求出． 【详解】解：如图，∵ ∴， ∵在三角板中，， ∴． 故选：B 6. 铜砝码作为古代计量工具，见证历史的变迁和计量技术的发展．如图是一个清代铜砝码的示意图及其俯视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，左视图是从左面看到的图形，据此求解即可． 【详解】解：它的左视图为 故选：B． 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ） A B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，掌握一元二次方程根的三种情况，，方程有两个不等实根，，方程有两个相等实根，，方程没有实数根是解题的关键．根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到且，求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴且， 故选：C． 8. 如图，射线与相切于点B，经过圆心O的射线与相交于点D，C，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．连接，如图，利用切线的性质得，再利用互余得到，然后根据三角形外角性质和等腰三角形的性质计算的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵边与相切，切点为B， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9. 一次函数，函数y随x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与其系数之间的关系，对于一次函数（k为常数，），当的图象过一、二、三象限；当的图象过一、三、四象限；当的图象过一、二、四象限；当的图象过二、三、四象限；当时y随x的增大而增大，当时y随x的增大而增减小，据此可得，解之即可． 【详解】解：∵一次函数，函数y随x的增大而减小，且其图象不经过第一象限， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图①，点A，B是上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段的长度是．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是（　　） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】从图2看，当时，，即此时A、O、P三点共线，则圆的半径为，当时，由勾股定理逆定理可知，，则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，此时，走过的角度为，可求出点P运动的速度，当时，，即是等边三角形，进而求解． 【详解】解：从图②看，当时，，即此时A、O、P三点共线， 则圆的半径为， 当时，， ∴是直角三角形，且， 则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，如图所示， 此时，走过的角度为，则走过的弧长为， ∴点P的运动速度是 ， 当时，，即是等边三角形， ∴， ∴， 此时点P走过的弧长为：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由于分式的分母不能为0，因此x-5≠0，解得x． 【详解】解：∵分式有意义， ∴x-5≠0，即x≠5． 故答案为x≠5． 【点睛】本题主要考查分式有意义的条件：分式有意义，分母不能为0． 12. 学校组织同学们开展“青春志愿行，环保进社区”志愿者活动．明明和亮亮计划分别从四个社区中随机选择一个社区，利用周末参加志愿者活动．两人选择的社区相同的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用树状图法或列表法求解概率，正确根据题意列出表格或画出树状图是解题的关键．由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中两人选择社区相同的结果数有4种，利用概率公式进行解答即可． 【详解】解：列表如下： A B C D A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D） 由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中两人选择社区相同的结果数有4种， ∴两人选择的社区相同的概率为， 故答案为：． 13. 不等式组无解，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确理解大大小小找不到．首先解出第一个不等式的解集，再根据大大小小找不到确定的取值范围． 【详解】解： ， 解①得：， 解得：， 不等式组无解， ， 故答案为：． 14. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格线的交点称为格点，点O和点A都为格点．以点O为圆心，长为半径画弧，交图中的网格线于点B，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，得，在中，结合，计算得到，利用弧长公式计算即可． 【详解】如图，根据题意，得，中， 因， 所以， 所以的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，弧长公式，熟练掌握三角函数值，弧长公式是解题的关键． 15. 如图，已知的半径长为2，为直径，点是一动点，，连结，以为斜边，在上方构造直角三角形且满足，．求的最大值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了圆的相关概念，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识点，难度较大，解题的关键是构造相似三角形． 以为斜边构造直角三角形且满足，，证明，得出进而得出，进而根据点到圆上的距离最值问题，即可求解． 【详解】解：如图所示，以为斜边构造直角三角形且满足，， ∵的半径长为2，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵， 当点三点共线时，取得最大值， ∴的最大值为 故答案为：． 三、解答题（共75分）． 16. 计算或化简： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，以及分式的混和运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据代入求解即可； （2）利用分式的混和运算法则即可求解 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 17. 2025年春晚节目《秧》以机器人表演传统秧歌为主题，广受好评．演出结束后、节目组随机抽取了50名现场观众进行评分，同时统计出5000名线上观众评分（满分10分），并根据得分绘制了以下不完整的统计表和统计图： 两个观众群体对《秧》打分样本数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 现场 a 8 8 线上 7.6 b 7 （1）直接写出a，b，m的值； （2）请你计算出线上观众评分不低于8分的总人数； （3）小明认为线上观众群体对《秧》打分样本数据更能贴合实际，你同意他的说法吗？简要说明理由． 【答案】（1）7.6，7，12 （2）2400人 （3）同意，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查平均数、中位数、统计图等知识点，理解相关知识是解决问题的关键． （1）根据平均数、中位数的定义即可求得，的值，再结合扇形统计图中所占百分比即可求得的值； （2）利用总人数乘以不低于8分的百分比即可； （3）根据样本容量大更具有代表性即可作答． 【小问1详解】 解：现场对《秧》打分样本数据的平均数， 线上评分6分人数为人，线上评分7分人数为人， 线上评分从小到大排列第2500名，第2501名的评分均为7分， ∴线上评分的中位数， 线上评分9分所占百分比，即：， 故答案为：7.6，7，12； 【小问2详解】 线上观众评分不低于8分的总人数为人， 答：线上观众评分不低于8分的人数为2400人； 【小问3详解】 同意，理由：线上观众群体样本容量大，更具有代表性． 18. 如图，直线与坐标轴交于点A、B，与双曲线交于C、D两点，并且． （1）求反比例函数的解析式； （2）当时，根据图象直接写出此条件下x的取值范围； （3）在x轴上取一点，当的面积为12时，求m的值． 【答案】（1） （2）或 （3）1或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别求出点的坐标，再结合，得出点D的坐标为，再把点D的坐标代入，进行计算，即可作答． （2）因为直线与坐标轴交于点A、B，与双曲线交于C、D两点，则，解得，运用数形结合思想，即可作答； （3）依题意，得出，结合的面积为12，列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：在直线中，当时，， ∴点A的坐标为， 当时，， 解得：， ∴点B的坐标为， ∵，且A、B、C、D四点共线， ∴点A是线段的中点， ∴点D的坐标为， 将点D的坐标代入反比例函数解析式得：， ∴反比例函数解析式为y； 【小问2详解】 解：∵直线与坐标轴交于点A、B，与双曲线交于C、D两点， ∴ 得或， ∴， 观察图象可得：当时，x的取值范围为或． 【小问3详解】 解：依题意， ∵ ∴， ∴， 解得或． 19. 陕甘边革命根据地照金纪念馆广场上屹立着三位革命家的塑像，高高矗立，身姿伟岸．某数学兴趣小组计划在假期前往照金革命根据地学习，并测量塑像高度，活动方案如下： 测量方案：如图，点、、、四点在同一条直线上，在点处放置平面镜，此时小明视线刚好在平面镜内看到塑像顶端的像，在点处安装测倾器，测得塑像顶端的仰角约为51.3°． 数据收集：测得眼睛离地面高度米，米，米，米，，，． 解决问题：求塑像的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：，，） 【答案】米 【解析】 【分析】题目主要考查解直角三角形的应用，过点G作，垂足为点H，根据题意米，，设米，然后利用解三角形及相似三角形求解即可，熟练掌握这些知识点是解题关键． 【详解】解：过点G作，垂足为点H，如图所示： 由题意得：米，， 设米， 米， 米， 在中， 米 米， ， ， ， 解得：， 经检验：是原方程的根， ∴（米）， ∴塑像的高度为米． 20. 如图，内接于，是的直径，是的中点，连接． （1）请用无刻度的直尺和圆规，过点作直线垂直于直线（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若（1）中所作的直线与直线交于点，与的延长线交于点．判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）直线与相切；理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据垂线的作图方法，D为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，过D与该点作直线l即可； （2）连接交于点G，证明四边形是矩形得，可证直线与相切． 【小问1详解】 如图，直线l即为所求， 【小问2详解】 解：直线与相切，理由如下： 如图，连接交于点G， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切． 【点睛】本题考查了尺规作图，矩形的判定与性质，垂径定理，切线的判定，正确作出辅助线是解答本题的关键． 21. 河南温县铁棍山药已有超过3000年的种植历史，它是四大怀药之一，具有很高的药用价值和食用价值．某超市代理的铁棍山药有普通包装和礼品包装两种，已知礼品包装比普通包装每件贵20元，且2件普通包装和1件礼品包装的进货价共140元． （1）分别求出每件普通包装、礼品包装铁棍山药的进价； （2）某特产店计划购进山药共200件，且礼品包装的数量不多于普通包装数量的，若该特产店每件礼品包装的山药售价为75元，每件普通包装的山药售价为50元，怎样进货可使该特产店售完这批山药获得的利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】（1）每件普通包装、礼品包装铁棍山药的进价分别是40元/件、60元/件 （2）购进普通包装的山，80件，购进礼品包的山药120件，售完这批山药获得的利润最大，最大利润为2600元 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，一次函数的性质等知识，根据题意列出方程，不等式和一次函数关系式是解题的关键． （1）设每件普通包装、礼品包装铁棍山药的进价分别是a元/件、b元/件，根据等量关系列出方程组，解方程组即可； （2）设普通包装的山药购进m件，则礼品包的山药购进件，，根据题意列出不等式，解不等式求最小整数解为80；然后设售完这批山药获得的利润为y元，根据题意，列出一次函数关系式，根据一次函数的性质求得最大值，即可求解． 【小问1详解】 解：设每件普通包装、礼品包装铁棍山药进价分别是a元/件、b元/件，根据题意得： ，解得：， 答：每件普通包装、礼品包装铁棍山药的进价分别是40元/件、60元/件； 【小问2详解】 解：设普通包装的山药购进m件，则礼品包的山药购进件，根据题意得： ， 解得：， 即最小正整数解为80， 答：普通包装的山药最少购进80件； 设售完这批山药获得的利润为y元，根据题意得： ， ∵， 当时，y取得最大值，最大值为2600， 答：购进普通包装的山，80件，购进礼品包的山药120件，售完这批山药获得的利润最大，最大利润为2600元． 22. 如图，在一次足球训练中，某球员从球门（原点处）正前方的处射门，球射向球门的路线可近似成一条抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面的高度为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高为，通过计算判断该球能否射进球门（忽略其他因素的影响）； （3）已知点为上一点，，若该球员带球向正后方移动再射门（射门路线的形状、球的最大高度均保持不变），球恰好经过区域（含点和点），求的取值范围． 【答案】（1）； （2）该球不能射进球门； （3）的取值范围是． 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点，读懂题意、把实际问题转化为数学问题解决是解题的关键． （）先求出抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，用待定系数法求解即可； （）当时，求出的值再与比较，即可判断球能不能射进球门； （）该球员带球向正后方移动再射门，则可用含的式子表示移动后的抛物线解析式，把点和点代入求出得的值，从而确定的取值范围． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线函数表达式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴该球不能射进球门； 【小问3详解】 解：由题意得该球员带球向正后方移动后，球射向球门的抛物线的表达式为， 把点代入，得，解得（舍去）或， 把点代入，得．解得（舍去）或， ∴的取值范围是． 23. 综合与实践 学完图形的平移后，小慧为了加深理解，对其进行了进一步探究． 【模型感知】 （1）她把边长为3的正方形纸片沿着对角线剪开，如图1．然后固定纸片，把纸片沿剪痕的方向平移得到，如图2．连接，，，在平移过程中： ①四边形的形状始终是________（点与点重合时除外）； ②求的最小值． 【拓展探究】 （2）如图3，她把正方形改为边长为1的菱形，，将沿射线的方向平移得到，连接，，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）①平行四边形；②；（2） 【解析】 【分析】（1）①根据平移的性质以及平行四边形的判定定理，即可得到结论； ②作点关于的对称点，连接，，当共线时，有最小值，再证明是等腰直角三角形，且共线，在直角中，利用勾股定理即可求解． （2）同理可得是等边三角形，且共线，进而利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）①∵纸片沿剪痕的方向平移得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 故答案是：平行四边形； ②∵四边形是平行四边形， ∴， ∴=， 作点关于的对称点，连接，， 当共线时，有最小值， 此时的最小值， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵关于的对称点， ∴，， ∴是等腰直角三角形，且共线， ∴在直角中，， ∴的最小值=． （2）如图所示，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴=， 作点关于的对称点，连接，， 当共线时，有最小值， 此时的最小值， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵关于的对称点， ∴，， ∴是等边三角形，且共线， ∴在直角中，， ∴的最小值=． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，平移和轴对称的性质，作出点关于的对称点，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 驻马店市二中2024-2025学年下学期九年级第三次质量检测 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数在数轴上对应的点，离原点最近的是（　　） A. B. C. D. 2 2. 2025年铁路春运由1月14日开始至2月22日结束，全国铁路运送旅客约有亿人次．数字亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 为了解某校学生每天体育活动情况，下列抽样调查的方式中最合适的是（　　） A. 随机抽取某一个班的全体同学 B. 每个年级随机抽取15名女生 C. 课外活动时间，在操场上随机抽取20名同学 D 将全校学生姓名输入电脑程序，由电脑随机抽取150名学生 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 将三角尺按如图位置摆放，顶点A落在直线上，顶点B落在直线上，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 铜砝码作为古代计量工具，见证历史的变迁和计量技术的发展．如图是一个清代铜砝码的示意图及其俯视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 如图，射线与相切于点B，经过圆心O的射线与相交于点D，C，连接，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 9. 一次函数，函数y随x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 10. 如图①，点A，B是上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段的长度是．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是（　　） A. B. C. D. 5 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则实数x的取值范围是_______． 12. 学校组织同学们开展“青春志愿行，环保进社区”志愿者活动．明明和亮亮计划分别从四个社区中随机选择一个社区，利用周末参加志愿者活动．两人选择的社区相同的概率为___________． 13. 不等式组无解，则的取值范围是________． 14. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格线的交点称为格点，点O和点A都为格点．以点O为圆心，长为半径画弧，交图中的网格线于点B，则的长为______． 15. 如图，已知的半径长为2，为直径，点是一动点，，连结，以为斜边，在上方构造直角三角形且满足，．求的最大值为________． 三、解答题（共75分）． 16. 计算或化简： （1） （2） 17. 2025年春晚节目《秧》以机器人表演传统秧歌为主题，广受好评．演出结束后、节目组随机抽取了50名现场观众进行评分，同时统计出5000名线上观众评分（满分10分），并根据得分绘制了以下不完整的统计表和统计图： 两个观众群体对《秧》打分样本数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 现场 a 8 8 线上 7.6 b 7 （1）直接写出a，b，m的值； （2）请你计算出线上观众评分不低于8分的总人数； （3）小明认为线上观众群体对《秧》打分样本数据更能贴合实际，你同意他的说法吗？简要说明理由． 18. 如图，直线与坐标轴交于点A、B，与双曲线交于C、D两点，并且． （1）求反比例函数的解析式； （2）当时，根据图象直接写出此条件下x的取值范围； （3）在x轴上取一点，当面积为12时，求m的值． 19. 陕甘边革命根据地照金纪念馆广场上屹立着三位革命家的塑像，高高矗立，身姿伟岸．某数学兴趣小组计划在假期前往照金革命根据地学习，并测量塑像高度，活动方案如下： 测量方案：如图，点、、、四点在同一条直线上，在点处放置平面镜，此时小明视线刚好在平面镜内看到塑像顶端的像，在点处安装测倾器，测得塑像顶端的仰角约为51.3°． 数据收集：测得眼睛离地面高度米，米，米，米，，，． 解决问题：求塑像的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：，，） 20. 如图，内接于，是的直径，是的中点，连接． （1）请用无刻度的直尺和圆规，过点作直线垂直于直线（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若（1）中所作的直线与直线交于点，与的延长线交于点．判断直线与的位置关系，并说明理由． 21. 河南温县铁棍山药已有超过3000年的种植历史，它是四大怀药之一，具有很高的药用价值和食用价值．某超市代理的铁棍山药有普通包装和礼品包装两种，已知礼品包装比普通包装每件贵20元，且2件普通包装和1件礼品包装的进货价共140元． （1）分别求出每件普通包装、礼品包装铁棍山药的进价； （2）某特产店计划购进山药共200件，且礼品包装的数量不多于普通包装数量的，若该特产店每件礼品包装的山药售价为75元，每件普通包装的山药售价为50元，怎样进货可使该特产店售完这批山药获得的利润最大，最大利润为多少元？ 22. 如图，在一次足球训练中，某球员从球门（原点处）正前方的处射门，球射向球门的路线可近似成一条抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面的高度为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高为，通过计算判断该球能否射进球门（忽略其他因素的影响）； （3）已知点为上一点，，若该球员带球向正后方移动再射门（射门路线的形状、球的最大高度均保持不变），球恰好经过区域（含点和点），求的取值范围． 23. 综合与实践 学完图形的平移后，小慧为了加深理解，对其进行了进一步探究． 模型感知】 （1）她把边长为3的正方形纸片沿着对角线剪开，如图1．然后固定纸片，把纸片沿剪痕的方向平移得到，如图2．连接，，，在平移过程中： ①四边形的形状始终是________（点与点重合时除外）； ②求的最小值． 【拓展探究】 （2）如图3，她把正方形改为边长为1的菱形，，将沿射线的方向平移得到，连接，，，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$